Wavelet-Analysen ozeanischer Drehimpulszeitreihen

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2 Publication: Scientific Technical Repot No.: STR 03/08 Autho: R. Hengst Wavelet-Analysen ozeanische Dehimpulszeiteihen Rico Hengst GeoFoschungsZentum Potsdam, Depatment 1: Geodäsie und Fenekundung, Sektion 1.3: Gavitationsfeld und Edmodelle, Telegafenbeg, D Potsdam, Gemany; Abstact This epot pesents the esults of a wavelet analysis of Ocean Angula Momentum (OAM) time seies, that wee geneated by the OMCT-Model (Ocean Model fo Ciculation and Tides). The findings fom this analysis wee then compaed with the same time seies that had been pojected in the fequency domain, using the Fast Fouie Tansfomation. The oscillations we studied ae located in the peiod window between 14 days to 20 yeas. Fom the wavelet tansfomation, we find that the stictly peiodic oscillations (e.g. fotnightly, semiannual, annual) of the tide-diven OAM ae modulated by the moon cycle (18.6 yeas). In addition to the dominant annual oscillation in the mass tem of the atmospheic-diven pat, we find also non-stictly peiodic signals with peiods up to one yea. The cycle duations of the poweful quasipeiodic oscillations ae between 4 and 12 yeas. A quasipeiodic oscillation in the axial mass tem of the atmospheic-diven pat can also been coelated with the eleven-yeas sola cycle. Futhemoe, the atmospheic-diven pat of the OAM time seies shows some apeiodic oscillation between one and thee yeas. Key wods Atmosphäe, CWT, FFT, Gezeiten, OMCT, ozeanische Dynamik, Polbewegung, Tageslängenschwankung, Wavelet, Zikulation

3 Anmekung De Scientific Technical Repot (STR) 03/08 ist die teilweise übeabeitete Diplomabeit des Autos, welche im Novembe 2002 am Lehstuhl fü Astonomie des Instituts fü Planetae Geodäsie de Fakultät Fost-, Geo- und Hydowissenschaften an de Technischen Univesität Desden eingeeicht wude. Aus Kapazitätsgünden wude auf die Beilage de in de Anlage vewiesenen CD-ROM vezichtet. Es besteht die Möglichkeit die estellten Pogammmodule sowie die Egebnisse de Analyse von ozeanische Dehimpulszeiteihen und von Beobachtungsdaten des IERS auf Anfage vom Auto zu ehalten. In Abschnitt 5 weden die Egebnisse de Analyse von Zeiteihen dagestellt. Die Signale besitzen teilweise spezielle Chaakteistika, deen Bezeichnungen, um Missveständnisse zu vemeiden, an diese Stelle kuz beschieben sind : Peiodische Schwingungsanteile in einem Signal können duch Signalanteile andee Fequenzen moduliet weden. Diese Fequenzmodulationen finden in diese Abeit auch eine Bezeichnung als Übelageung. Hiemit sei ausschließlich die Modulation eine bestimmten peiodischen Schwingung duch mindestens einen niedefequenteen Signalanteil umschieben. Quasipeiodische Schwingungen bescheiben sich als nahezu peiodische Komponenten, welche übe ein bestimmtes Untesuchungsintevall kein Kontinuum in ihem zeitlichen Aufteten besitzen müssen. Im Gegensatz dazu escheinen apeiodische Signalanteile in einem bestimmten Fequenzbeeich ohne ekennbaen Wiedeholzyklus. Daneben stellen sich episodische Schwingungen vowiegend untehalb de Jahespeiode da. Hiemit weden vo allem Vaiationen beschieben, die nu in seh kuzen Zeitabschnitten wiken. So sind beispielsweise Vulkanausbüche, die unte Umständen eine Edotationsschwankung nach sich ziehen, einem episodischen Signalanteil im Beobachtungsmateial zu Edotation zuzuodnen. 2

4 Inhaltsvezeichnis Glossa 5 1 Einleitung 8 2 Die Fouie-Analyse Die diskete Fouie-Tansfomation Die kontinuieliche Fouie-Tansfomation Vo- und Nachteile de Fouie-Analyse 12 3 Wavelet-Tansfomation Theoetische Gundlagen Die unteschiedlichen Fomen de Wavelet-Analyse Die kontinuieliche Wavelet-Tansfomation Die diskete Wavelet-Tansfomation Die schnelle Wavelet-Tansfomation und die Mehfachauflösung Wavelet-Familien Vo- und Nachteile de Wavelet-Tansfomation 24 4 Die Bewegung de Ede Einfluss andee Himmelsköpe extene Käfte Massenvelageungen im System Ede intene Käfte Polbewegung und Vaiation de Tageslänge Dynamik stae Köpe Dynamik defomiebae Köpe Modifiziete Eule - Liouville - Gleichungen Anegungsfunktionen χ- Funktionen Veifikationsebenen 34 5 Analyse von Zeiteihen mit Hilfe de kontinuielichen Wavelet-Tansfomation Datengundlage Simuliete ozeanische Dehimpulszeiteihen Zeiteihe EOP-C04 des IERS Analysewekzeuge Wavelet-Toolbox Wavelet-Analyse ohne Toolbox Besondeheiten de pogammieten MATLAB-Funktionen zu CWT Ausdehnung des Zeit-Peioden-Fenstes Pobleme bei de Untesuchung Enegieeiche Signalanteile 43 3

5 5.3.2 Randeffekte Analyse de Dehimpulse ozeanische Gezeiten Ozeanische Dynamik im kuzpeiodischen Beeich Ozeanische Dynamik im langpeiodischen Beeich Die Wikung de Zikulation auf den Dehimpulshaushalt des Ozeans Gemeinsamkeiten de Zikulationen hpe und hp Unteschiede de Zikulationspozesse hpe und hp Vegleich mit beobachteten Paameten de Edotation Einfluss de lunisolaen Gezeiten Einflüsse de Zikulation 68 6 Zusammenfassung 71 Abbildungs- und Tabellenvezeichnis 75 Quellenvezeichnis 79 Anhang 83 4

