Bestimmung des elektrischen Bandabstandes eines Halbleiters aus der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit

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1 Bestimmung des elektrischen Bandabstandes eines Halbleiters aus der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit 29. März 2007 Bericht zum Laborversuch σ(t ) Timo Christ, Andreas Meier FH-Wiesbaden, Standort Rüsselsheim FB10, Physikalische Technik Labor für Festkörperphysik Am Brückweg 26, Rüsselsheim

2 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 1 2 Theoretische Grundlagen Eigenleiter Dotierung / Störstellenleitung Entartete Halbleiter Leitfähigkeit als Funktion der Temperatur Messaufbau Messverfahren Temperaturmessung Widerstandsmessung Eingesetzte Geräte Digitalmultimeter Thermoelement Ofen Probenträger samt Ge-Probe Messrechner Versuchsdurchführung Aufwärtsmessung Abwärtsmessung Ergebnisse Messergebnisse Bestimmung des Kontaktwiderstandes Berechnung des Bandabstandes Bandlücke für hohe Temperaturen Bandlücke für 0K Fehlerbetrachtung Zusammenfassung 36 Aufgabenblatt Literatur Symbolverzeichnis Abbildungsverzeichnis A I A II A III A IV I

3 Tabellenverzeichnis A V II

4 1 Aufgabenstellung Aufgabe bei diesem Laborversuch ist es, den temperaturabhängigen Widerstand einer Halbleiterprobe zu bestimmen und aus den Messergebnissen den Bandabstand des Halbleiters zu berechnen. Hierzu ist als Vorbereitung eine Zusammenstellung der theoretischen Grundlagen zu erarbeiten, wobei insbesondere die Begriffe Eigenleiter, Störhalbleiter, Löcher, Entartete bzw. nichtentartete Halbleiter zu erklären sind. Es ist zu zeigen, warum eine günstige Darstellung der Messergebnisse in der Form ln(σ( 1 T )) erfolgt und wie daraus die Bandlücke W g(0k) bei 0K ermittelt werden kann. Im Weiteren soll das Messverfahren im Einzelnen beschrieben werden. Die Temperaturmessung mit einem Thermoelement ist ebenso zu beschreiben wie die Messung des Widerstandes und die Temperierung der Probe. Hierzu sind Skizzen des Messaufbaus und der Messschaltung zu erstellen. Nach der Versuchsdurchführung mit dem im Labor für Festkörperphysik bereit stehenden Messaufbau sind die Messergebnisse graphisch darzustellen und auszuwerten. Der Bandabstand W g(0k) ist zu berechnen und eine Fehlerbetrachtung durchzuführen. Im Anhang auf Seite A I ist das Aufgabenblatt beigefügt. Abb. 1: Übersicht über den Temperaturverlauf der Leitfähigkeit in Abhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration von n- und p-silizium (aus [Kire74]). 1

