Hochschule München Fakultät Wirtschaftsingenieurwesen Datenanalyse

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1 Hochschule Müche Fakultät Wrtschaftsgeeurwese Dateaalyse Prof. Dr. Volker Abel Verso.

2 Ihaltsverzechs Ihaltsverzechs. Auswertug ud Modellerug vo Zähldate.... Auswertug vo prozetuale Häufgkete.... Auswertug eer mttlere Azahl Modellerug vo Zähldate Modell Hypergeometrsche Vertelug Modell Bomal Vertelug Modell Posso Vertelug....4 Modellwahl....5 Der -Apassugstest.... Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Maßzahle für de Lage Arthmetsches Mttel Meda (Zetralwert) α Quatl Maßzahle für de Streuug Spawete Iter-Quartl-Spawete Varaz Stadardabwechug Mttlere absolute Abwechug vom Mttelwert Mttlere absolute Abwechug vom Meda Meda absolute Abwechug Maßzahle für de Schefe Dot Plot....5 Hstogramm....6 Stamm- ud Blatt- Darstellug....7 Bo-ad-Whsker-Plot....8 Summehäufgketsfukto / emprsche Vertelugsfukto Ee Zufallsstchprobe...5. Statstsche Atelsbereche Zwesetger Atelsberech Esetger Atelsberech Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe... 9 Hochschule Müche / FK 9 WI Ihalt I

3 Ihaltsverzechs 3. Kolmogorov-Smrov-Test Tücke vo Sgfkaztests (Hypothesetests) Zusammefassug Modellerug vo metrsche Date Allgemee Vorbemerkuge Epoetalvertelug Das Modell Erkee der Vertelug ud Schätzuge des Parameters Normalvertelug Das Modell Erkee der Vertelug ud Schätze der Parameter Appromatoe statstscher Verteluge durch de Normalvertelug De Kosusvertelug Das Modell Schätzug der Parameter ud Verglech mt der Normalvertelug Webull-Vertelug Das Modell Erkee der Vertelug ud Schätze der Parameter Idustral Statstcs Statstcal Process Cotrol (SPC) Itroducto De wchtgste Regelkarte Normalvertelug ud SPC Capablty Idces Itroducto Prozessbeherrschug ud Prozessfähgket Normalvertelug ud Fähgketsdzes Kosusvertelug ud Fähgketsdzes Relablty Egeerg Ausfallrate / falure rate h() h() für de Epoetalvertelug h() für de Webullvertelug Korrelato ud Regresso Korrelato Regresso Efache leare Regresso Efache cht leare Regresso Mehrfache (Multple) leare Regresso Hochschule Müche / FK 9 WI Ihalt II

4 Ihaltsverzechs 7. Etwas Allerle zum gute (?) Schluss Das Geburtstagsproblem Das Zegeproblem Das Gesetz vo Beford...88 Hochschule Müche / FK 9 WI Ihalt III

5 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse. Auswertug ud Modellerug vo Zähldate. Auswertug vo prozetuale Häufgkete Ist be eer Zufallsstchprobe vom Umfag o o das Ergebs A m mal egetrete, oder de Frage A m mal bejaht worde, m so st p % de prozetuale (relatve) Häufgket vo A der Stchprobe (m st de absolute Häufgket). Ee Stchprobe st e Tel eer umfassedere Mege, der Grudgesamthet oder Populato. We groß st, mt Hlfe des Stchprobeergebsses geschätzt, de prozetuale Häufgket vo A der Grudgesamthet? Eakt weß ma das atürlch cht. m pˆ st e sogeater Puktschätzer. Se Vortel: Nur e Wert Se Nachtel: Fast scher falsch, de warum sollte prozetuale Häufgket der Stchprobe ud der Grudgesamthet detsch se? Statstker bevorzuge deser Stuato ee Itervallschätzug (Kofdeztervall). Ihr Nachtel: E Itervall st cht so scharf we e Pukt. Ihr Vortel: Ma ka agebe, welches Vertraue ma deses Itervall habe ka. D.h. ma ket de Wahrschelchket, mt der das Itervall de ubekate Häufgket der Grudgesamthet überdeckt. Bespel Vo 3 zufällg ausgewählte Persoe ( Deutschlad lebed, über 8 Jahre) wsse m 76 Persoe, wer als euer SPD-Vorstzeder vorgeschlage st. 76 p,586 58, 76% st de prozetuale Häufgket der Stchprobe. We scher 3 (vertraueswürdg) st deser Wert für de Grudgesamthet? Kofdeztervall für de prozetuale Häufgket der Grudgesamthet (Vorraussetzug: p p 9) (.) p u m mz z z m z 4 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

6 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse (.) p o m mz z z m z 4 Dabe st z (de Werte stamme aus der sog. Normalvertelug, sehe S.4) Vertraue 9% 95% 99% z,645,96,578 Bemerkuge. Ist p p 9, so sd och komplzerte Formel vo CLOPPER ud PEARSON zu verwede (Fachlteratur).. Was gescheht mt de Itervallgreze p u ud a) gar cht b) mmer etrtt? p o, we das Eregs A Tafelaschreb Das Itervall pu, poheßt zwesetg. Machmal teressert ma sch für e esetges Kofdeztervall, p o bzw. p, u. Es gelte deselbe Formel (- / -) mt dem Utersched, dass das Vertraue der z-tabelle cht mehr 9%, 95%, 99% st, soder 95%, 97,5%, 99,5%. I vele Lehrbücher fdet ma och efachere, aber etwas schlechtere Formel: (.3) p u m m m z (.4) p o m m m z (Dese Formel wolle wr her cht verwede) Aber: Mt deser Formel ka ma de Frage ach dem otwedge Stchprobeumfag beatworte. De Atwort hägt ab vom o Vertraue ud der o Itervallbrete ( po pu ). Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

7 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse m m m m m m m m po pu z z z p p z d (.5) p p Problem: p ud damt p p z d sd ubekat. Lösug: a) Wr ehme de schlmmste Fall: f p p p Mamal? p p f ' p p p,5 f '' p alsomamum f,5,5,5,5 st Mamalwert 4 z z d 4 d z d Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 3

8 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse b) Es legt Erfahrugswsse vor z.b. Grüe p, f p p p mamal we p,,,8,6 z d,6 Bsher wurde vorausgesetzt, dass der Umfag N glech der Grudgesamthet st. Jetzt soll N ee edlche Zahl se. Da sd de Greze des Kofdeztervalls gegebe durch: (.6),5,5 ' m m N p u pu N m m m m N (.7) po' p o N wobe p u ud Faustregel: p o de aus de Formel - ud - berechete Werte sd. Ist, 5 N, ka auf de Edlchketskorrekter N N werde. Bewes Tafelaschreb de Formel -6 ud -7 verzchtet. Auswertug eer mttlere Azahl Ausgagspukt st das vo dem deutsch-russsche Mathematker L. vo Borkewcz 898 veröffetlchte Stadardbespel, welches vele Lehrbücher auf der gaze Welt beutzt wrd. I Regmeter der preußsche Armee gab es eem Zetraum vo Jahre folgede (absolute) Häufgkete vo durch Huftrtt getötete Soldate. Azahl der Todelsfälle Absolute Häufgket pro Jahr & Regmet Jahre be Regmeter Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 4

9 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse We groß st de mttlere Azahl der durch Huftrtt getötete Soldate pro Jahr ud Regmet? ,6 Seht ma des als ee Zufallsstchprobe a, stellt sch de Frage ach der mttlere Azahl der Grudgesamthet (alle Regmete, lägere Zet). Es stellt sch also de Frage ach eem Kofdeztervall für. Vertraue Notato: Umfag der Stchprobe Gesamtzahl vo ' A' der Stchprobe (.8) u ; (.9) o ; 5, % 5, %,5% 95% 95%,5% Ee Tabelle der sogeate -Vertelug fdet sch auf der Sete 5..3 Modellerug vo Zähldate X = Zahl der A der Zufallsstchprobe.3. Modell Hypergeometrsche Vertelug De Grudgesamthet besteht aus N Elemete. Davo habe M Elemete de Egeschaft A (ud der Rest N M de Egeschaft A ( cht A )). Aus der Gesamthet werde Elemete zufällg ud ohe Zurücklege ausgewählt. Da st de Wahrschelchket, dass davo k Elemete de Egeschaft A (ud k de Egeschaft A ) habe: Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 5

