Kooperative Spieltheorie

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1 Kooperative Spieltheorie Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Informatik Paderborn Zusammenfassung Kooperative Spieltheorie ist eine mächtige Theorie, um Entscheidungssituationen mit mehreren Agenten zu modellieren und diese zu Analysieren. Im Rahmen dieser Seminararbeit soll das grundlegende Konzept der kooperativen Spieltheorie erläutert werden. Ein Fokus liegt dabei auf dem Lösungskonzept Kern, sowohl bei Koalitionsfunktionen mit transferierbarem als auch bei Koalitionsfunktionen mit nicht-transferierbarem Nutzen. Dabei soll das Konzept nicht nur definiert, sondern auch anhand von konkreten Spielen veranschaulicht werden. Anschließend wird das Meta-Spiel des Mechansim-Design erklärt, um zu zeigen, wie ein Designer ein Spiel zu seinen Gunsten beeinflussen kann. 1 Einleitung in die Spieltheorie Wenn man als fachfremder Laie zum ersten Mal das Wort Spieltheorie hört, dann stellen sich einem zwei Fragen: 1. Was ist eigentlich ein Spiel bzw. eine Spieltheorie und 2. Was kann man mit einer Spieltheorie erreichen? Beide Fragen sind durchaus berechtigt und sollen zum Einstieg geklärt werden, sodass der Leser sich von diesen abstrakten Begriffen ein Bild machen kann. Ein Spiel ist, zumindest im Sinne der Spieltheorie, eine Entscheidungssituation mit mehreren Beteiligten, bei denen sich die Beteiligten beeinflussen können. Der Name Spieltheorie liegt in den Anfängen dieses ursprünglichen Teilzweiges der Mathematik begründet. Zuerst wurden nämlich klassische Brettspiele wie Dame und Schach analysiert. Dies bedeutet aber nicht, dass die Spieltheorie nur auf diese Spiele beschränkt ist; es reicht, dass allgemein Entscheidungssituationen zu Grunde liegen. Im Umkehrschluss heißt dies auch, dass die Spieltheorie nicht alle Brettspiele analysieren kann. Mensch ärgere dich nicht zum Beispiel ist nicht entscheidungsgesteuert, sondern es hängt sehr viel von Wahrscheinlichkeiten (also dem Würfel) ab. Zu den spieltheoretischen Spielen gehören zum Beispiel: ökonomische Situationen, politische Entscheidungsfindung und Konsensbildung in der Informatik. Die Spieltheorie lässt sich in zwei Teilgebiete unterteilen: die kooperative Spieltheorie und die nichtkooperative Spieltheorie. Unter Experten ist es zwar umstritten, ob dies Zweige einer großen Spieltheorie oder doch komplette unterschiedliche Forschungszweige sind, für dieses Seminar ist diese Diskussion jedoch irrelevant. Die nichtkooperative Spieltheorie ist ein Teilbereich die Mikroökonomik. Dabei werden Akteure in den Vordergrund gestellt, welche Ziele verfolgen und dem entsprechend Handlungen in (teilweiser) Kenntnis ihrer Umwelt ausführen. Das bekannteste Lösungskonzept der nichtkooperativen Spieltheorie ist das Nash-Gleichgewicht. Dieses besteht aus je einer

2 34 Strategie pro Spieler, sodass jeder Spieler in Anbetracht der Strategien der Mitspieler seinen erwarteten Nutzen maximiert. Nichtkooperative Spieltheorie ist somit strategie- und aktionsorientiert. Die kooperative Spieltheorie geht von einer Menge von Spielern bzw. Agenten N = {1, 2,...n} aus und betrachtet dabei alle möglichen Teilmengen dieser Spieler. Diese Teilmengen nennt man Koalitionen und die Menge N wird als große Koalition bezeichnet. Die kooperative Spieltheorie besteht aus zwei großen Säulen: Koalitionsfunktionen und Lösungskonzepte. Durch die Koalitionsfunktion, auch charakteristische Funktion genannt, lassen sich ökonomische, soziale oder politische Situationen als Spiel abbilden. Sie sorgt dafür, dass jeder Teilmenge der Agenten, also jeder Koalition, ein Wert zugeordnet wird, der ausdrückt, wie viel diese Koalition erwirtschaften kann, also wie sinnvoll es für die Agenten ist, genau die Koalition zu bilden. Die Koalition kann aber nicht beantworten, welche Auszahlungen die Spieler erhalten, dies tun die Lösungskonzepte. Ein Lösungskonzept wird auf die Koalitionsfunktion angewandt und beschränkt die Auszahlungen, die Spieler zu erwarten haben. In dieser Seminararbeit wird das Lösungskonzept Kern intensiv besprochen, es gibt jedoch auch weitere Lösungskonzepte, die alle ihre Stärken und Schwächen haben. Im Gegensatz zu der nichtkooperativen Spieltheorie, betrachtet die kooperative Spieltheorie die Handlungen der Spieler nur indirekt, in dem man sich hinter die Koalitionsfunktion einen ökonomischen Sachverhalt denkt. Ziele der Akteure und Maximierungskalküle werden gar nicht betrachtet. Wenn nur von Spieltheorie gesprochen wird, ist meist die nichtkooperative Spieltheorie gemeint. Im Rahmen der