5 2 Theoretische Grundlagen Der grundsätzliche Mechanismus der elektrischen Stromleitung in Halbleitern entspricht dem in Metallen. Es gibt ein Leitungsband, in dem sich Ladungsträger quasi frei bewegen können und so bei einem angelegten elektrischen Feld Ladung von einem Pol zum anderen Pol transportieren. Der Unterschied zwischen Halbleitern und Metallen besteht im Transportmechanismus der Ladungsträger und im Verhalten der Leitfähigkeit in Abhängigkeit der Temperatur. Gute metallische Leiter besitzen ein einzelnes Valenzelektron (Au: 6s 1, Ag: 5s 1, Cu: 4s 1, die darunterliegende Schale ist bei allen voll besetzt). Im Kristallverbund des Metalles bilden diese die quasi freien Elektronen, die den Ladungstransport in Metallen übernehmen. Im Bändermodell wird dies durch ein teilweise besetztes Leitungsband beschrieben. Die wichtigsten technisch eingesetzen Halbleiter 1 sind aus der IV. Hauptgruppe (Si: 3s 2 3p 2, Ge: 4s 2 4p 2, die darunterliegende Schale ist bei beiden voll besetzt). Sie besitzen vier Valenzelektronen, im Gitter existieren (bei 0 K) keine überschüssigen Elektronen, das Leitungsband ist unbesetzt. In Abbildung 2 sind die Termschema für Metalle, Halbleiter und Isolatoren zu sehen. Bei Raumtemperatur genügt die thermische Gitterschwingung, um einzelne Elektronen derart anzuregen, um sie aus ihrer Bindung heraus in das Leitungsband anzuheben. Somit stehen im Halbleiter quasi freie Elektronen für den Ladungstransport zur Verfügung. Da die Elektronen beim Verlassen ihrer Bindung eine Lücke entstehen lassen, stehen im Gitter nun positive Ladungen zur Verfügung. Auch diese sind beweglich und tragen zum Ladungstransport bei. Hier wird auch der zweite Unterschied zwischen Halbleiter und Metall deutlich. Je wärmer ein Halbleiter wird, desto mehr Elektronen werden in das Leitungsband angehoben, desto mehr Ladung kann transportiert werden. Dieser Effekt überwiegt die bremsende Wirkung der bei hohen Temperaturen verstärkt auftretenden Stöße von Elektronen gegen Gitteratome. In Metallen hingegen ist das Leitungsband schnell vollständig besetzt. Die bremsende Wirkung der Zusammenstöße erschwert den Ladungstransport und reduziert die Leitfähigkeit. Durch Dotieren können die elektrischen Eigenschaften eines Halbleiters gezielt beeinflusst werden. Wenn sich drei- oder fünfwertige Atome im Si- oder Ge-Gitter befinden, dann fehlt entweder ein Elektron im Gitter oder es ist eins überzählig. Hierdurch werden die Bandkanten von Valenz- oder Leitungsband verschoben und die elektrischen und thermischen Eigenschaften verändern sich. Diese Verschiebung der Bandkanten führt bei starken Konzentrationen bis hin zu einer Überlappung der Bänder und der Halbleiter wird metallähnlich. Wie gezeigt, sind die Eigenschaften eines Halbleiters von seiner Reinheit und seiner Temperatur abhängig. Im Folgenden sollen diese Zusammenhänge näher dargestellt wer- 1 Bei dieser Betrachtung wird von reinen Einkristallen ausgegangen. 2

6 Abb. 2: Bändermodell für Metall, Halbleiter und Isolator. Metalle haben auch bei 0K ein teilweise besetztes Band. Bei Halbleitern und Isolatoren liegt das Fermi- Niveau zwischen dem besetzten Valenzband und dem unbesetzten Leitungsband (aus [IbL"90]). den. 2.1 Eigenleiter Die grundlegenden Eigenschaften von Halbleitern lassen sich anhand des Bändermodells erklären: Die Elektronen in Festkörpern wechselwirken über sehr viele Atomabstände hinweg miteinander. Dies führt faktisch zu einer Aufweitung der (im Einzelatom noch als diskrete Niveaus vorliegenden) möglichen Energiewerte zu ausgedehnten Energiebereichen, den so genannten Energiebändern. Zwischen den Bändern bestehen Energiebereiche, in der nach der Quantenmechanik keine erlaubten Zustände existieren, die Energie- oder Bandlücke. Solche Lücken können die Elektronen nicht besetzen. Unbesetzte Bänder können mangels beweglicher Ladungsträger keinen elektrischen Strom leiten. In voll besetzten Bändern weisen die Ladungsträger ebenfalls keine Beweglichkeit auf, da sie mangels erreichbarer freier Zustände keine Energie aufnehmen können. Nur in teilbesetzten Bändern treten Elektronen mit einer hohen Beweglichkeit auf, wie es bei Metallen der Fall ist. Aufgrund ihrer Kristallstruktur ist bei Halbleitern nahe des absoluten Nullpunktes der Temperaturskala das oberste Energieband (Valenzband) voll besetzt, das nächsthöhere Band (Leitungsband) hingegen leer. Das Fermi-Niveau liegt also genau in der Bandlücke; die elektrische Leitfähigkeit ist Null (wie bei einem Isolator). Die Bandlücke ist bei Halbleitern im Gegensatz zu Isolatoren jedoch relativ klein (InAs: 0.4eV, Ge: 0.7eV, Si: 1.2eV, GaAs: 1.5eV, C 3

7 Tab. 1: Bandlücke E g und die Beweglichkeiten µ n und µ p der Elektronen und Löcher für einige Halbleiter bei 300K. (aus [Paul75], [Pick78],[Pfü77]) E g [ev ] µ n [ cm2 V s ] µ p [ cm2 V s ] InSb 0, PbTe 0, InAs 0, Ge 0, Si 1, GaAs 1, CdS 2, C(Diamant) 5, Cu 10 (Diamant): 5,4eV, siehe auch Tabelle 1), so dass z.b. durch die Energie der Wärmeschwingungen oder durch Absorption von Licht Elektronen vom vollbesetzten Valenzband ins Leitungsband angeregt werden können. Halbleiter haben also eine mit der Temperatur zunehmende elektrische Leitfähigkeit, bzw. einen mit der Temperatur abnehmenden elektrischen Widerstand. Deshalb nennt man Halbleiter auch Heißleiter oder NTC-Widerstände 2. Abb. 3: Zweidimensionale Darstellung der Gitterbindungen von Siliziumkristallen ohne eingelagerte Störatome. Die durch thermische Energie aufgebrochenen Gitterbindungen bewirken Fehlstellen (Löcher) und quasifreie Elektronen (aus [MLu88]) 2 NTC: negativ temperatur coefficient 4