6 Glossa Vewendete mathematische Symbole α j β η κ λ σ σ EULER numeische Faktoen de Anegungsfunktionen Gundschitt de disketen Wavelet-Tansfomation zu Ezeugung von Wavelet-Funktionen Tanslationsfakto zu Schittweitensteueung de disketen Wavelet-Tansfomation Fakto zu allgemeinen Schittweitensteueung de disketen Wavelet-Tansfomation Fompaamete de Molet-Funktion Zoomschitt de DWT zu Ezeugung von Wavelet-Funktionen Eulesche Peiode σ CW komplexwetige Winkelgeschwindigkeit de Chandleschen Bewegung τ ϕ a,n χ 1,2 χ 3 ψ ψˆ ψ a b Veschiebungspaamete Skalieungsfunktion äquatoiale Dehimpulsfunktionen axiale Dehimpulsfunktion Mutte-Wavelet (Basisfunktion de Wavelet-Tansfomation) Fouie-Tansfomiete von ψ Wavelet-Funktionen EF ψ 1,2 hoizontale Anegungsfunktionen EF ψ 3 axiale Anegungsfunktion Ω ω ω konstante Winkelgeschwindigkeit de Ede Fequenz Höhe des Zeit-Fequenz-Fenstes ω 0 Gundfequenz ω 0 konstante Winkelgeschwindigkeit de Ede Vaiation de Rotation de Ede ω E E ω ω k Winkelgeschwindigkeit de Ede Winkelgeschwindigkeit (allg.) A, B, C mittlee Haupttägheitsmomente de Ede a Skale (Dilatationspaamete de Wavelet-Tansfomation) a b b a k, b k C C m c Höhe des Zeit-Peioden-Fenstes Veschiebung (Tanslationspaamete de Wavelet-Tansfomation) Länge des Zeit-Peioden-Fenstes Fouie-Koeffizienten Zahlenmenge de komplexen Zahlen polaes Haupttägheitsmoment des Edmantels Fakto zu Kalibieung de Tansfomation in de Funktion cwt_ml.m 5

7 c ψ E ± E G e folding Zulässigkeitsfakto obee und untee Enegieebene Gesamtenegie eines Signals Beeich de Kanteneffekte F Kaft f(t) zeitabhängiges Signal ode Funktion f ˆ ( ω) Fouie-Tansfomiete fˆ( ω ) diskete Fouie-Tansfomiete H k i I I J j dj k k 0 km L k L ψ f (a, b) LOD, LOD M M Unteaum de Mehfachauflösung mit hohen Fequenzanteilen imaginäe Zahl Tägheitstenso Stöung des Tägheitstensos Anzahl de untesuchten Skalen Laufvaiable Anstiegspaamete zu Schittweitensteueung Laufvaiable Oszillationszahl Anzahl de veschwindenden Momente des Wavelets Dehmomentvekto Wavelet-Tansfomiete de zeitabhängigen Funktion f(t) zum Wavelet ψ Tageslänge (Length Of Day) und deen Vaiation Dehimpulsvekto elative Dehimpuls M Stöung des elativen Dehimpulses MW Mittelwet m P ( m, m m ) T m 1 2, 3 N N P Massenpunkt = momentane Rotationspol im teestischen System T p ( p1, p2, p3 Q Qs R R + R R Pol RG ψ S Zahlenmenge de natülichen Zahlen Nutation (Matix) Päzession (Matix) = ) beobachtbae Rotationsvekto Dämpfungsfakto spektale Enegiequotient Zahlenmenge de eellen Zahlen positive Teilmenge de eellen Zahlen Matix de Gesamtotation Polbewegung (Matix) Regulaitätsgad des Wavelets Radius (allg.) Radiusvekto Eddehung (Matix) 6

8 T T CW Peiode bzw. Schwingungsdaue Chandlepeiode T Effekt scheinbae Peiode im Wavelet-Powe-Spektum T Gesamt Zeitintevall de Untesuchung t VAR v v W k Zeit Vaianz Polynomkoeffizient Geschwindigkeitsvekto Unteaum de Mehfachauflösung mit langpeiodischen Anteilen W ψ f(a,b) Enegiedichte X POL Polbewegung in Richtung des Meidians von Geenwich Y POL Polbewegung in Richtung 90 West ICRS X Positionsvekto im celestischen Bezugssystem ICRS X ITRS Positionsvekto im teestischen Bezugssystem ITRF Vewendete Abküzungen AvM CEP CFT CTP CWT DORIS DWT ENSO EOP FFT FT FWT GPS ICRS IERS ILS ITRF ITRS MRA OMCT POCM SLR/LLR VLBI WPS WT Anzahl veschwindende Momente Himmelsephemeidenpol (CEP = Celestial Ephemeis Pole) kontinuieliche Fouie-Tansfomation (Continuous Fouie Tansfomation) konventionelle teestische Pol (CTP = Conventional Teestial Pole) kontinuieliche Wavelet-Tansfomation (Continuous Wavelet Tansfomation) Dopple Obitogaphy by Radiopositioning Integated by Satellite diskete Wavelet Tansfomation El Nino Southen Oscillation Edoientieungspaamete schnelle Fouie-Tansfomation (Fast Fouie Tansfomation) Fouie-Tansfomation schnelle Wavelet-Tansfomation (Fast Wavelet Tansfomation) Satellitennavigationssystem (Global Positioning System) Himmelsefeenzsystem (Intenational Celestial Refeence System) Intenationale Edotationsdienst (Intenational Eath Rotation Sevice) Intenationale Beitendienst (Intenational Latitude Sevice) Intenat. teestisches Refeenznetz (Intenational Teestial Refeence Fame) Intenat. teestisches Refeenzsystem (Intenational Teestial Refeence System) Multi-Skalen-Analyse (Multi Resolution Analysis) Ocean Model fo Ciculation and Tides Paallel Ocean Climate Model Laseentfenungsmessung. zu Satelliten/Mond (Satellite/Luna Lase Ranging) Vey Long Baseline Intefeomety Wavelet-Powe-Spektum Wavelet-Tansfomation 7

