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1 30 3 Thermodynamik Wird z. B. beim Lüften im Winter frische Außenluft von 5 C und einer relativen Luftfeuchtigkeit von 90 % in einen Raum gelassen und dort auf 0 C erwärmt, so verringert sich die relative Luftfeuchtigkeit auf knapp 5 %. Um diese auf angenehme 50 % zu steigern, muss in dem Raum Wasser verdunstet werden. Für das Aufheizen liest man im Diagramm Abb Δh = 5 J/g ab, für das Befeuchten sind weitere 3 J/g erforderlich, dabei werden der Luft Δx = 5,4 g Wasser je kg trockener Luft zugeführt (schwarze Pfeile in Abb. 3.86). Soll dagegen Außenluft mit Tropenklima von 7 C und ϕ = 80 % auf behagliche 0 C und ϕ = 50 % konditioniert werden, so muss die Außenluft zunächst auf 9 C abgekühlt werden, um den angestrebten Feuchtegrad zu erreichen. Wasserdampf kann aus feuchter Luft nämlich nur durch Kondensation entfernt werden, daher ist diese vergleichsweise starke Abkühlung erforderlich, bei der 53 J/g abgeführt werden müssen, und 0,7 g Wasser pro kg trockener Luft kondensieren. Für die anschließende Aufheizung auf 0 C sind der Luft dann wieder 0 J/g Enthalpie zuzuführen (graue Pfeile in Abb. 3.86). 3.0 Wärmetransport Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln die Auswirkungen des Austauschs von Wärme zwischen thermodynamischen Systemen behandelt, z. B. als Ausgleichsprozess, wenn die Systeme unterschiedliche Temperaturen aufweisen, oder als Energiequelle zum Antrieb thermodynamischer Maschinen. Die Übertragung von Wärme ist von großer technischer Bedeutung. Meistens werden die Grenzfälle eines möglichst verlustlosen Wärmetransports, z. B. als Fernwärme zur Beheizung von Gebäuden, oder aber seine vollständige Unterbindung durch Wärmedämmung angestrebt. Nun wollen wir auf die Mechanismen des Wärmetransportes näher eingehen. Die Temperatur warmer Gegenstände wird durch die ungeordnete Bewegung ihrer Atome bzw. Moleküle sowie deren Bestandteile bewirkt. Die Übertragung von Wärme zwischen Systemen unterschiedlicher Temperatur bedeutet, dass die ungeordnete Bewegung der Moleküle des einen Systems die Bewegung der Moleküle des anderen Systems beeinflusst. Man unterscheidet drei prinzipielle Möglichkeiten, wie Wärme transportiert werden kann: Wärmeleitung Die Systeme sind über eine gemeinsame Grenzfläche in Kontakt. Die Moleküle des wärmeren Systems regen durch Schwingungen (Festkörper) oder Stöße (Flüssigkeiten und Gase) die Moleküle des kälteren zu verstärkter thermischer Bewegung an. Bei elektrisch leitfähigen Stoffen kollidieren auch die frei beweglichen Elektronen der Systeme an der Grenzfläche. Die Temperatur des kälteren Systems steigt, die des wärmeren sinkt, die Wärme fließt vom warmen zum kalten System. Allerdings verbleiben die Moleküle in ihrem jeweiligen System. Wärmestrahlung Aufgrund der ungeordneten Bewegung werden die freien und die an den Atomen gebundenen Elektronen beschleunigt. Beschleunigte Ladungen emittieren aber aus Gründen, die wir später diskutieren werden, elektromagnetische Strahlung, die sich auch im Vakuum

2 3.0 Wärmetransport 3 ausbreiten kann. Der bedeutendste Energietransport zur Erde, die Sonnenstrahlung, ist Wärmestrahlung, die mit dem Auge sichtbar ist. Die meisten anderen Körper auf der Erde emittieren Wärmestrahlung im Infraroten. Wärmestrahlung ist der einzige Transportmechanismus, der nicht an das Vorhandensein von Materie gebunden ist. Konvektion oder Wärmeströmung Im Gegensatz zu den beiden anderen Wärmetransportmechanismen wird hier der Wärmestrom von einem Materiestrom begleitet: Dieser Materiestrom kann durch externe Kräfte bewirkt werden, dann spricht man von erzwungener Konvektion. Erfolgt die makroskopische Bewegung durch Auftriebskräfte im Schwerefeld der Erde, die von thermisch bedingten Dichteunterschieden herrühren, so nennt man das freie Konvektion. Konvektiver Wärmetransport erfolgt bevorzugt in Flüssigkeiten und Gasen, wo sich die Moleküle (mehr oder weniger) frei bewegen können. Im Allgemeinen treten alle Mechanismen beim Wärmetransport zusammen auf, können aber in ihren Beiträgen zum Wärmestrom sehr unterschiedlich sein. Q = Q + Q + Q (3.88) Leitung Konvektion Strahlung 3.0. Wärmeleitung Treibende Kraft für einen Wärmestrom zwischen zwei Objekten ist ihre Temperaturdifferenz, zumindest näherungsweise kann man sagen, dass Q ΔT. Dieser Vorgang ist irreversibel, die Gesamtentropie der beiden Objekte wird erhöht. Da die Exergie nicht für nützliche Arbeit verwendet wird, sagt man auch, sie wird zerstreut oder dissipiert. Wir haben schon andere dissipative Vorgänge kennen gelernt: die Bewegung eines Objektes unter dem Einfluss von Reibung und Strömung einer viskosen Flüssigkeit durch ein Rohr. Wir werden später sehen, dass auch das Fließen eines elektrischen Stromes durch einen Widerstand dissipativ ist. Der Energiestrom kann immer dargestellt werden als Energiestrom = treibende Kraft Strom, (3.89) man sagt auch, treibende Kraft und das, was strömt, sind energetisch konjugiert (miteinander verbunden). Den Zusammenhang zwischen treibender Kraft und Strom formuliert man gern als oder dabei gilt Strom = Leitwert treibende Kraft (3.90) treibende Kraft = Widerstand Strom, (3.9) Widerstand =. (3.9) Leitwert

