Stochastische Eingangsprüfung,

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1 Stochastische Eingangsprüfung, Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A) := 1 A XdP. Sei Y eine Zufallsvariable. Beweisen Sie Y dq = XY dp. Hinweis: Beweisen Sie diese Gleichung erst für Treppenfunktionen. Sei Y = n α i 1 Ai, α i, A i A, i = 1,...,n eine Treppenfunktion. Dann gilt laut Konstruktion des Integrals bezüglich Q ( n ) Y dq = α i Q(A i ) = α i 1 Ai XdP = α i 1 Ai X dp = Y X dp. Sei nun Y. Es gibt eine Folge (Y n ) n N von Treppenfunktionen mit Y n f.s. und Y n ր Y f.s. Aus der Konstruktion des Integrals folgt Y dq = lim Y n dq. Da Y n eine Treppenfunktion ist, gilt wie oben gezeigt Y n dq = Y n X dp. Aus Y n ր Y f.s. folgt auch Y n X ր Y X f.s. Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt lim Y n X dp = Y X dp. Insgesamt haben wir also gezeigt: Y dq = lim Y n dq = lim Y n X dp = Y X dp. Aufgabe (18 Punkte) Eine Arbeitsunfähigkeitsversicherung übernimmt die aufgrund von Arbeitsunfähigkeit entstehende Finanzierungslücke in den Zahlungsverpflichtungen aus einer Kreditfinanzierung. Für eine solche Versicherung wird die Dauer der Arbeitsunfähigkeit T in Jahren als Zufallsvariable mit Dichte { β xe (βx) x > f(x) = (1) sonst modelliert, wobei β > ist. 1

2 (a) Beweisen Sie, dass f eine Dichte ist. (b) Weisen Sie nach, dass E(T) = und bestimmen Sie die Varianz von T. Hinweis: e x dx = (c) Es wird eine Karenzzeit von,5 Jahren eingeführt, d.h. die Versicherung leistet erst wenn die Dauer der Arbeitsunfähigkeit,5 Jahre überschreitet. Die Leistungdauer der Versicherung sei T. β (i) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von T. (ii) Besitzt die Zufallsvariable T eine Dichte? Begründen Sie Ihre Antwort. Zu (a) f ist stetig und folglich messbar, und es gilt f. Zu zeigen ist Für a > ergibt sich a f(x)dx = Mit a folgt a f(x)dx = 1. a β xe (βx) dx = e (βx) = 1 e β a. R f(x)dλ 1 = f(x)dx = 1. Die Verteilungsfunktion F ist wegen obiger Rechnung gegeben durch { 1 e β x x > F(x) = sonst. Somit folgt E(T) = (1 F(x)) dx = e β x dx = 1 β Ferner erhält man mittels partieller Integration für a > a β x 3 e (βx) dx = a x ( xβ e (βx)) dx a = x e (βx) + a = a e (βa) 1 β e (βx) e y dy = xe (βx) dx = a e (βa) 1 β e (βa) + 1 β a β. ()

3 Der Grenzübergang a führt zu E(T ) = β x 3 e (βx) dx = 1 Var(T) = 1 β π 4β = 4 π 4β. Zu (c) (i) Sei F die Verteilungsfunktion von T. Es gilt T = max(;t,5). Somit gilt P( T < ) =, P( T = ) = P(T,5) = e,5 β. Für t > erhalten wir P( T t) = P( T = ) + P( < T t) = P( T = ) + P( < T,5 t) = P( T = ) + P(,5 < T t +,5) = P( T = ) + P(T t +,5) P(T,5) = P(T t +,5) = 1 e β (t+,5). Zusammengefasst ergibt sich { P( T t < t) = 1 exp ( (β(t +,5) ) t. (ii) Wegen P( T = ) > besitzt T keine Dichte. β Aufgabe 3 (18 Punkte) Wir betrachten weiter die Modellierung der Dauer der Arbeitsunfähigkeit T mittels (1) der vorigen Aufgabe. Gegeben seien unabhängige Beobachtungen t 1,...,t n der Dauer, wobei n = 1, 1 t i = 1773, 1 t i = 3969 (a) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood Schätzer und den Schätzwert für β zu den gegebenen Beobachtungen. (b) Bestimmen Sie mittels () aus den Daten einen Schätzwert für β mit der Momentenmethode. Zu (a) Die gemeinsame Dichte der unabhängigen Zufallsvariablen T i T, i = 1,...,n führt zu einer Likelihood L und ihrer Loglikelihood l: np n L(β) = β t i e β t i = n β n e β t n i n l(β) = ln( n ) + nln β β t i + l (β) = β l (β) = t i + n β t i n β < t i ln(t i ) 3

