Changepoint-Analyse für Kenngrößen der Telekommunikation: Theorie und Simulationen

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1 Chagepoit-Aalyse für Kegröße der Telekommuikatio: Theorie ud Simulatioe DISSERTATION zur Erlagug des Doktorgrades der Naturwisseschafte Dr. rer. at., dem Fachbereich Mathematik ud Iformatik der Philipps-Uiversität Marburg vorgelegt vo Joche Friedrich Giese aus Marburg Marburg/Lah 00

2 Vom Fachbereich Mathematik ud Iformatik der Philipps-Uiversität Marburg als Dissertatio am ageomme. Erstgutachter: Prof. Dr. Josef Steiebach Zweitgutachter: Prof. Dr. Volker Mammitzsch Tag der müdliche Prüfug:

3 Zusammefassug Thema der vorliegede Dissertatio ist die theoretische Utersuchug vo Verfahre der Chagepoit-Aalyse zur Awedug auf Telekommuikatiosdate. Die hier betrachtete Modelle sid durch Modelle motiviert, wie sie für Fragestelluge der Telekommuikatio verwedet werde. Isbesodere für Marktateilsutersuchuge bezoge auf telefoierte Miute erweise sich lieare Modelle als geeiget. Die Fehlerterme sid dabei i der Praxis häufig icht uabhägig, wie i theoretische Utersuchuge oft vorausgesetzt wird, soder als korreliert azusehe. Aus dieser Motivatio heraus verallgemeier wir Verfahre der a posteriori Chagepoit-Aalyse für lieare Modelle mit uabhägige Fehler auf solche mit korrelierte Fehlerterme. Eie weitere wichtige sehr allgemei defiierte Klasse vo Modelle ist die Modellklasse der State-Space Modelle. State-Space Modelle werde isbesodere für Progose des Verkehrsaufkommes im Telekommuikatiosbereich heragezoge. Es werde eue Verfahre zur a posteriori Chagepoit-Aalyse für diese Modellklasse etwickelt ud auf ihre asymptotische Eigeschafte utersucht. Bezüglich sequetieller Verfahre der Chagepoit-Aalyse stelle wir bekate praxisorietierte Verfahre vor ud setze diese auf die hier betrachtete lieare Modelle sowie State-Space Modelle um. Theoretisch erzielte Ergebisse werde durch Simulatioe überprüft. Sämtliche Programme, die zu Simulatiosstudie verwedet werde, sid i der statistische Programmiersprache R geschriebe. Die hier utersuchte Verfahre werde i [Gie0a] auf Realdate der Deutsche Telekom agewedet. Dabei wird eierseits die Kozeptio vo Frühwarsysteme diskutiert, die sequetiell Beobachtuge auf Strukturbrüche Abweichuge vo eiem vorgegebee Modell utersuche. Adererseits betrachte wir dort Aalysesysteme, die eie Mege vo Beobachtuge im Nachhiei a posteriori auf vorhadee Chagepoits überprüfe.

4 Bezeichuge ud Symbole N Mege der atürliche Zahle uter Ausschluss der 0, N 0 Mege der atürliche Zahle uter Eischluss der 0, Z R Mege der gaze Zahle, Mege der reelle Zahle, R p Mege der p-dimesioale Vektore mit reellwertige Kompoete, C P -f.s. i.i.d. W-Maß Ω, A, P Mege der komplexe Zahle, P -fast sicher, uabhägig idetisch verteilt, Wahrscheilichkeitsmaß, Wahrscheilichkeitsraum, bestehed aus dem Tripel Ω : Grudraum, A : σ-algebra auf Ω, P : auf A defiiertes W-Maß, B p p-dimesioale Borelsche σ-algebra, lim sup A für A, A,... A, A σ Algebra: = i=a i, [x] größte gaze Zahl mit x R, x + x + := {0, x} für x R, log für x R: log x := l x,, wobei l der atürliche Logarithmus, I A Idikatorfuktio auf der Mege A,

5 x für x R : Traspoierte vo x, A für A R m : Traspoierte vo A, I l Eiheitsmatrix der Dimesio l, SpA Spur eier Matrix A R, für A := a ij i,j : SpA := a ii, Für X := x,..., x p R p : X := p x i, m für A := a ij i m, j R m : A := ARp-Prozess Autoregressiver Prozess der Ordug p, j= a ij, MAq-Prozess Movig Average Prozess der Ordug q, ARMAp,q-Prozess Autoregressiver Movig Average Prozess der Ordug p im autoregressivem Ateil ud der Ordug q im Movig Average Ateil, diag a,..., a Diagoalmatrix mit de Diagoalelemete a,..., a. Für Fuktioe f, g : A B, A, B R: f f 0 ft = ogt ft = Ogt lim ft = ud f t f t t t, t, t A, t lim ft = 0 ud f t f t t t, t, t A, t ft lim t gt = 0, lim sup t ft gt <.

6 Für Zufallsvektore X, Y, X,..., X mit reellwertige Kompoete: X j j-te Kompoete des Zufallsvektors X, E X Erwartugswert des Zufallsvektors X, Var X Variaz der Zufallsvariable X: E X E X X E X, Cov X Variaz-Kovariazmatrix des Zufallsvektors X: E X E X X E X, Cov X, Y Kovariazmatrix der Zufallsvektore X, Y : E X E X Y E Y, X p L p -Norm: E X p p, ρ θ ρ θ := ρ θ X,..., X = E X i θ für θ R, X Nµ, Σ X ist ormalverteilt mit E X = µ, Cov X = Σ. Für mehrdimesioale stochastische Prozesse {X t } t R {Y t } t R mit reellwertige Kompoete ud eie Zufallsvektor X mit reellwertige Kompoete: X t X t D X P X X t P f.s. X Kovergez ach Verteilug: lim F tz = F z z C F, t wobei C F die Mege der Stetigkeitspukte vo F, F t die Verteilugsfuktio vo X t ud F die Verteilugsfuktio vo X, P -stochastische Kovergez: lim t P { X t X > ε} = 0 ε > 0, P -fast sichere Kovergez: P { ε > 0 t ε : X t X < ε t t ε } =,

7 X t =o P Y t X t Y t P 0 t, X t =O P Y t ε > 0 T 0 R, C > 0: P X t C Y t ε t T 0, X t P f.s. = o Y t X t P f.s. = O Y t P X t Y t P f.s. 0 lim sup t X t Y t t, < =. Vereibarug 0.. Uter eier Zufallsvariable verstehe wir stets eie reellwertige Zufallsvariable. Mit eiem Zufallsvektor ist ei Vektor gemeit, desse Kompoete reellwertige Zufallsvariable sid. Ebeso verstehe wir uter eier Zufallsmatrix eie Matrix, dere Kompoete reellwertige Zufallsvariable sid. Bemerkug 0.. Die P -fast sichere bzw. die P -stochastische Kovergez vo Zufallsmatrize ist durch die etsprechede Kovergez für die eizele Kompoete defiiert. Vereibarug 0.. Für eie R p -wertige Zufallsvariable X schreibe wir auch X R p astatt X : Ω R p. Ebeso schreibe wir für eie Zufallsmatrix A R m astatt A : Ω R m.