10 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse (.) PX k M N M k k N wobe der Bomalkoeffzet defert st als a a! b b! a b! a! 3... a! X heßt da hypergeometrsch vertelt ud hat de Erwartugswert M (.) EX ( ) N ud de Varaz (.) var( ) N M M N N N ud M p als de Atel der Gesamthet mt Egeschaft A. N m (cht zu verwechsel mt p Kaptel.) Bespel N 9 Studete M 7 Fraue N M Mäer 5" Zehuge" X Zahl der Fraue We hoch st de Wahrschelchket, dass ma aus 9 Studete, vo dee 7 Fraue sd, mt 5 Zehuge ohe Zurücklege 4 Fraue auswählt? PX 4,36 3,6% Bespel E Kude erhält ee Leferug vo 5 Atrebswelle. Aus Erfahrug muss der Leferat der aehme, dass % zu beastade sd. De Egagskotrolle des Kude wählt 5 Welle zufällg aus. a) We vele schlechte Welle werde wohl gefude? Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 6

11 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse kommt drauf a:,,,..., mmal mamal zu erwarte sd: EX ( ) M p 5, N b) We groß st de Wahrschelchket, dass o kee o höchstes o mdestes schlechte Welle gefude werde? N 5 M N M 49 ( p %) 5 P X P X 49 5,345 34,5% ,3939,% 5 5 PX,345,39,736 73,6% P X P X P X, 736, 64 6, 4% dskrete Vertelug 3PX PX PX PX P X De Parameter N ud M werde de Lehrbücher mmer als bekat vorausgesetzt. I der Realtät sd se mest ubekat ud müsse mttels eer Stchprobe geschätzt werde. o N ubekat: capture / recapture-modelle s. Übugsaufgabe o M M ubekat: also auch p ubekat N Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 7

12 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse Ist der Stchprobe m de Azahl der Elemete mt Egeschaft A, so st der Atel der Stchprobe m p Setze wr für das ubekate p de Puktschätzer ˆp, also M m N Puktschätzer für M., so st m ˆM N der.3. Modell Bomal Vertelug E Epermet wrd mal uabhägg durchgeführt. De Zufallsvarable X zählt, we oft dabe das Ergebs A etrtt. Setzt ma p PA ( ), so glt: k k (.3) PX k p p k X heßt da bomalvertelt mt dem Erwartugswert: (.4) E X für k,,,..., p ud der Varaz : (.5) var X p p. Bespel Se würfel 5-mal ud teressere sch be jedem Wurf, ob ee Prmzahl etrtt. X = Azahl der Prmzahle be füf Würfe A,,3,5 PA 4 p P X P X P X P X 5 5, , , , Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 8

13 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse P X P X 4 5 4, , E X p , Setzt ma M p N, so habe de hypergeometrsche Vertelug (Zehe ohe Zurücklege) ud de Bomal-Vertelug (Zehe mt Zurücklege) de gleche Erwartugswert, aber verschedee Varaze: Varaz der hypergeometrsche Vertelug M M N N N N N p p N N p p N p p N p p we " kle" N Varaz der Bomalvertelug Faustregel für kle :,5 (d.h. Auswahlsatz 5% N ). Hat ma Zehe ohe Zurücklege ud,5 N, darf stattdesse de Bomal-Vertelug (Zehe mt Zurücklege) verwedet werde. Puktschätzug vo p p P A wrd durch de relatve Häufgket vo A der Stchprobe geschätzt. Der Werteberech der bomalvertelte Zufallsvarable X st etfällt be der POISSON Vertelug.,,,...,. Ee solche Obergreze Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 9

14 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse.3.3 Modell Posso Vertelug Ee Zufallsvarable X heßt Possovertelt, we P X k e k! (.6) Es st der Erwartugswert: (.7) E X k für k,,,...,. ud de Varaz: (.8) var X. Puktschätzug vo Da E X, wrd durch de Mttelwert der Stchprobe geschätzt. ( st das vo Kaptel.) ˆ Puktschätzer für Bespel I Europa stürze m lagjährge Mttel,3 Verkehrsflugzeuge pro Jahr ab. We groß st de Wahrschelchket, dass eem Jahr,,,3 Verkehrsflugzeuge Europa abstürze?, 3,3, 3 PX e, 7945!,3, 3 PX e,87!,3, 3 PX e,!,998 P X Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

15 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse.4 Modellwahl X : Zehe ohe Zurücklege: Hypergeometrsche Vertelug mt NM,,., p Zehe mt Zurücklege: Bomal-Vertelug mt. N p, Zehe ohe Zurücklege ud 5, : Bomal-Vertelug mt. X (kee Obergreze) Possovertelug. Ist be der hypergeometrsche Vertelug o N ubekat, so wrd es mt eem capture / recapture-verfahre geschätzt (vgl. Übugsaufgabe). o M ubekat, so wrd gesetzt m M N, also m ˆM N p N. Ist be eer Bomal-Vertelug p ubekat, so wrd es durch de prozetuale Häufgket m der Stchprobe geschätzt. Für alle adere Verteluge vo Zähldate (kl. der Possovertelug) st das Modell zuächst ur ee Vermutug (Hypothese), de ahad der Stchprobe durch ee Apassugstest überprüft werde muss..5 Der -Apassugstest CHI Soll de Hypothese eer vermutete Wahrschelchketsvertelug getestet werde, so st der -Apassugstest der bekateste Test. H : p, p,..., pm st de Wahrschelchketsvertelug vo m Klasse. Um zu teste, wrd ee Stchprobe vom Umfag gezoge. H O, O,..., m O sd de beobachtete ( observed ) absolute Häufgkete. (.9) m O O H De werde mt de, uter zu erwartede ( epected ) Häufgkete E p (.) Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

16 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse folgedem Ausdruck verglche: (.) T m O E E Sd alle p 5, so folgt T äherugswese der so geate -Vertelug mt (.) f m Frehetsgrade. Tabelle der ² -Vertelug auf Sete 5. Ablesebespel: f 8 ;,975 8;,975 7,53 Zum Sgfkazveau wrd H abgeleht, we T (aus Tabelle). f ; Aderfalls wrd H cht abgeleht. H H = Wahrschelchket, de Fehler.Art zu begehe ( abzulehe, obwohl wahr st) Bespel Be eem Spaltugsversuch der Bologe werde 3 Phäotype m Verhälts : : erwartet. Epermetell ermttelt wurde das Verhälts4 : 5 :6. Ist damt de Vermutug wderlegt? H :Bologsche Theore p p p Be 8 Versuche 4 5 6wäre de Häufgkete E E 4 E zu erwarte. Wderspreche de Beobachtuge auf sgfkate Wese der Vermutug? 3 O 4 O 5 O 6 3 T 3 O E E Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

17 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse % 4, 6 H ;,9 ;, , 4 ablehe :: falsch 5% 5,99 H cht ablehe :: köte rchtg se Bespel E homogeer Tel ees Sees wrd Parzelle utertelt. Es wrd gezählt, we vele Techmuschel es pro Parzelle gbt. De Date sd: Techmuschel 3 4 Azahl der Parzelle zu lese: I 57 vo Parzelle fdet der Taucher kee Techmuschel. Ist de Zahl der Techmuschel pro Parzelle POISSONvertelt mt Mttelwert? PX e! E PX e! E PX e! E PX e 3! E,368,368 44,6,368,368 44,6,84 3,84,8 3 3,6 4,6 7,3,98 P X 4,98,9 E,9, 8 5 5!!! Neue Etelug Techmuschel 3 Azahl der Parzelle O eue E 44,6 44,6,8 9,6 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 3