9 1 Einleitung Auf das Gesamtsystem Ede wiken eine Vielzahl innee und äußee Pozesse, die sich sowohl in kuzpeiodischen mehstündigen als auch in langzeitlichen säkulaen Veändeungen ausdücken. So esultieen die als Päzession und Nutation bezeichneten Bewegungen de Edotationsachse im Raum aus gavitativen Wechselwikungen de Ede mit andeen Himmelsköpen. Die intenen geophysikalischen Pozesse bewiken neben Polbewegungen Rotationsschwankungen, die auch als Vaiation de Tageslänge beschieben weden können. Mit Hilfe geodätische Raumvefahen gelingt die Bescheibung de Edoientieung. Die Beobachtungen sind stets das Egebnis aus de Summation geophysikalische und extene Pozesse und eflektieen ausschließlich den Gesamteffekt. Nach dem Sepaieen de Einflüsse extene Pozesse gelingt es, die Beobachtungen de Polbewegung und de Rotationsschwankungen auf die zahleichen intenen Pozesse zuückzufühen, deen Anegungen hauptsächlich aus den Teilsystemen Edken, Hydosphäe und Atmosphäe esultieen. Eine diffeenziete Zuodnung von Beobachtungsegebnissen zu den einzelnen geophysikalischen Anegungsmechanismen ist aufgund des komplexen Vehaltens de einzelnen Teilsysteme nu begenzt möglich. Zeitabhängige Massenanodnungen und Bewegungsvogänge induzieen Dehimpulsändeungen in den jeweiligen Teilsystemen, die zu einem Austausch von Dehimpulsen und somit zu eine Polbewegung und eine Ändeung de Rotationsgeschwindigkeit fühen. Anhand von Modellen vesucht man die Dynamik de intenen Pozesse nähe zu bescheiben. Im Falle des Ozeans existieen Modelle, die es gestatten physikalische Vogänge mathematisch zu fomulieen und numeisch zu lösen. Die in diese Abeit untesuchten ozeanischen Dehimpulszeiteihen sind die Resultate de Simulation des von Thomas [2002] vogestellten OMCT-Modells (Ocean Model fo Ciculation and Tides), dessen Antiebsquellen die lunisolae Gavitation und die Atmosphäe sind. Duch diese Modelldaten gelingt es, Aussagen übe die Beteiligung de ozeanischen Anegungen an gemessenen Vaiationen de Edoientieung zu teffen. Die Vegleiche de Dehimpulszeiteihen efolgen mit den beobachteten und publizieten Edotationspaameten des IERS (Intenational Eath Rotation Sevice). Ein Ziel ist es, mit Hilfe mathematische Analysevefahen neben den peiodischen und quasipeiodischen Signalanteilen insbesondee apeiodische und episodische Stuktuen in den jeweiligen Zeiteihen zu ekennen. Fü die Extaktion bestimmte Infomationen in zeitabhängigen Signalen nutzt man Tansfomationen, um die Eigenschaften de Signale in einem Bildaum zu sepaieen. Taditionell dient die Fouie-Analyse zum Übefühen von Signalen vom Zeit- in den Spektalbeeich. De entscheidende Nachteil diese Tansfomation ist de fehlende Zeitbezug de Spektaldastellung. Kuzzeitige Ändeungen de Signalchaakteistik können im Fequenzbeeich nicht wahgenommen weden. Sowohl episodische als auch apeiodische Signalanteile bekommen bei de schnellen Fouie-Analyse feste Fequenzen zugeodnet, die zu Fehlintepetationen fühen können. Eine Gefah besteht dain, die in einem seh begenzten Zeitfenste auftetenden Signalanteile anhand de Spektaldastellung als peiodisch einzustufen. Die integale Abbildung dieses Signalanteiles lässt mit Hilfe de Fouie- Tansfomation keinelei Zeitbezug zu. Eine Altenative stellt die Wavelet-Tansfomation da, die zeitlokale Basisfunktionen mit beschänkte Tägebeite zu Signalanalyse nutzt. Im Unteschied zu den unbegenzt lang schwingenden Basisfunktionen Sinus und Kosinus de Fouie-Analyse nutzt 8

