a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Transkript

1 Ausgabe: Übung 5: Schub Einleitung und Lernziele strukturen bestehen meist aus dünnwandigen Profilen. Während bei vollen Querschnitten die Schubspannungen oft kaum eine Rolle spielen, ist der Einfluss von Schubspannungen auf die gesamte Belastung einer struktur entscheidend. Die Schubspannungsverteilung in dünnwandigen Profilen hat daher eine grosse Bedeutung. Diese Übung dient dazu, das Verständnis der Einflüsse auf Schubspannungen zu vertiefen. Aufgabe 1: Dünnwandige Querschnitte Man betrachte die dünnwandigen Profile aus Abbildung 1. Bestimmen Sie qualitativ den Schubfluss infolge einer vertikalen Querkraft durch den Schubmittelpunkt. Zeichnen Sie qualitativ die Position des Schubmittelpunktes der Querschnitte ein. a) b) c) d) e) f) g) h) i) Abbildung 1: Dünnwandige Profilquerschnitte Lösung: Schubspannungen (Schubfluss) sind am grössten, wo Biegespannungen verschwinden. Bei vollen Querschnitten spielen Schubspannungen deshalb kaum eine Rolle. Anders ist dies bei dünnwandigen Profilen. 1

2 Die Gleichung zur Schubflussberechnung für dünnwandige Querschnitte und bei konstantem E-Modul lautet: q (s) q = Q ys z (s) I z Q zs y (s) I y mit S y (s) = E ˆ s t (s) z (s) ds S z (s) = E ˆ s t (s) y (s) ds Liegt ein offener Querschnitt vor, so verschwindet der Schubfluss q am Rand, was sofort den Schubfluss an der Stelle s liefert: q (s) = Q ys z (s) I z Q zs y (s) I y Bei einer konstanten Dicke des offenen Profils und einer Laufkoordinate s in Richtung einer Hauptachse lässt sich die Gleichung auch schreiben als: τ zx (s) = Q zs y (s) I y t Q z, I y und t sind unabhängig von der Laufvariable s. S y (s) = z df verhält sich wie folgt: s y: F steigt, z bleibt konstant linearer Verlauf s y: F steigt, z steigt oder sinkt nicht-linearer Verlauf Im Schubmittelpunkt verschwindet das resultierende Moment aus Querkraft und Schubspannungen: ˆ y SM Q z z SM Q y = M x = q (s) r (s) ds Ist der Verlauf der Schubflüsse im Profil bekannt, so kann man die Lage des Schubmittelpunkts für einfache Profile qualitativ schnell abschätzen. Bemerkung: Die Berechnung des Schubmittelpunkts ist nur für asymmetrische Profile nichttrivial.

3 a) b) c) d) e) f) g) h) i) Abbildung : Schubfluss infolge Querkraft und Schubmittelpunkte Aufgabe : Roboterarm Der bereits in Übung (Aufgabe 1) behandelte Roboterarm wird in dieser Übung hinsichtlich seines Verhaltens unter Schub untersucht. Hierbei wird vom geschlitzten Profil aus Aufgabe 1c ausgegangen. Der mittlere Radius R m des Profils ist gegeben als 1.5 mm. Abbildung : Skizze der vom geschlitzten Rohr erfahrenen Belastung Gegeben: R m = 1.5 mm L = mm F = 1 N t = 1 mm

4 Aufgabe a Um torsionsfrei Lasten heben zu können, muss die resultierende Kraft durch den Schubmittelpunkt gehen. Berechnen Sie die Lage dieses Punktes für das geschlitzte Profil. Lösung: Der Schubfluss in dünnwandigen Querschnitten berechnet sich allgemein anhand der folgenden Beziehung q(s) q = Q yφ y Q z Φ yz Φ y Φ z Φ yz S Ez (s) Q zφ z Q y Φ yz Φ y Φ z Φ S Ey (s) yz Im Falle eines symmetrischen Profils (Φ yz = ) mit offenem Querschnitt (q = ) und konstantem E-Modul unter Querkraftbelastung in vertikaler Richtung vereinfacht sich die obige Beziehung zu q(s) = Q zs y (s) I y Das statische Moment berechnet sich allgemein als ˆ ˆ s S y (s) = zda = t(s)z(s)ds A Ein Übergang von kartesischen in Polarkoordinaten vereinfacht die Berechnung des statischen Moments. Mit z = R m sin ϕund ds = R m dϕ folgt ˆ ϕ ˆ ϕ S y (ϕ) = R m sin ϕ t R }{{} m dϕ = R }{{} mt sin ϕ dϕ z ds = Rmt [ cos ϕ] ϕ = R mt (1 cos ϕ)