18 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse H : Zahl der Techmuschel pro Parzelle st POISSONvertelt mt , ,6 3,8 9,6 T 8, 74 44,6 44,6,8 9,6 f m4 3,5 7,8,74 7,8 3;,95 Da 8 st, st H abzulehe., 5 9,35 3;,975 Da 8,74 9,35 st, st H cht abzulehe. Müsse be der Wahrschelchketsvertelug r ubekate Parameter geschätzt werde, so st de Azahl der Frehetsgrade ur och: (.3) f m r Bespel H : Zahl der Techmuschel pro Parzelle st POISSONvertelt. Da cht eplzt aufgeführt wrd, muss es geschätzt werde. H Puktschätzug vo : ˆ ,84 Da geschätzt wrd, kostet es us r Frehetsgrade. Techmuschel pro Parzelle 3 O p,84,84 e!,43,36,5,6 E p 5,6 43, 8 7, T 57 5, , 3 8 7, 4,36 5,6 43, 8 7, f mr 4 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 4

19 . Auswertug ud Modellerug vo Zähldate Dateaalyse, 4, 6 ;,9 Da 4,36 4, 6 wrd H cht abgeleht. Für, wrd H erst recht cht abgeleht. Zahl der Techmuschel pro Parzelle köte POISSONvertelt se. Tabelle - Ch²-Vertelug Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 5

20 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse. Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Date:... ugeordeter (chroologscher) Rehefolge (Urlste) ( ) ( )... ( ) geordeter Rehefolge: ( ) ( )... ( ) (sortert ach Größe) Bespel Steel ball beargs Frst le Maßzahle für de Lage.. Arthmetsches Mttel (Average, Mea) (.)... Bemerkug: ( ) Bespel Steel ball beargs,94,94.. Meda (Zetralwert) (.) ugerade : (.3) gerade : Der Meda gbt de Zetralwert eer Stchprobe a. Ist de Azahl der Messuge () ugerade, etsprcht der Zetralwert geau dem mttlere Elemet. D.h.: 7 Ist de Azahl der Messuge () gerade, etsprcht der Zetralwert dem Mttelwert der bede der Mtte platzerte Messuge. D.h.: (4) (5) 8 (4) Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 6

21 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Bespel Steel ball beargs (5) (6),8,9,85..3 α Quatl (Quatle, Percetle) gazzahlg: (.4) Q( ) ( ) ( ) mt < < cht gazzahlg: (.5) Q( ) ( k ) wobe k de auf ächst folgede gaze Zahl st Besodere Quatle: Q(,5) = Meda (Zetralwert) = 5%-Pukt Q(,5) = uteres Quartl = 5%-Pukt Q(,75) = oberes Quartl = 75%-Pukt. Maßzahle für de Streuug.. Spawete (Rage) R mamum mmum (.6) ( ) () Bespel Steel ball beargs R () (), 6, 69,93.. Iter-Quartl-Spawete (.7) IQR Q(,75) Q(,5)..3 Varaz (Varace) (.8) ( ) s ( ) Bemerkug: = Zahl der Frehetsgrade Bespel Steel ball beargs s (,94),84 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 7

22 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse..4 Stadardabwechug (Stadard Devato) (.9) s s ( ) Bespel Steel ball beargs s,84, 9..5 Mttlere absolute Abwechug vom Mttelwert (.) MA Bespel Steel ball beargs, 54, 34,74,4, 4, 4,6, 6, 336, 46 MA, 8..6 Mttlere absolute Abwechug vom Meda MA (.) Bespel Steel ball beargs, 495, 35,65, 95, 5, 5,35, 35, 345, 435 MA,..7 Meda absolute Abwechug (Meda Devato) (.) MAD Meda ;,..., Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 8

23 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Bespel Steel ball beargs,5,5,95,35,65, 35,35,345, 435, 495 ach der Größe sortert,65,35 D, Meda Amerkug: Der Meda geht cht auf ugewöhlche Ausreßer e..3 Maßzahle für de Schefe (Skewess) (.3) Schefe I s Schefe I lksstel ( rechtsschef ) Schefe I Schefe I rechtsstel ( lksschef ) Schefe I (.4) Q(, 75) Q(, 5) Q(,5) Schefe IIa Q(, 75) Q(, 5) (.5) Q(,9) Q(,) Q(,5) Schefe IIb Q(,9) Q(,) (.6) Schefe III ( ) s 3 3 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 9

24 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Bespel aus D. Dra (Itel Corporato) Wderstadsmessuge (Date auf der ächste Sete) 3,,, ; s 3,8; Q(, 75) 3, 3; Q(, 5),; Q(, 9) 5, 6; Q(,), 3 (3) (4) Schefe I 3,, 9 3,8 3,3, Schefe IIa,8 3,3, 5,6,3 Schefe IIb,36 5,6,3.4 Dot Plot Auf der -Achse wrd zu jedem Wert der Stchprobe e Symbol (z.b. Pukt) geplottet. Kommt e Wert mehrfach vor, werde de Symbole übereader gestapelt. Bespel Steel ball beargs Frst le Hstogramm Der Messwertberech wrd ee gewsse Azahl vo glechlage Itervalle (Klasse) utertelt ud über jede Klasse e Rechteck gezechet, desse Höhe proportoal zur (relatve) Häufgket der Werte st, de deser Klasse lege. Probleme: Je ach Wahl der Klassebrete ud Klasselage (Klassemtte) köe sehr uterschedlche Darstelluge etstehe. Rchtge Wahl der Klassebrete: Es gbt Faustregel (u.a. vom DIN), aus der Stezet der Statstk, aber auch wsseschaftlche Lösuge z.b. vo Freedma u. Dacos: ( (,75) (, 5)) Q optmale Klassebrete Q (.7) 3 mt Zahl der Messwerte Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

25 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Rchtge Wahl der Klasselage (Klassemtte): Es gbt weder ee Faustregel och wsseschaftlche Asätze. Bespel aus D. Dra (Itel Corporato) Wderstadsmessuge Order RHO 8,6,,3,3,6,8,8,9,,3,5,5,7,7,8,8 (%) 3, 6,5 9,7,9 6, 9,4,6 5,8 9, 3, 35,5 38,7 4,9 45, 48,4 5, ,,4,5,5,5,6 3, 3, 3,3 3,7 4,4 4,6 5,5 5,6,,6 8, 54,8 58, 6,3 64,5 67,7 7, 74, 77,4 8,6 83,9 87, 9,3 93,5 96, , Q(,5), Q(,5), Q(,75) 3,3 R 9,4 s 3,8 ( Q(,75) Q(, 5)) (3,3,) Klassebrete, Hstogramm Häufgket Etelug glech größe Itervalle.6 Stamm- ud Blatt- Darstellug (Stem-ad-Leaf-Plot) De führede Zffer blde de Stamm, de letzte Zffer das Blatt. De Blätter ees Stammes werde aufstegeder Folge aufgereht. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

26 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Bespel aus D. Dra (Itel Corporato) Wderstadsmessuge We Hstogramm, jedoch gehe Ezelwerte cht verlore ud es wrd das Problem der Klassebrete ud -lage umgage. Lege de Messwerte z.b. mt zwe Dezmalstelle hter dem Komma vor, ka de letzte Zffer efach weggelasse werde..7 Bo-ad-Whsker-Plot a) Über der Achse der Messwerte (Mess-Skala) wrd e Kaste (Bo) gezechet, der vom utere Quartl (Q(,5)) bs zum obere Quartl (Q(,75)) recht. b) Auf der Höhe des Medas (Q(5%)) wrd der Kaste durch ee Treugsstrch zwe (cht otwedgerwese glech große) Tele getelt. c) E Whsker (Schurrhaar) geht vom utere Kasteede bs zum kleste Datewert, der och über Q(,5),5 ( Q(,75) Q(,5)) legt. Der adere Whsker geht vom obere Kasteede bs zum größte Datewert, der och uter Q(,75),5 ( Q(,75) Q(,5)) legt. d) Datewerte jesets der Bo & des Whskers gelte als Ausreßer ud werde z.b. durch ee Ster * markert. Schematsche Darstellug: Q(5%) Q(5%) Q(75%) Hochschule Müche / FK 9 WI Sete