10 man bei de Wavelet-Tansfomation seh kuzschwingende Funktionen, die allgemein unte dem Namen Wavelets bekannt sind. Mit Hilfe diese zeitlokalen Basisfunktionen gelingt es Signale in Räume abzubilden, die eine Synthese aus Zeit und Fequenz entspechen. Veeinfacht ausgedückt ehalten eindimensionale zeitabhängige Signale die Zuodnung in einem mit zwei Vaiablen beschiebenen Bildaum, was jedoch zu Abstichen in de Genauigkeitsaussage zu Fequenz- und Zeitinfomation füht. Episodisch und apeiodisch auftetende Signale ode Signalsequenzen können nunmeh ihem zeitlichen Aufteten zugeodnet weden, ohne auf Fequenzinfomationen vezichten zu müssen. Angewendet auf die ozeanischen Dehimpulszeiteihen und die beobachteten Edotationspaamete bedeutet dies, neben peiodischen Signalanteilen weitee spektale Chaakteistika mit zeitlichem Bezug analysieen zu können. Somit ist es möglich, die Auswikung geophysikalische Pozesse (hie ozeanische Dehimpulse) in Fom vaiieende Massenanodnungen und Bewegungen im Ozean in eine Abhängigkeit von Fequenz und Zeit zu bescheiben. In Abschnitt 2 weden zunächst die fundamentalen Zusammenhänge de Signaltansfomation vom Zeit- in den Fequenzbeeich eläutet. De theoetische Vegleich de beiden unteschiedlichen Fomen de Fouie-Tansfomation bezieht sich vowiegend auf die Anfodeungen, die man an Signale hinsichtlich ihes peiodischen Vehaltens stellt, um Egebnisse von Spektaldastellungen exakt intepetieen zu können. Das Vostellen de Wavelet-Analyse in Abschnitt 3 schließt eine gundlegende Betachtung de Signaltansfomation in den Zeit-Fequenzaum ein. Neben den unteschiedlichen Fomen de Wavelet-Tansfomation findet man im Speziellen Zugang zu kontinuielichen Wavelet- Analyse. In Bezug auf die untesuchten Zeiteihen behandelt Abschnitt 4 die Usachen de Polbewegung und de Ändeung de Rotationsgeschwindigkeit. Die theoetische Bescheibung diese Vaiation mit Hilfe de Dehimpulsmethode bezieht sich im weiteen Sinne auf die in Abschnitt 5 dagestellten Egebnisse analysiete ozeanische Dehimpulse. Zudem offeieen die Vegleiche mit den wavelet-analysieten Edoientieungspaameten des IERS gemeinsame Signalstuktuen und emöglichen somit Rückschlüsse zwischen de atmosphäischen und gezeiteninduzieten Dynamik des Ozeans sowie deen Auswikung auf die Oientieung de Ede in einem Zeit-Fequenz-Raum zu ziehen. Aussagen zu Genauigkeit de Wavelet-Analyse weden am Beispiel de Molet-Basisfunktion getoffen. Die numeische Umsetzung de kontinuielichen Wavelet-Tansfomation efolgt mit de Softwae MATLAB. Die Visualisieung de Egebnisse übenehmen die im Rahmen diese Abeit entwickelten und in Abschnitt 5 vogestellten Pogammmodule cwt_ml.m und cwt_compo.m. 9

11 2 Die Fouie-Analyse Fü eine Untesuchung eines beliebigen Signals f(t) als Täge von Infomationen müssen zunächst einige Eigenschaften von f(t) bekannt sein. So untescheidet man pinzipiell zwischen zeitdisketen und zeitkontinuielichen Signalen. Das Anschlagen eine Klaviesaite und die damit vebundene Schwankung des Luftducks ist beispielsweise ein zeitkontinuieliches Signal. De gleiche Ton auf eine Compact Disc ist die zeitdiskete Umsetzung des Signals. De Rechne als Wekzeug zu Analyse abeitet geneell nu mit disketen Zahlenweten. Neben de Zeit muss auch de Wet des Signals zu diesem Zeitpunkt disket sein ode besse als Binäzahl voliegen. De in diese Abeit häufig genutzte Begiff de Funktion als mathematische Zuodnungsvoschift y = f (t) ist mit dem zeitkontinuielichen Signal f(t) vegleichba. Im Folgenden soll die Bezeichnung Signal ausschließlich fü zeitdiskete Daten Anwendung finden. Eine päzise und umfassende Extaktion von Infomationen, die in Funktionen ode Signalen enthalten sind, ist in vielen Fällen im Zeitbeeich nicht möglich. Deshalb wechselt man mit Hilfe eine Tansfomation vom Zeit- in den Bildbeeich. Bei de Fouie-Tansfomation (FT) ist die Infomation im Bildbeeich fequenzabhängig. Die von Jean Baptiste Joseph Fouie (1807) entwickelte Theoie de gleichnamigen Tansfomation bescheibt ein mathematisches Analysewekzeug, mit dem es gelingt, Funktionen f(t) in einzelne Fequenzen zu zelegen. Die Analyse von Funktionen und Signalen hinsichtlich ihes Fequenzgehalts fühte zu eine vollkommen neuen Betachtungsweise. Neue Wekzeuge, wie z.b. de Bandpassfilte, konnten nun Funktionen ode Signale außehalb des Zeitbeeichs manipulieen. Die Scheibweise de FT untescheidet sich in den einzelnen Liteatuquellen. In diese Abeit wid auf die Notation nach Schubet [2001] in Vebindung mit Batsch [1997] zuückgegiffen. In de Signaltheoie benennt man die Summe de quadieten Betäge von disketen Signalpunkten als Gesamtenegie E G (1). Hiebei handelt es sich nicht um eine konkete physikalische Göße [Goße- Edmann, 2002], sonden um eine allgemeine Bezeichnung. Voaussetzung hiefü ist die Existenz eines Signals mit endliche Länge. E G = k f k 2 ( t) (1) Nach dem Paseval schen Theoem gilt de Gundsatz, dass sich auch bei disketen zeitabhängigen Signalen die Gesamtenegie nach de Tansfomation in den Fequenzaum nicht ändet. Deshalb kann man die Dastellung des Fequenzaums eines Signals auch als Enegiespektum definieen. De gleiche Sachvehalt (1) wid auch häufig als Powe- ode Leistungsspektum bezeichnet. 2.1 Die diskete Fouie-Tansfomation Nach Fouie kann eine peiodische Funktion f(t) in eine Summe unendlich viele Sinus- und Kosinusschwingungen mit den Fequenzen ω k zelegt weden. Diese Summation ist auch unte dem Namen Fouie-Reihe bekannt: 10