8 Wird, wie oben beschrieben, ein Elektron aus dem Valenzband in das Leitungsband angeregt, so hinterlässt es an seiner ursprünglichen Stelle ein Defektelektron, auch Loch genannt. Schematisch ist dies in Abbildung 3 gezeigt. Gebundene Valenzelektronen in der Nachbarschaft solcher Löcher können durch Platzwechsel in ein Loch "springen", hierbei wandert das Loch. Es kann daher als bewegliche positive Ladung aufgefasst werden. In metallischen Leitern hängt die Leitfähigkeit von der Beweglichkeit µ der Elektronen und der Ladungsträgerdichte n e ab: σ m = µn e e (1) In einem Halbleiter tragen Löcher und Elektronen zum Ladungstransport bei, wobei sich die Beweglichkeit von Löchern und Elektronen unterscheidet. Somit schreibt sich die Leitfähigkeit eines Halbleiters: σ h = e (µ n n + µ p p) (2) mit den Beweglichkeiten µ n für die Elektronen, µ p für die Löcher und den Konzentrationen n für Elektronen, p für die Löcher und der Elementarladung e. In einem reinen Halbleiter hinterlässt jedes Elektron, das in das Leitungsband angehoben wird, genau ein Loch. Somit ist die Ladungsträgerkonzentration von Elektronen und Löchern gleich groß. Es gilt n = p = n i mit n i als intrinsische Ladungsträgerdichte. Mit dieser schreibt sich Gleichung 2 als: σ i = e (µ n n i + µ p n i ) = e n i (µ n + µ p ) (3) mit σ i als Leitfähigkeit des intrinsischen Halbleiters. In Tabelle 1 sind Beweglichkeiten und Bandlücken für einige gebräuchliche Halbleitermaterialien zusammengefasst. Als Vergleich ist Diamant als Isolator und Kupfer als guter elektrischer Leiter mit aufgeführt. Elektronen aus dem Leitungsband können auch wieder mit den Defektelektronen rekombinieren (Elektron-Loch-Rekombination). Dieser Übergang zwischen den beteiligten Niveaus kann unter Abgabe von elektromagnetischer Rekombinationsstrahlung (Photon) und/oder unter der Abgabe eines Impulses an das Kristallgitter (Phonon) erfolgen. Die Dichte freier Elektronen und Löcher in reinen, d.h. undotierten, Halbleitern nennt man intrinsische Ladungsträgerdichte - ein reiner Halbleiter wird deshalb auch intrinsischer Halbleiter genannt. In Abbildung 4 ist das Bändermodell für einen intrinsischen Halbleiter, einen n-dotierten und für einen p-dotierten Halbleiter gezeigt. Dort sind auch die Lagen der einzelnen Energieniveaus angegeben. Im Falle der Eigenleitung liegt das Fermi-Niveau 3 (W F ) exakt in der Mitte 3 Fermi-Niveau: Die Besetzungswahrscheinlichkeit ist f = 1/2. 5

9 Abb. 4: Bändermodell für intrinsischen Halbleiter, n-leitenden Halbleiter und p-leitenden Halbleiter mit der Lage der einzelnen Energie-Niveaus. Man beachte die Lage des Fermi-Niveaus für die drei unterschiedlichen Leitungstypen. (aus [Pfü77]) zwischen der oberen Bandkante des Valenzbandes (W V ) und der unteren Bandkante des Leitungsbandes (W C ). Bei den dotierten Halbleitern liegt das Fermi-Niveau, bedingt durch die unterschiedlichen Konzentrationen der n- und p-ladungsträger und deren Beweglichkeiten etwas nach oben oder unten. 2.2 Dotierung / Störstellenleitung Durch gezielte Verunreinigung eines Halbleiters mit Fremdatomen, dem so genannten Dotieren, kann ein Überschuss oder Mangel von Elektronen gezielt herbeigeführt werden: Werden Fremdatome, die ein Elektron mehr im Valenzband haben (Elemente der V. Hauptgruppe) als der reine Halbleiter, in einen Halbleiter eingebracht, so bringt jedes dieser Fremdatome ein Elektron mit, das nicht für die Bindung benötigt wird und leicht abgelöst werden kann. In Abbildung 5 ist dies schematisch gezeigt. Im Bänderschema liegt ein solches Elektron nahe unter der Leitungsbandkante. Ein Fremdatom, das ein Elektron abgibt, wird Donator (lat. donare = geben) genannt. Analog bringen Fremdatome, die ein Elektron weniger im Valenzband haben (Elemente der III. Hauptgruppe), ein zusätzliches Defektelektron (Loch) mit, welches leicht von Valenzbandelektronen besetzt werden kann. Die schematische Darstellung eines in ein Si-Gitter eingelagerten Bor-Atom ist in Abbildung 6 zu sehen. Im Bänderschema liegt ein solches Loch nahe über der Valenzbandkante. Ein 6