27 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Iterpretato: a) Mttelwert Q(,5) = Meda b) Streuug De Kasteläge umfasst de zetrale 5%; Bo & Whsker de Streubrete des gaze, ausreßerberegte Datesatzes. De bede Whsker ud Kastetele vertel (ausreßerberegt) de gaze Datesatz. c) Schefe / Symmetre Perfekte Symmetre legt vor, we bede Kastetele glech bret ud Whsker glech lag sd. Je mehr davo abgewche wrd, desto schefer st de Vertelug. d) Ausreßer Werte, de cht ormal sd. Achtug: Aus dem Bo-Plot geht cht hervor, ob de Vertelug e- oder mehrgpflg st. Dazu vellecht e Hstogramm zu c) Schefe / Symmetre Symmetrsch glech große Whsker glech große Kastetele usymmetrsch verschede lage Whsker verschede große Kastetele Bespel aus D. Dra (Itel Corporato) Wderstadsmessuge Q(,5), Q(,5), Q(,75) 3,3 Uterer Whsker: Q(, 5),5 ( Q(,75) Q(, 5)),,5 (3,3,) 7,8 Whsker geht bs 8,6 (der kleste Wert der Stchprobe, welcher über 7,8 legt) Obere Whsker: Q(,75),5 ( Q(,75) Q(,5)) 3,3,5 (3,3,) 6,6 Whsker geht bs 5,6 (der größte Wert der Stchprobe, welcher cht über 6,6 legt) Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 3

28 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse 8,6,, 3,3 5,6.8 Summehäufgketsfukto / emprsche Vertelugsfukto De Summehäufgketsfukto oder de emprsche Vertelugsfukto st defert durch: (.8) De grafsche Darstellug ergbt ee TREPPE, de für Stelle ( k ) F ( ) Azahl () ( k) ; ( k ) um dere Häufgket de Höhe sprgt: F ( ) k für ( k) ; ( k) kostat st ud a de (Machmal werde de Stufeafäge durch ee Polygozug mteader verbude) seht gut aus, st aber der Awedug cht korrekt!!! F ( ) spelt der mathematsche Statstk ee große Rolle. Auch Igeeure verwede se gere, allerdgs der Polygoverso, um damt Quatle zu bestmme. Summehäufgket usw. 8, 6,,3,6,8 emprsche Vertelugsfukto Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 4

29 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse Summehäufgket 5 33 % usw. Q(%) 8, 6,6,8 Polygozug Das Ergebs st aber ledglch ee Näherug a de Quatle Q( ), we wr se defert habe..9 Ee Zufallsstchprobe Ee Zufallsstchprobe (radom sample) st ee re zufällg, aus eer feste Gesamthet (populato) oder eem feste Prozess, etommee Stchprobe. Postves Bespel: Zehe der Lottozahle ( 7 aus 49 ) Negatves Bespel: De awesede 44 Studete sd kee Zufallsstchprobe aus der Gesamthet der mmatrkulerte Studete. De Etahme eer klee Mlchprobe a der Oberfläche eer Mlchkae st kee Zufallsstchprobe. Mt eer Zufallsstchprobe wll ma de Repräsetatvtät eer Stchprobe für de zugehörge Gesamthet erreche. Zufall st bld We gewährlestet ma ee Zufallsauswahl? a) Gesamthet edlch (auch große) Jedes Elemet der Gesamthet muss de gleche Chace habe, de Stchprobe zu gelage. Hlfsmttel: Zufallsgeerator b) Gesamthet uedlch / Prozeß Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 5

30 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse De Messwerte solle statstsch uabhägg se, d.h. der Wert eer Messug beeflusst ke(st)er Wese de Wert eer adere Messug. Hlfsmttel: Fachwsse des Messede De etwas aspruchsvollere mathematsche Verfahre setze ee Zufallsstchprobe voraus. I der Pras sd de hehre Przpe cht lecht, machmal gar cht realserbar. Auch we kee Zufallsstchprobe vorlegt, tut ma so, als ob bzw. ma st sch der Tatsache gar cht bewusst, dass ee Zufallsstchprobe be der Awedug des Verfahres verlagt wrd.. Statstsche Atelsbereche.. Zwesetger Atelsberech I eer Zufallsstchprobe lege alle (d.h. %) Werte mt %-ger Scherhet zwsche dem kleste Wert () ud dem größte Wert ( ). p % () ( ) Vo der Gesamthet / dem Prozess werde es aber ur % p se ( p ). Da es sch um ee zufällge Stchprobe hadelt, ka ma das aber cht mt %-ger Scherhet sage, soder ur mt dem Vertraue (cofdece) vo % ( ). Legt ee Zufallsstchprobe (!) vom Umfag vor, so legt zwsche dem kleste ud größte Stchprobewert () bzw. ( ) mdestes e Atel p der Gesamthet mt eem Vertraue vo, gemäß der Formel vo WILKS. (.9) p ( ) p Auflöse ach p oder st cht möglch! Folgede klee Tabelle soll helfe, ee Vorstellug vo möglche Werte zu erhalte. Wetere Werte mt dem Tascherecher ausprobere. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 6

31 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse p,95,9,7,5, , , , Esetger Atelsberech () Es legt mdestes e Atel p% ( p) der Gesamthet mt eem Vertraue vo % ( ) uter dem Stchprobewert (). Es legt mdestes e Atel p% ( p) der Gesamthet mt eem Vertraue vo % ( ) über dem Stchprobewert (). ( ) gemäß der Formel vo Wlks. (.) l( ) p p l( p) Bespel aus D. Dra (Itel Corporato) Wderstadsmessuge a) Esetger Atelsberech Ageomme, de 33 Wderstadsmessuge sd ee Zufallsstchprobe; Welches Vertraue ka ma habe, dass mdestes 9% aller Werte über dem kleste Stchprobewert 8,6 lege? p 33 p,9,969 97% b) Zwesetger Atelsberech Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 7

32 . Auswertug vo metrsche Date be eer Stchprobe Dateaalyse We groß muss der Umfag eer Zufallsstchprobe se, damt mdestes 9% der Werte der Gesamthet mt eem Vertraue vo 9% zwsche dem kleste & größte Wert der Stchprobe lege werde? p ( ) p p,9,9? Tabelle : p,9,9 38 Durch probere e geaueres Ergebs erzele: ,9 49,9, ,9 44,9, ,9 46,9, Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 8

33 3. Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe Dateaalyse 3. Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe Ma stellt de Stchprobe grafsch gegeüber ud stellt Vergleche a. Bespel: 6 Staate, dere größte Städte. Zusätzlch (!) ka ma auch och Maßzahle agebe. 3. Kolmogorov-Smrov-Test Der Zwe-Stchprobe-Test vo Kolmogorov ud Smrov prüft, ob zwe vorlegede Zufallsstchprobe aus derselbe Grudgesamthet stamme. (Allgeme sd Sgfkaz- oder Hypothesetests sehr belebt der statstsche Lteratur. Am Bespel des K-S-Tests soll auf hre große Tücke hgewese werde.) Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 9

34 3. Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe Dateaalyse Gegebe: Zwe Zufallsstchprobe de uabhägg sd. Überprüft werde soll de Nullhypothese. (,,,..., ), (aus Grudgesamthet ) 3 (,,,..., ) (aus Grudgesamthet ) 3 m H : Idetsche statstsche Vertelug Grudgesamthet ud Grudgesamthet. Ahad der Stchprobedate werde wr H ablehe, we de Date deutlch ( sgfkat ) gege de Hypothese spreche; oder de Nullhypothese cht ablehe, we se mt de Date kompatbel st. Für jede Stchprobe wrd hre emprsche Vertelugsfukto ( Treppe ) gezechet (vgl. Sete 4), F ( ). bzw F m( ) ud da de mamale absolute Dfferez ermttelt. (3.) D ma F ( ) Fm( ) Ist D kle, so sd sch de bede Vertelugsfuktoe sehr ahe; es besteht ke Grud zu behaupte, dass de bede dahter stehede Grudgesamthete verschede sd. Damt st H zwar cht bewese, wr köe es aber als Arbetshypothese gelte lasse. Ist D groß, so besteht e sgfkater Wderspruch zur Behauptug Grudgesamthete de gleche statstsche Vertelug habe. Wr sehe also verschedee statstsche Verteluge. H, dass de bede Was st aber de Schrake, welche kle bzw. groß festlegt? Statstker lege herzu e Sgfkazveau zu Grude, mest, 5 5%. st das Rsko, abzulehe, obwohl H rchtg st. H st da das Vertraue / de Scherhet, cht abzulehe, we H rchtg st. H De russsche Mathematker Kolmogorov ud Smrov st es 939 geluge, solche Schrake Abhäggket vo, ud m zu fde.,,5,,5,, K( ),7,4,,36,63,95 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 3