Projektgruppe Learning Agents in Dynamic Enviroments kann Spieltheorie ein wichtiges Thema werden, da dort eine große Gruppe von Agenten modelliert wird, die in vielen Situationen einen Konsens finden muss. Das gemeinsame Ernten eines Feldes (mit einer gewissen Anzahl von Agenten) kann von der kooperativen Spieltheorie genauso analysiert werden, wie der Exploitation versus Exploration -Tradeoff unter Betrachtung mehrerer Agenten. Im Laufe der Arbeit wird in Abschnitt 2.1 zunächst die Koalitionsfunktionen mit transferierbarem und mit nicht-transferierbarem Nutzen vorgestellt und verschiedene Eigenschaften von Koalitionsfunktionen geklärt. Danach werden in Abschnitt 2.3 einige Beispiel-Spiele erläutert, die in späteren Kapiteln angewandt werden. In Abschnitt 3.1 werden Lösungskonzepte für Koalitionsfunktionen mit transferierbaren Nutzen definiert und explizit das Lösungskonzept Kern vorgestellt und an Beispielen verdeutlicht. Das gleiche passiert in Kapitel 3.5 für Lösungskonzepte bei nicht-transferierbarem Nutzen. Abschließen wird noch kurz das Mechansim-Design-Spiel präsentiert und ein abschließendes Fazit gezogen. 2 Koalitionsfunktionen 2.1 Koalitionsfunktionen mit und ohne transferierbarem Nutzen Wie bereits im vorherigen Kapitel erläutert, ordnet eine Koalitionsfunktion jeder möglichen Koalition einen Wert zu. Betrachten wir zunächst Koalitionsfunktionen mit transferierbarem Nutzen, so wird jeder Koalition ein Funktionswert y R zugeordnet. Dies ist als Nutzenwert interpretierbar,

3 Kooperative Spieltheorie 35 der von den einzelnen Mitgliedern geschaffen wird. Transferierbarkeit des Nutzens sagt nun aus, dass dieser Wert unter den Mitgliedern aufgeteilt werden kann (und es somit reicht, jeder Koalition nur einen Wert zuzuweisen). Wie dies genau geschieht, entscheidet das Lösungskonzept. Es ist hinreichend zu wissen, dass jeder Spieler einen Anteil aus der von ihm gebildeten Koalition bekommt. Die Annahme der Transferierbarkeit des Nutzens ist sicherlich gerechtfertigt, wenn der Nutzen beispielsweise Geldwerten entspricht und die Spieler des Spiels risikoneutral sind. Es gibt jedoch sehr viele Fälle, in denen diese Annahme nicht sonderlich sinnvoll ist. Die Koalitionsfunktion mit transferierbarem Nutzen bezeichnen wir mit v. Wir definieren ein Koalitionsspiel mit transferierbarem Nutzen wie folgt: Definition 1 (Spiel mit transferierbarem Nutzen). Ein Spiel (N, v) bei transferierbarem Nutzen ist eine nichtleere Menge N (die Spieler) zusammen mit einer Abbildung (Koalitionsfunktion): v : 2 N R, die v( ) = 0 erfüllt. Wenn die Spielermenge irrelevant ist, können wir ein Spiel auch nur mit v bezeichnen. Bei Koalitionsfunktionen mit nicht-transferierbarem Nutzen reicht es somit nicht mehr, dass wir jeder Koalition einen Funktionswert zuordnen. Man braucht somit für jeden Agenten Nutzeninformationen, sodass wir für jede Koalition sagen können, welchen Wert jeder einzelne Agent in dieser Koalition hat. Ein praktisches Beispiel ist hierfür ist die Tauschökonomie, da dort jeder Nutzer seine eigene Nutzenfunktion gegenüber den einzelnen Gütern hat. Es wird somit jeder Koalition ein oder mehrere Nutzenvektoren für dessen Mitglieder zugeordnet. Jeder Eintrag des Vektors repräsentiert dabei einen Agenten der Koalition bzw. die Auszahlung, die dieser Spieler bekommt. Die Koalitionsfunktion mit nicht-transferierbarem Nutzen wird mit V bezeichnet. Definition 2 (Spiel mit nichttransferierbarem Nutzen). Ein Spiel (N, V) bei nichttransferierbarem Nutzen mit Nutzenwerten ist eine nichtleere Menge N (die Spieler) zusammen mit einer Abbildung V, deren Definitionsbereich 2 N ist und die jeder Koalition K N eine Teilmenge von R K so zuordnet, dass V ( ) = und V (K) für K erfüllt sind. Man kann das Spiel abkürzend nur mit V bezeichnen. Es ist leicht ersichtlich, dass die Koalitionsfunktion mit transferierbarem Nutzen ein Spezialfall der Koalitionsfunktion mit nicht-transferierbarem Nutzen ist. Es muss nur der transferierbare Nutzen so aufgeteilt werden, dass jedem Mitglied der Koalition ein konkreter Wert im Nutzenvektor zugeordnet wird. 2.2 Eigenschaften von Koalitionsfunktionen Für Koalitionsfunktionen können verschiedene Eigenschaften gelten. Die Wichtigsten sind dabei: Superadditivität, Monotonie und Konvexität. Definition 3 (Superadditivität bei transferierbarem Nutzen). Bei Koalitionsfunktionen v mit transferierbarem Nutzen ist superadditiv, falls für alle Koalitionen A, B N aus A B = (kein Agent ist in beiden Koalitionen) die Ungleichung v(a) + v(b) v(a B) folgt. v(a B) (v(a) + v(b)) 0 wird als Kooperationsgewinn bezeichnet.

