Definition einer Gruppe

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1 Defiitio eier Gruppe Uter eier Gruppe versteht i der Mthetik eie Ahl vo Eleete, die durch Regel i Beiehug stehe. Bediguge für eie thetische Gruppe: I. Verküpfug weier beliebiger Eleete (ud dit uch ds Qudrt eies jede Eleetes) uss ur Gruppe gehöre: Gilt ds Kouttivgeset Abelsche Gruppe, spricht vo eier II. Ei Eleet uss it lle dere koutiere ud diese uverädert lsse; dieses Eleet wird per Defiitio ls E beeichet: III. Ds Assoitivgeset uss gelte: IV. Für jedes Eleet S eistiert ei Reiprokwert R, der ebeflls Eleet der Gruppe ist: Die Ordug h eier Gruppe etspricht der Zhl ihrer Eleete.

2 Eie Gruppe der Ordug sechs Multipliktiostfel: G 6 E A B C D F G 6 E A B C D F Utergruppe vo G 6 : E E E E A E E A A A E E B E E B B B E E C E E C C C E E D F E E D F D D F E F F E D

3 Klsse i Gruppe Zwei Gruppeeleete A ud B et kojugiert ( cojugte ), we eie Ählichkeitstrsfortio ( siilrit trsfortio ) ittels eies Eleetes X eistiert, so dss gilt: B X - A X, wobei A, B ud X Eleete eier Gruppe drstelle. Ei kopletter St vo utereider kojugierte Eleete eier Gruppe bildet eie Klsse dieser Gruppe. Es gilt: Jedes Eleet ist it sich selbst kojugiert. We A it B kojugiert ist, d ist es uch B it A. We A it B ud uch it C kojugiert ist, d sid es uch B ud C iteider. Kei Eleet k u wei Klsse gehöre. I eier Abelsche Gruppe ethält jede Klsse ur ei Eleet. U die Klsse eier beliebige Gruppe u erittel, begit it eie Eleet ud erittelt lle seie Trsforierte ( trsfors ), ide lle Eleete (uch ds gewählte Eleet selbst) herieht. Die resultierede Eleete bilde eie Klsse. M fährt it eie dere Eleet fort, bis lle Eleete eier Klsse ugeordet sid. Beispiel für G 6 () : E - E E E E E A - E A A - A E E B - E B B - B E E E stellt lso (stets) eie Klsse für sich dr. E - A E EA E A E A A - A A A A A E A A B - A B B A B D B C C - A C C A C F C B D - A D F A D C D B F - A F D A F B F C Die Eleete A, B ud C sid iteider kojugiert ud bilde die weite Klsse vo G 6 (). G 6 () E A B C D F E - D E D A - D A F B - D B F C - D C F D - D D D F - D F D D ud F bilde eie Klsse der Ordug. Theore: Die Ordug eier jede Klsse ist ei Fktor der Ordug der Gruppe. I Bsp.: Gruppe der Ordug 6 (it Fktore,,, 6) ht Klsse der Ordug, ud.

4 Mtrilgebr i Küre: Mtri A: it Eleete ij i der i. Reihe ud j. Splte vo isgest Reihe ud Splte. Bei qudrtische Mtrie ist ; Vektore Mtrie it. ii Digoleleete. Eiheitstri E ht ij we i j ud ij für i j. Für Additio ud Subtrktio vo Mtrie ist gleiche Diesiolität (jeweils Reihe ud Splte) Vorussetug: A: ± B: C: it c ij ij ± b ij. Multipliktio it Sklr: α A B wobei b ij α ij ij α. Mtriultipliktio A B ur öglich, we Spltehl vo A der Reihehl vo B etspricht. Die Ergebistri C ht d so viele Reihe wie A ud so viele Splte wie B: k kl ik il b c (i llgeeie icht kouttiv, d.h. A B B A) Bsp.: ( ) ( ) ( ) Geoetrietrsfortioe köe durch Mtriultipliktioe usgedrückt werde. Z.B. Spiegel eies llgeeie Puktes (,, ) der -Ebee: oder Iversio Ursprug:.

5 Deterite eier Mtri A: ( ) ud eier Mtri: ( ) ( ) ( ) (Die Deterite wird Null, we wei Reihe oder wei Splte idetisch sid.) Trspoierte vo A [ ij ] ist A T [ ji ]. Adjukte vo A d g b e h c f i ist dj A Â ( ei hf ) ( di gf ) dh ge ( bi hc) ( i gc) ( h gb) ( bf ec) ( f dc) ( e d ) T ( ei hf ) ( bi hc) ( bf ec) ( di gf ) ( i gc) ( f dc) ( ) dh ge h gb e d Iverse ist Iverse Mtri B - erfüllt: A - /det(a) dj(a). B B - B - B E Mtridivisio ls Multipliktio it der Iverse: A / B A B -.