6. Transporteigenschaften von Metallen

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1 6. Transporteigenschaften von Metallen 6. llgemeine Transportgleichung a) elektrische Leitung b) Wärmeleitung c) Diffusion llgemeine Transportgleichung: j C Φ j : C : Φ : Stromdichte Proportionalitätskonstante Feldgradient

2 Transportgleichungen allgemein: Φ C j. Ficksches Gesetz C: Konzentrationsgradient -D: Diffusionskoeffizient j N : Diffusionsstrom Diffusion T: Temperaturgradient -λ Wärmeleitzahl Q: Wärmestromdichte Wärmeleitung Ohmsches Gesetz : elektrische Feldstärke σ: elektrische Leitfähigkeit j: elektrische Stromdichte lektrische Leitung Gesetz Φ C j Transport

3 6. lektrische Leitfähigkeit 6.. Bewegungsgleichung für lektronen Gleichgewichtsverteilungsfunktion: (Fermi-Verteilung) f ( k )] e [ [ ( k )-F ]/ k T 0 B Im Nichtgleichgewicht ist die Verteilungsfuntion auch abhängig von Ort und Zeit: f(r,k,t) Bewegungsgleichung der lektronen im elektrischen Feld: F m d v dt h d k dt - e + Änderung der Verteilungfunktion im Zeitintervall dt: f( r,k,t) f( r - vdt, k + e h dt,t - dt) Bislang nicht berücksichtigt: Stoßprozesse a) Stöße der lektronen mit Phononen b) Streuung der lektronen an Defekten c) lektron-lektron Stöße 3

4 6.. Boltzmann-Gleichung Berücksichtigung der Stoßprozesse: e f f( r,k,t) f( r - vdt,k + h dt,t - dt)+( ) St t Näherung: Boltzmann-Gleichung: f t +v r f - e h k f ( f t ) St Driftterme Stoßterm Stoßterm: bhängig von Wechselwirkungswahrscheinlichkeit der verschiedenen Stoßprozesse Relaxationszeitansatz: f f( k ) - f 0( k ) ( ) St - t ( k ) (k) : Relaxationszeit Störungen des Gleichgewichtszustands klingen exponentiell mit der Zeitkonstante ab! 4

5 nn.: stationärer Zustand ( f/ t0) und f ortsunabhängig e > f( k ) f 0(k )+ ( k ) k f(k ) h Näherung für geringe bweichungen vom Gleichgewicht und kleines : e f( k ) f 0( k + ( k ) ) h bewirkt eine Verschiebung der Fermikugel im k-raum um: δ k - e h Driftgeschwindigkeit: e v - * m > Ohmsches Gesetz: j n v (-e) n e m σ ; ~ σ n: Ladungsträgerkonzentration 5

6 P : Relaxationszeit für Streuung an Phononen D : Relaxationszeit für Streuung an Defekten : Relaxationszeit für Streuung an anderen lektronen Relaxationszeit nschauliche Interpretation der Relaxationszeit: mittlere freie Weglänge: ist die Zeit zwischen zwei Stößen! l vf v F : Geschwindigkeit der lektronen an der Fermifläche Beispiel: Kupfer: l(300 K) m l(4k) 4 mm Beiträge der einzelnen Stoßprozesse zur Relaxationszeit: P + D +

7 6..4 Stoßprozesse a) Stöße an Phononen Störung der Periodizität des Gitters > Streuung der Blochwellen Impulserhaltung: Normalprozeß Umklapp-Prozeß k' k + q k' k + q + G Kleinwinkelstreuung große Impulsänderung (starke Streuzentren) k': lektronenimpuls nach Stoß k: lektronenimpuls vor Stoß q: Phononenimpuls G: reziproker Gittervektor 7