4 36 Einfach gesagt bedeutet das, dass sich Kooperation lohnt. Agenten werden sich nicht zu Koalitionen zusammenschließen, wenn dies für sie schädlich ist. Alle in dieser Seminararbeit behandelten Koalitionsfunktionen sind superadditiv. Betrachtet man Koalitionsfunktionen mit nicht-transferierbarem Nutzen, so muss die Definition von Superadditivität wie folgt verändert werden: Definition 4 (Superadditivität bei nichttransferierbaren Nutzen). Eine Koalitionsfunktion V mit nichttransferierbaren Nutzen heißt superadditiv, falls für alle Koalitionen A, B N aus folgt, dass A B = (kein Agent ist in beiden Koalitionen), u A V (S) undu B V (T ) (u A, u B ) V (S T ) gilt. Dabei bezeichnet (u A, u B ) den Vektor, der für die Agenten aus A und B Nutzenwerte enthält. Eng damit verknüpft ist die Monotonie. Sie sagt aus, dass eine Koalition K niemals ein größeren Wert haben kann als die Koalition K, wenn K K gilt. Mehr Agenten bewirken somit auch mehr. Definition 5 (Monotonie). Ein Spiel (N, v) heißt monoton, falls für K, K K K gilt, dass v(k) v(k ). N mit Betrachtet man die Definitionen von Superadditivität und Monotonie, so ist es schnell ersichtlich, dass eine superadditive Koalitionsfunktion zwar monoton ist, dies jedoch im umgekehrten Fall nicht gilt. Die Koalitionsfunktion ist konvex, wenn der marginale Beitrag eines einzelnen Agenten höher ist, wenn er sich auf eine größere Koalition bezieht. Es ergeben sich also steigende Skalenerträge. Definition 6 (Konvexität). Ein Spiel (N, v) heißt konvex, wenn für alle Koalitionen K und K mit K K und i N mit i / K i / K gilt: v(k {i}) v(k) v(k {i}) v(k ) Das Spiel (N, v) heißt streng konvex, wenn für alle Koalitionen K und K mit K K und i N mit i / K i / K erfüllt ist, dass v(k {i}) v(k) < v(k {i}) v(k ). Eine superadditive Koalitionsfunktion muss nicht konvex sein, jedoch folgt aus Konvexität automatisch die Superadditivität. 2.3 Beispiel Spiele In diesem Kapitel sollen einige Beispiel-Spiele vorgestellt werden, da sich an Hand dieser Spiele die Eigenschaften von Koalitionsfunktionen und das in Kapitel 3.2 und 3.6 erläuterte Lösungskonzept Kern sehr gut nachvollziehen lassen.