8 Ihaltsverzeichis Eiführug ud Überblick Ivariazprizipie 7 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits 0 3. Eiführug A posteriori Chagepoit-Aalyse i lieare Modelle für abrupte Chagepoits im Regressiosvektor mit dem Uio-Itersectio Test Modell Ergebisse Vorbereituge Asymptotisches Verhalte des Uio-Itersectio Test Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits Schätzer für H k Simulatioe A posteriori Chagepoit-Aalyse i lieare Modelle für abrupte Chagepoits im Fehlerprozess Modell Asymptotisches Verhalte der Teststatistik Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits Variazschätzer Simulatioe A posteriori Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle für abrupte Chagepoits Modell Eigeschafte vo State-Space Modelle Beispiele für State-Space Modelle Chagepoit-Modelle Kostruktio vo Teststatistike Asymptotisches Verhalte der Teststatistike Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits Variazschätzer Simulatioe A posteriori Chagepoit-Aalyse für graduelle Chagepoits Eiführug A posteriori Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle für graduelle Chagepoits Modell Chagepoit-Modelle Kostruktio eier Teststatistik Asymptotisches Verhalte der Teststatistik Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits Variazschätzer

9 5 Sequetielle Chagepoit-Aalyse Grudlage der sequetielle Chagepoit-Aalyse Shewhart Chart CUSUM Chart EWMA Chart Kerel Charts Welche Kotrollkarte ist geeiget? Bestimmug vo kritische Werte Korrelierte Beobachtuge Eifluss vo Parameterschätzuge Kotrollkarte für de mehrdimesioale Fall Mehrdimesioaler Shewhart Chart Mehrdimesioaler CUSUM Chart Mehrdimesioaler EWMA Chart Rückführug des mehrdimesioale auf de eidimesioale Fall Sequetielle Chagepoit-Aalyse i lieare Modelle Sequetielle Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle Sequetielle Chagepoit-Aalyse über Kalma-Rekursioe Sequetielle Chagepoit-Aalyse uter Verwedug der Beobachtuge Y i Sequetielle Chagepoit-Aalyse uter Verwedug der i Variazschätzer Fazit ud Ausblick Simulatiosstudie zur sequetielle Chagepoit Aalyse Utersuchug vo Chagepoit-Modelle mit Wechsel i der Variaz Utersuchug gradueller Veräderuge i lieare Modelle Ahag 7 7. Grudlage der Lieare Algebra Eigeschafte vo Kovergezarte ud der Ladausymbole Beweise der Ivariazprizipie Literaturverzeichis 95

10 Eiführug ud Überblick Eiführug ud Überblick Die Chagepoit-Aalyse hat ihre Ursprüge i der awedugsorietierte statistische Prozesskotrolle SPC=Statistical Process Cotrol. Typische Problemstellug der Chagepoit-Aalyse ist die folgede: Wir betrachte eie Folge vo Zufallsvariable X, X,... auf eiem Wahrscheilichkeitsraum Ω, A, P. Die Realisieruge dieser Zufallsvariable z.b. Marktateile der Deutsche Telekom i bestimmte Kudesegmete köe beobachtet werde. Wir wolle wisse, ob die Beobachtuge eiem vorgegebee Modell geüge, oder ob a eiem Chagepoit ei Strukturbruch festgestellt werde ka. Ma uterscheidet grudsätzlich zwische zwei verschiedee Arte der Chagepoit- Aalyse: a posteriori Chagepoit-Aalyse, sequetielle Chagepoit-Aalyse. Bei der a posteriori Chagepoit-Aalyse vgl. Kapitel 3 ud Kapitel 4 betrachtet ma eie abgeschlossee Zeitraum der Vergageheit ud prüft, ob währed dieses Zeitraums ei Strukturbruch statistisch achgewiese werde ka. Eie für die Telekom wertvolle Awedug der a posteriori Chagepoit-Aalyse liegt i der Kozeptio vo Aalysesysteme. Werde i der Vergageheit sigifikate Abweichuge vo eiem vorgegebee Modell festgestellt, so ka ma versuche, Grüde für diese Abweichuge z.b. eues eigees Produkt, eues Produkt eies Wettbewerbers, Preissekugsmaßahme vo Wettbewerber, Markteitritt vo Wettbewerber, Abschaltug eies Wettbewerbers wege Isolvez etc. zu bestimme. Vo hohem Iteresse ist dabei im Falle eies Chagepoits isbesodere die Bestimmug des Zeitpukts des Strukturbruches. Bei der sequetielle Chagepoit-Aalyse vgl. Kapitel 5 geht ma i der Weise vor, dass sequetiell, d.h. Beobachtugspukt für Beobachtugspukt, geprüft wird, ob eie sigifikate Abweichug vom vorgegebee Modell vorliegt. Eie Awedug vo Verfahre der sequetielle Chagepoit-Aalyse besteht i der Kozeptio vo Frühwarsysteme. Ziel eies Frühwarsystems ist es, eierseits möglichst früh ach eiem Chagepoit, adererseits aber möglichst zuverlässig kei Alarm, we kei Chagepoit vorliegt, d.h. Fehler. Art möglichst klei eie Alarm auszulöse. Ei weiteres Klassifizierugsmerkmal vo Verfahre bzw. Problemstelluge der Chagepoit-Aalyse ist eie Uterscheidug ach der Art des Chagepoits. Ma uterscheidet abrupte Chagepoits vo graduelle Chagepoits. Uter eiem abrupte Chagepoit verstehe wir eie plötzliche Strukturbruch vo eiem Zeitpukt zum ächste. Graduelle Chagepoits beschreibe eie kotiuierliche Veräderug, die sich über mehrere Zeiteiheite hiweg etwickelt. Die meiste Utersuchuge zur Chagepoit-Aalyse beziehe sich auf die plötzliche abrupte Veräderuge für eie Überblick vgl. z.b. [CsHo97]. I de letzte Jahre wurde eiige Arbeite zu de kotiuierliche graduelle Strukturbrüche für die a posteriori Chagepoit-Aalyse veröffetlicht vgl. z.b. [Jar98], [Hus98b], [Hus99], [HuSt00], [Ste00]. Schmid hat i [Sch97] ei sehr allgemeies Modell zur sequetielle Chagepoit-Aalyse formuliert, das auch graduelle Veräderuge beihaltet.

11 Eiführug ud Überblick Zielgröße Zeitpukt Abbildug : Beispiel für eie abrupte Chagepoit zum Zeitpukt 60. Zielgröße Zeitpukt Abbildug : Beispiel für eie graduelle Chagepoit zum Zeitpukt 40. I Kapitel 3 utersuche wir, die a posteriori Chagepoit-Aalyse betreffed, zuächst de Fall vo abrupte Chagepoits. I Kapitel 4 betrachte wir graduelle Veräderuge. Bezüglich sequetieller Verfahre stelle wir i Kapitel 5 verschiedee bekate Teststatistike vor, die sich sowohl bei abrupte Strukturbrüche als auch bei graduelle Veräderuge awede lasse. Wir beschräke us bei usere Utersuchuge auf ichtparametrische Verfahre der Chagepoit-Aalyse, d.h. wir mache keie spezielle Verteilugsaahme a die jeweilige Fehlerprozesse z.b. Normalverteilugsaahme, da ma bei de hier durchgeführte praktische Aweduge vgl. [Gie0a] die zu Grude liegede Verteilug i.a. icht ket.

12 Eiführug ud Überblick Eie zetrale Frage, die vor der Kozeptio geeigeter Chagepoit-Teststatistike beatwortet werde muss, ist die Frage ach dem Modell, vo dem Abweichuge festgestellt werde solle. Dazu betrachte wir beispielhaft zwei Modelle, die bei der Deutsche Telekom i Bruchsal für Marktateilsutersuchuge verwedet werde. Marktateilsmodell : LogitMA T t = a 0 + a T logp T t + a W logp W t + b LogitMA T t + εt, x Logitx := log, 0 < x <, x MA T t Marktateil Telekom zum Zeitpukt t, P T t Preis Telekom zum Zeitpukt t, P W t Preis Wettbewerber zum Zeitpukt t, εt Fehlerprozess, a 0, a T, a W, b zu schätzede Modellparameter. Marktateilsmodell : PT t LogitMA T t = a 0 + a log P T t PW t + a log + a 3 log P W t PW t + a 4 log P W t + a 5 LogitMA T t + Dt + εt, PT t P T t Logit MA T t := MAT t MAT t log log, MA T t MA T t a 0,..., a 5 zu schätzede Modellparameter, Dt lieare Tredkompoete. Wir betrachte zur Veraschaulichug der Modellbildug die Markateile der Deutsche Telekom für Deutschladverbiduge über alle Kudesegmete im Zeitraum Jauar 998 bis September