12 f ( t) = a k = 1 ( a k cos( ω t) + b sin( ω t) ) (2) k k k Im Falle de disketen Fouie-Tansfomation wid f(t) nicht auf unendlich viele Fequenzen untesucht, sonden nu auf diskete ganzzahlige Vielfache k de Gundfequenz ω 0 mit de Schwingungsdaue T. ω k = ω 0 k mit 2π ω 0 = k = 0,1,2 K, (3) T Paktisch bicht man die Fouie-Reihe (2) nach eine endlichen Anzahl von k Glieden ab, was eine Appoximation de Funktion duch ein tigonometisches Polynom entspicht [Batsch, 1997]. Die Fouie-Koeffizienten a k und b k fungieen als Gewichte fü die Amplituden de jeweiligen Fequenzen ω k. Unendlich kleine Betäge fü die Koeffizienten egeben sich nu fü Fequenzen, die nicht in f(t) vohanden sind. De Koeffizient a 0 ist de Gleichanteil ode Offset de Funktion, welche die Symmetie von f(t) zu Zeitachse bescheibt. Schwingt die Funktion ohne einen Tend um diese Achse, so ist a 0 = 0 [o.a. Goldamme, http: ] 1. a 1 = T T 0 f ( t dt 0 ) (4) T 1 ak = f t k t dt T ( ) cos( ω ) (5) 0 T 1 bk = f t k t dt T ( ) sin( ω ) (6) 0 Die diskete Fouie-Tansfomiete fˆ( ω k ) bescheibt die Eigenschaften des Signals im Fequenzaum. Zu Tansfomation bzw. zu Abbildung des Signals vom Zeit- in den Fequenzaum nutzt man die Gleichung (8). Eine kompakte Dastellung de Sinus- und Kosinusfunktion ehält man mit Hilfe de Zahl e und de imaginäen Einheit i = 1 : ω e i = cosω + i sinω (7) f ˆ ( T 1 ik ω 0t ω k ) = f ( t) e dt (8) T 0 De notwendige Rechenaufwand zu Bestimmung de Fouie-Koeffizienten lässt sich mit dem so genannten Cooley-Tukey-Algoithmus bzw. de schnellen Fouie-Tansfomation (FFT = Fast- Fouie-Tansfomation) eduzieen. Wesentliche Teile de einmal beechneten Koeffizienten weden fü die Beechnung weitee Koeffizienten genutzt [Petz, 2001]. Dank diese effizienten spektalen Analysemöglichkeit fü Signale hielt die Fouie-Tansfomation Einzug in viele Beeiche de Signal- 1 Quellenangaben in diese Fom sollen im Folgenden auf Dokumente aus dem Intenet veweisen, deen Seiten explizit keinen Auto ausweisen (o.a.= ohne Auto). Das Datum bezieht sich auf den Zeitpunkt des Aufufs de im Liteatuvezeichnis angegebenen http-adesse. Bei pesönlichen Mitteilungen (p.m.) ist neben dem Namen des Autos das Datum des letzten Schiftwechsels angefüht. Weitee Angaben zu entspechenden Quelle sind dem Liteatuvezeichnis zu entnehmen. 11

13 veabeitung. Fü die Anwendung de disketen FT sind stationäe Pozesse nötig. Eine Zeiteihe heißt stationä, sofen die gemeinsame Veteilung f(t 1 ),...,f(t n ) de gemeinsamen Veteilung f(t 1 +τ),...,f(t n +τ) gleicht. Eine Veschiebung des Anfangspunktes um τ hat keinen Einfluss auf die 1 K gemeinsamen Veteilungen; diese sind nu von den Intevallen zwischen t, t 2,,t n abhängig [Chatfield, 1980]. De Unteschied zwischen de disketen und kontinuielichen FT liegt in de At de Tansfomation vom Zeit- in den Fequenzaum ode umgekeht. Das Fouie-Integal wid im disketen Fall zu Fouie-Reihe. 2.2 Die kontinuieliche Fouie-Tansfomation Die kontinuieliche Fouie-Tansfomation (CFT= Continuous Fouie Tansfomation) ist nach Batsch [1997] ein mathematisches Wekzeug zu Zelegung von nichtpeiodischen Funktionen f(t) mit dem Genzübegang T in ein Fouie-Integal. Im Unteschied zu disketen Fouie- Tansfomation zelegt man eine Funktion f(t) in eine Summe unendlich viele Sinusschwingungen mit stetig vaiieende Fequenz ω. Eine Dastellung de Funktion im Fequenzbeeich zeigt ein kontinuieliches Spektum auf. Die Fouie-Tansfomiete beechnet sich wie folgt: f ˆ ( T 1 i ω t ω ) = f ( t) e dt (9) T 0 De entscheidende Voteil de kontinuielichen gegenübe de disketen FT ist die exakte Dastellung von Signal- ode Funktionsanteilen im Spektalaum, die keinen peiodischen Zyklus aufweisen. Jedoch ist die Beechnung unendlich viele Fouie-Koeffizienten nötig. Die CFT besitzt wegen de Fodeung nach goße Rechenkapazität in den numeischen Anwendungen nu eine geinge Bedeutung. 2.3 Vo- und Nachteile de Fouie-Analyse Häufig liegt das Signal f(t) nicht kontinuielich, sonden auf ein endliches Intevall begenzt in disket abgetasteten Stützstellen vo. Unte de Annahme f(t) sei peiodisch und hamonisch, zelegt man das Signal mit Hilfe de Fouie-Reihe in seine disketen Fequenzanteile. Ein Wechsel vom Zeitbeeich in den Fequenzaum des Signals ist mit Hilfe de FFT schnell und päzise möglich. Deshalb eignet sich die diskete Fom de Fouie-Tansfomation ideal als Wekzeug zu Analyse von Signalen o.g. Eigenschaften. Andeeseits sind auch einige Nachteile de Fouie-Analyse zu beachten. Im Unteschied zu CFT vefälschen apeiodische ode episodische Signalanteile das Egebnis de FFT. Diese nu zu bestimmten Zeitpunkten auftetenden Stöungen bekommen bei de Integaltansfomation (8) ein Fequenzband zugewiesen, das sie eigentlich übe dem betachteten Untesuchungsintevall nicht besitzen. Da die CFT das Signal nach allen auftetenden Fequenzen hin untesucht, ehalten apeiodische und episodische Signalanteile im Bildaum schmale und kontinuieliche Fequenzbände. Anwende könnten de fehlehaften Annahme vefallen und das Fequenzspektum dahingehend intepetieen, dass peiodische Signalanteile genau in diesem Fequenzband wiken. Im Bildaum des Signals f(t) 12

