Übungsaufgaben Digitale Signalverarbeitung

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1 Übungsaufgaben Digitale Signalverarbeitung Aufgabe 1: Gegeben sind folgende Zahlenfolgen: x(n) u(n) u(n N) mit x(n) 1 n 0 0 sonst. h(n) a n u(n) mit 0 a 1 a) Skizzieren Sie die Zahlenfolgen b) Berechnen Sie die Faltungssumme nach der Gleichung: y(n) k x(k) h(n k) c) Skizzieren Sie die Faltungssumme d) Gegeben sind die Zahlenfolgen: f (n) a n (u(n) u(n M)) x(n) u(n) u(n N) Wieviele Abtastwerte ungleich Null enthält die Faltungssumme? e) Berechnen Sie die Faltungssumme der Zahlenfolgen von a) nach der Gleichung: y(n) k h(k) x(n k) und demonstrieren Sie anhand des Ergebnisses, daß die Faltungssumme Kommutativ ist Aufgabe 2: Gegeben ist folgende Zahlenfolge: x(n) 1, 0 n N 1 0, sonst

2 2 als Impulsantwort eines diskreten Systems. a) Skizzieren Sie die Zahlenfolge b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des diskreten Systems c) Skizzieren Sie Amplituden und Phasengang des Systems Aufgabe 3: Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines idealen Tiefpaßes: H(e j ) 1, c 0, c a) Skizzieren Sie die die Übertragungsfunktion b) Berechnen Sie aus der Übertragungsfunktion die Impulsantwort des diskreten Systems c) Skizzieren Sie die Impulsantwort für c 2 d) Skizzieren Sie die Übertragungsfunktion eines idealen Hochpaßfilters e) Berechnen Sie die Impulsantwort des diskreten Hochpaßes mit Hilfe der unter b) berechneten Impulsantwort f) Skizzieren Sie die Impulsantwort dieses diskreten Systems für c 4 Aufgabe 4: Gegeben ist das zeitkontinuierliche Signal x c (t) mit x c (t) sin2 0 t t 2 a) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte X c (j) {x c (t)}. Zeichnen Sie den Real und Imaginärteil von X c (j). Das Signal x c (t) wird unter Verwendung von Impulsen zu äquidistanten Zeitpunkten abgetastet. Das so gewonnene Signal wird mit x(n) bezeichnet x(n) x c (nt). Die Fouriertransformierte von x(n) wird mit X(e j ) bezeichnet. b) Unter welcher Bedingung ist es möglich, das Signal x c (t) aus x(n) vollständig zu rekonstruieren? Begründung! Im folgenden gilt die unter b) gefundene Bedingung.

3 3 c) Geben Sie den Zusammenhang zwischen X c (j) und X(e j ) sowie und an. Zeichnen Sie den Real und Imaginärteil von X(e j ) d) Bestimmen Sie mit Hilfe der inversen Fouriertransformation für diskrete Signale das Signal x(n) aus X(e j ). Im folgenden gilt T 0. e) Ist es weiterhin möglich, das Signal x c (t) aus x(n) vollständig zu rekonstruieren? Begründung! f) Zeichnen Sie den Real und Imaginärteil von X(e j ) g) Bestimmen Sie x(n) aus x c (t). Hinweis: sin0 t t rect 0. Aufgabe 5: Berechnen Sie die Z Transformierte der Folge: x(n) cn n 0 0 sonst. Welcher Eingangsfolge entspricht dem Spezialfall c 1? Aufgabe 6: Berechnen Sie die zweiseitige Z Transformierte der Folge: x(n) c n n Aufgabe 7: Gegeben ist eine Zahlenfolge: x(n) an sin(nb) n 0 0 sonst. Wie lautet die Z Transformierte X(z)? Aufgabe 8:

4 4 Gegeben ist eine Z Transformierte X(z): z sin X(z) z 2, 2 z cos 1 k k 0, 1, 2, Wie lautet die inverse Z Transformierte von X(z): Aufgabe 9: x(n) 1 2j X(z) z n1 dz Gegeben ist die Differenzengleichung 1. Ordnung: y n k y n1 x n a) Skizzieren Sie die Ausgangsfolge dieses digitalen Netswerkes 1. Ordnung in Abhängigkeit von k, wenn als Eingangsfolge die Schrittfolge u n gewählt wird. b) Beschreiben Sie das digitale Netzwerk mit Hilfe eines Graphen. Aufgabe 10: Gegeben ist ein digitales Netzwerk zweiter Ordnung: y n k 1 y n1 k 2 y n2 x n a) Ermitteln Sie den entsprechenden Graphen. b) Wie lautet die Übertragungsfunktion dieses Netzwerkes? c) Wie lautet die Impulsantwort dieses Systems, wenn der Pol von H(z) zweiter Ordnung ist? d) Bestimmen Sie den Amplituden und Phasengang dieses Systems. Aufgabe 11: Die Ausgangsfolge y(n) eines LTI Systems erhält man aus der Faltung der Impulsantwort mit der Eingangssignalfolge x(n) y(n) k x(k) h(n k) a) Zeigen Sie, daß für die Fouriertransformierte von y(n) gilt: Y(e j ) H(e j ) X(e j ). b) Ermitteln Sie das Faltungsprodukt y(n) x(n) x(n), wobei x(n) eine Rechteckimpulsfolge der Länge M ist. x(n) 1 0 n M 0 sonst.