35 3. Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe Dateaalyse ud damt de Schrake: (3.) D( ) K( ) m m H Ist D D( ), wrd abgeleht Ist D D( ), wrd H cht abgeleht Bespel zweer uabhägger Zufallsstchprobe Stchprobe, 3,,,9,6,8,6,7 3,,7 Stchprobe 3, 3,8, 7,,3 3,5 3, 3, 4,6 3, Gefragt st, ob de zwe Stchprobe aus derselbe Grudgesamthet stamme köte K-S-Test V orgeheswese a) Date orde Stchprobe,6,,6,7,7,,8,9 3, 3, Stchprobe,,3 3, 3, 3, 3, 3,5 3,8 4,6 7, b) Vertelugsfukto ermttel.8.6.4,6 D. 4 6 c) Bestmmug der mamale vertkale Dfferez D,6 d) Über H etschede Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 3

36 3. Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe Dateaalyse % K( ), Da, 6,55, wrd H abgeleht. D( ),,55 5% K( ),36 D( ),36,6 Da,6,6, wrd H cht abgeleht. Grudgesamthete köte also statstsch glech se. % K( ),63 Da,6,73, wrd H cht abgeleht. D( ),63,73 3. Tücke vo Sgfkaztests (Hypothesetests) a) We H cht abgeleht wrd, sage mache, H wrd ageomme oder gar H st bewese. E gradoser Irrtum! De Rchtgket vo akzeptert oder bewese werde? H wrd doch vorausgesetzt, we ka da H b) Das Testergebs hägt vo der Wahl des Sgfkazveaus ab. Es besteht de Versuchug, es so zu wähle, dass das Ergebs passt. c) Mache sage, dass se mt 95 %ger Scherhet de rchtge Etschedug getroffe habe (we 5% gewählt wurde). Absolut falsch! De Etschedug st etweder zu % rchtg oder zu % falsch. st de Wahrschelchket, ee rchtge Nullhypothese abzulehe (Fehler. Art). Es gbt aber auch ee Fehler. Art, ämlch ee falsche Nullhypothese cht abzulehe. Über deses Rsko wrd geschwege (ma ka es auch schlecht bereche). H Wareegagskotrolle: : De Ware st Ordug H rchtg H falsch Ware akzeptert okay Fehler. Art Kosumetersko Ware zurück gewese Fehler. Art Produzetersko okay d) Tests werde durchgeführt, ohe zu berückschtge, dass de Stchprobe zufällg ud uabhägg se müsse. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 3

37 3. Auswertug ud Verglech vo metrsche Date be zwe oder mehrere Stchprobe Dateaalyse e) Für große Stchprobeumfäge tedere statstsche Tests klar zu Ablehug, für klee zur Nchtablehug. Testetschedug ur ee Frage vo!? f) Tests werde häufg ukrtsch ud mechastsch durchgeführt. Gefahr eer Alb- oder Pseudowsseschaft. 3.3 Zusammefassug Für vele, auch für Statstker, schee Sgfkaztests das o-plus-ultra zu se. Ma schaue de Lehrbücher. Mathematsch sd dese Tests wuderbar, hr Nutze für de Wrklchket ud hr Verstadewerde setes der Aweder ka agezwefelt werde. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 33

38 4. Modellerug vo metrsche Date 4. Modellerug vo metrsche Date 4. Allgemee Vorbemerkuge Hstogramm f Dchtefukto f der Zufallsvarable X hat folgede Egeschafte:. f. f d P X F f Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 34

39 4. Modellerug vo metrsche Date Vertelugsfukto (Summehäufgket ˆF ): (4.) F f t dt (4.) Pa X b Fb Fa (4.3) PX c Fc (4.4) PX c Fc Erwartugswert (häufges Symbol (Mttelwert)): E X f d (4.5) Varaz (häufges Symbol ): (4.6) Stadardabwechug: Var X f d (4.7) Var X 4. Epoetalvertelug 4.. Das Modell Ee Zufallsvarable T heßt epoetalvertelt, we se de Dchtefukto hat: t t (4.8) f () t e für f () t t t (4.9) Ft () e für (4.) ET ( ) Var T (4.) t Meda vo T Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 35

40 4. Modellerug vo metrsche Date PT F,5,5 e,5 e,5 l,5, 693 (4.),693 " Halbwertszet " Esatz o Physk (Atomzerfall radoaktver Stoffe) o Wartezete o Bedezete / Sprechzete o Lebesdauer 4.. Erkee der Vertelug ud Schätzuge des Parameters Ft () e e t F( t) t t l F( t) t l F( t) l t Ft ( ) l F( t) t t Mt st Ft ( ) Ft ( ). Plotte: t ;l Lege dese Pukte gut a eer Gerade, so legt ee Epoetalvertelug vor mt = Stegug der Gerade. Puktschätzug Stchprobe t, t,..., t Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 36

41 4. Modellerug vo metrsche Date Da Et () ud damt schätze wr Et () (4.3) ˆ t t Kofdeztervall zum Vertraue (4.4) t ; ; ; t Bespel. Reperaturzete vo Autos Mute,5,4,6,3 45 9m 5 Schätze ˆ,6 9 m h Halbwertszet (Meda) =,693,693,336 m ˆ,6 h. Operatoe m Krakehaus,5 4h 4h h We vel Prozet der Operatoe dauer läger als 7 Stude? 7 PT 7 PT F(7) e e,7 7% 7 4,75 Ud we vel Prozet der Operatoe dauer weger als ee halbe Stude? PT,5 F(,5),5 4 e, % Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 37

42 4. Modellerug vo metrsche Date 4.3 Normalvertelug 4.3. Das Modell Ee Zufallsvarable X heßt ormalvertelt (Gauß-vertelt), we se de Dchtefukto hat: (4.5) f( ) e ep kostate Parameter klee Kurvedskusso vo y f( ) o Mamum be o o D o lm f( ) Symmetreachse o f( ) d % o Erwartugswert ( Mttelwert ) f( ) d o Varaz ( ) f( ) d o Stadardabwechug Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 38

43 4. Modellerug vo metrsche Date o Mttlere Abwechug vom Mttelwert f( ) d, 7979,8,53 klees Sgma: klee Streuug großes Sgma: große Streuug De Vertelugsfukto F( ) (Summehäufgketsfukto) t F( ) ep gbt es cht, da de Stammfukto F() cht estert. Dadurch wrd der Umgag mt der Normalvertelug etwas umstädlch. dt De Normalvertelug mt ud heßt Stadardormalvertelug, für de es ee Tabelle gbt. Jede Normalvertelug mt belebge ud lässt sch ee Stadardormalvertelug durch de Trasformatosglechug (4.6) Z X überführe ud auch weder rücktrasformere: (4.7) X Z Es glt: X (4.8) F( ) PX P PZ z z t e dt ( z) mt z Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 39

44 4. Modellerug vo metrsche Date ( z) st tabellert. Bespele: (, 3),5995 (,57),9949 z 4,9 ( z) (4.9) ( z) ( z) Tabelle zur Stadardormalvertelug auf der ächste Sete! Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 4