10 Abb. 5: Zweidimensionale Darstellung der Gitterbindung von Siliziumkristallen mit eingelagerten Phosphoratomen. Die überschüssigen Elektronen der 5-wertigen Phosphoratome können als quasifreie Elektronen wirken. (aus [MLu88]) Abb. 6: Zweidimensionale Darstellung der Gitterbindungen von Siliziumkristallen mit eingelagerten Bor-Atomen. Die fehlenden Elektronen der 3-wertigen Bor-Atome können von benachbarten Gitterbindungen aufgebracht werden, wodurch dort Fehlstellen (Löcher) entstehen (aus [MLu88]) 7

11 Fremdatom, welches ein Loch "abgibt", also ein Elektron aufnimmt, wird Akzeptor (lat. accipere = annehmen) genannt. Bei Dotierung mit Donatoren sorgen vorwiegend die Elektronen im Leitungsband, bei Dotierung mit Akzeptoren die gedachten, positiv geladenen Löcher im Valenzband für elektrische Leitfähigkeit. Im ersten Fall spricht man von Elektronenleitung oder n-leitung, im anderen Fall von Löcherleitung oder p-leitung. Die Wirkung der Dotierelemente auf die Lage der Energiebänder ist in Abbildung 7 gezeigt. Abb. 7: Qualitative Lage der Grundzustand-Niveaus von Donatoren und Akzeptoren in Bezug auf die Unterkante des Leitungsbandes E L bzw. die Oberkante des Valenzbandes E V. E d und E a bezeichnen hier die Ionisierungsenergien der Donatoren respektive der Akzeptoren (aus [IbL"90]). Halbleiterbereiche mit Elektronenüberschuss bezeichnet man als n-dotiert, solche mit Mangel, also mit "Löcherüberschuss" als p-dotiert. Im n-leiter werden die Elektronen als Majoritätsträger (mehrheitlich vorhandene Ladungsträger), die Löcher als Minoritätsträger bezeichnet, im p-leiter gilt die entsprechende Umkehrung. Durch geschickte Kombination von n- und p-dotierten Bereichen kann man einzelne, so genannte diskrete, Halbleiterbauelemente wie Dioden und Transistoren und komplexe, aus vielen Bauelementen in einem einzigen Kristall aufgebaute integrierte Schaltungen oder Mikrochips aufbauen. In Tabelle 2 sind die Rahmen üblicher Dotierungen von Silizium zusammengefasst. Halbleiter werden gezielt dotiert, um die Bandlücke zwischen Valenzband und Leitungsband einzustellen und damit die Eigenschaften der aus dem Halbleiter gefertigten Bauelemente gezielt zu beeinflussen. Durch die Dotierung und der damit verbundenen Reduktion der Bandlücke kann sich bereits bei sehr geringer Energiezufuhr (Temperatur > 0 K) ein freies Elektron aus dem Bindungsverband 8