13 Eiführug ud Überblick Marktateil Deutsche Telekom Marktateil JAN 98 JUNI 98 JAN 99 JUNI 99 JAN 000 JUNI 000 Moat Abbildug 3: Marktateile Deutsche Telekom, Jauar 998 bis September 000 für Deutschladverbiduge. Wir führe eie Schätzug der Modellparameter a 0, a T, a W, b des erste Modells mittels Kleister-Quadrate Schätzer durch ud vergleiche user Modell mit de tatsächliche Marktateile. Logit ud Logitmodell des Marktateils Deutsche Telekom LogitMarktateil Logitmodell LogitMarktateil JAN 98 JUNI 98 JAN 99 JUNI 99 JAN 000 JUNI 000 Moat Abbildug 4: Logit ud Logitmodell der Marktateile Deutsche Telekom, Jauar 998 bis September 000 für Deutschladverbiduge. Beide obe ageführte Modelle sid lieare Modelle mit edogeer Kompoete. Durch edogee Eiflussgröße werde verzögerde Wirkuge lags i das Modell itegriert. Solche verzögerde Wirkugsmechaisme trete i zahlreiche ökoometrische Modelle auf vgl. z.b. [Hue89]. Bezoge auf die Marktateilsmodelle ka ma das Auftrete dieser edogee Terme dahigehed iterpretiere, dass 4

14 Eiführug ud Überblick icht alle Kude umittelbar auf eie Äderug der Preise reagiere, soder dass es bei eiem Teil der Kude eie Zeit lag dauert möglicherweise bis zur ächste Teleforechug, bis eie Reaktio auf die veräderte Preisstruktur eitritt. Die Marktateilsmodelle köe och durch Hizuahme weiterer Eiflussgröße erweitert werde, z.b. zur Berücksichtigug saisoaler Effekte. Zu weitere Erläuteruge bezüglich Modelle für Kommuikatioskegröße vgl. [Hil00] sowie [Gie0a]. Zur a posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits i lieare Modelle mit uabhägig idetisch verteilte Fehlerterme gibt es bereits Utersuchuge vgl. z.b. [HoSh95] ud [CsHo97]. I praktische Aweduge liege allerdigs meist korrelierte Fehlerterme vor vgl. obige Marktateilsmodelle. Aus dieser Motivatio heraus übertrage wir i Abschitt 3. bekate Ergebisse auf de Fall korrelierter Fehlerterme. Die i Abschitt 3. behadelte Teststatistik testet auf Veräderuge des Regressiosvektors, der i dem lieare Modell das Gewicht der eizele Eiflussgröße bestimmt. I Abschitt 3.3 diskutiere wir eie auf der Betrachtug vo Residue Abweichuge der beobachtete Zielgröße vom Modell basierede Teststatistik, die auf plötzliche Strukturbrüche im Fehlerprozess eies lieare Modells testet. Für Verkehrswertprogose im Telekommuikatiosbereich werde häufig State-Space Modelle verwedet vgl. z.b. [AbSa85], [ChGa85], [Tom85]. Darüber hiaus sid State-Space Modelle sehr allgemei defiiert, so dass sie sehr viele Modellklasse als Spezialfälle beihalte. So ka ma z.b. lieare Modelle mit zufälligem Regressor oder ARMA-Zeitreihe ARMA = Autoregressive Movig Average als State-Space Modelle formuliere vgl. Abschitt Wählt ma spezielle State-Space Modelle, bei dee die Desigmatrize H i, G i s. ute uabhägig vom Zeitpukt i sid, so sid State- Space Modelle uter gewisse Regularitätsbediguge äquivalet zu ARMA-Zeitreihe vgl. Abschitt 3.4. ud oder [Aok87]: Abschitt 4.3. I Abschitt 3.4 betrachte wir folgedes State-Space Modell: Y i = H i β i + ε i i Z, β i = G i β i + ω i i Z, Y i R l, H i R l p, G i R p p, β i R p, {ε i } i Z bzw. {ω i } i Z l-dimesioaler bzw. p-dimesioaler Fehlerprozess, {H i } i Z, {G i } i Z zufällige Matrizefolge mit Eiflussgröße, {β i } i Z Folge ubekater Parameter. Zur Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle gibt es bereits Utersuchuge vgl. z.b. [BaNi93]. Die us bekate bisher agewedete Verfahre zur Chagepoit- Aalyse i State-Space Modelle basiere auf eier Awedug rekursiver Schätzer. Über Kalma-Rekursioe werde Schätzer für die β i ud damit Residue bestimmt, die auf sigifikate Veräderuge getestet werde köe. Allerdigs gibt es useres Wisses bislag keie Utersuchuge zur a posteriori Chagepoit-Aalyse, die basiered auf Ivariazprizipie vgl. Kapitel asymptotische Verteilugsfuktioe vo Teststatistike herleite. I Abschitt 3.4 stelle wir ei eues Verfahre zur a posteriori Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle bezüglich abrupter Chagepoits vor, das aufbaued auf Ivariazprizipie vgl. Kapitel u.a. die asymptotische Verteilug der diskutierte Teststatistike liefert. I Abschitt 4. etwickel wir aalog ei Verfahre zur Chagepoit-Aalyse für graduelle Veräderuge 5

15 Eiführug ud Überblick i State-Space Modelle. Sowohl bei usere Utersuchuge zur a posteriori Chagepoit-Aalyse für lieare Modelle als auch bei de Betrachtuge zur a posteriori Chagepoit-Aalyse für State-Space Modelle lasse wir zu, dass die Matrize mit Eiflussgröße zufällige Schwakuge uterliege. Diese Verallgemeierug ist durch praktische Aweduge motiviert. So ka es vorkomme, dass bei Dateaalyse eiige Datesätze fehlede oder fehlerhafte Werte aufweise. Diese werde häufig durch eie Wert ersetzt, der a dieser Stelle plausibel erscheit, oder gaz aus der Dateaalyse gestriche. Darüber hiaus uterliege gemessee Eiflussgröße oft zufällige Schwakuge. Hauptergebisse der i Kapitel 3 ud Kapitel 4 durchgeführte Utersuchuge sid asymptotische Aussage über die betrachtete Teststatistike, Parameterschätzer isbesodere Schätzer für die i.a. ubekate Variaz der Fehlerprozesse sowie Schätzer für de Zeitpukt eies Chagepoits. Hierzu werde Ivariazprizipie verwedet, die auf die sogeate Ugarische Schule zurückgehe vgl. z.b. [Csö75a], [Csö75b], [KoMaTu75], [KoMaTu76], [Maj76a], [Maj76b]. Die hier beötigte Ivariazprizipie werde i Kapitel vorgestellt. Zur Übertragug der bezüglich liearer Modelle betrachtete Teststatistike auf Modelle mit korrelierte Fehlerterme leite wir ei eues Ivariazprizip für icht otwedig uabhägige, icht otwedig statioäre Zufallsvektore her Theorem.6. Ebeso wird ei eues Ivariazprizip für die Utersuchug gradueller Veräderuge i State-Space Modelle etwickelt Theorem.5. Bei de i Kapitel 5 vorgestellte Verfahre zur sequetielle Chagepoit-Aalyse beschräke wir us darauf, bekate Verfahre der sequetielle Chagepoit-Aalyse auf die hier betrachtete lieare Modelle ud State-Space Modelle umzusetze. Die theoretisch erzielte Ergebisse werde begleited durch Simulatioe überprüft. Dies ist eierseits vo Bedeutug, da viele theoretische Resultate asymptotische Aussage mache uedlich viele Beobachtuge. Hier gilt es zu überprüfe, ob die asymptotische Ergebisse auch für die Praxis verwedbar sid. Im Rahme praktischer Utersuchuge habe wir beispielsweise häufig Kommuikatiosdate für eie Zeitraum vo ei bis zwei Jahre etwa Woche vorliege. Es stellt sich die Frage, ob Beobachtuge Simulatioe ausreiche, um die asymptotisch erzielte Ergebisse zu bestätige. Ei weiteres durch Simulatioe verfolgtes Ziel ist die Ermittlug mittlerer Laufzeite ud kritischer Werte vo Teststatistike zur sequetielle Chagepoit-Aalyse. Die Bestimmug dieser Werte ist icht immer mit aalytische Hilfsmittel durchführbar vgl. Kapitel 5. Awedugsbeispiele vo hier theoretisch diskutierte ud durch Simulatioe utersuchte Verfahre der sequetielle ud der a posteriori Chagepoit-Aalyse auf Kommuikatiosdate der Deutsche Telekom fidet ma i [Gie0a]. Wir betrachte dort verschiedee Modelle für Marktateile ud de Markt uter dem Markt versteht ma das Gesamtvolume telefoierter Miute im Zeitverlauf. I Kapitel 6 ziehe wir ei Fazit aus usere Utersuchuge ud führe i eiem Ausblick eiige Aspekte a, die hier icht oder ur uvollstädig behadelt werde, aber iteressate Ergebisse verspreche. I Kapitel 7 stelle wir Grudlage aus der Lieare Algebra ud der Wahrscheilichkeitstheorie zusamme. Darüber hiaus beweise wir zwei für usere Utersuchuge beötigte eue Ivariazprizipie Theorem.5 ud Theorem.6. 6