14 kann ausschließlich eine Vaiable, bei de FT ist dies die Fequenz, betachtet weden. Alle Fequenzinfomationen beziehen sich auf das gesamte Zeitintevall. Kuzzeitige Signaländeungen ode - stöungen fallen entwede im Fequenzaum nicht auf ode sie ehalten eine Zuodnung und weden peiodischen Signalanteilen gleichgestellt. 3 Wavelet-Tansfomation Im letzten Vietel des 20. Jahhundets hat eine neue Tansfomationsmethode in zahleichen Natuund Ingenieuwissenschaften Einzug gehalten. Fü die Analyse von Edschichten entwickelte de Geophysike Jean Molet fü die fanzösische Ölgesellschaft ELF-Aquitaine beeits Anfang de 80e Jahe das Konzept de Wavelet-Analyse. Mit paktischem Bezug nutzte e Wavelets als Wekzeug, um an Infomationen übe die Existenz edölfühende Beeiche in den veschiedenen Edschichten zu gelangen [Hubbad, 1997]. Die Edobefläche musste dazu künstlichen Schwingungen ausgesetzt weden. Das Echo de Schwingungen unteschiedlichste Fequenzen, fühe fouie-tansfomiet, elaubt nun mit Hilfe de Wavelet-Analyse eine bessee Intepetation de Signale. Von Yves Meye und Ingid Daubechies wude de Obebegiff Wavelet-Tansfomation (WT) gepägt und die heute vewendeten Gundlagen zu Analyse theoetisch gesichet [Misiti et al., 2001]. Im Gegensatz zu Fouie-Analyse kann bei de WT ein zeitabhängiges Signal f(t) in einem Zeit-Fequenz-Raum ausgedückt weden. Die Veknüpfung beide Beeiche lässt eine neue Intepetation von Signalen zu. Untesucht man beispielsweise den Ton de Siene eine vobeifahenden Kankenwagens, so ist von eine Ändeung de Signalfequenz im Zeitvelauf auszugehen. Die Fouie-Analyse zeigt die Fequenzen auf, aus denen sich Signalanteile von f(t) zusammensetzen, jedoch nu als Integal übe den gesamten Zeitbeeich. Mit Hilfe de Wavelet-Tansfomation können zeitabhängig auftetende Schwingungsanteile des Signals eine Lokalisieung im Zeitbeeich und eine zusätzlichen Aussage zu Fequenz ehalten. De Gund diese Lokalisieung von Fequenzen im Zeitaum ist auf die Analysefunktion Wavelet ψ zuückzufühen. Im Gegensatz zu den Analysefunktionen de Fouie- Tansfomation, den Sinus und Kosinus, ist das Wavelet eine At endlich oft schwingende Welle. Im Zeitbeeich veläuft ein Wavelet asch gegen Null und schmiegt sich de Abszisse an. Obwohl das Tansfomationsvefahen aus den Geowissenschaften heaus entwickelt wude, wendet die Geodäsie das neue Analysewekzeug est seit den 90e Jahen an. In den geodätischen Anwendungen nutzt man das Vefahen vowiegend im Beeich de Datenanalyse, wie Untesuchungen beispielsweise zu den mit VLBI beobachteten Nutationseihen [Schmidt und Schuh, 1999] ode zu kuzpeiodischen Vaiation de Polbewegung duch Afa-Kaboodvand und Goten [1998] zeigen. 3.1 Theoetische Gundlagen Die Analyse- ode Basisfunktionen de Fouie-Tansfomation (Sinus, Kosinus) haben den entscheidenden Nachteil, dass sie im Zeitbeeich unendlich oft schwingen. Im Fequenzbeeich sind diese Funktionen jedoch seh päzise und schaf lokalisiet. Jede unendlich lang andauenden Kosinusschwingung kann man genau eine diskete Fequenz zuodnen (Abb. 1b). Wavelets ψ als Analyse- 13