5 Das Flächenträgheitsmoment des dünnwandigen Kreisquerschnitts beträgt I y = R mt Der Schubfluss infolge Querkraftbelastung im Schubmittelpunkt folgt schliesslich zu q (ϕ) = Q zs y (ϕ) I y = Q z R m t (1 cos ϕ) = Q z (1 cos ϕ) R mt R m Für die Berechnung des Schubmittelpunkts ist statische Äquivalenz des von der Querkraft verursachten Moments Q z y SM und dem aus dem Schubfluss resultierenden Moment geforert. Die Momentengleichgewichtsbedingung lautet y SM Q z = M x = = ˆ = Q zr m ˆ q (s) r (s) ds Q z (1 cos ϕ) R m R m dϕ R m ˆ (1 cos ϕ) dϕ = Q zr m [ϕ sin ϕ] = Q z R m y SM = R m Aufgabe b Um die Zugänglichkeit zu den im Roboterarm verlaufenden elektrischen Komponenten weiter zu verbessern, wird der auf der horizontalen Achse liegende Schlitz symmetrisch derart erweitert, dass er 9 des Profilumfangs öffnet (Abbildung ). Aufgrund der Torsionsweichheit des offenen Profils soll der Greifer am Ende des Roboterarms gegenüber dem aufzuhebenden Objekt derart positioniert werden, dass das Profil ausschliesslich auf Biegung belastet wird. Bestimmen Sie die der Vorgabe entsprechende neue Länge a. Berechnen Sie bei dieser Belastung die Schub- und Normalflüsse im Querschnitt des Roboterarms. Bestimmen Sie Positionen und Werte der maximalen Schub-, bzw. Normalspannungen. Stellen Sie die Schub- und Normalflüsse grafisch dar. 5

6 Abbildung : Horizontal liegende 9 -Öffnung Lösung: 1) Neue Lage des Schubmittelpunkts Das statische Moment des geöffneten Querschnitts beträgt S y (ϕ) = ˆ ϕ R m sin ϕ }{{} z = R mt [ cos ϕ] ϕ t R m dϕ }{{} ds = R mt = R mt ˆ ϕ ( cos ϕ sin ϕ dϕ Das Flächenträgheitsmoment des geöffneten Profils berechnet sich zu ˆ I y = A z da = ˆ 7 Rm sin ϕtr m dϕ }{{}}{{} z da ) ˆ 7 = Rmt sin ϕdϕ 6

7 Mit der Umformung sin ϕ = 1 (1 cos ϕ) folgt I y = 1 R mt ˆ 7 (1 cos ϕ)dϕ = 1 R mt [ϕ 1 ] 7 sin ϕ [ 7 1 sin sin ] = 1 R mt = 1 [ 7 R mt + 1 ] + 1 = 1 [ ] R mt + 1 Durch Einsetzen des statischen Moments und des Flächenträgheitsmoments in die Formel für den Schubfluss erhält man ( q(ϕ) = Q zrmt ) ( ) cos ϕ Q z 1 R mt( + 1) = cos ϕ R m ( + 1) Das Momentengleichgewicht liefert schließlich y smq z = ˆ 7 = Q zr m + 1 = Q zr m + 1 = Q zr m + 1 q(s)r(s)ds = ˆ 7 ˆ 7 ( cos ϕ [ ϕ sin ϕ [ + ] = Q z R m Q z( cosϕ) R( + 1) R m R m dϕ ) ] 7 dϕ Der neue Schubmittelpunkt des um 9 geöffneten Profils liegt demnach bei ysm = R + 1 1, 66R + 1 Gegenüber dem geschlitzten Profil wandert der Schubmittelpunkt des geöffneten Profils also weiter nach rechts 7

8 ) Schub- und Normalfluss Der Schubfluss im geöffneten Profil wurde bereits in 1) berechnet und beträgt ( ) q(ϕ) = Q z cos ϕ R m ( + 1) Die Bestimmung des Normalflusses läuft über die kinematische Relation dn x dx = dq ds = dq dϕ dϕ ds mit dq dϕ = Qz dϕ sin ϕ und R m( +1) ds = 1 R m Der Normalfluss im geöffneten Profil berechnet sich demnach allgemein zu n x (ϕ, x) = ˆ x dq dϕ dϕ ds dx + C = ˆ x Mit der Randbedingung n x (ϕ, x = L) = C = Q z ( + sin ϕdx + C 1)R m Qz ( +1)R m sin ϕl folgt schliesslich n x (ϕ, x) = Q z ( + sin ϕ(x L) 1)R m Bemerkung: Der aus der Biegung resultierende Normalfluss ändert sich bei konstantem ϕüber die Länge des Roboterarms und hängt demnach sowohl von x als auch von ϕ ab. ) Positionen und Werte der maximalen Schub- und Normalspannungen Die Schubspannung ist der Quotient aus Schubfluss und Wandstärke τ(ϕ) = q(ϕ) ( ) Q z = t ( + 1)R mt cos ϕ Die Orte maximaler Schubspannung erhält man durch Nullsetzen der ersten Ableitung dτ dϕ = [ Da ϕ, 7 dτ dϕ = Q z ( + 1)R sin ϕ = ϕ = ; ; mt ] tritt die maximale Schubspannung an der Stelle ϕ = auf und beträgt Q z τ max = τ(ϕ = ) = ( + 1)R mt ( ) cos 7, 8 N mm 8