16 Ivariazprizipie Ivariazprizipie Ivariazprizipie sid ei zetrales Hilfsmittel für die asymptotische Utersuchug stochastischer Prozesse. Ivariazprizipie liefer Aussage über die Kovergez stadardisierter Partialsumme vo Folge vo Zufallsvariable oder Zufallsvektore gege eie Normalverteilug bzw. Aussage über die Approximatio stochastischer Prozesse durch Wieer-Prozesse bzw. verwadte Prozesse. Wir gebe i diesem Kapitel eie Überblick über Ivariazprizipie ud stelle isbesodere die Ivariazprizipie vor, die wir hier verwede. Dieser Überblick erhebt keie Aspruch auf Vollstädigkeit, soder soll vielmehr dem bessere Verstädis der Überleguge der folgede Kapitel diee. Starke P -f.s. gültige Ivariazprizipie existiere z.b., falls eie Folge uabhägig idetisch verteilter Zufallsvariable vorliegt. Strasse zeigt i [Str64], dass ma zu jeder reelle Zufallsvariable X : Ω R auf eiem Wahrscheilichkeitsraum Ω, A, P mit Erwartugswert 0 ud Variaz eie Wahrscheilichkeitsraum Ω, Ã, P ud zwei Folge uabhägiger Zufallsvariable {X i } i N ud {Y i } i N auf Ω, Ã, P kostruiere ka, so dass P Xi = P X, PYi N0, i N ud X i P f.s. Y i = o loglog. Major zeigt i [Maj76b], dass sich uter de agegebee Bediguge keie bessere Kovergezrate erreiche läßt. Weitergehede Utersuchuge, durch die bessere Kovergezrate uter stärkere Itegrierbarkeitsbediguge a die Zufallsvariable X hergeleitet werde köe, werde isbesodere vo Komlós, Major ud Tusády durchgeführt vgl. [KoMaTu75], [KoMaTu76]. Sie zeige, dass uter der Voraussetzug E X +δ < für ei δ > 0 mit de obige Bezeichuge gilt: P f.s. X i Y i = o +δ. Darüber hiaus zeige sie, dass uter der Bedigug, dass die Mometerzeugede Fuktio i eier Umgebug der 0 existiert, d.h. E exptx < t < t 0, t 0 > 0, sich die obige Kovergezrate ochmals verbesser läßt: P f.s. X i Y i = O log. Diese Kovergezrate läßt sich icht mehr verbesser, falls X icht ormalverteilt ist vgl. z.b. Theorem.7. i [CsHo93]. 7

17 Ivariazprizipie Philipp [Phi79] bzw. Berger [Ber90] verallgemeier Strasses Ivariazprizip auf Zufallsvektore. Eimahl [Ei87b], [Ei89] überträgt die Resultate vo Komlós, Major ud Tusády auf de mehrdimesioale Fall. Die bisher erwähte Arbeite beschäftige sich mit der Approximatio vo Partialsumme vo i.i.d. Zufallsvariable bzw. Zufallsvektore. Kuelbs ud Philipp [KuPh80], Dehlig ud Philipp [DePh8] sowie Dehlig [Deh83] leite Ivariazprizipie für statioäre, icht otwedig uabhägige Folge vo Zufallsvektore her. Allgemeier betrachte sie Zufallsvariable, die i Baachräume abbilde. I userer Arbeit beschräke wir us allerdigs auf Zufallsvektore mit reellwertige Wertebereiche der eizele Kompoete. Vereibarug.. Wir gehe im Folgede stets davo aus, dass die Wahrscheilichkeitsräume so gewählt sid, dass die betrachtete Zufallsvariable bzw. Zufallsvektore alle darauf defiiert sid. Wir uterscheide also icht mehr wie obe zwische verschiedee Wahrscheilichkeitsräume. Wir stelle eiige zetrale Resultate aus de ageführte Arbeite für de mehrdimesioale Fall vor. Sei G := {G : [0, [0, G stetig, t Gtloglog t icht falled, t 3 Gt icht wachsed }. Eimahl beweist i [Ei87b] das folgede Theorem. Theorem.. Sei X ei Zufallsvektor mit Kovariazmatrix Σ. Sei weiter G G ud gelte G x dp X <. Da gibt es zwei Folge vo Zufallsvektore {X i } i N, {Y i } i N mit P Xi = P X ud P Yi N 0, Σ, so dass gilt: P f.s. X i Y i = o G. Beweis: S. Beweis zu Theorem i [Ei87b]. Bemerkug.. Sei für 0 < δ : G : [0, [0,, t t +δ. Da gilt: G G. Falls für eie Zufallsvektor X mit Kovariazmatrix Σ gilt E X +δ <, so folgt mit Theorem.: Es gibt zwei Folge vo Zufallsvektore {X i } i N, {Y i } i N mit P Xi = P X ud P Yi N 0, Σ, so dass gilt: P f.s. X i Y i = o +δ. 8

18 Ivariazprizipie Eimahl beweist i [Ei89] das folgede Theorem als Verallgemeierug der Ergebisse vo Komlós, Major ud Tusády für de mehrdimesioale Fall. Theorem.. Sei X ei Zufallsvektor mit Kovariazmatrix Σ ud gelte: Rh := E exp h X < für h α, α > 0, sup sup h α s >δ Rh + is Rh < für ei δ > 0. Da gibt es zwei Folge vo Zufallsvektore {X i } i N, {Y i } i N mit P Xi = P X ud P Yi N 0, Σ, so dass gilt: X i Y i P f.s. = O log. Beweis: S. Beweis zu Theorem 3 i [Ei89]. Defiitio.. Eie Folge p-dimesioaler Zufallsvektore {Y i } i N, Y i := Y i,..., Y p i heißt schwach statioär, we gilt: γ i,j h := Cov Y i, Y j h+ = Cov Y i k, Y j k+h h, k N, i, j p. Vereibarug.. We wir im Folgede vo eier statioäre Folge vo Zufallsvektore spreche, verstehe wir daruter eie wie obe defiierte schwach statioäre Folge vo Zufallsvektore. De Grad der Korrelatio eier Folge vo Zufallsvektore köe wir durch Mischugsbediguge Mixig Coditios beschreibe. Defiitio.. Eie Folge vo Zufallsvektore {Y i } i N heißt stark misched strog mixig, we gilt: α : N R, α 0: P A B P AP B αk A AY,..., Y l, B AY l+k,... k, l N. Defiitio.3. Eie Folge vo Zufallsvektore {Y i } i N heißt absolut regulär, we gilt: β : N R, β 0: E sup P B AY,..., Y l P B B AY k+l,... βk k, l N. Defiitio.4. Eie Folge vo Zufallsvektore {Y i } i N heißt φ-misched φ-mixig, we gilt: φ : N R, φ 0: P A B P AP B φkp A A AY,..., Y l, B AY l+k,... k, l N. 9