8 Hohe Temperaturen (T > θd): Umklapp-Prozesse dominieren die Streuung wegen großer Impulsänderung ρ ~ cph ~ T cph: Phononenkonzentration Tiefe Temperaturen (T -> 0 K): Umplapp-Prozesse nur möglich, wenn q > q0 q0: kürzester Wellenvektor zwischen zwei Punkten auf den Fermiflächen benachbarter Brillouin-Zonen > Wahrscheinlichkeit für Umklapp-Prozesse fällt bei tiefen Temperaturen mit exp(-θu/t) θu: charakteristische Temperatur (abhängig von der Geometrie der Fermi-Fläche) Kalium: θu 3 K P wird von Normalprozessen dominiert! Grüneisenformel: (gilt universell für alle Metalle) θ / T T ρp( T) θ 5 0 (e x 5 x -)(-e -x dx ) 8

9 b) Stöße an Defekten 9 Defektarten: * Korngrenzen * Versetzungen * Fremdatome * Leerstellen * Zwischengitteratome * Konzentrationsschwankungen * Isotopenschwankungen Störung der Periodizität des Gitters > Streuung der Blochwellen D ist abhängig von der Defektkonzentration c D! (vielfach D ~c D ) D ist weitgehend unabhängig von der Temperatur! (falls Defektkonzentration temperaturabhängig)

10 .) lektron-lektron Stöße lektron-lektron Stöße sind für den elektrischen Widerstand von untergeordneter Bedeutung! 0 nergieerhaltung: + '+ ' Impulserhaltung: k +k k '+k '+G nnahmen: 0 < - F <k B T (thermisch angeregtes lektron) < F Pauliprinzip: Zustände ' und ' müssen unbesetzt sein, d.h: ' > F und ' > F > + ' + ' > F > F - <k B T Nur k B T/ F aller usgangszustände für lektron sind erlaubt! Impulserhaltung > Nur k B T/ F aller ndzustände erlaubt! > k B T T Ω ( ) Ω 0 ( ) Ω 0 T F Ω : Streuquerschnitt Ω 0 : Streuquerschnitt für klassisches lektronengas (ohne Pauliprinzip) T F : Fermi-Temperatur (T F ~0 5 K) F

11 6..5 xperimente zur elektrischen Leitfähigkeit von Metallen Matthiesensche Regel: ρ(t) ρ P (T) + ρ D ρ P (T):Temperaturabhängiger nteil am Widerstand durch Streuung der lektronen an Phononen ρ D : Temperaturunabhängiger Restwiderstand durch Streuung der lektronen an Defekten lektrischer Widerstand normiert auf den Widerstand R 90K bei Raumtemperatur für Na-Proben unterschiedlecher Störstellenkonzentration als Funktion der Temperatur mpirische Faustformel für Restwiderstand vieler Metalle: at% Verunreinigungen -> µω cm

12 Konzentrationsabhängigkeit des spezifischen Widerstands * ρ D ist additiv * ρ D ~c Ni * ρ Ph ~T (bei höheren Temperaturen) Spezifischer Widerstand von Cu-Ni Legierungen als Funktion der Nickelkonzentration und der Temperatur

13 3 Temperaturabhängigkeit des reduzierten Widerstands * tiefe Temperaturen: R/R θ ~ (T/θ) 5 (Grüneisenformel) * hohe Temperaturen: R/R θ ~ (T/θ) * Verhalten universell für alle Metalle Reduzierter Widerstand R/R θ als Funktion der reduziereten Temperatur T/θ für verschiedene Metalle

14 6.3 Wärmeleitung 6.3. Grundlagen aus der Gastheorie Beschreibung im Rahmen der kinetischen Gastheorie Gas: Teilchen/Quasiteilchen, die spezifische Wärme c tragen (z.b. lektronen, Phononen, Magnonen): Teilchenfluß in x-richtung: j x n < v n : Konzentration der Teilchen < v x >:Mittelwert der Teilchengeschwindigkeit in x-richtung x > Wanderung eines Teilchens mit spezifischer Wärme c Temperatur T+ T in Gebiet mit Temperatur T aus Gebiet mit > bgabe der nergie c T Temperaturunterschied entlang der freien Weglänge l : T l T x l T x v 4 x