5 5 c) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von y(n) mit Hilfe von a). d) Leiten Sie mit Hilfe von a) das Parsevalsche Theorem ab. n x(n) X(e j ) 2 d X(e j ) 2 X(e j ) X * (e j ). Aufgabe 12: Leiten Sie folgenden Beziehungen ab. Folge Z Transformierte Aufgabe 13: Es sei h(n) eine Impulsantwort der Länge (2N+1). Ferner sei h(n) reell und gerade. Zeigen Sie, daß die Nullstellen von H(z) spiegelsymmetrisch zum Einheitskreis liegen. Aufgabe 14: Für viele Anwendungen ist es erforderlich, ein Netzwerk zu haben, welches Sinusfolgen erzeugt. Dies kann mit Hilfe eines Netzwerkes geschehen, dessen Impulsantwort h(n) durch folgende Gleichung beschrieben wird: h(n) e jw 0n u(n) Es soll ein digitales Netzwerk entworfen werden, das den Realteil und Imaginärteil von h(n) als separate reelle Ausgangsfolge realisiert. a) Ermitteln Sie die Z Transformierte des Real und Imaginärteils von h(n). b) Bestimmen Sie aus den Übertragungsfunktionen von (a) Differenzsysteme mit reellen Koeffizienten. c) Geben Sie ein gekoppeltes Netzwerk für beide Ausgangsfolgen mit einer minimalen Anzahl von Speichern an.

6 6 Aufgabe 15: Die Differenzengleichung eines Systems sei y n a yn1 x n xn1. a) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion, Amplituden und Phasengang des Systems. b) Warum wird ein solches System als Allpaß bezeichnet? Aufgabe 16: Die Differenzengleichung eines diskreten linearen Systems sei gegeben durch: y(n) 3 4 y(n 1) 1 8 y(n 2) x(n) 1 x(n 1). 3 Zeichnen Sie Signalflußdiagramme für kanonische Systeme der folgenden Formen: a) Direkte Form I b) Direkte Form II (transponierte Form) c) Kaskadenform d) Parallelform. Aufgabe 17: Gegeben ist ein diskretes System mit der z Übertragungsfunktion: H 1 (z) z 12 z 2 z 1 a) Ist das System stabil? (Begründung!) b) Ist das System minimalphasig? (Begründung!) c) Berechnen Sie die Impulsantwort h(n) des Systems. Zu dem gegebenen System wird ein weiteres mit der z Übertragungsfunktion in Reihe geschaltet. H 2 (z) z6 1 z 6 d) Charakterisieren Sie das System hinsichtlich seiner Phaseneigenschaft (Minimalphasigkeit, Linearphasigkeit). e) Berechnen Sie die Impulsantwort h(n) des Gesamtsystems. f) Ist das Gesamtsystem stabil? (Begründung!)

7 7 Aufgabe 18: X(k) sei die N Punkt DFT einer N Punkt Folge x(n). a) Es sei x(n) x(n 1 n). Zeigen Sie, daß dann gilt X(0) 0. b) Es sei x(n) x(n 1 n) und N gerade. Zeigen Sie, daß dann gilt X( N ) 0. 2 c) Berechnen Sie die DFT s der nachfolgend angegebenen Signalfolgen x(n) (n) x(n) (n n 0 ) 0 n 0 N x(n) a n 0 n N 1 x(n) 1 0 n N 2 0 sonst. Aufgabe 19: X(e j ) sei die Fouriertransformierte der Signalfolge x(n) 1 2 n u(n). Die 8 Punkt DFT einer Folge y(n)sei mit Y(k) bezeichnet, wobei Y(k) durch Abtastung von X(e j ) gewonnen wird. Y(k) X(e j2k8 ) Bestimmen Sie die Folge y(n) und die Differenz (n). (n) x(n) y(n) 0 n 8. Aufgabe 20: Gegeben sei eine reelle, ungerade und periodische diskrete Folge x(n). a) Leiten Sie ausgehend von der Deffinitionsgleichung der DFT die N Punkt DFT X(k) der Folge x(n) her, wobei N gerade ist. Stellen Sie X(k) als Summe rein imaginärer Terme dar. b) Beweisen Sie, daß folgendes gilt: X(k) X(N k) für k 1 N 1 X(0) 0.