9 Das positive Vorzeichen der Schubspannung zeigt, dass der Schubfluss in Richtung der Laufvariablen s gerichtet ist Die Normalspannung ist der Quotient aus Normalfluss und Wandstärke σ x (ϕ, x) = n x(ϕ, x) t = Q z ( + sin ϕ(l x) 1)R mt Die Orte maximaler Normalspannung erhält man wiederum durch Nullsetzen der ersten Ableitung σ ϕ = σ ϕ = Q z ( + 1)R mt cos ϕ(l x) = ϕ =, Die maximale Normalspannung im Roboterarm infolge Querkraftbiegung tritt demnach am Ort der Einspannung (x = ) für ϕ = und ϕ = auf und beträgt σ max = σ(x =, ϕ = ) = Q z N ( + 1)Rmt sin ϕl 8, 15 mm ) Grafische Darstellung der Schub- und Normalflüsse Um den Schub- und Normalfluss grafisch darzustellen ist es neben der Kenntnis der Orte maximaler Spannung hilfreich zu wissen, an welchen Stellen die Schub- bzw. Normalspannung verschwindet. τ(ϕ) = liefert die Lösungen ϕ 1 = und ϕ = 7, was genau den Rändern des Profils entspricht. Für[ die Normalspannung ] liefert σ x (ϕ, x) = die Lösungen ϕ 1 =, ϕ = und ϕ =. Da ϕ, 7 verschwindet die Normalspannung an der Stelle ϕ =, was der neutralen Ebene des Profils unter reiner Querkraftbiegung entspricht. Mit diesen Informationen lassen sich nun die Spannungsprofile grafisch darstellen. 9

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11 Aufgabe : Dreiwand-Träger Gegeben sei ein asymmetrischer Dreiwand-Träger nach Abbildung 5. Dieser wird durch eine im Schubmittelpunkt SM angreifende Querkraft Q belastet. Bestimmen Sie die Schubflüsse in den drei Wänden. 1 s z SM Q S -z SM y -y SM Abbildung 5: Asymmetrischer Dreiwand-Träger unter Querkraft. (Adaptiert von Elmer Franklin Bruhn. Analysis and Design of Flight Vehicle Structures. Tri-State Offset Company, Cincinnati, Ohio, 1965.) Abmessungen der Gurte: Gurt Breite Höhe Fläche A k [cm] [cm] [cm ] Gegeben: Q y = 7 kn Q z = 17.5 kn Lösung: Die Koordinaten des Schwerpunktes sind in der Aufgabenstellung bereits gegeben, als Rekapitulation wird hier trotzdem kurz die Berechnung ausgehend vom Nullpunkt in Gurt gezeigt: 11

12 Gurt A k y k z k A k y k A k z k [cm ] [cm] [cm] [cm ] [cm ] y s = yk A k Ak = cm z s = zk A k Ak = 1. cm Flächenträgheitsmomente. Grades: Gurt I kz I ky A k yk A k zk A k y k z k [cm ] [cm ] [cm ] [cm ] [cm ] I y = I ky + A k z k = 58. cm I z = I kz + A k y k = cm I yz = A k y k z k = 16 cm Flächenmomente 1. Grades (statische Momente): ˆ s k S y = z (s) t (s) ds = z j A j s= j=1 ˆ s k S z = y (s) t (s) ds = y j A j s= j=1 Da die Querschnittsflächen der Wände gegenüber denen der Gurte vernachlässigt werden können, wird das Flächenintegral z da diskretisiert zu einer Summierung der Produkte z j A j aller der aktuellen Laufvariable s vorangehenden Gurte j [1, k]. Schubflüsse: q ky = I ys kz I yz S ky I y I z Iyz Q y q kz = I zs ky I yz S kz I y I z Iyz Q z q k = q ky + q kz 1

13 Schnittstelle S ky S kz q ky q kz q k [cm ] [cm ] [N/cm] [N/cm] [N/cm] Die Vorzeichen der Werte q ky, q kz, und q k dieser Tabelle beziehen sich auf die Laufkoordinate s, über welche zur Berechnung der statischen Momente integriert wurde. 1 s Q 1y z S y Q y 51.8 SM Q y s 88.5 Q 1z Q z z S y Q z 97.8 SM -1. Abbildung 6: Schubflüsse im Dreiwand-Träger unter Q y und Q z. 1