3 3 3 Thermodynamik Folgende Tabelle stellt die wesentlichen Zusammenhänge dissipativer Prozesse zusammen. Tab. 3.0 Dissipative Prozesse in Mechanik und Elektrodynamik. Prozess treibende Kraft Strom Energiestrom Zusammenhang treibende Kraft - Strom Bewegung mit innerer Reibung Strömung einer viskosen Flüssigkeit elektrischer Strom durch Leiter Geschwindigkeitsdifferenz Objekt - Umgebung Druckdifferenz zwischen Rohranfang und Rohrende Spannung oder Potentialdifferenz U = Δϕ Impulsstrom p = F R Volumenstrom V Ladungsstrom q = I FR Δ vp = ΔvF R ΔPV V = G ΔP Rohr Leitwert G = bδ v (.66) G = b I = G Δ ϕ oder Δ ϕi el U = RI ARohr G Rohr lrohr (.396), (.406) G el A l Leiter Leiter Wie bei dem elektrischen Strom und der Rohrströmung definieren wir für einen Wärmeleiter einen thermischen Leitwert Q = G T, th Δ [ Q ] [ G th ] = = [ T ] W K. (3.93) Dabei setzen wir voraus, dass Wärme nur zwischen den beiden Objekten, die thermisch über den Wärmeleiter verbunden sind, transportiert wird, so wie sich die Ladungsträger beim elektrischen Strom nur durch die (elektrischen) Leiter bewegen können. Interpretiert man die strömende Wärme als fließendes Medium, so können wir den thermischen Leitwert eines Wärmeleiters mit konstanter Querschnittsfläche in ähnlicher Weise wie bei der Rohrströmung oder bei der elektrischen Leitung ansetzen: G th A = λ, l [ ] W [ λ] = Q = [ T ] m K (3.94) Die Größe λ nennt man auch Wärmeleitfähigkeit des Wärmeleiters. Sie ist eine Werkstoffeigenschaft, allerdings ist sie in der Regel nicht konstant, sondern von der Temperatur und bei Gasen vom Druck abhängig. Abb Analogie zwischen elektrischer Leitung und Wärmeleitung. Die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Systemen entspricht der elektrischen Spannung der Batterie.

4 3.0 Wärmetransport 33 Tab. 3. Wärmeleitfähigkeit in W m K von Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern bei 0 C und 03 hpa. Gase Flüssigkeiten Nichtmetalle Metalle Kohlendioxid 0,05 Benzol 0,7 Styropor 0,04 Stahl 50 Argon 0,06 Wasser 0,6 Glaswolle 0,04 Eisen 67 Luft 0,06 Wärmeträgeröl 0,34 Schnee 0, Grauguss 55 Wasserdampf 0,03 Quecksilber 8,5 Kork 0,03 0,06 Messing 0 Helium 0,44 Holz 0, 0, Aluminium 0 Ziegelmauer 0,35 0,9 Kupfer 384 Glas 0,7 Silber 4 Beton 0,8,3 Eis, Diamant 000 Gase sind sehr schlechte Wärmeleiter, die geringe Wärmeleitfähigkeit vieler Nichtmetalle beruht darauf, dass in ihnen viel Luft eingeschlossen ist, welche die Leitfähigkeit stark verkleinert. Dies kann man sehr gut erkennen, wenn man die Wärmeleitfähigkeiten von Glaswolle und Glas miteinander vergleicht. Glas hat gegenüber Glaswolle eine fast 0-mal größere Wärmeleitfähigkeit. Diese Stoffe werden häufig zur Wärmedämmung verwendet. Metalle leiten Wärme sehr viel besser als Nichtmetalle, dies geht einher mit einer guten elektrischen Leitfähigkeit. Für beide Eigenschaften sind die frei im Metall beweglichen Elektronen verantwortlich. Dem Wiedemann-Franzschen Gesetz zufolge ist die thermische Leitfähigkeit λ bei nicht allzu tiefen Temperaturen proportional zur elektrischen Leitfähigkeit κ, λ = LT κ, (3.95) dabei ist L die Lorenzsche Zahl, sie beträgt,4 0-8 V²/K². Auffällig ist die hohe Wärmeleitfähigkeit von Diamant. Diamanten sind nahezu perfekte Einkristalle, die auch für die Wärmeleitfähigkeit verantwortlichen kollektiven Schwingungen der Atome im Kristall werden kaum in ihrer Ausbreitung durch Kristallfehler beeinträchtigt. Je unregelmäßiger die Kristallstruktur ist, umso geringer ist auch die Wärmeleitfähigkeit. Daher sind Legierungen, Gemische aus verschiedenen Metallen, auch schlechtere Wärmeleiter als ihre reinen Komponenten. Für die folgenden Betrachtungen setzen wir voraus, dass die Wärmeleitfähigkeit in den maßgeblichen Temperaturintervallen als konstant angesehen werden kann. Wärmeleitung durch eindimensionale Leiter Bei dem Ansatz (3.93),(3.94) nehmen wir an, dass die Querschnittsfläche A des Wärmeleiters konstant ist. Damit sind auch die Kontaktflächen zu der Wärmequelle, dem System mit der höheren Temperatur und der Wärmesenke mit der kleineren Temperatur gleich groß. Weiterhin nehmen wir an, dass die Kontaktflächen zur Wärmequelle und -senke parallel sind. Mit A Q = λ ΔT l (3.96) G. H. Wiedemann (86 899), R. Franz (87 90).