45 4. Modellerug vo metrsche Date z z \ * ,*,5,5399,5798,597,5595,5994,539,579,5388,53586,*,53983,5438,54776,557,55567,5596,56356,56749,574,57535,*,5796,5837,5876,5995,59483,5987,657,664,66,649,3*,679,67,655,693,6337,63683,6458,6443,6483,6573,4*,6554,659,6676,6664,673,67364,6774,688,68439,68793,5*,6946,69497,69847,794,754,7884,76,7566,794,74,6*,7575,797,7337,73565,7389,745,74537,74857,7575,7549,7*,7584,765,7644,7673,7735,77337,77637,77935,783,7854,8*,7884,793,79389,79673,79955,834,85,8785,857,837,9*,8594,8859,8,838,8639,8894,8347,83398,83646,8389,*,8434,84375,8464,84849,8583,8534,85543,85769,85993,864,*,86433,8665,86864,8776,8786,87493,87698,879,88,8898,*,88493,88686,88877,8965,895,89435,8967,89796,89973,947,3*,93,949,9658,984,9988,949,939,9466,96,9774,4*,994,973,9,9364,957,9647,9785,99,9356,9389,5*,9339,93448,93574,93699,938,93943,946,9479,9495,9448,6*,945,9463,94738,94845,9495,9553,9554,9554,9535,95449,7*,95543,95637,9578,9588,9597,95994,968,9664,9646,9637,8*,9647,96485,9656,96638,967,96784,96856,9696,96995,976,9*,978,9793,9757,973,9738,9744,975,97558,9765,9767,*,9775,97778,9783,9788,9793,9798,983,9877,984,9869,*,984,9857,983,9834,9838,984,9846,985,98537,98574,*,986,98645,98679,9873,98745,98778,9889,9884,9887,98899,3*,9898,98956,98983,99,9936,996,9986,99,9934,9958,4*,998,99,994,9945,9966,9986,9935,9934,99343,9936,5*,99379,99396,9943,9943,99446,9946,99477,9949,9956,995,6*,99534,99547,9956,99573,99585,99598,9969,996,9963,99643,7*,99653,99664,99674,99683,99693,997,997,997,9978,99736,8*,99744,9975,9976,99767,99774,9978,99788,99795,998,9987,9*,9983,9989,9985,9983,99836,9984,99846,9985,99856,9986 3,*,99865,99869,99874,99878,9988,99886,99889,99893,99896,999 3,*,9993,9996,999,9993,9996,9998,999,9994,9996,9999 3,*,9993,99934,99936,99938,9994,9994,99944,99946,99948,9995 3,3*,9995,99953,99955,99957,99958,9996,9996,9996,99964, ,4*,99966,99968,99969,9997,9997,9997,99973,99974,99975, ,5*,99977,99978,99978,99979,9998,9998,9998,9998,99983, ,6*,99984,99985,99985,99986,99986,99987,99987,99988,99988, ,7*,99989,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,8*,99993,99993,99993,99994,99994,99994,99994,99995,99995, ,9*,99995,99995,99996,99996,99996,99996,99996,99996,99997, ,*,99997,99997,99997,99997,99997,99997,99998,99998,99998,99998 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 4

46 4. Modellerug vo metrsche Date P k X k k P k X k X Pk k ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) X Z Stadard-Normalvertelug (4.) Pk X k ( k) Bespel k P X (),9775, ,45% Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 4

47 4. Modellerug vo metrsche Date Adersrum: k gesucht Was st das 9 % Itervall? P k X k,9 ( k ) ( k),9 ( k),95 k,645 ( vgl. Tabelle) De Mathematker deke, de Physker habe de Gültgket der Normalvertelug emprsch achgewese. De Physker deke, de Mathematker habe de Gültgket der Normalvertelug theoretsch achgewese. Es gbt Sgfkaztests für: De bekateste Tests sd H : Es legt ee Normalvertelug vor o o o o Aderso-Darlg d Agosto Kolmogorov-Smrov Shapro-Wlk der letzte glt als der Beste. Alle dese Tests gemesam st das Problem, dass es be klee Stchprobe fast umöglch st, abzulehe ud dass be große Stchprobe H fast mmer abgeleht wrd. H Deshalb beschäftge wr us cht mt solche Tests Erkee der Vertelug ud Schätze der Parameter Iteressat für de Pras st hgege das Wahrschelchketsetz (-paper), eglsch: ormal probablty plot. Damt lässt sch ee fuderte Escht gewe. (ke Test!) F( ) f( t) dt F( ) eu y f( ),5 F( ) alt Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 43

48 4. Modellerug vo metrsche Date Das Wahrschelchketsetz st e formatertes Blatt Paper mt uveräderter -Achse ud eer so veräderte y-achse, dass F() dar als Gerade erschet. De Stammfukto F( ) f( t) dt etsprcht der emprsche Vertelugsfukto F ( ) F ( ) wrd cht als Treppe, soder ur Puktform gezechet: de Pukte, () Lässt sch m Wahrschelchketsetz durch dese Puktwolke auf befredgede Art ud Wese ee Gerade lege, so st de Normalvertelug ee plausble Arbetshypothese, aderfalls cht. Bespel 33 Wderstadsmessuge (3 Ausreßer, de wr rausehme) vo Kaptel, S. Sd de adere 3 Date ormalvertelt? Order RHO 8,6,,3,3,6,8,8,9,,3,5,5,7,7,8,8 (%) 3 3, 6,5 9,7,9 6, 9,4,6 5,8 9, 3, 35,5 38,7 4,9 45, 48,4 5, ,,4,5,5,5,6 3, 3, 3,3 3,7 4,4 4,6 5,5 5,6,,6 8, 54,8 58, 6,3 64,5 67,7 7, 74, 77,4 8,6 83,9 87, 9,3 93,5 96, Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 44

49 4. Modellerug vo metrsche Date Selbst we ma ee Normalvertelug achwese köte (was przpell umöglch st), wäre och de Frage ach ud. Gegebe ee Zufallsstchprobe,..., mt dem Mttelwert: (4.) ud der Stadardabwechug: (4.) s ( ) Puktschätzer für μ ˆ für für ˆ s s ˆ a a,798 3,887 4,9 5,94 6,95 7,96 8,965 9,969,973, Kofdeztervalle zum Vertrauesveau sd (4.3) für μ : t, s t : Studet-t-Vertelug mt Frehetsgrade (4.4) für : s s ; ; ; Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 45

50 4. Modellerug vo metrsche Date (4.5) für : s s ; ; ; Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 46

51 4. Modellerug vo metrsche Date 4.4 Appromatoe statstscher Verteluge durch de Normalvertelug Statstsche Verteluge: Appromatoe 4.4 Appromatoe statstscher Verteluge durch de Normalvertelug,5 N Hypergeometrsche Bomal- 3 ud p, Vertelug Vertelug N " groß " Posso- Vertelug p p 9 p 9 Normalvertelug k,5 p P X k p p b,5 p a,5 p P a X b p p p p Normalvertelug k,5 P X k b,5 a,5 P a X b Achtug: es muss se a X b! Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 47 Sete 47

52 4. Modellerug vo metrsche Date 4.5 De Kosusvertelug 4.5. Das Modell Vele Leute glaube a de Gaußsche Normalvertelug bldlgs. De Mathematker ( Zetraler Grezwertsatz ) köe bewese, dass uter gewsse Vorraussetzuge ee Zufallsvarable äherugswese ormal vertelt se muss. Das det vele als Rechtfertgug der Normalvertelug. Nu sd dese Vorraussetzuge der Realtät kaum zu überprüfe. Ud was heßt äherugswese, we gut st de Näherug? Wr präsetere ee adere Vertelug als Rvale. Auch se hat de Form eer Glocke, st mathematsch efacher (e Tascherecher geügt, kee Tabelle) ud hat ee edlche Deftosberech. Be der Normalvertelug st der Deftosberech de gaze Mege der reelle Zahle ( ). Normalvertelug Belebg große ud auch egatve Werte habe ee postve Wahrschelchket (blaue Fläche). Das sollte stutzg mache. De Rval st de so geate agehobee Kosusvertelug, ee der Fachlteratur praktsch totgeschwegee Vertelug (hat ma etwas zu verberge?). Motvato Zwsche um + ahebt. ud hat de Kosusfukto de Form eer Glocke, sbesodere we ma se y cos( ) y cos( ) Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 48