19 Ivariazprizipie Bemerkug.. Sei {Y i } i N eie Folge vo Zufallsvektore. Da gilt: {Y i } i N φ-misched {Y i } i N absolut regulär {Y i } i N stark misched. Geauer gilt: {Y i } i N φ-misched mit Mischugskoeffiziete φ {Y i } i N absolut regulär mit Mischugskoeffiziete β, βk = O φk k. {Y i } i N absolut regulär mit Mischugskoeffiziete β {Y i } i N stark misched mit Mischugskoeffiziete α, αk = O βk k. Beweis: Vgl. z.b. [IbRo78]. Kuelbs ud Philipp beweise i [KuPh80] folgedes Ivariazprizip für statioäre, icht otwedig uabhägige Folge vo Zufallsvektore. Theorem.3. Sei {X i } i N eie stark mischede Folge statioärer zetrierter p- dimesioaler Zufallsvektore. Die Momete der Ordug + δ existiere für ei 0 < δ ud seie gleichmäßig beschräkt. Für de Mischugskoeffiziete gelte: αk = O k +ε+ δ k für ei 0 < ε. Da kovergiere die beide Summe i γ ij := E X i X j + E X i X j k + E X i k Xj i, j p k= k= absolut. Sei Σ := γ ij i,j p. Da gibt es eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore {Y i } i N mit Kovariazmatrix Σ, so dass gilt: P f.s. X i Y i = o λ für ei λ > 0. Beweis: S. Beweis zu Theorem 4 i [KuPh80]. Horváth ud Shao leite i [HoSh95] ei Ivariazprizip her, das die Betrachtug icht otwedig statioärer, aber uabhägiger Zufallsvektore ermöglicht. Dieses Theorem wede wir i Abschitt 3.4 a, um das asymptotische Verhalte vo Teststatistike zur Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle zu utersuche. Theorem.4. Sei {X i } i N eie Folge uabhägiger zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore mit E X i +δ < für ei 0 < δ. Sei A die Kovariazmatrix vo X i. Es gelte: Es gibt eie positiv semi-defiite Matrix A R p p, so dass: A A = o log ϑ für ei ϑ > + 7 δ, 0

20 Ivariazprizipie ud es gibt eie Kostate cost : E X i +δ cost E Xi +δ. Da gibt es eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore {Y i } i N mit Cov Y = A, so dass gilt: P f.s. X i Y i = o log λ,.0. ud es gibt für jedes { } N eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore Y {} i mit Cov Y {} = A, so dass gilt: i N X i Y {} P f.s. i = o k log k λ k.0. i=k+ i=k+ Beweis: De Beweis für.0. fidet ma i [HoSh95], Beweis zu Theorem A...0. folgt aalog vgl. auch Beweis zu.0.6 aus Theorem.5. Für die Utersuchug gradueller Veräderuge beötige wir ei Ivariazprizip, das eie bessere Rate als Theorem.4 erzielt. Theorem.5. Sei {X i } i N eie Folge uabhägiger zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore mit E X i +δ < für ei δ > 0. Sei A k,k die Kovariazmatrix vo k i=k + X i. Es gelte: Es gibt eie positiv semi-defiite Matrix A R p p ud ei ϑ > 0, so dass: A k,k k k A k = o k ϑ mik, k k,.0.3 ud es gibt eie Kostate cost > 0: E X i +δ cost E Xi +δ..0.4 Da gibt es eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore {Y i } i N mit Cov Y = A, so dass gilt: X i P f.s. Y i = o λ,.0.5 ud es gibt für jedes { } N eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore Y {} i mit Cov Y {} = A, so dass gilt: i N X i Y {} P f.s. i = o k λ k.0.6 i=k+ für ei λ > 0. i=k+

21 Ivariazprizipie Beweis: De Beweis zu Theorem.5 erbrige wir i Abschitt 7.3. Bei de bisher ageführte Utersuchuge werde stets Folge vo Zufallsvektore betrachtet, die etweder uabhägig oder statioär sid. Zum Nachweis asymptotischer Aussage für die i de Abschitte 3. bzw. 3.3 bezüglich liearer Modelle utersuchte Teststatistike beötige wir ei Ivariazprizip für korrelierte, icht otwedig statioäre Folge vo Zufallsvektore. Das folgede Theorem liefert ei solches Ivariazprizip uter der im Vergleich zu Theorem.3 stärkere Mischugsbedigug der absolute Regularität. Theorem.6. Sei {X i } i N eie Folge p-dimesioaler zetrierter absolut regulärer Zufallsvektore. Für de Mischugskoeffiziete β gelte: βk cost 3 k +ε+ δ k N für ei 0 < ε..0.7 Es gebe eie positiv defiite Matrix A R p p ud ei ϑ > + 9, so dass für die εδ Kovariazmatrize A k,k vo k i=k + X i gilt: A k,k k k A = o k log k ϑ mik, k k..0.8 k k Weiter gebe es Kostate cost 4, cost 5, so dass gilt: i +δ cost 4, i N.0.9 i cost 5 E Xi 3+ δ +δ für ei i 9δ δ..0.0 Da gibt es eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore {Y i } i N mit Cov Y = A, so dass gilt: P f.s. X i Y i = o log λ,.0. ud es gibt für jedes { } N eie Folge i.i.d. ormalverteilter zetrierter p-dimesioaler Zufallsvektore Y {} i mit Cov Y {} = A, so dass gilt: i N X i Y {} P f.s. i = o k log k λ k.0. i=k+ für ei λ >. i=k+ Beweis: Der Beweis für Theorem.6 wird i Abschitt 7.3 erbracht. Defiitio.5. Ei stochastischer Prozess {W Σ t} t 0 := { W t,..., W p t } mit P-f.s. stetige t 0 Pfade heißt p-dimesioaler Wieer-Prozess mit Kovariazmatrix Σ, we E W Σ t = 0 t 0 ud die edlichdimesioale Verteiluge vo W Σ Gauß-verteilt sid mit E W i j Σ tw Σ s = σ ij mit, s t, s 0, i, j p, wobei Σ = σ ij i,j p.

22 Ivariazprizipie Bemerkug.3. I de Aussage der voragegagee Theoreme.-.6 ka die Partialsumme Y i durch eie Wieer-Prozess ersetzt werde, d.h. es gelte die folgede Aussage. I Theorem.: Es gibt eie p-dimesioale Wieer-Prozess {W A t} t 0, so dass gilt: [t] P f.s. X i W A t = o G t t. I Theorem.: Es gibt eie p-dimesioale Wieer-Prozess {W A t} t 0, so dass gilt: [t] P f.s. X i W A t = O log t t. I Theorem.3: Es gibt eie p-dimesioale Wieer-Prozess {W A t} t 0, so dass gilt: [t] P f.s. X i W A t = o t λ t. I Theorem.4 sowie i Theorem.6: Es gibt eie p-dimesioale Wieer-Prozess {W A t} t 0, so dass gilt: [t] P f.s. X i W A t = o t log t λ t { } bzw. für jedes T > 0 gibt es eie p-dimesioale Wieer-Prozess W {T } A t, t 0 so dass gilt: [T ] X i W {T } A T t P f.s. = o T t log T t λ T t. i=[t]+ I Theorem.5: Es gibt eie p-dimesioale Wieer-Prozess {W A t} t 0, so dass gilt: [t] P f.s. X i W A t = o t λ t { } bzw. für jedes T > 0 gibt es eie p-dimesioale Wieer-Prozess W {T } A t so dass gilt: [T ] X i W {T } P f.s. A T t = o T t λ T t. i=[t]+ t 0, 3