5 34 3 Thermodynamik können wir die Wärmeleitung von ebenen Körpern, z. B. Wänden beschreiben. Die Größe k : = λ l W [ k ] = (3.97) m K nennt man auch den U-Wert, früher den k-wert der Wand. Er stellt den flächenbezogenen thermischen Leitwert der Wand dar und spielt z. B. bei der Wärmebedarfsberechnung von Gebäuden, bei der Auslegung von Kühlkörpern usw. eine große Rolle. Sind die beiden Systeme, zwischen denen die Wärme über den Wärmeleiter fließt, Wärmereservoirs, d. h. ihre Wärmekapazität ist so groß, dass ein Wärmefluss ihre Temperatur nicht ändert, so bleiben Wärmestrom Q und Temperaturdifferenz zwischen den beiden Systemen konstant. Man spricht dann von einem stationären Wärmestrom. Etwas genauer betrachtet beschreibt (3.96) den Wärmestrom vom System zum System Q = Ak Leiter T ). (3.98) ( T Ist System die Wärmequelle, so ist der Wärmestrom positiv, er fließt vom System zum System. Im anderen Fall ist er negativ, die Wärme fließt vom System zum System. Wärmeleitung durch mehrere eindimensionale Leiter Die Analogie zwischen Wärmeleitung und elektrischer Leitung können wir auch auf die Wärmeleitung durch eine Kombination von Wärmeleitern ausdehnen. Dabei nehmen wir wiederum an, dass diese ebene, parallele und gleich große Grenzflächen zur Wärmequelle und -senke haben. Sind Wärmequelle und -senke durch mehrere Wärmeleiter miteinander verbunden, so fließt durch jeden ein Wärmestrom gemäß (3.93) bzw. (3.96). Der gesamte Wärmestrom ist die Summe aller Wärmeströme durch die parallel geschalteten Leiter. Die Temperaturdifferenz an den Enden der Leiter, die in Kontakt zur Wärmequelle bzw. -senke stehen, ist konstant. Q λ λ = Q + Q = ( Gth, + Gth, ) ΔT = ( A + A ) ΔT (3.99) l l Abb Parallelschaltung von Wärmeleitern und das elektrische Analogon. Sind dagegen mehrere Wärmeleiter hintereinander geschaltet, so fließt der gleiche Wärmestrom durch alle Leiter, da auf dem Weg von der Wärmequelle zur -senke weder Wärme erzeugt oder vernichtet noch zu- oder abgeführt wird. Zur Herleitung der Zusammenhänge teilen wir den Leiter in zwei Stücke der Längen l und l. Dies entspricht zwei hintereinander

6 3.0 Wärmetransport 35 geschalteten Leitern mit gleichen Querschnittsflächen und gleichem Material. Für diesen aufgeteilten Wärmeleiter gilt (3.96): Q λ = GthΔT = A ΔT = ΔT = ΔT (3.300) l + l l l + λ A A λ A λ l + l Unter Berücksichtigung von (3.9) erhalten wir: Q = ΔT = ΔT = ΔT Rth Rth + R R th = Rth, + Rth, (3.30) +, th, G G th, th, (3.30) gilt allgemein: bei der Hintereinanderschaltung (Serienschaltung) von Wärmeleitern addieren sich ihre thermischen Widerstände zum gesamten thermischen Widerstand der Kette. Sind die Querschnittsflächen der Wärmeleiter gleich, was bei ebenen Wänden in der Regel der Fall ist, die Werkstoffe jedoch unterschiedlich, so lautet (3.300) Q = ΔT = A ΔT = +... (3.30) l l k k k A λ A λ k k Für die elektrische Leitung gilt (3.30) ebenfalls. Abb Serienschaltung von Wärmeleitern und das elektrische Analogon. Beziehen wir den Wärmestrom auf die Querschnittsfläche des Wärmeleiters, so erhalten wir die Wärmestromdichte j Q Q : =. (3.303) A Sie ist auf der gesamten Querschnittsfläche des ebenen Wärmeleiters konstant. Damit lauten (3.96) und (3.30) j Q = kδt und j Q = ΔT +... k k (3.304)

7 36 3 Thermodynamik Die an den Grenzen zwischen zwei Wärmeleitern herrschenden Temperaturen können bei bekanntem Wärmestrom bzw. bekannter Wärmestromdichte schrittweise berechnet werden. Ausgehend von der Wärmequelle (Temperatur T > ) stellt das andere Ende des ersten Leiters die Wärmesenke dar. Die Temperatur T dieser Grenze können wir mit (3.93) bzw. (3.96) und (3.95) berechnen: Q ( ) Q l = Gth, T> T T T T Q = > = > G Aλ j Q th, jq l = k( T> T ) T = T> = T> jq (3.305) k λ Das Ende des ersten Wärmeleiters stellt die Wärmequelle des zweiten dar. Dessen Ende ist dann die Wärmesenke. Die Temperaturen der weiteren Grenzflächen ergeben sich damit zu j Q = k ( T ) 3 T T 3 jq jq jq = T = T> usw. (3.306) k k k Den Verlauf der Temperatur im Wärmeleiter in Abhängigkeit vom Abstand x zur Wärmequelle erhalten wir, wenn wir ihn in viele kurze, hintereinander geschaltete Stücke der Länge dx aufteilen. Die Temperatur im Abstand dx von der Wärmequelle beträgt mit (3.305) dx T ( dx) = T > j Q, (3.307) λ und im Abstand x unter Berücksichtigung von (3.306) x dx jq T ( x) = T> jq = T> x, (3.308) λ λ 0 wobei wir beachtet haben, dass die Wärmstromdichte konstant ist. Diese beträgt mit (3.304) und (3.97) λ j Q = ( T> T< ), (3.309) l dabei ist T < die Temperatur der Wärmesenke. Setzen wir (3.309) in (3.308) ein, so lautet die Temperatur T> T< T ( x) = T> x, (3.30) l d. h. die Temperatur nimmt linear mit wachsendem Abstand x von der Wärmequelle ab, im Abstand l, der Länge des Wärmeleiters beträgt sie T <. Im elektrischen Fall spricht man von einem Spannungsteiler. Sind z. B. drei Wärmeleiter hintereinander geschaltet, wobei die Wärmeleitfähigkeit des mit der Wärmequelle in Kontakt stehenden am kleinsten, die des mit