53 4. Modellerug vo metrsche Date De Fläche uter deser Kurve st ( cos( )) d s( ) s( ) ( ) s( ) se muss aber glech se, damt se ee statstsche Vertelug st. Damt habe wr de Kosus-Vertelug f (4.6) ( ) cos( ) als Wettbewerber zur Normalvertelug. Im Gegesatz zur Normalvertelug st se auf e edlches Itervall beschräkt ud hat ee Vertelugsfukto, de tegrerbar st. F( ) cos( t) dt ts( t) s( ) ( ) s( ) (4.7) s( ) F( ) s( ),5 Dafür recht e Tascherecher; Tabelle st überflüssg. De Vertelug hat de Erwartugswert (Mttelwert) ud de Spawete. Allgeme (ohe Bewes) De Kosusvertelug mt dem Mttelwert ud der Spawete b hat de Fukto (4.8) f ( ) cos b b b b b b ud de Vertelugsfukto (4.9) F( ) s b b. Dese allgemee Kosusvertelug hat de Mttelwert (Meda) ud de Spawete b. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 49

54 4. Modellerug vo metrsche Date Varaz: b,37 b 3 Ist ee Glockekurve!!! 4.5. Schätzug der Parameter ud Verglech mt der Normalvertelug Mt der Trasformato Z b X X Z ka de allgemee Kosusvertelug b (4.8) bzw. (4.9) de Stadard Kosusvertelug (4.6) bzw. (4.7) gebracht werde (auch weder zurück). We werde ud b geschätzt (Puktschätzer)? ˆ ˆb 766, s,766s,766s Be der Kosusvertelug lege zwsche b,766s % der Werte. Be der Gauß-Vertelug lege zwsche ud zwsche 3 3s 99,73 % der Werte % der Werte Was st plausbler? Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 5

55 4. Modellerug vo metrsche Date 4.6 Webull-Vertelug 4.6. Das Modell Der schwedsche Igeeur Walodd Webull schlug 939 folgede Vertelug zur Modellerug vo Materalermüdug ud festgket vor. (4.3) b b a b f( ) e für a a b a (4.3) F( ) e für E( X ) ud var( X ) sd bekat, aber cht vo Bedeutug. (4.3) Meda a b l() Lustges: ma setze a (4.33) b a a e,63 Fa ( ) e uabhägg vo b. a = charakterstsche Lebesdauer. f ( ) b 4 b b Für b F( ) e e a a hat ma de Epoetalfukto mt. a F ür b 3, 4 hat ma ugefähr de Normalvertelug. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 5

56 4. Modellerug vo metrsche Date 4.6. Erkee der Vertelug ud Schätze der Parameter Es st F( ) e e F( ) b a b a l F ( ) a b l l bl bl bl a F( ) a GERADE!!! Plotte l,l l d.h. F( ) l,l l Lege dese Pukte a eer Gerade, so ka ma vo eer Webull-Vertelug ausgehe. Puktschätzug vo a ud b Webull-Plot l l Stegug b b l a l ˆb Stegug aˆ aus Achseabschtt bˆ l a ˆ Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 5

57 5. Idustral Statstcs Bespel IV Les Coecto Tme UCL E Rm 35,77,6599,6 645 LCL E Rm 35,77,6599, UCL D Rm 3,679,6 39 R m LCL D Rm 9,6 R m bem ezele Patete Äderuge zum vorherge Patete Pro Patet wurde ur ee Messug durchgeführt! Sample Sze = ; aber de Spawete (Rage R ) wrd mmer aus Werte berechet. Für de Werte E, D, D 4 3 m werde Tabellewerte für = (Sample Sze) geomme. Bewertug der errechete Werte: UCL 645 E Messwert legt über dem Upper Cotrol Lmt (69) Weso? Aufgabe des Uterehmes: Ursache fde Ursache abstelle! 5.. De wchtgste Regelkarte De wchtgste Regelkarte sd:. Mttelwert kombert mt der Spawete ( ud R ).. Mttelwert kombert mt der Stadardabwechug ( ud s ). 3. Ezelwert kombert mt gleteder Spawete ( ud R m ). 4. Ausschussatel p (Fracto Defectve) 5. Zahl der Ausfälle c cout. I der Hgh-Tech-Idustre zege sch dese Karte of als utauglch. Be der Mttelwertkarte wrd statt der durchschttlche Stadardabwechug s (Varato wth the sample) de Stadardabwechug der Gruppemttelwerte (Varato betwee the groups) geomme. (5.) k Azahl Gruppe Mttelwer der Gruppe k s ( ) k Mttelwert aller Gruppe Als Egrffsgreze werde folgede gewählt (Abel, Stark, Dra): (5.) UCL : 3 s (5.3) LCL : 3 s Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 58

58 5. Idustral Statstcs Aalog dazu wrd be der p-karte de Stadardabwechug der Ausschlussatele (5.4) s p k ( p p ) k geomme ud als Egrffsgreze werde folgede gewählt (Abel, Hema): (5.5) UCL : p 3 s (5.6) LCL : p 3 s p p p p Mache ehme als Egrffsgreze de Ede der Whsker des Bo-Whskers-Plots. UCL CL Für vele Prozesse braucht ma dese Flebltät ud Frehet. Wchtg st cht so sehr de statstsche Formel, soder das Zel: LCL a) commo causes vo specal causes zu tree b) specal causes zu etfere ud damt c) de Prozessstreuug zu verrger d.h., de Prozess zu verbesser Normalvertelug ud SPC I Bücher ud Schulugsuterlage wrd das gere thematsert. Es st rchtg, dass be eer Normalvertelug 99,73% der Werte zwsche 3 ud 3 lege. Dass ee Normalvertelug vorlegt ud dass ud s st, st chts als Wuschdeke. Der Vater der Regelkarte, der amerkasche Physker Walter SHEWHART, hat seem 93 erscheee Buch Ecoomc Cotrol of Qualty of Maufactured Product de Gültgket der Regelkarte eem allgemee mathematsche Rahme achgewese, de Normalvertelug eher am Rade betrachtet ud de Wrtschaftlchket des SPC hervorgehobe. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 59

59 5. Idustral Statstcs 5.. Prozessbeherrschug ud Prozessfähgket Beherrschter Prozeß: process cotrol kee specal causes, ur zufällge Schwakuge. (Normalvertelug) 3s 3s Der Prozess st vorhersehbar (stabl) Fähger Prozess: capable process E beherrschter (!) Prozess hält auch och de vo auße vorgegebe Spezfkatosgreze (Tolerazgreze) e. ( techsche Notwedgket) USL: Upper Specfcato Lmt LSL: Lower Specfcato Lmt Aahme: E Prozess st beherrscht erhalb der Greze (5.7) 3 Wchtg st u das Verhälts! s (5.8) erlaubte Streuug USL LSL tatsächlche Streuug 6s Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 6

60 5. Idustral Statstcs LSL LSL USL USL Ausschussatel 3s 3s 6s L ege de Greze LSL ud USL we grü dargestellt, st das Verhälts größer als : SUPER! L ege de Greze LSL ud USL u we rot dargestellt, st das Verhälts erlaubte Streuug tatsächlche Streuug kleer als : SCHLECHT! Es legt e Ausschussatel vor, der besetgt werde muss. erlaubte Streuug tatsächlche Streuug Legt ma de durchschttlche Stadardabwechug ma de Prozessfähgketsde: s zur Grude (Kurz-Zet-Streuug), so erhält (5.9) C p USL LSL 6 s Verwedet ma dagege de Stadardabwechug aller Date (Lag-Zet-Streuug): (5.) sg ( j ) k g = gesamt, j so erhält ma de Prozessperformacede (5.) Bemerkug: P p sg USL LSL 6 s s also Cp Pp g Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 63