5 Kooperative Spieltheorie 37 Handschuhspiel Beim Handschuhspiel verfügen manche Spieler über einen linken Handschuh und andere über einen rechten Handschuh. Dabei ist wichtig, dass einzelne Handschuhe an sich keinen Wert haben und nur Paare wertschaffend sind. Die Koalitionsfunktion zu dem Handschuhspiel sieht wie folgt aus: v L,R : 2 N R mit v L,R (K) = min( K L, K R ). Dabei steht: N für die große Koalition (also die Menge aller Spieler) L für die Menge der Spieler mit linkem Handschuh und R für die Menge der Spieler mit rechtem Handschuh (wobei diese Mengen disjunkt sind und vereinigt N ergeben) v L,R für die Koalitionsfunktion des Handschuhspiels 2 N für die Menge aller Koalitionen (alle Teilmengen von N), also dem Definitionsbereich. K für eine beliebige Koalition Es ist leicht ersichtlich, dass die Koalitionsfunktion des Handschuhspiels superadditiv und monoton und konvex ist, unabhängig davon wie viele Spieler wir haben, da ein Zusammenschluss zweier disjunkter Koalitionen mindestens genauso viele Paare hat wie die Summe der beiden Koalitionen, jede Teilmenge S einer Koalition S nie mehr Handschuhe haben kann als S und jeder Spieler den Wert einer Koalition immer maximal um 1 steigern kann (Das Handschuhspiel ist somit nicht streng konvex) Maschler-Spiel Das Maschler-Spiel ist durch die folgende Koalitionsfunktion bestimmt: 0, K = 1 v(k) = 60, K = 2 72, K = 3 Es besitzt keine Erläuterung in der realen Welt, welches die Koalitionsfunktion anschaulich erklären würde. Da die Anzahl möglicher Auszahlungen auf drei Werte beschränkt ist, lässt sich relativ leicht nachvollziehen, dass das Maschler-Spiel superadditiv und monoton ist. Konvexität ist nicht gegeben, da der marginale Beitrag eines Spielers bei der Zweier- Koalition größer ist als bei der Dreier-Koalition. Das Heiratsmarkt-Spiel Das Heiratsmarkt-Spiel, oder auch kurz nur Heiratsmarkt, ist ein Spiel mit einer Koalitionsfunktion mit nicht-transferierbarem Nutzen. Die Spieler lassen sich in die Menge der Männer M = {m 1,..., m s } und der Frauen W = {w 1,..., w t } unterteilen. Jeder Mann und jede Frau besitzt nun eine eigene Nutzenfunktion U. Für die Männer hat diese den Wertebereich W {m}, mit der Interpretation, dass beispielsweise w 2 für die Heirat mit Frau 2 und m für ein Single-Dasein steht (Man bezeichnet diese Funktion mit U m wobei m M). Die Nutzenfunktionen der Frauen sehen analog aus.

6 38 Vereinfachend nehmen wir an, dass die Präferenzen der einzelnen Spieler strikt sind. Diese Annahme erlaubt es, jederzeit festzustellen, ob eine Person mit dem ihm zugeordneten Partner zufrieden ist (und welche Optionen ihm lieber wären). Der Heiratsmarkt soll dabei eine Allokation sein, das bedeutet, dass es keine gleichgeschlechtlichen Ehen gibt. Entweder ein Mann heiratet eine Frau oder er zieht es vor alleine zu sein (Auch hier wieder analog für Frauen). Des Weiteren soll logischerweise die Bedingung gelten, dass wenn m 1 mit w 3 verheiratet ist, auch w 3 mit m 1 verheiratet sein soll. Dieses bezeichnen wir als zulässige Allokation. Definition 7 (Zulässige Allokation für den Heiratsmarkt). Für den Heiratsmarkt (M, W, U) heißt eine Allokation µ zulässig, falls sie µ(µ(i)) = i für alle i M W erfüllt. Dabei bedeutet Beispielswiese µ(a) = b, dass durch die Allokation µ a dem Wert b zugeordnet wird. Die Koalitionsfunktion lautet: V (K) = {u K R K : Es gibt eine zulässige Allokation mit u i = U i (µ(i)), i K} 3 Lösungskonzepte 3.1 Lösungskonzepte für Koalitionsfunktionen mit transferierbarem Nutzen Wie bereits in Abschnitt 1 erwähnt, ordnen die Lösungskonzepte den Koalitionsfunktionen Nutzenvektoren (auch Auszahlungsvektoren genannt) zu. Die Koalitionsfunktion ordnet jeder möglichen Koalition (Teilmenge) der Agentenmenge N einen Wert zu. Ein Nutzenvektor gibt nun für jeden Spieler an, welche Auszahlung er erhält, wenn er an einer Koalition teilnimmt. Wichtige Voraussetzung für alle Lösungskonzepte ist die Zulässigkeit. Ein Nutzenvektor x = (x 1, x 2,..., x n ) ist für eine gegeben Koalitionsfunktion genau dann zulässig, wenn er nicht mehr verteilt, als die große Koalition erwirtschaften kann. Formal ausgedrückt bedeutet das: Definition 8 (Zulässigkeit). Ein Nutzenvektor x = (x i ), i N heißt zulässig, wenn gilt, dass x i v(n) i N Des Weiteren sollte ein Nutzenvektor individuell rational sein, sodass kein Individuum Einspruch gegen ihn erhebt. Dies bedeutet, dass jeder Agent aus einer Koalition mindestens den Wert bekommt, den er in einer Einer-Koalition auch bekommen würde, da es ansonsten für ihn nicht sinnvoll ist, an der Koalition teilzunehmen. Dieses Nicht-Teilnehmen wird als Blockieren bezeichnet. Definition 9 (Individuelle Rationalität). Ein Nutzenvektor x = (x i ), i N heißt individuell rational, falls neben der Zulässigkeit erfüllt ist, dass für alle Spieler i N gilt: x i v({i}) (Einerkoalitionen blockieren nicht).