8 3.0 Wärmetransport 37 Abb Temperaturverlauf in einer aus drei Schichten bestehenden Wand. λ < λ < λ 3. Die Steigungen der Geraden sind umgekehrt proportional zu den Wärmeleitfähigkeiten. der Wärmesenke in Kontakt stehenden am größten sein soll, so erhalten wir den in Abb gezeigten Temperaturverlauf in den drei Leitern. Nicht stationärer Wärmestrom durch ebenen Wärmeleiter Stationärer Wärmestrom, d. h. der Wärmestrom ist zeitlich konstant, bedeutet, dass die Temperaturen von Wärmequelle und -senke sich aufgrund des Wärmetransportes nicht ändern, ihre Wärmekapazitäten sind unendlich groß, sie sind Wärmereservoirs. Weiterhin nehmen wir für folgende Betrachtungen an, dass der Wärmeleiter selbst keine relevante Wärmekapazität aufweist. Ist jedoch die Wärmekapazität der Wärmequelle endlich, so bewirkt der Wärmetransport ihre Abkühlung in Anlehnung an (3.83) d > T Q = CQuelle, (3.3) dt die Wärmesenke soll aber nach wie vor ein Wärmereservoir sein. Der Wärmestrom wiederum ist nach (3.98) proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Wärmequelle und Wärmesenke. Kombinieren wir (3.98) mit (3.3), so erhalten wir eine Differentialgleichung für T >, die den zeitlichen Verlauf der Temperatur der Wärmequelle beschreibt. dt> CQuelle = Ak Leiter ( T> T< ) (3.3) dt Diese Differentialgleichung können wir durch Trennung der Variablen T > und t und getrenntes Integrieren lösen, d. h. die Funktion T > (t) berechnen. dt> T T > < T Ak = C Leiter d Quelle t T> ( t) T< Ak ln( ) = T (0) T C Ak C > t < Leiter Quelle Leiter Quelle th Quelle > ( t) T< = ( T> (0) T< ) e oder T t T T T e R C > ) < = ( > (0) < ) t (. (3.33) t

9 38 3 Thermodynamik Der Verlauf T > (t) T < heißt auch Abkühlkurve und der exponentielle Zusammenhang Newtonsches Abkühlungsgesetz mit der Zeitkonstanten R th C Quelle. Erst nach sehr großen Zeiten ist die Wärmequelle auf die Temperatur der Wärmesenke abgekühlt. Ist dagegen die Wärmequelle ein Reservoir, so bewirkt der Wärmestrom eine Erwärmung der Wärmesenke (Wärmekapazität C Senke ). d < T Q = CSenke (3.34) dt Der Wärmestrom ist aber T > T <, damit lautet die Differentialgleichung, die den zeitlichen Verlauf der Temperatur der Wärmesenke beschreibt, dt< CSenke = Ak Leiter ( T> T< ). (3.35) dt Wenn wir (3.35) durch Trennen der Variablen T < und t und getrenntes Integrieren lösen, so erhalten wir die Funktion T < (t). dt< T T < > Ak = C Leiter d Senke t T< ( t) T ln( T (0) T Ak < Leiter t > > Ak ) = C CSenke T ( t) T = ( T (0) T ) e T ( t) T (0) = T T (0) + ( T (0) T ) e < > < > Ak Leiter Leiter Senke t < < > < < t CSenke T ( t) T (0) = ( T T (0))( e ) (3.36) < < > < > Ak C Leiter Senke t Abb. 3.9 Abkühlen (a) einer Wärmequelle und Aufheizen (b) einer Wärmesenke durch ein Wärmereservoir.

10 3.0 Wärmetransport 39 Nichtebene Wärmeleiter Sind die Kontaktflächen zwischen Wärmequelle bzw. -senke und Wärmeleiter Isothermen, d. h. ist dort die Temperatur örtlich konstant, so ist bei Wärmeleitern mit ebener Geometrie die Wärmestromdichte (3.303) der von der Quelle in den Leiter eindringenden Wärme gleich der Wärmestromdichte der aus dem Leiter in die Wärmesenke fließenden Wärme. Ordnet man der Wärmestromdichte so wie im Kapitel.7.3 der Massenstromdichte einen Vektor zu, dessen Richtung die Richtung des Wärmestroms und dessen Betrag seine Größe beschreibt, so ist diese in einem ebenen Leiter überall konstant und senkrecht zu den Flächen gleicher Temperatur (Isothermen) (3.308) gerichtet. Sind dagegen die Flächen von Eintritts- und Austrittsfläche unterschiedlich groß und nicht mehr eben, so ändert sich die Wärmestromdichte sowohl im Betrag als auch in der Richtung. Sie verläuft immer in Richtung des größten Temperaturgefälles und damit senkrecht zu den Flächen gleicher Temperatur. Diese Sachverhalte beschreibt der Ansatz von Fourier für die Wärmeleitung: Der lokale Stromdichtevektor ist proportional zum Gradienten der Temperatur, dem steilsten Temperaturanstieg an dieser Stelle. ( x, y, z ) = λ grad T ( x, y, z ) (3.37) j Q Das Minuszeichen berücksichtigt, dass der Wärmestrom immer in Richtung des größten Temperaturgefälles (negativer größter Anstieg) gerichtet ist. Der Gradient ist ein Vektor, dessen Komponenten die Steigungen (partiellen Ableitungen) der Funktion in x-, y- und z- Richtung sind. Partiell nennt man eine Ableitung einer Funktion, die von mehreren Variablen, z. B. den Ortskoordinaten x, y und z abhängt, wenn die Ableitung nach einer dieser Variablen erfolgt, wobei die anderen als konstant angesehen werden. T ( x, y, z) T ( x, y, z) T ( x, y, z) grad T ( x, y, z) : =,, (3.38) x y z Abb. 3.9 Wärmestromdichten und Isothermen einer ebenen Wand und einer Kante. J. B. J. Fourier ( ). Die übliche Schreibweise ist grad T(x, y, z), an dieser Stelle soll der Pfeil den Vektorcharakter verdeutlichen.