12 lösen. Dies ist Voraussetzung für einen elektrischen Stromfluss. Bei chemisch reinen, sprich undotierten Halbleitern sind wesentlich größere Energien notwendig, ein spürbarer Leitungsmechanismus setzt erst bei hoher Temperatur ein und ist deutlich stärker temperaturabhängig [Paul89]. Tab. 2: Rahmen üblicher Dotierungen von Silizium normale Dotierung n 1 Donator auf 10 7 Si-Atome p 1 Akzeptor auf 10 6 Si-Atome starke Dotierung n 1 Donator auf 10 4 Si-Atome p 1 Akzeptor auf 10 4 Si-Atome 2.3 Entartete Halbleiter Bei starker Dotierung des Halbleiters, bei Dotierungen mit Dotierkonzentrationen 4 n, p cm 3 verschiebt sich das Fermi-Niveau ins Leitungsband/Valenzband. In diesem Fall, oder wenn das Fermi-Niveau weniger als 3k b T entfernt von der Leitungsbandgrenze liegt, hat der Halbleiter metallähnliche Eigenschaften. Ein solcher Halbleiter wird entartet genannt. Bei einem entarteten Halbleiter befinden sich selbst am absoluten Nullpunkt bereits Ladungsträger im Leitungsband. Entartung eines Halbleiters liegt vor, abhängig von der Dotierungsart (n oder p), wenn gilt. E F E L k b T oder E V E F k b T (4) 2.4 Leitfähigkeit als Funktion der Temperatur Die Leitfähigkeit eines Leiters hängt, wie in Gleichung 1 gezeigt, von der Beweglichkeit der Ladungsträger und von deren Anzahl ab. Bei Halbleitern wird die Leitfähigkeit durch die Beweglichkeiten und durch die Ladungsträgerdichten von Löchern und von Elektronen bestimmt. Da sich die Beweglichkeiten und die Ladungsträgerdichten von Löchern und Elektronen unterscheiden, siehe Tabelle 1, ergibt sich Gleichung 2 für die Leitfähigkeit von Halbleitern. Die Anregung von 4 Die Trägerkonzentration bei Metallen liegt in der Größenordnung von cm 3. 9

13 Elektronen in das Leitungsband erfolgt durch Energieübertrag von Gitterschwingungen auf Elektronen. Somit ist die Zahl der verfügbaren Ladungsträger von der Temperatur abhängig [Mier72]: n (T ) = n 0 e ( E A k b T ) (5) Hier sei n (T ) die temperaturabhängige Ladungsträgerkonzentration, n 0 eine materialabhängige Größe, E A die Aktivierungsenergie, T die Temperatur und k b die Boltzmannkonstante. Bei Störstellenleitung ist die Aktivierungsenergie E A die Energiedifferenz von der Störstelle zum entsprechenden Band. Im Bereich der Eigenleitung, in dem die Zahl der Elektronen im Leitungsband gleich der Zahl der Löcher im Valenzband ist, und auch die Zustandsdichten von Elektronen und Löchern gleich sind, liegt das Fermi-Niveau in der Mitte der Bandlücke. Somit gilt für den in diesem Versuch eingesetzen Halbleiter und den untersuchten Temperaturbereich: E A = 1 2 E g (6) mit E g als Bandlücke. Die Beweglichkeiten µ T sind ebenfalls von der Temperatur abhängig und werden unter anderem durch Gitterschwingungen bestimmt. Abb. 8: Fermi-Funktion f (E), Zustandsdichte D(E) und die Elektronen- n bzw. Löcherkonzentration p im Leitungs- und Valenzband. Für den Fall, dass die Zustandsdichten (analog auch Ladungsträgerkonzentrationen n und p) in Leitungs- und Valenzband gleich sind (a), liegt das Fermi-Niveau genau in der Mitte zwischen den Bandkanten von Leitungs- und Valenzband. Wenn sich die Zustandsdichten unterscheiden, dann verschiebt sich das Fermi-Niveau (b). (aus [IbL"90]). Bei Halbleitern ist dieser Temperatureinfluss deutlich geringer als in Metallen, wodurch, insbesondere im betrachteten Bereich, die Temperaturabhängigkeit der 10

14 Leitfähigkeit des Halbleitern durch die Abhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration von der Temperatur bestimmt wird. Im Bereich der Eigenleitung gilt dann die Beziehung: σ (T ) = σ (0K) e ( E A k b T ) (7) Abb. 9: Temperaturgang der Leitfähigkeit eines Halbleiters, dargestellt in ln(σ) über 1 T. Bereich I: niedrige Temperatur, Bereich II: normale Temperatur, Bereich III: hohe Temperatur. (aus [Paul75]) In Abbildung 9 ist der charakteristische Verlauf der Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit dargestellt. Es sind die drei Bereich zu sehen, in denen unterschiedliche Prozesse die Leitfähigkeit bestimmen. In Bereich I dominiert die Störstellenleitung, die bis zur Erschöpfung (Ionisierung) aller Störstellen reicht. In Bereich II sind alle Störstellen erschöpft und die Leitfähigkeit verringert sich etwas, da die Beweglichkeiten durch die stärker werdenden Gitterschwingungen reduziert werden. Dies geschieht, bis die thermische Energie ausreicht, um Elektronen 11