23 Ivariazprizipie Beweis: Mit Theorem.. aus [CsRé8] folgt für eie eidimesioale Wieer- Prozess {W t} t 0 : sup 0 t T W t W [t] P f.s. = O log T T. Damit erhalte wir umittelbar die obige Aussage. Hat ma eie Partialsumme vo Zufallsvektore durch eie Partialsumme uabhägig idetisch N 0, Σ verteilter Zufallsvektore bzw. durch eie Wieer-Prozess uter Verwedug vo Ivariazprizipie approximiert, so lasse sich weitere asymptotische Aussage herleite. Hat ma beispielsweise die Partialsumme eier vorliegede Folge {X i } i N vo Zufallsvektore wie i Theorem.6 durch eie Partialsumme vo i.i.d. ormalverteilte Zufallsvektore mit eier Rate vo o P -f.s. approximiert, so erhält ma über de Satz vom Iterierte Logarithmus für Zufallsvektore vgl. z.b. Korollar 6 i [Ei87a]: P f.s. X i = O loglog bzw. k k X i k loglog k = O P. Ei wichtiges Ziel userer Aalyse zur a posteriori Chagepoit-Aalyse ist die Bestimmug der asymptotische Verteilug der betrachtete Teststatistike. Dazu approximiert ma die jeweilige Teststatistik mittels Ivariazprizipie durch Partialsumme vo uabhägig idetisch ormalverteilte Zufallsvektore bzw. eie Wieer-Prozess oder eie verwadte stochastische Prozess. Für diese gibt es Aussage über ihre asymptotische Verteilug. Damit sid Rückschlüsse auf das asymptotische Verhalte der Teststatistik möglich. I Kapitel 3 wede wir folgedes Theorem a, das vo Horváth i [Hor93] hergeleitet wird. Dieses Theorem stellt eie Verallgemeierug der Ergebisse vo Darlig ud Erdős [DaEr56] dar. Theorem.7. Sei {Z i } i N eie Folge uabhägig idetisch verteilter zetrierter p- dimesioaler Zufallsvektore. Weiter gelte: Cov Z i, Z j = I p, E Z i +δ <, δ > 0. Da folgt: lim P Dabei sei alog k k a := log, k Z i t + d p log = exp exp t t R. d p := log + p loglog log Γ p wobei Γ die Gammafuktio bezeichet., 4

24 Ivariazprizipie Zum Beweis vo Theorem.7 beötige wir das folgede Theorem. Theorem.8. p Sei Nt = N p t := Ui t t 0, wobei {U t} t 0,..., {U p t} t 0 uabhägige, idetisch verteilte Orstei-Uhlebeck Prozesse sid, d.h. die {U i t} t 0 sid uabhägige zetrierte Gauß-Prozesse mit P-f.s. stetige Pfade ud Da gilt: EU i tu i s = exp t s lim P T i p. at sup 0 x T Nx t + d p T = exp exp t t R, wobei a, d p wie i Theorem.7 defiiert sid. Beweis: De Beweis vo Theorem.8 fidet ma i [Hor93] Lemma.. bzw. i [CsHo97] Theorem A.3.. Beweis: vo Theorem.7 Der Beweis orietiert sich am Beweis zu Lemma. i [Hor93]. Sei o.b.d.a. δ. [t] Sei für i p, t : S i t := Z i j. j= Aus Bemerkug. folgt mit Bemerkug.3: Es gibt p uabhägige Wieer-Prozesse {W t} t 0,..., {W p t} t 0, so dass gilt: sup i p t S i t W i t t +δ P f.s. = o..0.3 Weiter gilt: p t D Wi t, t < = {Nlog t, t < },.0.4 wobei p Nt := Ui t ud {U t} t 0,..., {U p t} t 0 t 0 5

25 Ivariazprizipie uabhägige idetisch verteilte Orstei-Uhlebeck Prozesse sid. Aus.0.3 folgt mit dem Satz vom Iterierte Logarithmus: p p sup t Si t t Wi t log t.0.3 P f.s. p = sup t Wi t + o t δ p +δ t Wi t log t S. v. Iter. Log. = o P loglog..0.5 Mit dem Satz vom Iterierte Logarithmus erhalte wir darüber hiaus: sup t Si t = O P logloglog,.0.6 t log sup t Wi t = O P logloglog..0.7 t log Aus.0.6 folgt: alog sup t log p t Si t d P plog.0.8 ud aalog mit.0.7: p alog sup t Wi t t log d P plog..0.9 Aus.0.4,.0.5,.0.8,.0.9 folgt mit Theorem.8 die Behauptug. Zur Utersuchug des asymptotische Verhaltes vo gewichtete Teststatistike verwedet ma das folgede aaloge Resultat. Theorem.9. Sei {Z i } i N eie Folge uabhägig idetisch verteilter zetrierter p- dimesioaler Zufallsvektore. Weiter gelte für i N: Cov Z i = I p, E Z i +δ <, δ > 0. Da folgt: lim P alog k< = exp exp t t R, k k k Z i k Z i t + d p log wobei a, d p wie i Theorem.7 defiiert sid. 6

26 Ivariazprizipie Beweis: Der Beweis verläuft ählich wie der Beweis zu Theorem.7. Im Uterschied dazu sid hier zwei Wieer-Prozesse zur Approximatio des Partialsummeprozesses otwedig vgl. auch Bew. zu Theorem A.4.. i [CsHo97]. Sei o.b.d.a. δ. Sei für i p, t : [t] S i t := Z i j, j= S i t = S i t := j=[t+] Z i j. Aus Bemerkug. folgt mit Bemerkug.3: Es gibt p uabhägige Wieer-Prozesse { } { } W t,..., W p t, so dass gilt: t 0 sup i p t S i t W t +δ i t 0 t P f.s. = o,.0.0 ud es gibt für jedes N uabhägige auch vo de obe defiierte p Wieer- Prozesse uabhägige Wieer-Prozesse { } { } W, t,..., W p, t, t 0 i p t t 0 so dass gilt: S sup i t W, i t t +δ Sei B i, s := W i s P f.s. = o..0. W i + W, i W, i s + s Da ist B i, eie Browsche Brücke. W i + W, i 0 s, < s. Es gilt: D = p s s Bi, s { N log 0 < s < } s, 0 < s <,.0. s 7

27 Ivariazprizipie wobei Nt wie i Theorem.8 defiiert ist. Weiter gilt: sup log t = sup log t.0.0,.0. P f.s. = sup p p p S i t t t t S i t t t t S i t t S i + Si log t p t t p t t W i t t W i +o S. v. Iter. Log. = o P loglog t Bi, t Bi, + W, i + δ +δ t t t δ +δ t p t t t Bi,.0.3 ud aalog: sup <t log p p S i t t t t S i t t t Bi, 8

28 = sup.0.0,.0. P f.s. <t log Ivariazprizipie p t t Si t + t S i + Si = sup <t log p t t p S. v. Iter. Log. = o P loglog Bi, t t t W, i t + t W i + W, i +o t δ +δ + δ +δ t t t p t t t Bi,..0.4 Weiter gilt: sup t log = sup t log p S i t t t t S i p t t Si t Si t t..0.5 S. v. Iter. Log. = O P logloglog Aalog folgt, wiederum mit dem Satz vom Iterierte Logarithmus: p sup S i t t log t< t t S i = O P logloglog.0.6 9

29 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits ud sowie p sup t B i, t log t t = O P logloglog.0.7 p sup t B i, log t< t t = O P logloglog..0.8 Aus folgt aalog wie im Beweis zu Theorem.7 mit Theorem.8 die Behauptug. 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits 3. Eiführug Die a posteriori Chagepoit-Aalyse beschäftigt sich mit der Fragestellug, ob i eiem abgeschlossee Zeitraum der Vergageheit ei Strukturbruch i gesammelte Beobachtuge festgestellt werde ka. Speziell betrachte wir i diesem Kapitel Chagepoit-Modelle für abrupte Chagepoits. Zu dieser Art der Chagepoit- Aalyse gibt es bereits zahlreiche Utersuchuge. Eie Überblick gebe Csörgő ud Horváth i [CsHo97]. I Abschitt 3. übertrage wir eie bekate Teststatistik, die sogeate Uio- Itersectio Teststatistik, die bisher für lieare Modelle mit uabhägige Fehlerterme utersucht worde ist, auf de Fall korrelierter Fehler. Der Uio-Itersectio Test testet i lieare Modelle auf eie Veräderug des Regressiosvektors, der festlegt, mit welchem Gewicht die eizele Eiflussgröße i die Zielgröße eigehe. Eie weitere Teststatistik zur Chagepoit-Aalyse i lieare Modelle, die auf Partialsumme vo Residue beruht, betrachte wir i Abschitt 3.3. Aders als i Abschitt 3. wird hier überprüft, ob ei plötzlicher Strukturbruch im Fehlerprozess des lieare Modells auftritt. I Abschitt 3.4 werde eue Teststatistike zur a posteriori Chagepoit-Aalyse i State-Space Modelle kozipiert ud theoretisch utersucht. Hauptziel userer Utersuchuge ist es, das asymptotische Verhalte der betrachtete Teststatistike zu bestimme. Darüber hiaus werde Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits vorgestellt sowie Schätzer für weitere Parameter, isbesodere die i.a. ubekate Variaz der Fehlerprozesse. Bei ubekater Variaz der Fehlerprozesse spielt die Bestimmug vo asymptotisch gute Variazschätzer eie etscheidede Rolle für das Verhalte der Teststatistike, da diese zur Normierug der Teststatistike verwedet werde. Zetrales Hilfsmittel für usere Utersuchuge sid Ivariazprizipie, wie sie i Kapitel vorgestellt worde sid. 0