11 330 3 Thermodynamik Kontinuitätsgleichung Wird eine Wärmequelle von einer (gedachten) geschlossenen Hüllfläche umgeben, so fließt der gesamte Wärmestrom zur Wärmesenke durch diese Fläche. Die Größe und Form spielt dabei keine Rolle. Abb Wärmestrom durch eine geschlossene Hülle um die Wärmequelle. Der Wärmestrom durch die Hülle ist unabhängig von der Größe und Form der Hülle. Ist die Wärmestromdichte auf der Hüllfläche nicht konstant und auch nicht in Richtung der Flächennormalen gerichtet, so beträgt in Anlehnung an (.375) unter Beachtung von (3.37) der Wärmestrom durch die Hülle (negativ gezählt, da er die Hülle verlässt) Q & r r = j Q d a Q& = λgrad T ( x, y, z) d a r. (3.39) Hülle Hülle Sind die Formen der Wärmequelle und -senke sowie ihre Temperaturen vorgegeben, so besteht r häufig die Aufgabe darin, aus (3.39) den örtlichen Verlauf von T(x, y, z) und j Q ( x, y, z) im Wärmeleiter zu bestimmen. Weisen Wärmequelle und r -senke bestimmte Symmetrien auf, so können wir davon ausgehen, dass T(x, y, z) und j Q ( x, y, z) im Wärmeleiter ebenfalls diese Symmetrien haben. Dann wählen wir die Hüllfläche so, dass entweder r j Q ( x, y, z) senkrecht zur Hüllfläche gerichtet ist, diese also eine Fläche konstanter Temperatur r darstellt, so dass der Betrag der Wärmestromdichte r dort konstant ist, oder r ( x, y, z) auf der Hüllfläche verläuft, also d a = 0 ist. j Q Als Beispiel wollen wir Isothermen und Wärmestromdichte einer zylindersymmetrischen Anordnung, wie wir sie bei der Wärmeleitung durch eine zylindrische Kesselwand vorliegen haben, bestimmen. Temperaturverlauf und Wärmestromdichte eines zylindersymmetrischen Wärmeleiters In diesem Fall haben Wärmequelle und -senke die Gestalt von langen, konzentrischen Zylindern (Radien r i und r a ), zwischen dienen sich der Wärmeleiter befindet. In einer gewissen Entfernung von den Stirnflächen der Zylinder fließt der Wärmestrom radial von der Wärmequelle zur Wärmesenke. j Q

12 3.0 Wärmetransport 33 Abb Wärmeleitung im zylindersymmetrischen Wärmeleiter: Wärmequelle und -senke sind lange, konzentrische Zylinder. Der Wärmestrom fließt radial von der innen liegenden Wärmequelle zur Wärmequelle. Als Hüllfläche zur Berechnung des Temperaturverlaufes und der Wärmestromdichte nach (3.39) wählen wir zur Wärmequelle bzw. -senke konzentrische Zylinder. Der Betrag der Wärmestromdichte ist konstant auf der Mantelfläche, die auch Isotherme ist, und null auf den Deckflächen des Zylinders. Der Wärmestrom durch ein Zylinderstück mit dem Radius r und der Länge L, die klein gegen die Länge der gesamten Anordnung sein soll, beträgt dann r Q& = j da r = j ( r) A = j ( r) πrl Q Zylinder Q Mantel Q j Q Q& ( r) =. (3.30) πrl Der Betrag der Wärmestromdichte fällt mit /r ab. Mit der Wärmestromdichte ist auch der Gradient der Temperatur radial gerichtet: uuuur d Tr ( ) v grad T( x, y, z) = er, (3.3) dr Setzten wir (3.37) in (3.3) ein, so können wir den Wärmestrom Q & durch die Temperaturen T(r i ) := T i und T(r a ) := T a an dem inneren und dem äußeren Zylindermantel des Wärmeleiters ausdrücken: j Q Q& dt ( r) ( r) = = λ πrl dr (3.3) Trennen wir in dieser Differentialgleichung die Variablen T und r und integrieren beide Seiten, so erhalten wir ra Ta Q& dr = πλ dt ( r) L r ri Q& L i a Ti πλ = ( Ti T ra ln( ) r i a Q& ra ln( L r i ) = πλ( T a T ) i ). (3.33)

13 33 3 Thermodynamik Da wir die Länge L der zylindrischen Hüllfläche nicht explizit festgelegt haben, ist es sinnvoll, den Wärmestrom auf L zu beziehen. Durch die Wahl der Integrationsrichtung von innen nach außen haben wir auch den Wärmestrom radial von innen nach außen berechnet. Er ist positiv, wenn innen die Wärmequelle und außen die Wärmesenke ist, im anderen Fall ist er negativ. Vergleichen wir (3.33) mit (3.94), so erhalten wir den längenbezogenen thermischen Leitwert G th /L des zylindersymmetrischen Wärmeleiters G th L πλ =. (3.34) ra ln( ) r i Setzen wir (3.33) in (3.30) ein, so können wir den radialen Verlauf des Betrages der Wärmestromdichte in Abhängigkeit der Randwerte r i, T i und r a, T a, den Temperaturen an den Grenzen des Wärmeleiters, ausdrücken. Ti Ta jq ( r) = (3.35) ra r ln( ) r i Den Verlauf T(r) können wir aus (3.33) berechnen, wenn wir die Integration von r i bis r durchführen. Setzen wir den Wärmestrom von (3.33) ein, so lautet Qi a Q r T ( r) i a dr' = πλ dt '( r' ) L r' Q i a r ln( ) = πλ( T ( r) T ) i L r ri Ti Ti Ta r T ( r) = Ti ln( ). (3.36) ra ri ln( ) r i Sind zwischen Wärmequelle und -senke mehrere Wärmeleiter in konzentrischen Schichten angeordnet, d. h. in Serie geschaltet, so können wir den gesamten thermischen Widerstand R th nach (3.30) berechnen, wobei sich die Widerstände der einzelnen Schichten (jeweilige äußere Radien r, r r n ) als Kehrwerte aus (3.34) ergeben. i R th = G th, + G th, G th, n r ln( ) ri = πlλ r ln( ) r + πlλ ra ln( ) rn πlλ n. (3.37) Um die Variablen, über welche integriert wird, von den variablen Integrationsgrenzen unterscheiden zu können, werden Erstere mit einem gekennzeichnet.