15 funktionen 2 besitzen den Voteil de Zeitlokalisation, d.h. sie schwingen nu in einem begenzten Intevall um die Abszisse (Abb. 1a). Außehalb dieses Intevalls konvegieen sie gegen Null. Wavelets in den Fequenzaum abgebildet ezeugen ein Fequenzband und sind damit wenige gut im Bildaum fixiet. Hingegen lassen sich die Analysefunktionen de FT (Sinus und Kosinus) mit nu eine disketen chaakteistischen Fequenz im Bildaum bescheiben (Abb. 1b). (a) (b) Abbildung 1: (a) Ein Vegleich de Basisfunktionen Molet-Wavelet (zeitlokal begenzt) und Kosinus im Zeitbeeich. (b) Das Egebnis de Spektalanalyse beide Basisfunktionen (FFT). Fü die Kosinusfunktion existiet bei eine Schwingung von - bis + nu eine diskete chaakteistische Fequenz (fequenzlokalisiet), hingegen ekennt man beim Molet-Wavelet ein beites Fequenzband (wenige gut lokalisiet im Fequenzbeeich). Die Lokalisation des Wavelets im Fequenzbeeich ist abhängig von de Ausdehnung und de Fom des Wavelets im Zeitbeeich. Jedoch eeicht man mit den zeitlokalen Wavelets nie die Fequenzschäfe de bei de FT eingesetzten Sinus- und Kosinusfunktion. Allgemein liefen schmale Wavelets eine gute und beitee Wavelets eine schlechte, unpäzise Zeitinfomation. Die theoetische Gundlage liefet die aus de Quantentheoie bekannte Heisenbegsche Unschäfeelation, die besagt, dass sich de Ot und de Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmen lassen. Fü die Signalveabeitung gilt diese Relation entspechend, angewendet auf das Paa Zeit-Fequenz ode Zeit-Peiode. Funktionen ode im speziellen Falle Wavelets können nu mit endliche Genauigkeit lokal im Zeit- und im Fequenzbeeich beschieben weden. Fü ein zeitlokales und damit im Zeitbeeich seh kuz schwingendes Wavelet ist eine Aussage zu dessen Fequenz nu mit eine begenzten Genauigkeit möglich. Das Podukt aus Schwingungsdaue T und de Fequenzlokalisation ω egibt, abhängig vom Wavelet, minimal den Wet ½. 1 T ω (10) 2 2 Wavelets sind nicht in jedem Falle im Zeitbeeich analytisch definiet. Eine Appoximation von Wavelets ist auch übe Koeffizienten möglich, wie z.b. beim Daubechies-Wavelet. 14

16 Diese allgemeine Aussage gilt fü jedes Wavelet. In Abschnitt sind detaillietee Angaben zu Zeit- und Fequenzlokalisation am speziellen Fall des Molet-Wavelets aufgefüht. Fü weitee Infomationen wid an diese Stelle auf Goße-Edmann [2002] vewiesen. Vo Beginn de Analyse ist die Basisfunktion, die allgemein unte dem Namen Mutte-Wavelet bekannt ist, festzulegen. In diese Abeit soll das Mutte-Wavelet nu die Bezeichnung Wavelet tagen. Nu in den Abschnitten, wo die Eindeutigkeit nicht gewähleistet ist, wid auf die Bezeichnung Mutte-Wavelet zuückgegiffen. Die Wavelet-Tansfomation stützt sich auf die beiden Paamete a und b. Eine Untesuchung und damit das Abtasten des Signals f(t) efolgt mit den paametisieten Kopien des Wavelets, welche auch die Bezeichnung Wavelet-Funktionen tagen. De Paamete a deutet auf die Skalieung 3 ode Dilatation des Wavelets und damit auf die unteschiedliche Fequenzselektivität hin. Das Dehnen von ψ im Zeitbeeich ändet den fü die Wavelet-Funktion chaakteistischen Fequenzbeeich. Näheungsweise entspicht a de mittleen Peiode des um a skalieten Wavelets ( a T ). Eine päzise Aussage zu Schwingungsdaue T von ψ ist nicht möglich, da zeitlokale Wavelets imme eine Unschäfe im Fequenzaum besitzen (s. auch Abschnitt 5.2.4). (a) (b) (c) Abbildung 2: Abtasten des Signals f(t) mit unteschiedlich skalieten Wavelets ψ(t/a). (a) Zu Analyse hochfequente Signalanteile nutzt man gestauchte Wavelets. (b) Bei Dehnung des Wavelets ekennt man Signalanteile im mittleen Fequenzbeeich. (c) Zum Detektieen niedefequente Schwingungen muss das Wavelet stäke gedehnt weden. Die Wavelet-Funktion ψ a,b (t) wid entlang des Signals f(t) um den Paamete b veschoben (Tanslation). De Vegleich zwischen dem tanslatieten ψ a,b (t) und dem Signal zu allen Zeitpunkten emöglicht eine Aussage zu Ähnlichkeit beide Funktionen in Abhängigkeit von de Zeit (Abb. 3). Nach de vollständigen Tanslation de Wavelet-Funktion übe f(t) wid eine nächste Kopie des weite um a dilatieten Wavelets beeitgestellt (Abb. 2). 3 Skalieung sowie Dilatation umfassen das Dehnen und Stauchen eines Wavelets 15