30 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits 3. A posteriori Chagepoit-Aalyse i lieare Modelle für abrupte Chagepoits im Regressiosvektor mit dem Uio-Itersectio Test Ziel der Utersuchuge dieses Abschitts ist es, die Uio-Itersectio Teststatistik auf lieare Modelle mit korrelierte Fehlerterme zu übertrage. 3.. Modell Wir stelle zuächst das Modell vor, das wir im gesamte Abschitt 3. betrachte: y i := { x iβ + ε i, i k, x iβ + ε i, k < i. 3.. β, β sid zu schätzede p-dimesioale reelle Vektore mit β β. ε, ε,..., ε sid Zufallsvariable, die de Fehlerprozess beschreibe. k ist der Zeitpukt des Chagepoits. x i := x i,,..., x i,p sid p-dimesioale Zufallsvektore, die Eiflussgröße zum Zeitpukt i beschreibe. Die x i uterliege zufällige Schwakuge, d.h. i N gibt es eie determiistische Vektor x i := x i,,..., x i,p R p ud eie p-dimesioale Zufallsvektor η i, so dass gilt: x i = x i + η i. Zielgröße Zeitpukt Abbildug 5: Abrupter Chagepoit im Regressiosvektor β zum Zeitpukt 40.

31 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits Getestet wird die Hypothese H 0 : k = gege die Alterative H A : k <. A de Fehlerprozess {ε i } i N stelle wir i diesem Abschitt stets die folgede Midestforderuge: {ε i } i N ist statioär im Sie vo Defiitio., 3.. E ε i = 0, 0 < σ := Var ε i <, < δ < : i N E ε i +δ < cost 6 für eie Kostate cost Zur Herleitug asymptotischer Aussage beötige wir darüber hiaus Charakterisieruge der Stärke der Korrelatio. Dies wird über eie Mischugsbedigug a de Fehlerprozess realisiert. Als zetral stellt sich dabei die folgede Bedigug heraus: βk cost 3 k +ε+ δ k N für ei 0 < ε, 3..5 wobei βk der i Defiitio.3 erklärte Mischugskoeffiziet für die absolute Regularität des Fehlerprozesses {ε i } i N ist. Für {η i } i N forder wir folgede Eigeschafte: {η i } i N Folge uabhägiger Zufallsvektore, 3..6 E η i = 0 i N, 3..7 i N E η i +δ < cost 7 für eie Kostate cost 7, 3..8 {η i } i N uabhägig vo {ε i } i N Bemerkug 3.. Sei {ε i } i N eie stark mischede statioäre Folge vo Zufallsvariable mit gleichmäßig beschräkte Momete der Ordug +δ, δ > 0. Für de Mischugskoeffiziete α gelte: αk cost 8 k +ε+ δ k N für ei 0 < ε. Da folgt für die Autokovariazfuktio γh := Cov ε, ε +h : γh 0 cost 8 h +ε+ δ δ +δ ε i +δ ε i+h +δ = O h +ε h. Beweis: Folgt mit Lemma 7.. Eie wichtige Rolle bei der asymptotische Utersuchug der betrachtete Teststatistik spielt die Wahl geeigeter Schätzer der i.a. ubekate Kovariazmatrix der Teststatistik. Diese Schätzer werde zur Normierug der Teststatistik beötigt. Um durch de Fehler, der bei der Schätzug der Kovariazmatrix gemacht wird, keie Verschlechterug

32 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits des asymptotische Verhaltes der Teststatistik zu erhalte, stelle wir zusätzliche Bediguge a de Fehlerprozess {ε i } i N. Wir betrachte dazu lieare Fehlerprozesse der folgede Gestalt: ε i = a j ε i j, a j R, 3..0 j=0 { ε i } i Z i.i.d., zetriert mit 0 < τ := E ε, 0 < δ < : E ε +δ =: cost 9, 3.. k a k <, a k k=0 k=0 Bemerkug 3.. k=0 k a k < ist isbesodere erfüllt, falls gilt: a k = O k β k mit β >. Bemerkug 3.3. Aus erhält ma uter Verwedug des Satzes vo Beppo Levi ud des Satzes vo Lebesgue: E ε i = 0, σ := Var ε i = τ E ε i +δ cost 9 k=0 k=0 a k <, a k +δ =: cost 0, γh := Cov ε i, ε i+h = E a j ε i j j =0 j = h a j +h ε i j = a j a j+h τ. j=0 Das heißt isbesodere, dass aus die Gültigkeit der Bediguge folgt. Bemerkug 3.4. Gelte Da folgt mit Bemerkug 3. ud Bemerkug 3.3: a j a j+h = O h +ε j=0 h. Wir betrachte ei Beispiel, für das die obe beschriebee Bediguge ud damit ach Bemerkug 3.3 auch erfüllt sid. Beispiel 3.. Sei {Y i } i Z ei ARMAp,q-Prozess mit Fehlerprozess { ε i } i Z i.i.d., E ε = 0, Var ε = σ, E ε i +δ < : Y i = φ Y i φ p Y i p + ε i + θ ε i θ q ε i q. I abgekürzter Schreibweise: φby i = θb ε i, 3

33 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits wobei B der backward shift Operator: B j Y i := Y i j, φz := φ z... φ p z p, θz := + θ z θ q z q. Es gelte, dass φb ud θb keie gemeisame Nullstelle besitze, ud dass φz 0 für alle z, z C. Das heißt, {Y i } i Z ist kausal ud läßt sich darstelle als: Y i = a j ε i j, j=0 j=0 wobei a j z j = θz φz, z vgl. Theorem 3. i [BrDa87]. Uter de obige Voraussetzuge ist die Mischugsbedigug 3..5 erfüllt, de: Mit Theorem 4.4. aus [BrDa9] folgt: {Y i } i Z hat die Spektraldichte f X λ = σ θexp iλ, π λ π. π φexp iλ Mit Theorem 4 aus [IbSo69] folgt damit: βk = O k r k r R, wobei βk der Mischugskoeffiziet aus Defiitio.3 für {Y i } i N ist. 3.. ist z.b. erfüllt, falls {Y i } i Z ei kausaler AR-Prozess ist, d.h. θ, φz = φ z, de i diesem Fall gilt: a j = φ j. Hieraus erhalte wir: a k j = φ k < k > 0 j=0 ud damit durch Vergleich mit der harmoische Reihe: a j = oj k j k R. Weiter gilt: a j = φ 0. j=0 4

34 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits 3.. Ergebisse I diesem Abschitt stelle wir die wichtigste Ergebisse vo Abschitt 3. vor. Zur Vereifachug der Notatio führe wir folgede Bezeichuge ei: X k := x. R k p, Xk := x k+. R k p, X i,j := x i. R j i+ p, x k x x j X k := x. R k p, X k := x k+. R k p, Xi,j := x i. R j i+ p, x k x x j Y k := y. R k, Yk := y k+. R k, Y i,j := y i. R j i+, y k y y j ξ k := ε. R k, ξk := ε k+. R k, ξ i,j := ε i. R j i+. ε k Für p k p defiiere wir: ε ε j H k := X kx k + Xk Xk, H k := k k H k X X γ0 + [ ] Im Weitere beötige wir folgede Regularitätsbediguge: h= h X, hx h+, γh H k. RagX k = p p k, 3..3 RagXk = p k p, 3..4 Es gibt eie positiv defiite Matrix A, eie Folge positiv defiiter Matrize {A h } h N ud ei ϑ > + 9, so dass gilt: εδ k X kx k A P f.s. = o log k ϑ k, 3..5 k X k Xk A P f.s. = o log k ϑ k,