8 8 c) y(n) sei eine reelle, gerade und periodische diskrete Folge. Leiten Sie ausgehend von der Deffinitionsgleichung der DFT die N Punkt DFT Y(k) der Folge y(n) her, wobei N gerade ist. Stellen Sie Y(k) als Summe rein reeller Terme dar. d) Beweisen Sie, daß folgendes gilt: Y(k) Y(N k) für k 1 N 1 Im folgenden wird die zyklische Faltung von x(n) mit y(n) betrachtet: e) Beweisen Sie, daß folgendes gilt: p(n) x(n) y(n) 1. P(k) P(N k) 2. p(n) p(n n) Aufgabe 21: Gegeben sei ein nichtrekursives System mit der Impulsantwort h(n) (n) (n 3). Es wird auf den Eingang des Systems die endliche Folge x(n) sin( n), n 0, 1,..., 5 2 gegeben. Das System soll mit Hilfe der zirkularen Faltung realisiert werden. Dazu soll die Ausgangsfolge y z (n) h(n) x(n) unter Verwendung der Diskreten Fourier Transformation (DFT) berechnet werden. Es wird dabei eine Transformationslänge der DFT von N=6 gewählt. a) Welche Symmetrie Eingenschaften besitzt die DFT von X(k)? b) Berechnen Sie die Diskrete Fourier Transformierten X(k), H(k) und Y z (k). Geben Sie dabei X(k), H(k) und Y z (k) in rein reeller Form an. c) Berechnen Sie die Ausgangsfolge y z (n) aus Y z (k). Das System soll nun mit Hilfe der linearen Faltung realisiert werden. d) Berechnen Sie y l (n) h(n)*x(n). e) Vergleichen Sie die Werte von y z (n) mit den Werten von y l (n). Begründen Sie die Unterschiede zwischen den Folgen. f) Wie groß muß die Transformationslänge N mindestens gewählt werden, damit das Ergebnis der zirkularen Faltung mit dem Ergebnis der linearen Faltung übereinstimmt?

9 9 Aufgabe 22: Gegeben sei die Folge x(n). 0 n 0 sonst. x(n) an, a 1 a) Bestimmen Sie die AKF xx (m) für x(n). b) Berechnen Sie aus xx (m) mit Hilfe der Wiener Khinchine Beziehung das Leistungsdichtespektrum P xx () für x(n). Hinweis: k0 a k cos(k) c) Berechnen Sie P xx () mit Hilfe der DFT aus x(n). 1 a cos 1 2a cos a 2. Aufgabe 23: x(n) sei eine Zufallsfolge mit weißem Rauschen, d.h. xx (m) 2 x (m) y(n) sei eine beliebige Zufallsfolge, für die gilt: yy (0) 2 y x(n) und y(n) seien statistisch unabhängig. z(n) ergebe sich aus der Beziehung Berechnen Sie E[z(n) z(n m)]. Aufgabe 24: z(n) x(n) y(n) Ein kontinuierliches Filter der Ordnung 2 werde durch seine Systemfunktion H a (s) beschrieben: H a (s) s 0 (s 0 ) {h a (t)} mit 0, 0 a) Welches Frequenzverhalten zeigt das Filter? (Begründung!) b) Für welche Werte von 0 und 0 ist das kontinuierliche Filter stabil? c) Bestimmen Sie die Z Übertragungsfunktion H(z) {h(n)} des zugehörigen diskreten Filters, für das gilt: h(n) h a (t) tnt