61 5. Idustral Statstcs C p ud Pp sd ur aussagefähg, we der Prozess perfekt zetrert st, d.h. der Ist-Mttelwert USL LSL dem Sollmttelwert überestmmt. Sost st C p usg. mt LSL Spec Mtte USL Ausschussatel C p, 9 3s 3s st cht aussagefähg, da sehr vele Messuge um Ausschussatel lege (ca. 4%). Deses Problem umgeht ma mt C pk bzw. P p k Zuächst Idzes mt ur eer Spezfkatosgreze LSL USL Spec Mtte 3s 3s grüer Fall: Prozess soll USL se C p u USL USL Pp 3 s u 3 s g roter Fall: Prozess soll LSL se C p l LSL LSL Pp 3 s l 3 s g Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 64

62 5. Idustral Statstcs Soll der Prozess USL ud LSL se (zwesetge r Fall) so führt ee worst-case Betrachtug zu: (5.) C p k bzw. m{ C, } p u C pl (5.3) P k m{ P, P } p p p u l Bespel: C pu C, 7 C, 5 pk pl, 5 C pk bzw. P pk st der rchtge Wert. C p Warum da? De Dfferez C C sagt aus, we gut oder schlecht der Prozess zetrert st. köte mamal glech Es glt: C p p p k se, we der Prozess perfekt zetrert wäre. C pk ud C pk C p C C ( k), pk p wobe (5.4) E Prozess mt C p k USL LSL k USL LSL geht gerade och C, 33 pk gut C, 67 sehr gut, herv p k orraged 5..3 Normalvertelug ud Fähgketsdzes I Bücher ud Schulugsuterlage fdet ma häufg Um rechuge vo Ausschussatele we folgt: C pk C C,33 p p k Atel außerhalb der Spec 3,7% =37ppm,67,,33,67, 4,56% =455ppm,7% =7ppm 63ppm,57ppm ppb Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 65

63 5. Idustral Statstcs Bespel: C USL LSL C, USL LSL 4 p p k P( Z ) (),9775, , 45%( erhalb der Spec) P( Z oder Z ), 9545,455 4,55%( außerhalb der Spec) Vele Leute ehme solche Rechuge für bare Müze (Mathematsch sd se korrekt!). Rchtg st We wr ee perfekte Normalvertelug habe ud we,67 ud geau bekat sd, da bedeutet z.b.: C C, dass ma 456 vo. Werte außerhalb der Spec hat p p k (Ausschuss). Da wr cht wsse köe, zu welchem Grad de bede Wes erfüllt sd, st dese Aussage Spekulato. Das zwete We, ka ma we folgt de Grff bekomme: We de Zufallsstchprobe ormalvertelt st, so lefert (5.5) C p k C p k, 96 ( N ) 9 N e 95% Kofdeztervall für de wahre Wert vo C p k. Ma ka sch zu 95% scher se, dass deses Itervall de wahre Dabe st N de Gesamtzahl der Stchprobewerte, also N k. C pk -Wert überdeckt (ethält). Bespel Vorausgesetzt ee perfekte Normalvertelug ud ee Zufallsstchprobe vo N k5 Werte. E aus eer Stchprobe gerecheter Wert vo Cp k, 33 bedeutet, dass der wahre C pk -Wert m Itervall (mt 95% Vertraue) legt, also rgedwo zwsche,3 ud,53., 33,33,96,33, 98 9 Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 66

64 5. Idustral Statstcs 5..4 Kosusvertelug ud Fähgketsdzes Bespel USL= LSL=4 s=,5 Normalvertelug C p 4 6,8 6,5 7,5 K osusvertelug b, 766s 3, 4575 tatsächlche Streuug b 6,95 6 C p,87 6,95 De Kosusvertelug ergbt de höherec p Wert. (Abel wll das patetere lasse) 5.3 Relablty Egeerg 5.3. Ausfallrate / falure rate h() X Varable kokrete Zahl F( ) PX = Wahrschelchket, dass der Ausfallzetpukt (Varable X) vor der Zet gescheht. F( ) P X = Wahrschelchket, dass der Ausfallzetpukt (Varable X) ach der Zet gescheht. Wahrschelchket des Ausfalls (5.6) f ( ) h ( ) F( ) Ausfallrate = Wahrschelchket, zur Zet auszufalle, we de Zet errecht wurde = mometae Ausfallwahrschelchket h=hazard Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 67

65 5. Idustral Statstcs 5.3. h() für de Epoetalvertelug (5.7) e h ( ) e kostate Ausfallrate h() für de Webullvertelug b b a b e a a h ( ) b e a (5.8) b h ( ) a a b Für b : Fallede Ausfallrate Für b : kostate Ausfallrate Für b : Stegede Ausfallrate Graph Badewaekurve!!! BURN IN Normalvertelug, logarthmsche Normalvertelug, Epoetalvertelug ud Webull-Vertelug gehöre zur Klasse der stetge Verteluge. Ee stetge Zufallsvarable X ka przpell jede reelle Zahl aehme. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 68

66 6. Korrelato ud Regresso 6. Korrelato ud Regresso 6. Korrelato Bsher betrachtete wr ee Größe X ud hatte dazu ee Stchprobe,,...,. Nu werde zwe Größe X ud Y glechzetg betrachtet. Dazu legt ee Stchprobe mt de (, ),(, ),...,(, ) Wertepaare y y y vor. Bespel: Prozessausbeute be bestmmte Temperature Temperature X, F Process Yeld Y XY X² 3 7,3 5363, , 48, ,5 465, , 57, , 643, ,7 593, , 6565, ,3 453, , 48, , , Scatterplot 9 Process Yeld Temper ature F 3 33 Ee z etrale Frage st, we stark oder schwach häge X ud Y zusamme. Der Korrelatoskoeffzet des eglsche Mathematkers Karl Pearso vo 896 ( ) ( y y) ( 6.) r ( ) ( y y) msst de Stärke des leare Zusammehags y a b bzw. c dy ud legt mmer zwsche r. Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 69

67 6. Korrelato ud Regresso Lege de Wertepaare (, y ),,..., ma de Grezfall legt der Grezfall r r perfekt auf eer Gerade mt postver Stegug, so hat. Lege de Pukte dagege auf eer Gerade mt egatver Stegug, so. r r Je kleer r st, desto schlechter st der leare Zusammehag. r r chtug! (, y ) (r msst ur de leare Zusammehag, cht de quadratsche!!!) A E Streudagramm der Paare st uverzchtbar, da es o aschaulch st o vermedet, dass ma de Falle tappt, be kleem r zu sage, dass es kee Zusammehag gäbe, obwohl es evetuell ee cht leare Zusammehag (z.b. Parabel) gbt. r msst cht ee geerelle Zusammehag, soder ur de leare. r lässt sch ee Formel umforme, welche zum praktsche Reche besser geeget st: (6.) r oder y y y y Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 7

68 6. Korrelato ud Regresso (6.3) r y y y y Bespel: Prozessausbeute be bestmmte Temperature r 46455, 7455,5 9, ,63 5,5 9 9 d.h. es legt ee fast perfekte postve Korrelato zwsche ud vor. X =Temperatur Y =Ausbeute Der Korrelatoskoeffzet st be Praktker sehr bel ebt ud wet verbretet. E Problem besteht dar, dass ma cht allg eme sage ka, ab welchem Wert der Korrelatoskoeffzet sgfkat st, zumal des au ch och vo abhägg se müsste. Selbst ee hohe Korrelato heßt cht Kausaltät! De Azahl der Störche m Lad korrelert sehr gut mt der Azahl der Babes. Aber das lag wohl mehr a der Idustralserug. 6. Regresso 6.. Efache leare Regresso Währed be der Korrelato de Größe X ud Y glechberechtgt sd, wrd be der Regresso, eem vo dem eglsche Bologe Fracs GALTON (Cous vo Charles DARWIN) Ede des 9. Jahrhuderts egeführte Begrffs, ee Varable (Y) durch de adere Varable (X) bestmmt, also y f( ) Im efachste Fall gescheht das Form eer Gerade: y b b (efache leare Regresso ) De Wertepaare (, y ) werde us cht de Gefalle tu (da wäre de Bestmmug vo b ud b kderlecht), dass se auf eer Gerade lege, also der Regel wrd gelte, Hochschule Müche / FK 9 WI Sete 7

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