14 3.0 Wärmetransport 333 Der gesamte längenbezogene Wärmestrom beträgt dann Q = L ( Ti T R L th a ) = π( Ti Ta ) r r ra ln( ) + ln( ) ln( ) λ r λ r λ r i n n (3.38) und die Temperaturen an den Grenzflächen der einzelnen Wärmeleiter ergeben sich gemäß (3.305) zu T = T Q = T G ( T th i i i a Gth, Gth, Gth T ), T3 = T ( Ti Ta ) (3.39) G Allgemeine Wärmeleitungsgleichung für ebene Leiter Bei den oben behandelten Problemen weist der Wärmeleiter selbst keine Wärmekapazität auf. Muss diese allerdings berücksichtigt werden, so stellt jeder Abschnitt des Wärmeleiters eine Wärmequelle dar. Lokale Temperaturen und Wärmestromdichten werden in diesem Fall durch die allgemeine Wärmeleitungsgleichung beschrieben, die wir hier für ebene Leiter herleiten wollen. Dazu betrachten wir ein Stück eines ebenen Wärmeleiters, in dem Wärme nur in Längsrichtung strömen kann, an der Stelle x mit der Länge dx. th, Abb Eindimensionaler Wärmeleiter, in dem die Wärme nur in x-richtung strömt, bei dem die Wärmekapazität des leitenden Materials zu berücksichtigen ist. Aufgrund der Wärmeströme durch die linke und die rechte Begrenzungsfläche ändert sich die innere Energie des betrachteten Abschnittes. Mit (3.87) beträgt diese, wenn wir annehmen, dass links die höhere und rechts die niedrigere Temperatur herrscht, du dt dt = CV = A( jq ( x) jq ( x + dx)). (3.330) dt Da sich die Wärmeströme nur wenig unterscheiden, können wir j Q (x+dx) durch j Q (x) und die Änderung des Wärmestroms in x, djq ( x) jq ( x + dx) = jq ( x) + ( ) dx, (3.33) dx

15 334 3 Thermodynamik ausdrücken. Damit erhalten wir mit (3.8) C V dt dt dt djq ( x) = cs, VρAdx = A( ) dx (3.33) dt dx und mit (3.37) c s, V ρ dt d T = λ dt dx dt λ d T d T = = a. (3.333) dt c ρ dx x s, V d Dies ist die allgemeine Wärmeleitungsgleichung, eine partielle Differentialgleichung, da die gesuchte Funktion T(x,t) von zwei Variablen abhängt. Die Konstanten Wärmeleitfähigkeit λ, spezifische Wärmekapazität c s und Dichte ρ des Wärmeleiters sind dabei zur Temperaturleitfähigkeit a, [a] = m²/s, zusammengefasst worden. Um die gesuchte Funktion T(x,t) eindeutig bestimmen zu können, müssen zu einem bestimmten Zeitpunkt die Temperaturen an den Begrenzungen des Wärmeleiters bekannt sein. Da die Mathematik zur Lösung derartiger Gleichungen recht schwierig ist, werden wir nicht weiter auf derartige Probleme wie z. B. das Aufheizen oder Abkühlen von Maschinenteilen oder Gebäuden eingehen. Diffusion Bestehen in einem abgeschlossenen System für gleiche reine Stoffe Dichte- oder Konzentrationsunterschiede zwischen Teilsystemen, so werden diese Unterschiede ausgeglichen. Beispiele dafür sind der Gay-Lussacsche Überströmversuch sowie die Durchmischung von Gasen. Diese Ausgleichsprozesse, die durch die ungeordnete Bewegung der Moleküle bewirkt wird, nennt man Diffusion. Sie findet nicht nur bei Gasen statt, sondern auch bei Flüssigkeiten und Festkörpern. Ist bei der Wärmeleitfähigkeit die treibende Kraft ein Temperaturgefälle im Wärmeleiter, so ist es bei der Diffusion ein Dichte- oder Konzentrationsgefälle. Der Wärmestromdichte in (3.37) entspricht eine Massenstromdichte, die proportional zum Dichtegradienten ist. ( x, y, z) = D gradρ( x, y, z), (3.334) j m D ist dabei der so genannte Diffusionskoeffizient und wird in m²/s angegeben. Er ist abhängig von dem diffundierenden Stoff und dem Medium, durch das dieser diffundiert. Für einen stationären Strom mit zeitlich konstantem Dichtegradienten gelten die gleichen Zusammenhänge wie bei der stationären Wärmeleitung, dabei entsprechen die Temperaturen der Dichte und die Wärmeleitfähigkeit dem Diffusionskoeffizienten. Instationäre Vorgänge werden durch eine zu (3.333) analoge Gleichung beschrieben. Diffusion spielt bei vielen Vorgängen in der Technik eine große Rolle, so z. B. bei der Herstellung von Halbleiterbauelementen, bei der Korrosion und der Isotopentrennung in der Nukleartechnik. dt grad T ( x) =. dx