10 10 Geben Sie H(z) als rationale Funktion mit ausschließlich reellen Koeffizienten an. d) Die Ordnung des diskreten Filters hängt vom Abtastintervall T ab. Geben Sie die Ordnung von H(z) und die zugehörige Impulsantwort h(n) in Abhängigkeit von T an. Aufgabe 25: Gegeben ist der Amplitudengang H(j) eines normierten Butterworth Tiefpasses n er Ordnung. H(j) n Es ist die Übertragungsfunktion H(z) eines äquivalenten diskreten Systems für n=3 nach dem Impulsinvarianzverfahren zu bestimmen. a) Zerlegen Sie H(s) in Partialbrüche. b) Bestimmen Sie die Impulsantwort h(t) des kontinuierlichen Systems. c) Berechnen Sie das durch Abtastung der kontinuierlichen Impulsantwort in Zeitintervallen T gewonnene diskrete System H(z). d) Wie ist H(s) und H(z) abzuändern, wenn H(s) das nachfolgende Toleranzschema einhält? Aufgabe 26: Es soll ein digitaler Tschebytscheff Tiefpaß mit einer Grenzfrequenz von 3 Khz und einem Ripple von 0.5 db im Durchlaßbereich entworfen werden. Bei 5.5 Khz soll der Amplitudengang mindestens um 19 db abgefallen sein. Die Abtastfrequenz soll 30 Khz betragen. Für die Überführung der s Übertragungsfunktion in die z Übertragungsfunktion ist die Bilineare Transformation zu verwenden.

11 11 Aufgabe 27: Ein analoges Hochpaßfilter kann von einem analogen Tiefpaß dadurch bestimmt werden, daß in der Übertragungsfunktion s durch 1/s ersetzt wird. H a (s) G a ( 1 s ) Mit Hilfe der Bilinearen Transformation s z 1 sei das nachfolgend gezeigte digitale z 1 Tiefpaßfilter ermittelt ( Grenzfrequenz CTP ). Ermitteln Sie wie die Koeffizienten a, b, 2 c und d zu ändern sind, um einen Hochpaß zu erhalten ( Grenzfrequenz CHP 2 ). Aufgabe 28: Es sei h(n) die Impulsantwort eines FIR Filters mit reellen Koeffizienten, wobei h(n) 0 für n 0 und n N. Die Übertragungsfunktion kann dargestellt werden als H(e j ) H(e j ) e j() Ermitteln Sie () für 0, wenn h(n) die folgenden Bedingungen erfüllt: a) h(n) h(n 1 n) b) h(n) h(n1n) Aufgabe 29: Es sei h d (n) die Impulsantwort eines idealen gewünschten Systems und h(n) die Impulsantwort eines FIR Systems mit N Koeffizienten. Der mittlere quadratische Fehler zwischen beiden Systemen ist bei Benutzung eines Rechteckfensters gegeben durch: H d (e j ) H(e j ) 2 d. a) Die Fehlerfunktion E(e j ) H d (e j ) H(e j ) kann durch die Reihe E(e j ) n e(n)e jn

12 12 dargestellt werden. Ermitteln Sie die Koeffizienten e(n) als Funktion von h d (n) und h(n). b) Drücken Sie 2 durch e(n) aus und zeigen Sie, daß 2 minimal ist, wenn h(n) h d (n) 0 n N 1 0 sonst. Aufgabe 30: Zeigen Sie, daß aufgrund der Symmetrie der Filterkoeffizienten eines FIR Filters zu jedem gegebene Tiefpaß Filter mit charakteristischen Frequenzen p und s ein Filter mit den charakteristischen Frequenzen s und p ermittelt werden kann ( s Skizze). Anleitung: Führen Sie die Transformation durch, die die Tiefpaßfunktion H(e j ) in eine Hochpaßfunktion G(e j ) überführt. Mit H(e j ) 1 G(e j ) erhält man das Filter mit den geforderten Charakteristik.

13 13 Aufgabe 31: Der Frequenzgang H(e j ) eines reellen, kausalen Systems läßt sich darstellen als H(e j ) e jn1 2 H 0 (e j ), wobei N ungerade und H 0 (e j ) rein reell ist. a) Um welchen Filtertyp (FIR/IIR) handelt es sich? (Begründung) Gegeben sind 6 Bedingungen, die das obige System beschreiben: 1. H 0 (=0) = 0 2. H 0 (=) = 0 3. H 0 (= 2 ) = dh 0 (e j ) d 0 2 d 2 H 0 (e j ) d d 2 H 0 (e j ) d 2 0 b) Wie groß muß N gewählt werden, damit h(n) eindeutig bestimmt werden kann? Wieviele Werte von h(n) sind unabhängig? c) Berechnen Sie h(n) und geben Sie H 0 (e j ) für die berechnete Impulsantwort an.. Aufgabe 32:

14 14 Der Wunschfrequenzgang H(e j ) eines reellwertigen, nichtrekursiven digitalen Filters ist nachfolgend gezeigt: H(e j ) 1 A a) Ermitteln Sie die Koeffizienten der Fourier Reihenentwicklung des Frequenzganges. H(e j ) k Im weiteren gelte: 1 4, 2 2, A 1 2. h(k) e jk b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) des kausalen, linearphasigen Systems vom Grad 4, das durch Fourier Approximation des Wunschfrequenzganges gewonnen wird.