15 aus dem Valenzband in das Leitungsband anzuheben [Kitt89]. Der Bereich der Eigenleitung, Bereich III in der Abbildung, zeigt die starke Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerdichte und auch den geringen Einfluss der Gitterschwingungen auf die Beweglichkeit. In diesem Bereich gilt Gleichung 7 mit für diesen Versuch genügender Genauigkeit. 12

16 3 Messaufbau Der im Labor für Festkörperphysik zur Verfügung stehende Messaufbau zur Bestimmung der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes eines Halbleiters besteht aus folgenden Komponenten: Ein Ofen für die Temperierung der Probe. Einem Digitalmultimeter FLUKE 45. Mit diesem wird, gesteuert über den GPIB-Bus, die Thermospannung und der Widerstand der Halbleiterprobe gemessen. Als Thermoelement kommt ein Eisen-Konstantan-Thermoelement (Fe-Ko) zum Einsatz. Die Referenzstelle des Thermoelements wird in ein mit Eiswasser gefülltes Dewar- Gefäß getaucht. Des weiteren gehört eine Halbleiterprobe zum Messaufbau. Diese ist auf einen Probenträger aufgelötet und besteht aus einem Ge-Plättchen mit den Maßen 10mmx5mmx1mm, ähnlich dem in Abbildung 17 gezeigten. Diese Probe ist, analog zu Abbildung 17, an ihrer Stirnseite kontaktiert. Für die Positionierung der Probe und des Thermoelements steht ein Stativ zur Verfügung. Das Thermoelement wird so positioniert, dass seine Spitze möglichst nahe an der Oberfläche des Halbleiters ruht, ohne ihn zu berühren. Der so präparierte Probenhalter wird durch eine Öffnung in der Frontklappe des Ofens in das Innere des Ofens geschoben. Die Messwerte, die mit dem DMM aufgenommen werden, werden mit einem Messrechner, der über einen GPIB-Bus mit dem Messgerät verbunden ist, aufgezeichnet. Auf dem Messrechner ist Lab-Windows installiert und es steht eine Auslese- und Steuersoftware für die Erfassung der Messwerte zur Verfügung. In Abbildung 10 ist der Messaufbau schematisch gezeigt. 3.1 Messverfahren Im Folgenden sollen einige Grundlagen der beiden bei diesem Versuch zum Einsatz kommenden Messverfahren dargestellt werden. Zum einen wird die Temperatur mit einem Thermoelement gemessen, zum zweiten wird der Widerstand der Halbleiterprobe mit einem DMM aufgenommen Temperaturmessung Das Prinzip der Temperaturmessung mit Hilfe eines Thermoelements basiert auf dem Seebeck-Effekt: Wenn zwei verschiedene Metalle einander berühren, gehen einige Elektronen vom einen Metall zum anderen Metall über. Hierfür ist die Tiefe der höchsten besetzten Elektronenzustände (Fermi-Grenzen), d.h. die Austrittsarbeit der Elektronen verantwortlich. Das Metall mit der geringsten Austrittsarbeit gibt Elektronen ab und wird positiv. Der Übertritt hört erst auf, wenn sich eine Kontaktspannung eingestellt hat, die entgegengesetzt gleich der Differenz der Fermi-Niveaus ist. Die qualitative Lage der Niveaus und der darüber liegenden 13

17 Abb. 10: Messaufbau zur Bestimmung der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes eines Halbleiters. Die Temperatur wird durch ein Fe-Ko-Thermoelement gemessen, der Widerstand der Halbleiterprobe wird durch eine Zweidraht- Widerstandsmessung mit einem DMM bestimmt. Temperiert wird die Probe in einem Ofen. Elektronenatmosphären ist in Abbildung 11(a) für die Fälle: zwei Metalle ohne Kontakt, zwei Metalle mit Kontakt und zwei Metalle mit zwei Kontakten mit unterschiedlichen Temperaturen zu sehen. Die Thermospannung lässt sich als Differenz der beiden Kontaktspannungen berechnen. Diese ergibt sich mit genügender Genauigkeit und bei Fe-Ko- Elementen über weite Bereiche nach der Beziehung: U th = k b e ln(n 2 n 1 ) T (8) mit e als Elementarladung und n 2 n 1 als Verhältnis der Teilchenzahldichte. Mit T wird hier die Differenz zwischen der Heiß- und Kaltstelle des Thermoelements bezeichnet. Ein Thermoelement ist aus zwei Drähten zusammengelötet, wobei in einem Draht ein Spannungsmessgerät eingeschleift ist (siehe Abbildung 11(b)). Werden nun die beiden Kontaktstellen der beiden Metalle auf unterschiedliche Tem- 14