16 3.0 Wärmetransport Konvektion Bei diesem Mechanismus des Wärmetransportes geht ein Transport von Materie einher. Dieser Transport kann, wie schon erwähnt, durch äußere Kräfte auf die Materie, über die Wärme transportiert wird, bewirkt werden, dann spricht man von erzwungener Konvektion. Beispiele hierfür sind der elektrische Fön zum Haartrocknen oder die Warmwasser- Zentralheizung. In beiden Fällen wird ein Wärmeträger, Luft oder Wasser, aufgeheizt und durch einen Ventilator oder eine Pumpe in Bewegung gesetzt. Unter der Annahme stationärer Ströme ist mit (3.8) der Wärmestrom proportional zum Massenstrom Q = mc sδt, (3.335) wobei ΔT die Temperaturdifferenz zwischen Wärmequelle und Wärmesenke ist. Man sieht, dass Wasser aufgrund seiner hohen spezifischen Wärmekapazität von 4,9 J/gK ein wesentlich geeigneter Wärmeträger ist als Luft mit etwa J/gK, bei der für den gleichen Wärmestrom ein vierfacher Massenstrom erforderlich ist. Vergleicht man die Volumenströme, so erfordert Luft unter Normalbedingungen einen über 3500-mal größeren Volumenstrom als Wasser. Von freier Konvektion spricht man, wenn die Bewegung der Materie durch Auftriebskräfte im Schwerefeld der Erde, die von Dichteunterschieden aufgrund unterschiedlicher Temperaturen herrühren, bewirkt wird. So werden Wind- und Meeresströmungen durch Konvektion verursacht, die in der unterschiedlichen Erwärmung verschiedener Regionen der Erde durch die Sonne begründet ist. In beheizten Räumen wir ebenfalls ständig Luft konvektiv umgewälzt, am Heizkörper steigt die erwärmte Luft nach oben, um z. B. am kalten Fenster oder einer kalten Wand wieder nach unten zu sinken. Häufig besteht in der Wärmetechnik das Problem, Wärme von einem strömenden Fluid, also einer Flüssigkeit oder einem Gas auf einen festen Körper zu übertragen. So soll ein Heizkörper Wärme von dem ihn durchströmenden Wasser aufnehmen. Diese Wärme soll wiederum an die Umgebungsluft des Raumes abgegeben werden. Da Luft ein schlechter Wärmeleiter ist, stellt die Konvektion bei der Wärmeabgabe den dominanten Transportmechanismus dar. Die quantitative Berechnung des Wärmestroms aus den Gesetzen der Strömungsmechanik ist schwierig, da die Art der Strömung (laminar oder turbulent) und die Geschwindigkeitsverteilung von vielen Parametern abhängig ist wie z. B. Dichte, Viskosität (Zähigkeit), Orientierung der Oberfläche des angeströmten Körpers, Oberflächenbeschaffenheit usw. Damit Wärme fließen kann, muss ein Temperaturunterschied zwischen Fluid und dem Körper bestehen. Typischerweise bildet zwischen dem Inneren des Fluides und dem Körper ein Temperaturprofil aus, auch bei einer ebenen Wand ist dessen Verlauf mit dem Abstand zur Wand nicht linear. In der unmittelbaren Umgebung der Wand ruht das Fluid näherungsweise, in dieser Grenzschicht dominiert die Wärmeleitung im Fluid, der Verlauf der Temperatur ist proportional zum Wandabstand. Mit größer werdendem Abstand wird das Temperaturprofil flacher und nähert sich der Temperatur im Innern des Fluids, die als konstant angenommen wird. In Anlehnung an die Wärmeleitung wird auch für den konvektiven Wärmetransport ein thermischer

17 336 3 Thermodynamik Abb Temperaturverlauf im Fluid einer angeströmten ebenen Wand. Das Fluid ist wärmer als die Wand. Leitwert definiert, der den Zusammenhang zwischen Wärmestrom und Wand- bzw. Fluidtemperatur herstellt. Q = G ( T T ) bzw. j = α T T ) (3.336) th, K F W Q K ( F W Den Proportionalitätsfaktor α K bezeichnet man auch als Wärmeübergangskoeffizient, er wird in W/m²K angegeben. Er ist von vielen Einflussgrößen abhängig wie Viskosität des Fluids Wärmeleitfähigkeit des Fluids Strömungsgeschwindigkeit Strömungsform Wandgeometrie und Wandoberfläche Temperatur. Meistens wird für bestimmte Probleme α K anhand von Modellversuchen experimentell ermittelt und dann über Ähnlichkeitsbeziehungen auf den praktischen Anwendungsfall hochgerechnet. In Tabelle 3. sind einige Wärmeübergangskoeffizienten für die Fluide Luft und Wasser angegeben. Will man besonders effektiv den Wärmetransport unterbinden, so bieten sich Gase als Isolatoren an. Allerdings muss man verhindern, dass in dem Gas Konvektion auftreten kann. Dafür wird der Gasraum in viele kleine Zellen unterteilt, so dass sich keine Wärmeströmung ausbilden kann. Beispiele sind Schaumstoffe, Federn (Daunen), Wolle usw.

18 3.0 Wärmetransport 337 Tab. 3. Wärmeübergangskoeffizienten für Luft und Wasser für typische Anwendungsfälle. Luft α K in W/m²K Wasser α K in W/m²K Gebäude, Anlagen Innenseite Wand 8, um Rohre, ruhend Außenseite Wand 3 um Rohre, strömend (vw/ms-)0,5 Außenseite Wand bei Sturm bis zu 6 in Kesseln Innenseite Fenster 8, in Kesseln mit Rührwerk Außenseite Fenster strömend, in Rohren Fußböden und Decken (oben unten) 8, siedend in Rohren dto. unten oben 5,8 siedend an Metallfläche Senkrecht zur Metallwand ruhend 3,5 35 kondensierender Wasserdampf 600 mäßig bewegt 3 70 kräftig bewegt Längs ebener Wände polierte Oberfläche vl 5 m/s 5,6 + 4 v/ms- vl > 5 m/s 7, (vw/ms-)0,78 Mauerwerk vl 5 m/s 6, + 4, v/ms- vl > 5 m/s 7,5 (vw/ms-)0,78 Wärmedurchgang Häufig wird Wärme von einem Fluid über einen festen Körper in ein anderes Fluid transportiert. Ein Beispiel ist der zuvor erwähnte Heizkörper, bei dem die Wärme vom Wärmeträger Wasser über die Heizkörperwand in die Raumluft transportiert wird. Andere Beispiele sind Wände und Fenster von Gebäuden, die innen und außen von Luft umgeben sind