7 Kooperative Spieltheorie 39 Ein weiteres Kriterium ist die kollektive Rationalität, auch Pareto-Effizienz genannt. Sie verlangt, dass ein Nutzenvektor nicht durch die große Koalition blockiert werden kann. Definition 10 (Kolektive Rationalität). Ein Nutzenvektor x = (x i ), i N heißt kollektiv rational oder Pareto-effizient, falls er neben der Zulässigkeit folgende Bedingung erfüllt ist x i v(n) (Nichtblockade durch die große Koalition) i N Aus diesen beiden Bedingungen folgt offensichtlich: x i = v(n) i N Es ist gut ersichtlich, dass wenn Zulässigkeit, individuelle Rationalität und Pareto- Effizienz gegeben sind, nur diejenigen Nutzenvektoren übrig bleiben, die den gleichen Ertrag haben wie die große Koalition. Diese Nutzenvektoren werden auch als Zuteilungen bezeichnet. Definition 11 (Zuteilung). Ein Nutzenvektor x = (x i ), i N ist eine Zuteilung (engl.: imputation), falls er x i v(n) (Pareto-Optimalität) i N und i N : x i v({i}) (Individuelle Rationalität) erfüllt. Die Menge der Zuteilungen für (N, v) bezeichnen wir mit Z. Neben dem Kern, der im folgenden Abschnitt vorgestellt wird, gibt es viele weitere Lösungskonzepte, die entweder,wie der Kern, mengenwertig sind (Zum Beispiel: p-lösungen (siehe [5]), der Nukleolus, der Kernel (siehe [3]) und stabile Mengen) und somit auch mehrere Lösungen haben können oder axiomatisch motiviert und punktwertig sind wie die Shapley- Lösung (siehe [3, 1, 5]). 3.2 Der Kern bei transferierbarem Nutzen Formal ist der Kern wie folgt definiert: Definition 12 (Kern bei transferierbarem Nutzen). Der Kern eines Spiels v ist die Menge derjenigen Auszahlungen x, die erfüllen, dass x i = v(n) (Pareto-Effizienz) und i N K N : i K x i v(k) (keine Blockade durch irgendeine nichtgroße Koalition) Wir schreiben Kern(v) für den Kern von v. Der Kern verlangt also neben der in Abschnitt 3.1 definierten Pareto-Optimalität zusätzlich, dass keine andere Koalition den Nutzenvektor blockieren kann. Individuelle Rationalität muss nicht explizit gefordert werden, da Einerkoalitionen logischerweise eine nichtgroße Koalition sind.

8 Beispiele für den Kern in Spielen mit transferierbarem Nutzen Der Kern des Handschuhspiels Betrachten wir das in Abschnitt 2.3 definierte Handschuhspiel. Im einfachsten Fall haben wir zwei Spieler, also L = {1} und R = {2}. Auf Grund der Pareto-Optimalität kommen nur solche Auszahlungsvektoren der Form x = (x 1, x 2 ) in Betracht, die x 1 + x 2 = 1 erfüllen. Zudem darf x auch nicht durch Einer-Koalitionen blockiert werden, sodass x 1 v L,R ({1}) = 0 und x 2 v L,R ({2}) = 0 gelten muss. Wie leicht zu erkennen ist, sind alle Auszahlungstupel (x 1, x 2 ) mit x 1 + x 2 = 1 im Kern und der Kern hat somit unendlich viele Elemente. Wenn wir das Spiel um einen Spieler erweitern, also o.b.d.a. L = {1, 2} und R = {3} haben, sieht unser Kern schon anders aus. Es müssen folgende Bedingungen für den Kern gelten: x 1 + x 2 + x 3 = v L,R (N) = 1 (Pareto-Optimalität), (1) x i 0, i = 1, 2, 3 (keine Blockade durch Einer-Koalitionen), (2) x 1 + x 2 0 (keine Blockade durch {1,2}), (3) x 1 + x 3 1 (keine Blockade durch {1,3}) und (4) x 2 + x 3 1 (keine Blockade durch {2,3}) (5) Setzt man nun die Ungleichung (4) in die Gleichung (1) ein, erhält man x 2 = 1 (x 1 + x 3 ) 1 1 = 0. Gleiches gilt für x 1 auf Grund der Ungleichung (5). Somit ist der Vektor x K = (0, 0, 1) der Einzige Vektor, der alle Bedingungen erfüllt und folglich das einzige Element des Kerns. Dies Ergebnis lässt sich soweit verallgemeinern, dass, falls die Anzahl linker und rechter Handschuhe unterschiedlich ist, der Kern nur eine eindeutige Lösung hat. In dieser Kern- Lösung erhalten die Besitzer der knapperen Handschuhe die Auszahlung 1, der Rest 0. Der Kern des Maschler Spiels Betrachtet man den Kern des Maschler-Spiels, dann sucht man genau diejenigen Vektoren (x 1, x 2, x 3 ), für folgende Bedingungen gelten: x 1 + x 2 + x 3 = 72 (6) x 1 0, x 2 0, x 3 0, (7) x 1 + x 2 60, (8) x 1 + x 3 60 und (9) x 2 + x 3 60 (10) Wenn die Gleichung (6) nach x 1 umgeformt wird, lässt sich Ungleichung (10) einsetzen und man erhält x 1 = 72 (x 2 + x 3 ) 12 Analog gilt ebenfalls x 2 12 und x 3 12 und es folgt x 1 +x 2 +x Dieses Ergebnis steht jedoch im direkten Widerspruch zu der Pareto-Optimalität (Gleichung (6)) und somit kann es keinen Nutzenvektor geben, der im Kern liegt.