35 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits h N k kx h+,k+h A h P f.s. = o log k ϑ k, 3..7 h k k X k+ h, hx k+, A h P f.s. = o log k ϑ k à := Aγ0 + A h γh ist positiv defiit h= Es gibt eie Kostate cost, so dass gilt: x i,j P f.s. cost j p,i N k k X k,k X k,k A P f.s. = o logk k ϑ k k, 3.. k k X k +,kx k +,k A P f.s. = o logk k ϑ k k.3.. Bemerkug 3.5. Die obige Regularitätsbediguge besage, dass sich die Matrize X k, Xk asymptotisch i gewisser Weise stabilisiere. I X k bzw. Xk sid alle Eiflussgröße bis zum Zeitpukt k bzw. ab dem Zeitpukt k+ ethalte. Bezoge auf die i Kapitel vorgestellte Marktateilsmodelle heißt dies, dass die Preise vo Telekom ud Wettbewerber sich auf eiem bestimmte Niveau eipedel. Bemerkug 3.6. Aus 3..0 folgt isbesodere Bemerkug 3.7. Für j p gilt: k Var η j = i Var k k k x i,j S. v. Lebesgue,3..5,3..0 = o log k ϑ Mit Lemma 7.8 erhalte wir daraus: k η j i = o P log k ϑ k. k Wir betrachte i diesem Abschitt die folgede Teststatistik: T := ˆβk ˆβ k Hk ˆβk ˆβ k bzw. wobei T := p k p p k p ˆβk ˆβ k Ĥk ˆβk ˆβ k ˆβ k := X kx k X ky k, p k p, ˆβ k := Xk Xk Xk Yk, p k p, Ĥ k Schätzer für H k, p k p., k. 6

36 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits Bemerkug 3.8. Die Teststatistik T bzw. T wird als Uio-Itersectio Teststatistik bezeichet. Wir wolle kurz die Herkuft dieser Bezeichug erkläre. Hat ma ei Testproblem mit Nullhypothese H 0 ud Alterative H A gegebe, so ka es hilfreich sei, die Nullhypothese als Schitt Itersectio vo eifachere Nullhypothese ud die Alterative etspreched als Vereiigug Uio vo eifache Alterative umzuformuliere. Diese Vorgehesweise wird häufig verwedet, um ei mehrdimesioales Testproblem auf eidimesioale Testprobleme zu reduziere ud wird zuerst vo Roy i [Roy53] agewedet vgl. auch [Roy57], [RoGSr7]: Kapitel 4, [OlTo8]. Wir stelle eie kurze Überlegug a, user obe defiiertes Testproblem auf die beschriebee Weise umzuformuliere. Ersetze wir im Modell 3.. k durch k p k p, so erhalte wir folgede p Modelle: y i := { x iβ k + ε i, p i k, x iβ k + ε i, k < i p. β k, β k ersetze dabei jeweils β, β aus 3... Für j p köe wir folgedes Testproblem defiiere: wobei β j k H j 0 : β j k H j A : βj k = βk j βk j p k p, p k p, bzw. βk j der j-te Kompoete des Vektors β k bzw. βk etspricht. Das Ausgagstestproblem köe wir uter der Voraussetzug p k p wie folgt umformuliere: p k p H 0 : j p H j 0, H A : j p H j A. Eie aheliegede Teststatistik zum Test vo H j 0 gege H j A Var ˆβ k j ˆβj k ˆβ k j. p k p ˆβj k Als Teststatistik zum Test vo H 0 gege H A leite wir daraus ab: ˆβk ˆβ k Cov ˆβk ˆβ k ˆβk ˆβ k. Cov ˆβk ˆβ k 3.3, Beweis zu Lemma 3.7. j p ist: wird i T bzw. T durch H k bzw. Ĥ k approximiert vgl. Lemma Eie ähliche Teststatistik wird vo Hawkis i [Haw89] zur Chagepoit-Aalyse i lieare Modelle agewedet. Horváth ud Shao i [HoSh95] sowie Csörgő ud Horváth i [CsHo97] utersuche diese Teststatistik weitergehed. Die dort durchgeführte Utersuchuge beschräke sich auf de Fall uabhägig idetisch verteilter Fehlerterme {ε i } i N. Bemerkug 3.9. Xk, Y k, ξ k, H k, H k ud damit auch alle daraus abgeleitete Größe, wie z.b. βk, sid abhägig vo. Wir müsse also geauer vo eiem doppelt idizierte Schema ausgehe. We keie Mißverstädisse zu erwarte sid, verwede wir jedoch die obige Bezeicher ohe doppelte Idizierug. 7

37 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits 3... Asymptotisches Verhalte des Uio-Itersectio Test Das erste Theorem beschreibt das asymptotische Verhalte der Teststatistik T für de Fall der Nullhypothese. Theorem 3.. Gelte H 0, sowie Da folgt: lim P alog T t + dp log = exp exp t t R. Dabei seie a, d p wie i Theorem.7 defiiert. Beweis: S. Abschitt Bemerkug 3.0. I Theorem 3. erhält ma die doppelte Expoetialverteilug als Grezverteilug. Der Grud hierfür ist, dass die Terme ˆβk ˆβ k ˆβk ˆβ k p k log log k p Hk ˆβk ˆβ k, Hk ˆβk ˆβ k für jeweils durch eie eifache Expoetialverteilug approximiert werde ud asymptotisch uabhägig voeiader sid vgl. Lemma 3.7 sowie Beweis zu Theorem 3.. Sei δ := β β. Da gilt das folgede Theorem, das die Kosistez der Teststatistik T uter der Alterative sicherstellt. Theorem 3.. Gelte H A, sowie Weiter gelte: mik, k, 3..3 k k δ δ loglog Da folgt: T loglog P Beweis: S. Abschitt Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits Nebe Aussage über die Existez eies Chagepoits spielt für praktische Aweduge auch desse Zeitpukt eie wichtige Rolle. Ist der Zeitpukt eies Chagepoits bekat, so ka eie Ursacheforschug agestoße werde. Darüber hiaus spiele Schätzer für de Zeitpukt des Chagepoits eie etscheidede Rolle bei der Kozeptio geeigeter Schätzer für H k vgl. Abschitt } Sei ˆk := if {k β k βk H k β k βk = β k βk H k β k βk. p k p Da gilt das folgede Theorem. 8

38 3 A posteriori Chagepoit-Aalyse für abrupte Chagepoits Theorem 3.3. Es gelte H A, sowie Weiter gelte: k = [τ] für ei 0 < τ < Da folgt: ˆk k Beweis: S. Abschitt = o P Schätzer für H k Für die Bestimmug vo H k wird die i.a. ubekate Autokovariazfuktio vo {ε i } i N beötigt. Aus diesem Grud ersetze wir H k durch eie geeigete Schätzer Ĥk, i de Schätzer für die Autokovariazfuktio eifließe. So erhalte wir aus der Teststatistik T die Teststatistik T. Ziel ist die Kostruktio vo Schätzer, die die asymptotische Aussage vo Theorem 3. bzw. Theorem 3. icht veräder, we ma H k durch Ĥk ersetzt. Bemerkug 3.. Gilt p k p k k Ĥk H k = op loglog, 3..7 so ka ma T i Theorem 3. durch T ersetze. Beweis: I Bemerkug 3.4 wird gezeigt, dass uter de Voraussetzuge vo Theorem 3. gilt: k k ˆβk p k p ˆβ k = O P loglog Aus 3..7, 3..8 folgt T T = O P loglog ud damit die Behauptug. Bemerkug 3.. Gilt k k Ĥk k = op, 3..9 so ka ma T i Theorem 3. durch T ersetze. Beweis: Vgl. Beweis zu Theorem 3. i Abschitt Bemerkug 3.3. I Abschitt 3..6 stelle wir Schätzer für H k vor, für die 3..7 uter H 0 bzw uter H A erfüllt sid. 9