4 Es ergibt sich für ˆβ = n s n np Ti np t i für β und der Schätzwert das Maximum von l und somit der ML-Schätzer ˆβ = =,5. Schätzer des Erwartungswerts ist der Mittelwert der Stichprobe t = 1 n t i = = 1,773. Mit der Momentenmethode ergibt sich t = ˆβ = ˆβ π = 1,773 =,5. Aufgabe 4 (11 Punkte) Wir betrachten weiter die Modellierung der Dauer der Arbeitsunfähigkeit T mittels (1), wobei der Parameter β in (1) nicht mehr fest sondern zufallsabhängig sei. Bei jedem Versicherungsfall wird angenommen, dass ein anderer Parameter β vorliegt (das wäre beispielsweise der Fall, wenn das Kollektiv nicht homogen ist). Der Parameter β wird nun als Ergebnis einer Zufallsvariablen B modelliert, die Γ(,λ)-verteilt ist mit λ > (die Dichte finden Sie in der Formelsammlung). (a) Bestimmen Sie E(T B). (b) Bestimmen Sie E(T). (c) Geben Sie die gemeinsame Dichte von (T,B) an. Zu (a) Laut () gilt E(T B) = B. Die Dichte f B von B ist gegeben durch E(T) = E(E(T B)) = E = λ f B (b) = λ be λb 1 (, ) (b). ( ) π π 1 = B b λ be λb db e λb db = λ. Zu (c) Die gemeinsame Dichte g ist für (t,b) (, ) gegeben durch g(t,b) = g(t b)f B (b) (1) = b te (bt) λ be λb = λ b 3 te (bt) λb, 4

5 und andernfalls ist sie gleich. Aufgabe 5 (3 Punkte) Es wurden bei je drei Personen der Alter 3,35,4,45,5 die Dauer der Arbeitsunfähigkeit untersucht. Folgende Daten wurden erhoben: Nr. Alter Krankheitsdauer y i 1 3 5,4 3 4, , , , , , , , , , , , , ,8 (a) Bezeichnet man mit x i das Alter und y i die Krankheitsdauer, so wird das Modell Y i = a + bx i + ε i, i = 1,...,15 untersucht. Die ε i seien unabhängig und N(,σ )-verteilt. Testen Sie zum Niveau α = 1 % die Hypothese b =. Interpretieren Sie das Ergebnis. Sie können verwenden: x = 4, 15 (x i x) = y = 4,44, (y i y) = 1,47, 15 (y i y)(x i x) = 49,9. (3) (b) Es wird nun angenommen, dass für die Krankheitsdauer Y N(µ,σ ) gilt. Geben Sie Konfidenzintervalle zum Niveau 1 α = 99% für µ und σ an. Verwenden Sie dabei die Ergebnisse aus (3). Zu (a) 5

6 Es ergeben sich folgende Schätzwerte: 49,9 ˆb = 75 =,665 â = y ˆbx = 4,44,665 4 = 1,78 ˆσ = 1 ) (1,47 49,9 =, ,738 se(ˆb) = =,36 75 T = ˆb b se(ˆb) =,665,36 =,173. Die Hypothese b = wird nicht abgelehnt, denn T < t 13;,995 = 3,1. Somit wird die Hypothese, dass die Dauer der Arbeitsunfähigkeit nicht vom Alter abhängt, angenommen. Es handelt sich um eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekannter Varianz. Es ergeben sich mit den Quantilen ˆµ = 4, 44 ˆσ = 1,47 =, t 14;,995 =,977, χ 14;,5 = 4,75, χ 14;,995 = 31,319 für µ bzw. σ die Konfidenzintervalle [ ˆµ ˆσ t 14;,995, ˆµ + ˆσ t ] [ 14;,995 = 4,44,944,977,4,44 +,944,977 ] [ 14 ˆσ ; χ 14;,995 ] 14 ˆσ χ 14;,5 = [3, 71; 5, 17] bzw. = [,398;3,6]. 6

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