9 Kooperative Spieltheorie Leerer Kern Wie im letzten Beispiel gut zu sehen war, ist es durchaus möglich, dass der Kern leer ist. Leere Kerne weisen immer auf instabile Situationen hin. Das bedeutet, dass bei jedem Nutzenvektor eine Koalition gefunden werden kann, deren Mitglieder gegenüber dem Nutzvektor besser gestellt werden können und diesen somit blockieren. In Spielen mit nur zwei Agenten ist der Kern immer dann nichtleer, wenn die Koalitionsfunktion superadditiv ist. Dies ist relativ leicht ersichtlich, da dank der Superadditivität gelten würde, dass v ({1})+v({2}) v({1, 2}).Wenn wir nun den beiden Agenten genau die Hälfte des Kooperationsgewinnes auszahlen, dann werden beide Spieler die Koalition nicht blockieren. Der Koalitionsgewinn bezeichnet hierbei den Wert, den die gemeinsame Koalition erwirtschaftet, abzüglich der beiden Gewinne, den die Einer-Koalitionen erwirtschaften (also: v({1, 2}) (v({1}) + v({2})).) Verallgemeinern wir diese Erkenntnis auf mehr Spieler, so kommen wir zu folgendem Theorem: Theorem 1 (Partitionen und leerer Kern). Wenn es eine Partition P = {P 1,..., P k } der Spielermenge N mit k v(p i ) > v(n) existiert, ist der Kern leer. i=1 Der ganze Beweis wird an dieser Stelle ausgelassen. Die Beweisidee für dieses Theorem ist, dass wenn eine Partition existiert, die die obrige Formel erfüllt, dann erhalten die Spieler in dieser Partition mehr als die große Koalition bekommt (was die Zulässigkeit verletzt). Jede andere Koalition als die Partition wird aber blockiert, da es Spieler gibt, die sich in der Partion P besser stellen können. Dieses Theorem ist jedoch nur eine notwendige Bedingung für nichtleere Kerne. Es kann auch Spiele geben, in denen der Kern leer ist, obwohl so eine Partition wie Theorem 1 nicht existiert. Bereits erwähnte Lösungskonzepte wie der Nukleolus und stabile Mengen versuchen dabei den leeren Kern zu umgehen, ohne dabei dessen Eigenschaften stark zu verändern. 3.5 Lösungskonzepte für Koalitionsfunktionen mit nicht-transferierbarem Nutzen Lösungskonzepte bei nicht-transferierbrame Nutzen müssen in der Regel den gleichen Ansprüchen genügen wie Lösungskonzepte bei transferierbarem Nutzen (Zulässigkeit, individuelle Rationalität und Pareto-Effizienz). Da jedoch die vereinfachende Eigenschaft des transferierbaren Nutzens verloren geht, ergibt sich das Problem, dass jeder einzelne Spieler berücksichtigt werden muss (anstatt Koalitionen) und somit viel mehr Bedingungen gegeben sind (jeder Spieler hat seine eigene Nutzenfunktion). Neben dem hier vorgestellten Kern gibt es auch bei nicht-transferierbarem Nutzen weitere Lösungskonzepte. Beispielhaft seien hier die Nash-Verhandlungs-Lösung (nicht zu verwechseln mit dem Nash-Equilibrium)(siehe [4]) und die Kalai-Smorodinsky-Lösung(siehe [5]) genannt

10 Der Kern bei nicht-transferierbarem Nutzen Der Kern für eine Koalitionsfunktion mit nicht-transferierbarem Nutzen ist von der Idee her, ähnlich dem Kern für Koalitionsfunktionen mit transferierbarem Nutzen. Da aber Koalitionen nun mehrere Nutzenvektoren zugeordnet sind (anstatt einem Wert), muss die Definition ein wenig angepasst werden. Definition 13 (Kern bei nicht-transferierbarem Nutzen). Der Kern eines Spiels (N, V ) ist die Menge derjenigen Nutzenvektoren w = (w i ) i N aus R n, die Zulässigkeit und Nicht-Blockierbarkeit erfüllen: w V (N) (Zulässigkeit) Es gibt keine Koalition K und keinen Nutzenvektor w = (w i ) i N derart, dass w K V (K) und w i w i für alle i K mit echter Ungleichung für mindestens ein i aus K gelten. (Nicht-Blockierbarkeit durch irgendeine Koalition) Der Kern erhält