15 5 Wärmefluß: Q - n < v x > c T x - 3 n < v > c T x > Wärmetransportgleichung: Q - λ T x Wärmeleitzahl: 3 n c v l C 3 λ v l λ ~

16 6.3. Wärmeleitung durch Phononen Spezifische Wärme eines Phonons: 3 λ Ph C Ph vph l Ph T<<θ D : Debyesches T 3 -Gesetz: C Ph 4 π 5 N k B T ( ) θ N: Zahl der tome in der Probe 3 höhere Temperaturen: instein-modell: hω T hω/ k BT e CPh N k B ( ) hω/ k T B k B ( - ) e Grenzfall T-> : C Ph 3Nk B (Dulong-Petit) Stoßprozesse: Streuung von Phononen an anderen Phononen Streuung von Phononen an Defekten/Probenoberfläche 6

17 Streuung von Phononen an anderen Phononen Impulserhaltung: k + k k 3 k + k k 3 + G Normalprozeß Umklapp-Prozeß k, k : Phononenimpulse vor Stoß k 3 : Phononenimpuls nach Stoß G: reziproker Gittervektor Normalprozesse: Gesamtimpuls aller Phononen bleibt erhalten > Phononenfluß durch Probe bleibt konstant! > Normalprozesse haben keinen influß auf Wärmewiderstand! 7

18 Umklapp-Prozesse: Änderung des Phononengesamtimpulses! Prozeß führt die Verteilung der Phononen ins Gleichgewicht! Größenordnung von k und k : / G > Größenordnung der notwendigen Phonenenergien: / k B θ D Hohe Temperaturen (T>θ D ): l~t - (alle Phononen angeregt) ; C Ph 3 R (Dulong-Petit) > λ T - Tiefe Temperaturen (t<θ D ): l / /( T ) ~ θ e > λ steigt mit sinkender Temperatur! Bei sehr tiefen Temperaturen (T < 0 K): l > Probendurchmesser > Streuung an Phononen bei sehr tiefen Temperaturen unbedeutend! 8

19 Streuung an Defekten/Probenoberfläche Tiefe Temperaturen: λ~t 3 mittlere freie Weglänge l abhängig von * Defektkonzentration * Probengröße (ffekt von de Haas und Biermasz) l ist temperaturunabhängig! λ~t - C Ph ~T 3 > λ ~ T 3 Wärmeleitfähigkeit von SiO im kristallinen (Quarz), mit Neutronen bestrahlten und amorphen (Quarzglas) Zustand als Funktion der Temperatur 9

20 Wärmeleitung durch lektronen l v C 3 F λ Spezifische Wärme eines lektronengases: T k n C B π v m F n : lektronenkonzentration Relaxationszeit: D P + + π π λ 3 m T k n l v v m T k n 3 B F F B > Wiedemann-Franzsches Gesetz: T L T 3 e k m / n e 3m / n T k B B π π σ λ L: Lorenz-Zahl (L WΩ/K²)

21 Das Widemann-Franzsche Gesetz Metall L 0 8 WΩ/K² 0 C 00 C g.3.37 u Cd.4.43 Cu.3.33 Mo.6.79 Pb Pt.5.60 Sn.5.49 W Zn.3.33 xperimentell bestimmte Lorenz-Zahlen nnahme bei der Herleitung des Widemann-Franzschen Gesetzes: * identische Relaxationszeiten für elektrische und thermische Leitung Größenordnung der zur Relaxation notwendigen Wellenvektoren: lektrische Leitung: q k F Wärmeleitung: q k B T/hv F > Bei tiefen Temperaturen (kleine q) fällt Wärmeleitfähigkeit stärker als elektrische Leitfähigkeit (L wird kleiner!) > Wiedemann-Franzsches Gesetz gilt nicht falls T<<θ D!

22 6.3.4 Wärmeleitung durch Magnonen In ferromagnetischen Systemen bei T<T C : Spinwellen (Magnonen) Spezifische Wärme von Magnonen: C M ~ T 3/ > Beitrag von Magnonen zur Wärmeleitfähigkeit 3 λ M C M vm l M

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