Die numerische Erzeugung eines durchstimmbaren Sinussignals

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Klara Becke
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1 Die numerische Erzeugung eines durchsimmbaren Sinussignals Jakob Fröhling Die Hersellung eines sinusförmigen Signals is eine Aufgabensellung aus der Messechnik. Für die Messung bei einer Frequenz soll die Sinusfunkion möglichs genau bereigesell werden. Bei der Messung des Frequenzganges einer Überragungssrecke wird ein Sinussignal, von der Frequenz f bis zur Frequenz f 1 durchsimmbar, benöig. In einen relaiv kleinen Frequenzbereich is es sinnvoll, linear durchzusimmen, in einen Frequenzbereich über mehrere Dekaden is eine Durchsimmbarkei nöig, die eine logarihmische Abszisse (X-Achse) erlaub. Allgemein gil u=u sin Dann und nur dann, wenn sich der Phasenwinkel mi konsaner Geschwindigkei änder, kann von einem sinusförmigen Signal gesprochen werden. Der Zusammenhang zwischen Phase und Frequenz laue = d. Für eine konsane Frequenz gil also =. Der lineare Sweep Beim linearen Sweep soll sich die Frequenz linear von der Anfangsfrequenz f bis zur Endfrequenz f 1 in der Zei ändern: = 1 mi =2 f is also = d zu lösen und man erhäl = In dieser Schreibweise erforder die Berechnung drei Muliplikaionen, während in der Form = 1 2 nur zwei Muliplikaionen nöig sind. u=u sin

2 Anmerkungen zur Programmierung eines Sweeps Die Zeiabhängigkei des obigen Signals is in einer C-Rouine so zu programmieren, dass eine möglichs hohe Anzahl von Abasweren während des Sweeps erzeug werden. Dazu wird der Funkionsverlauf einer Sinusschwingung berechne und in einem Array gespeicher. Diese Were werden mi Hilfe eines Digial-Analog-Wandlers (DAC) in Spannungswere umgewandel. Der ADC ha eine Auflösung von ADC_RES Bi und kann daher ADC_MAX=2 ADC_BITS verschiedenen Were ausgeben. Da diese Were nur posiiv sein können, müssen die Funkionswere um ADC_HALF=2 ADC_BITS 1 verschoben und skalier werden. Sie werden im Array sinab der Länge sinab_len gespeicher, der Spizenwer der Sinusschwingung, die Ampliude is amp. Dann gil mi for (i = ; i < sinab_len; i++) sinab[i] = ADC_HALF + (amp * ADC_HALF * sin(2 * pi * i / sinab_len)); Aus dem Winkel muss der ensprechende Index von sinab berechne werden und auf den Bereich i < sinab_len abgebilde werden. Das kann einfach mi der Modulo-Funkion bewerksellig werden, die aber eine Division benöig. Wähl man jedoch für die Länge der Tabelle einen Wer, der durch 2 M darsellbar is, kann die Modulo-Funkion durch eine Und-Verknüpfung mi 2 M 1 ersez werden und benöig weniger Rechenzei. Wird aus dieser Tabelle mi konsaner Geschwindigkei ausgelesen, erhäl man am Ausgang der DACs eine durch eine Treppenfunkion angenähere sinusförmige Spannung. Auslesen mi unerschiedlichen Geschwindigkeien liefer einen Sweep. Die Auslesegeschwindigkei häng von der Zei S =LIN_SAMPLE_TIME ab, die für die Ausgabe eines Samples nowendig is. Es werden N =in S.5 ausgegeben. Anmerkungen zur Programmierung eines linearen Sweeps Mi den Hilfsgrößen '= S und '= erhäl man mi in den S Phasenwinkel i=' ' ii.ein Sample ensprich der Indexänderung im Array von eins. Diese Skalierung liefer = S= f f S = S 2 = f S u i= U ADCmax U 2 sin i i für eine Länge der Sinusabelle aus 2 M und mi SINTAB_LEN_M1 = INTAB_LEN_M1 1; help = (f1 - f) / (2 * Ts); for (i = ; i < N; i++) { fi = SINTAB_LEN * (f + help * i) * i; wer = sinab[((in)(fi)) & SINTAB_LEN_M1];} -2-