18 (a) Die Fermi-Niveaus verschiedener Elemente liegen auf verschiedenen Höhen. Über diesen Niveaus türmt sich eine Elektronenatmosphäre, deren Höhe der Temperatur proportional ist. Bei Berührung erfolgt ein Ausgleich durch einen Diffusionsstrom. (b) Temperaturmessung unter Anwendung des Seebeck-Effektes mittels Thermoelement. Eine Kontaktstelle dient als Meßstelle, die zweite Kontaktstelle dient als Referenzstelle und wird auf eine exakt definierte Temperatur gebracht. Abb. 11: Physikalische Grundlage des Seebeck-Effekts (a) und seine Anwendung zur Temperaturmessung (b) (nach [Gert + 89]). peraturen gebracht, zeigt das Messgerät eine Thermospannung an, die nur von den Eigenschaften der Metalle und der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Kontaktstellen abhängt [Kohl96]. Um möglichst große Thermospannungen zu erreichen, wird die Referenzstelle des Thermoelements auf eine möglichst geringe, bekannte Temperatur gebracht. Bei diesem Experiment werden Temperaturen ab Raumtemperatur aufwärts gemessen, womit Eiswasser, exakt 0 C da Nullpunktdefinition unserer Celsius-Skala, eine geeignete Referenz darstellt. Für die Temperaturmessung bei diesem Versuch wird ein Fe-Ko-Thermoelement eingesetzt. Für dieses liegt eine Normtabelle zur Umrechnung der gemessenen Thermospannungen in Temperaturen vor, diese ist auch in der Mess- und Steuersoftware zur direkten Umrechnung während der Messung hinterlegt Widerstandsmessung Zur Bestimmung des Widerstandes des Ge-Plättchens wird eine Zwei-Punkt-Methode eingesetzt. Für die Messung wird die Widerstands-Messfunktion des DMM FLU- KE 45 verwendet. Hierbei wird der Messstrom durch den Halbleiter durch die selben Leitungen geleitet, über die auch die Spannung über dem Halbleiter gemessen wird. Hierdurch fallen auch in den Leitungen und an den Kontaktstellen, bedingt durch deren ohmschen Widerstände, Teilspannungen ab. Somit setzt sich der gemessene Widerstand aus dem Widerstand des Halbleiters, den beiden Kontaktwiderständen an den Kontaktstellen von Messleitung und Halbleiter und aus 15

19 dem Widerstand der Messleitungen zusammen. In Abbildung 12(a) ist das Prinzip der Zwei-Punkt-Messung zu sehen, in Abbildung 12(b) ist das zugehörige Ersatzschaltbild gezeigt. (a) Prinzipieller Aufbau eines DMM für Widerstandsmessung mit (Konstant)Stromquelle, Spannungsmessung (und Strommessung) (b) Ersatzschaltbild einer Widerstandsmessung mit Zwei-Punkt-Methode. Der gemessene Widerstand setzt sich aus Leitungswiderständen, Kontaktwiderständen und dem Probenwiderstand zusammen. Abb. 12: Prinzip der Widerstandsmessung (a) und das Ersatzschaltbild für die Zweipunkt- Messung des Widerstandes (b). Für die Berechnung der Bandlücke W g sind die gemessenen Widerstandswerte um die Leitungswiderstände und um die Kontaktwiderstände zu korrigieren. Das Verfahren hierzu ist in Abschnitt 5.2 auf Seite 25 erläutert. 3.2 Eingesetzte Geräte Der Messaufbau zur Bestimmung der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes eines Halbleiters besteht aus einem Ofen zur Temperierung der Probe, einem DMM zur Messung der Temperatur mit Hilfe eines Thermoelements, dem Thermoelement, einem DMM zur Bestimmung des Widerstandes und aus einem Messrechner zur Steuerung und zum Auslesen der Messwerte der Digitalmultimeter. Im folgenden sind die Geräte näher beschrieben und ihre Spezifikationen genannt Digitalmultimeter Für die Messung der Thermospannung und für die Messung des Widerstandes stehen je ein Digitalmultimeter von FLUKE, Typ 45 zur Verfügung. Beide Geräte sind auf der Rückwand mit einer GPIB-Schnittstelle versehen und über diese mit einem Kontrollrechner verbunden. Sie besitzen für Widerstandsmessungen 14 16