also nur die Nutzenvektoren, die mit der Koalitionsfunktion erreichbar sind (Zulässigkeit) und die Vektoren, die für eine gegebene Koalition K die beste Auszahlung erreichen. Es kann sich innerhalb der Koalition K keine gruppenspezifische Pareto- Verbesserung einstellen. Auch dieser Kern kann leer sein, da sich die Idee des Kerns sich nicht grundlegend geändert hat. Der Kern des Heiratsmarktes Wichtig beim Heiratsspiel ist die implizite Voraussetzung, dass keine Person mit jemandem verheiratet ist, obwohl er das Single-Dasein der Heirat mit dieser Person vorziehen würde. Ein Spieler j wird also nur mit einem Spieler j verheiratet, wenn U j (j) < U j (j ) gilt. Dies ist aber nicht gleichbedeutend mit der Aussage, dass jeder nur mit seinem Lieblingspartner zufrieden ist. Um nun eine Aussage treffen zu können, welche Allokationen im Kern liegen, müssen wir die Eigenschaften des Kerns auf zulässige Allokationen übertragen. Definition 14 (Eigenschaften zulassiger Allokationen für den Heiratsmarkt). Sei µ eine zulässige Allokation für den Heiratsmarkt (M,W,U). µ heißt individuell rational, falls i N gilt, dass U i (µ(i)) U i (i) (Nichtblockierbarkeit durch Einerkoalition) µ heißt paarweise rational, falls es kein Paar von Spielern (m, w) M W gibt, sodass U m (w) > U m (µ(m)) und U w (m) > U w (µ(w)) erfüllt ist (Nichtblockierbarkeit durch Zweierkoalition). µ heißt Pareto-optimal, falls es keine zulässige Allokation µ gibt, sodass i M W : U i (µ (i)) U i (µ(i)) und j M W : U j (µ (i)) > U i (µ(i)) erfüllt sind (Nichtblockierbarkeit durch große Koalition).

11 Kooperative Spieltheorie 43 µ liegt im Kern, falls es keine Koalition K M W und keine zulässige Allokation µ mit µ (K) K gibt, sodass i K : U i (µ (i)) U i (µ(i)) und j K : U j (µ (i)) > U i (µ(i)) erfüllt sind (Nichtblockierbarkeit durch irgendeine Koalition). Der zusätzliche Begriff der paarweisen Rationalität sagt aus, dass es keine Frau und keinen Mann geben darf, die sich durch eine Heirat beide besser stellen können. Dann würden sie die bestehenden Ehen scheiden bzw. das Single-Dasein aufgeben und es hätte sich für beide eine Verbesserung gegeben. Aus dieser Definition ergbit sich folgendes Theorem: Theorem 2 (Kern und zulässige Allokationen). Sei (M,W,U) ein Heiratsmarkt. Die Menge der zulässigen Allokationen, die sowohl individuell rational als auch paarweise rational sind, ist gleich dem Kern. Ohne Beweis ist ersichtlich, dass genau die Allokationen im Kern liegen, die die zwei aufgezälten Eigenschaften besitzen. Im Umkehrschluss bedeutet Theorem 2, dass wenn keine Allokation individuell rational und paarweise rational ist, der Kern leer ist. 4 Mechanism Design Wie wir in den letzten Kapiteln am Lösungskonzept Kern gesehen haben, kann die kooperative Spieltheorie sehr gut bestimmen, welche Ergebnisse ein bestimmtes Spiel haben wird. Sie kann jedoch keinen Aussage darüber treffen, wie man als Designer eines Spiels ein Spiel zu einem gewünschten Ausgang führen kann. Aussagen hierzu trifft die Mechansim-Design- Theorie. Das Mechanism-Design (im Deutschen: Mechanismus Entwurf), auch umgekehrte Spieltheorie genannt, ist ein Meta-Spiel, welches ursprünglich aus der nicht-kooperativen Spieltheorie stammt. Da aber das inhärente Konzept durchaus allgemeingültig ist, lässt es sich auch auf kooperative Spiele anwenden. Der grundlegende Gedanke des Mechanism-Design-Spiels ist es, dass ein Spiel gespielt wird, in dem ein Spiel-Designer ein Spiel (bzw. dessen Regeln) erstellt. Der Desginer hat dabei besonders Interesse, dass das zu erstellende Spiel ein für ihn günstiges Ergebnis