19 338 3 Thermodynamik oder Wärmetauscher in Kernkraftwerken, die den radioaktiv belasteten primären Kühlkreislauf von dem unbelasteten sekundären Kreislauf trennen. Bei solch einer Kombination von konvektiven Wärmeübergängen in Fluiden und Wärmeleitung in Festkörpern spricht man von einem Wärmedurchgang. Ein Wärmedurchgang besteht also aus mindestens zwei Wärmeübergängen und einem Wärmeleiter, die in Serie geschaltet sind. Damit addieren sich die thermischen Widerstände von Wärmeübergang und Wärmeleitung zum gesamten thermischen Widerstand des Wärmedurchgangs. R = R + R + R oder th th, Ü th, L th, Ü G th = + + (3.337) G G G th, Ü th, L th, Ü Für ebene Geometrien (Wände) können wir die flächenbezogenen thermischen Leitwerte (3.97) für die Wärmeleitung durch die Wand und α K für die Wärmeübergänge Fluid-Wand einsetzen und erhalten den Wärmedurchgangskoeffizienten k ges : k ges. l = + +, (3.338) α λ α K, K, mit λ: Wärmeleitfähigkeit und l: Dicke der Wand. Die Wärmestromdichte vom Fluid zum Fluid beträgt j Q = k ( T T ), (3.339) ges F, F, wobei T F, und T F, die Temperaturen der Fluide in großem Abstand von der festen Wand sind. Ist die feste Wand aus mehreren Schichten aufgebaut, so ist (3.338) um die flächenbezogenen thermischen Leitwerte (3.97) der weiteren Schichten zu ergänzen. Die Temperaturen T G an den Grenzen Fluid-Wand können wir mit (3.305) berechnen. j T Q G, = α ( T T ) T K, F, G, G, jq k ges ( TF, TF, ) = TF, = TF,, α α K, l k ges ( TF, TF, ) = TG, jq = TF, (3.340) λ λ + α K, l Selbstverständlich kann man die Kette auch beim Fluid beginnen. Die sich ergebenden Temperaturen an den Grenzen der Wand sind natürlich die gleichen. Für zylindersymmetrische Anordnungen ordnet man dem Wärmeübergang den längenbezogenen thermischen Leitwert K, Gth, Ü = = α K πrgrenze L G th, Ü α K AZylinder, Grenze (3.34)

20 3.0 Wärmetransport 339 zu. Damit erhalten wir mit (3.34) den längenbezogenen Wärmestrom eines Zylinders mit dem Innenradius r i, dem Außenradius r a und der Wärmeleitfähigkeit λ, der innen und außen von Fluiden umgeben ist. Q G T th F, i TF, a = ( TF, i TF, a ) = L L L L + + Gth, Üi Gth, L Q π( TF, i TF, a ) = L ra + ln( ) + α r λ r α r K, i i i K, a a L G th, Üa (3.34) Die Temperaturen an den Grenzen können in Anlehnung an (3.39) berechnet werden. Bevor man detaillierte Berechnungen durchführt, sollte man die Größen der einzelnen thermischen Leitwerte bzw. Widerstände abschätzen. Ist ein Widerstand der Serienschaltung wesentlich größer als die anderen, so bestimmt er den gesamten thermischen Widerstand. Häufig kann man die anderen Beiträge dagegen vernachlässigen. Numerische Methoden Nur für wenige geometrische Anordnungen von Wärmequelle und -senke können die lokalen Temperaturen und Wärmeströme bei stationärem Wärmetransport im Wärmeleiter mit dem Fourierschen Ansatz (3.37) für den Wärmestrom und der Kontinuitätsgleichung (3.39) berechnet werden. In der Praxis bestimmt man die Temperaturverteilung durch numerische Verfahren, z. B. die Finite-Elemente-Methode. Für diese Verfahren wird jedoch die Kontinuitätsgleichung (3.39) etwas anders formuliert. Befinden sich Wärmequelle und -senke außerhalb einer geschlossenen Bilanzhülle im Wärmeleiter, so ist der Wärmestrom, der in die Bilanzhülle fließt, gleich dem Strom, der wieder herausfließt. Der Netto-Wärmestrom durch die Hülle ist null. Das Volumen der Bilanzhülle teilt man in kleine Zellen auf, für die bei entsprechenden Temperaturen die Wärmeströme bilanziert werden. Die Temperaturen der Zellen werden iterativ so lange variiert, bis die Wärmeströme aller Zellen null sind. Die Temperaturen der Zellen, die sich dann ergeben, entsprechen den lokalen Temperaturen, die sich im Fall des stationären Wärmetransportes einstellen. Wir wollen nun eine solche Berechnung der räumlichen Temperaturverteilung für ein einfaches Beispiel durchführen. Bestimmt werden sollen die Temperaturen in einer ansonsten ebenen Wand, die eine rechtwinklige Kante aufweist. Ihre Höhe h soll keine Rolle spielen, da die Temperaturverteilung in einer Ebene senkrecht zur Linie der Kante bestimmt werden soll. Die Wand der Dicke l soll aus Material mit der Wärmeleitfähigkeit λ bestehen, weiterhin sollen Wärmeübergänge α Κ,i und α Κ,a an der Innen- bzw. Außenseite der Wand zu berücksichtigen sein. Wir unterteilen den Bereich, dessen Temperaturverteilung wir bestimmen wollen, in Zellen mit quadratischer Grundfläche (Kantenlänge Δx) und der Höhe h.

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