3 Der logarihmische Sweep Beim logarihmischen Sweep soll sich die Frequenz exponeniell von der Anfangsfrequenz f bis zur Endfrequenz f 1 in der Zei ändern: = e, wobei zum Zeipunk die Kreisfrequenz 1 erreich werden soll. Daraus kann die Größe = 1 berechnen. Mi =2 f is also = d zu lösen und man erhäl und dami = e = T 1 S e 1 u=u sin e Anmerkungen zur Programmierung des logarihmischen Sweeps Aus der Überlegung S =i1 S = ei 1 S und i1 S = e S e i S=i S e S is leich ersichlich, dass der Winkel nach jedem Zeischri der Dauer S f =e S = N 1 mi dem Fakor zu muliplizieren is und so der nächse Winkel erhalen werden kann. Die (geomerische) Folge wird beim Winkel = =. Dami gil die Rechenvorschrif i1= f i, die nach der Berechnung von und dem Fakor f einfach zu programmieren is. Gnauigkeisanforderung an den Fakor Bei einer in der Praxis aufreenden Sweepzei von 1s und einer Dauer von 1μs N = 1 8 Samples zu berechnen sind, werden beim Berechnen des Fakors f große Fehler wegen der beschränken Sellenanzahl (24 bi bei einfacher Genauigkei) aufreen. Die Berechnungen innerhalb der Schleife können nur in einfacher Genauigkei durchgeführ werden, weil die Berechnung von Typen mi höherer Auflösung (double) nich in der schnellen Floaing Poin Uni, sondern durch aufwendige Sofware gemach werden. -3-

4 Eine mögliche Verringerung der Rundungsfehler beseh darin, dass der Fakor f einmal mi double- Variablen durchgeführ wird. Das Ergebnis daraus lieg nahe über Eins und is ers in der ewa achen Dezimalselle von eins unerschiedlich. Nur der Nachkommaeil frac wird mi einfacher Genauigkei gespeicher. Der nüz aber alle 24 bi der Manisse aus. Der Nacheil dieser Mehode is aber, dass die Berechnung oder in C: i1=i1 frac, fi += frac * fi; eine zusäzliche Addiion erforder.wesenlich is die Reihenfolge der Operaionen: zuers die Muliplikaion mi frac, dann die Addiion ausführen ablaufen muss. Die Rundungsfehler durch die Verlus der Nachkommasellen bei der Berechnung des Fakors können so vermieden werden. Ein Sample ensprich der Indexänderung im Array von eins. Mi den nur ein Mal zu berechnenden Weren (in) N = (long) (Ts / LOG_SAMPLE_TIME +.5); (floa) help = log(f1 / f) / Ts; (floa) fakor = exp(help * LOG_SAMPLE_TIME); (floa) fi = f * SINTAB_LEN / help; wobei LOG_SAMPLE_TIME die Zei is, die die Schleife für einen Durchlauf benöig, wird die Schleife für die Ausgabe des Signals for (i = ; i < N; i++) // für genau einen sweep { wer = sinab[((in)(fi)) & SINTAB_LEN_M1]; fi *= fakor; } oder für eine genauere Berechnung, wie oben ausgeführ: (in) N = (long) (Ts / LOG_SAMPLE_TIME +.5); (floa) help = log(f1 / f) / Ts; (floa) frac = ((double)exp(help * LOG_SAMPLE_TIME) - 1); (floa) fi = f * SINTAB_LEN / help; wird die Schleife für die Ausgabe des Signals for (i = ; i < N; i++) // für genau einen sweep { wer = sinab[((in)(fi)) & SINTAB_LEN_M1]; fi += frac * fi; } -4-

5 Lieraur Brian W. Kernighan, Dennies M. Richie: The C Programming Language, Prenice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 7632,

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