liefert. Dabei wird davon ausgegangen, dass der Designer keine vollständige Information über die Spieler des zu erstellenden Spiels hat (an dieser Stelle erkennt man klar den nichtkooperativen Hintergrund) und diese Spieler sich auch dazu entscheiden können, das Spiel nicht zu spielen. Um das Spiel zu seinen Gunsten zu designen, muss der Designer versuchen, den Spielern Informationen zu entlocken. Der Designer hat also zwei Bedingungen, die er beachten muss: 1. Er muss dafür sorgen, dass die Spieler an seinem Spiel teilnehmen (Partizipations- Bedingung bzw. Individuelle Rationalität) 2. Die Spieler des Spiels sollen am meisten davon profitieren, wenn sie im Spiel ehrlich Informationen preisgeben (Anreiz-Kompatibilität)

12 44 Ein praktische wirtschaftswissenschaftliche Anwendung sind Auktionen aus der Sicht des Verkäufers. Der Verkäufer (=Designer) des Auktionsspiels möchte möglichst seinen Gewinn maximieren, weiß jedoch nicht, ab welchem Preis ein Bieter aussteigt bzw. an der Auktion nicht teilnimmt (Individuelle Rationalität). Er versucht somit, sein Spiel so zu gestalten, dass die Spieler möglichst an ihre Preisgrenze während der Auktion gehen (also ehrlich Spielen), sodass der Gewinn hoch ist. Selbst im einfachen Fall mit einem Verkäufer und zwei Bietern ist das entsprechende Mechanism-Design-Spiel so komplex, dass es den Rahmen dieser Seminararbeit übersteigen würde. Jedoch ist in [2] genau erläutert, wie sich Mechanism-Design-Spiele im Einspielerund Mehrspieler-Fall analysieren lassen. Weitere (nicht wirtschaftswissenschaftliche) Beispiele für ein Mechanism-Design-Spiel sind: Das Erstellen von Spielregeln für eine Sportart (Der Designer möchte hier ein möglichst attraktives Spiel) oder das erstellen von Regeln für das Aufteilen von Kuchen auf einem Kindergeburtstag,wobei es erwünscht ist, dass alle Kinder zufrieden sind. 5 Fazit Im Rahmen dieser Seminararbeit wurde das Thema kooperative Spieltheorie soweit erarbeitet, dass die grundsätzlichen Konzepte der Theorie dem Leser ersichtlich sein sollten. Des Weiteren wurde das Lösungskonzept Kern ausführlich erläutert, sodass die praktische Anwendung und die Probleme des Kerns ersichtlich sein sollten. Das Thema Mechansim Design wurde nur kurz angeschnitten. Wichtig ist jedoch, dass der Leser weiß, was Mechanism Design leisten und wie ihm dieses Konzept helfen kann. Wie bereits in Kapitel 1 bereits erwähnt, kann die kooperative Spieltheorie für die Projektgruppe Learning Agents in Dynamic Enviroments sehr wichtig sein. Es wird eine Gruppe von Agenten betrachtet, die zusammen Aktionen ausführen und Entscheidung treffen soll. Die Inhomogenität der Agentengruppe (die Agenten haben verschiedene Aufgaben) ist dabei für die kooperative Spieltheorie kein Hindernis, da eventuelle Unterschiede im Nutzen durch nicht transferierbaren Nutzen ausgedrückt werden kann. Somit kann jede Entscheidungssituation für Agenten, die im Rahmen der Projektgruppe auftritt, mit Hilfe der Spieltheorie analysiert werden (zumindest wenn wir Informationen über die Koalitionsfunktion haben) und durch adäquate Lösungskonzepte vorhergesagt werden, welche Koalitionen der Agenten sich ergeben werden. Literatur 1. Branzei, R., Dimitrov, D., Tijs, S.: Models in cooperative game theory - Second Edition. Springer Verlag (2008) 2. Fudenberg, D., Tirole, J.: Game Theory. The MIT Press (1991) 3. Peleg, B., Sudhölter, P.: Introduction to the theory of cooperative games. Springer Verlag (2007) 4. Peters, H.: Game theory: a multi-leveled approach. Springer Verlag (2008) 5. Wiese, H.: Kooperative Spieltheorie. Springer Verlag (2004)