20 Messbereiche bei drei verschiedenen Auflösungen. Für die Widerstandsbestimmung der Probe wird der 300 Ω-Messbereich verwendet. In diesem Bereich liegt an den Buchsen eine maximale Spannung von 3, 2V an. Am Bereichsende sinkt die Messspannung auf typisch 0,25V ab. Es kann ein maximaler Strom von 1mA fließen. Die Fehler des Geräts werden in diesem Bereich mit 0,05% + 2Digit + 0, 02Ω angegeben. Die Geräte werden während der Messung vom Kontrollrechner mit Hilfe der dort installierten Software gesteuert und ausgelesen. Für Spannungsmessungen stehen insgesamt 10 Messbereiche mit drei Auflösungen zur Verfügung. Die Thermospannung wird im Gleichspannungsmessbereich bis 300 mv gemessen. Für diesen Messbereich werden die Fehler mit 0, 02%+ 2Digit (innerhalb 6 Monate) oder mit 0,025% + 2Digit 5 (innerhalb eines Jahres) angegeben. Die Geräte werden während der Messung vom Kontrollrechner mit Hilfe der dort installierten Software gesteuert und ausgelesen Thermoelement Beim Thermoelement handelt es sich um ein konventionelles Fe-Ko-Thermoelement mit Kunststoffgriff und ca. 30cm langem Fühler. Für eine exakte Temperaturmessung ist dieses Thermoelement mit einem weiteren, einfachen, aus zwei Drähten aufgebautem Fe-Ko-Thermoelement erweitert. Dieses zweite Thermoelement dient, eingetaucht in Eiswasser, als Referenzelement. Mit Hilfe der im Labor ausliegenden Tabelle kann aus der Thermospannung die Temperatur berechnet werden. Als Anhaltspunkte seien hier die Werte für 30 C (1,593mV ) und für 100 C (5,362mV ) genannt. In der Tabelle wird auch der Fehler für diesen Typ Thermoelement mit T = ±1% angegeben. Für den hier eingesetzten Aufbau und der Art der Umsetzung der Norm-Tabelle für die Thermospannungen in der Mess-Software, wird der Fehler des Thermoelements mit T = ±2% angenommen. Die Thermospannung wird mit einem der beiden DMM von FLUKE aufgenommen und über die GPIB-Schnittstelle des Geräts an den Kontrollrechner gesandt Ofen Im Labor steht für die Temperierung der Probe ein Ofen zur Verfügung. Bei diesem handelt es sich um einen Ofen der Firma UNILAB GERMANY, Typ Thermoduct, Modell 10A20P. Der Ofen wird manuell gesteuert und erreicht, bedingt durch sein eingebautes Gebläse, auch bei fallender Temperatur schnell seine Zieltemperatur. In der Frontklappe des Ofens befindet sich eine Öffnung, durch die 5 Die Fehlerangabe Digit bei digitalen Messgeräten gibt die Ungenauigkeit des A/D-Wandlers an. Die Angabe 2Digit entspricht bei den eingesetzten Messgeräten mit 20 Bit Auflösung einem Fehler von 0,00019%. 17

21 die Halbleiterprobe samt Thermoelement in den Ofen eingeschoben werden kann. Ein Anschluss für eine externe Kühleinheit besteht, wird aber nicht genutzt Probenträger samt Ge-Probe Bei der Halbleiterprobe handelt es sich um ein Ge-Plättchen, das auf eine mit strukturierten Kupferleiterbahnen versehene Platine gelötet ist. Die Ge-Probe ist 10mmx5mmx1mm groß und an den Stirnseiten mit der Platine verlötet. Die Leiterbahnen führen von der Probe zu zwei Buchsen für 4mm Bananen-Stecker. Abbildung 13 zeigt den Probenhalter mit Probe. Abb. 13: Probenhalter mit aufgelötetem Ge-Plättchen Die Dotierart und die Dotierkonzentration der Probe sind nicht bekannt. Hergestellt wurde die Probe von der Firma UNILAB ENGLAND, vertrieben durch die Gesellschaft für Regelungstechnik und Simulationstechnik GmbH, Darmstadt. Die Typenbezeichnung lautet / Messrechner Zur Aufnahme der Messwerte wird ein Standard-PC eingesetzt. Als Betriebssystem kommt Windows NT 4.0 zum Einsatz. Die Steuersoftware für diesen Versuch ist unter Lab-Windows programmiert und steuert über die im Rechner eingebaute IEEE Schnittstelle die Messgeräte und liest diese aus. 18

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