17 Diese Algoithmus de Dehnung des Wavelets und dessen anschließende Tanslation, in Abbildung 3 sinngemäß vogestellt, wiedeholt sich beliebig oft. (a) (b) Abbildung 3: Veschiebung des Wavelets mit konstante Skalieung a entlang des Signals f(t) im Zeitbeeich um den Paamete b. An den Zeitpunkten b wid das Signal auf Ähnlichkeit in de Fom zum entspechend skalieten Wavelet (=Wavelet-Funktion) gepüft. Gundlage fü die Zeit-Fequenzdastellung eines Signals ist die Koeffizientenmatix ode auch Wavelet-Tansfomiete f L ψ ( a, b). In de Liteatu findet man unteschiedliche Notationen fü die Wavelet-Tansfomiete. In diese Abeit soll die Notation nach Louis et al. [1994] Anwendung finden. f L ψ ( a, b) dückt den Gad de Ähnlichkeit des Signals f(t) in de Umgebung b mit de um den Fakto a skalieten Wavelet-Funktion ψ a,b aus. Bei goße Übeeinstimmung ode hohe Ähnlichkeit zwischen einem Signalabschnitt und eine Wavelet-Funktion egibt sich ein goße Koeffizient im L ψ Beeich 0 f ( a, b) 1. Fü ein Zeitintevall in dem sich f(t) nicht ändet und somit einen konstanten Wet besitzt, kann man von geinge Übeeinstimmung des Signals zu schwingenden Wavelet-Funktion ausgehen. Die Koeffizienten dieses Zeitabschnitts sind Null. Die Wavelet- Tansfomiete in ihe Abhängigkeit von zwei Vaiablen gewinnt an Anschaulichkeit, wenn man den Tanslationspaamete b als konstant betachtet. f L ψ ( a, b) bescheibt dann die zum Zeitpunkt b auftetenden peiodischen Signalanteile 4 in f(t). Um als Analysefunktion fü die WT Vewendung zu finden, müssen die Wavelet-Kandidaten ψ(t) folgenden Kiteien genügen. Das Hauptkiteium fü ein Wavelet ist die Existenz des Integals (11); d.h. alle Funktionen ψ(t), fü die ein solches Integal einen endlichen Wet c ψ annimmt, sind Wavelets [Petz, 2001]. ψˆ ( ω) 0 < cψ = dω < (11) ω R 2 Nach Louis et al. [1994] egibt sich fü die Fouie-Tansfomiete ψ ˆ ( ω), welche stetig in R (Menge de eellen Zahlen) ist, die Bedingung fü die Fom des Wavelets. De Integalmittelwet von ψ(t) ist Null; somit veläuft das Wavelet teilweise obehalb und teilweise untehalb de Abszisse. ψ ( t) dt = 0 (12) R 4 Zusätzlich weden auch apeiodische und episodische Anteile im Signal beschieben. 16

18 Ein Nebenkiteium an Wavelets ist deen Kontinuität im Zeitbeeich [Misiti et al., 2001]. Um den Voteil des lokalen Vehaltens im Zeitbeeich gegenübe den Basisfunktionen de Fouie- Tansfomation (Sinus und Kosinus) wahnehmen zu können, sollten Wavelets nu in einem begenzten Intevall Wete veschieden von Null annehmen. In diesem Zusammenhang spicht man auch von eine endlichen Tägebeite - dem Finite Suppot - des Wavelets mit eine fü ψ(t) t schnellen Konvegenz gegen Null [Esse, 2001]. 3.2 Die unteschiedlichen Fomen de Wavelet-Analyse Die Wandlung eines zeitabhängigen Signals in einen Zeit-Fequenz- ode Zeit-Peioden-Raum kann gundsätzlich mit dei unteschiedlichen Fomen de Wavelet-Tansfomation efolgen. Je nach Anwendung müssen zu Beginn eine Wavelet-Analyse Vo- und Nachteile de jeweiligen WT abgewogen weden, um die gewünschten Infomationen aus dem Signal f(t) zu extahieen Die kontinuieliche Wavelet-Tansfomation Die kontinuieliche Wavelet-Tansfomation (CWT = Continuous Wavelet Tansfomation) ist eine veallgemeinete Tansfomation von einem als Funktion dagestellten eellwetigen Signal f(t) in die Zeit-Fequenz-Ebene. Die Wavelet-Tansfomiete f L ψ ( a, b) ist zum Wavelet ψ duch: ψ f ( a, b) cψ a f ( t) L t b = ψ dt a (13) mit a R + \{0} und b R + definiet. Fü einfache Datenanalysen ist es nicht nötig, den Zulässigkeitsfakto c ψ nach (11) in den Tansfomationsalgoithmus zu integieen. Steht die Fodeung eine Synthese, d.h. eine invesen Wavelet- Tansfomation an, so ist c ψ als Nomalisieung von Bedeutung. In diese Abeit soll jedoch nu die Datenanalyse ohne Signalekonstuktion im Vodegund stehen. Weitee Einzelheiten zum Zulässigkeitsfakto und de Fouie-Tansfomieten können Louis et al. [1994] entnommen weden. Mit den beiden eellen Paameten a und b efolgt die Geneieung eine Scha von Wavelet-Funktionen = ψ ( t b a). Die kontinuieliche WT übefüht das eindimensionale zeitabhängige Signal f(t) ψ a, b in die Wavelet-Tansfomiete f L ψ ( a, b). Das Adjektiv kontinuielich steht hiebei nicht fü das Wavelet, sonden ausschließlich fü die At de Tansfomation. Man betachtet theoetisch eine unendlich goße Menge an Wavelet-Funktionen mit den Paameten a und b. Im Pinzip besteht die Möglichkeit, alle Fequenzanteile eines endlichen Signals an jedem Zeitpunkt zu analysieen [Misiti et al., 2001]. Jedoch teten bei de CWT seh goße Redundanzen auf, die unewünscht sind und zu eine aufgeblähten, unendlich goßen Koeffizientenmatix ( a, b) fühen. Gund hiefü ist auch das Übelappen von Fequenzbänden benachbate Wavelet-Funktionen. Ein Teil de Infomation im Wavelet-Koeffizienten ist auch in dessen Nachbakoeffizienten enthalten. Es gilt eine geeignete Schittweite de Paamete a und b zu finden, um die Redundanzen und somit auch den Rechenaufwand zu veingen. Bei de paktischen Umsetzung de CWT stehen nu endlich viele diskete Zah- f L ψ 17

19 lenwete zu Vefügung. Zu Eliminieung hochedundante Infomationen und zu schnellen Beechnung de CWT existieen heute effektive Algoithmen. Voteil de kontinuielichen Analyse ist vo allem die einfache Intepetiebakeit de Koeffizientenmatix, was in den Beeichen de Datenanalyse und Bildekennung einen goßen Voteil dastellt. Die Multiplikation des Signals f(t) mit de Analysefunktion ψ a, b und die daauffolgende Integation übe das Podukt liefet die Koeffizienten ( a, b). Die Wavelet-Tansfomation in (13) fasst man auch als Faltung des Signals f(t) auf. Eine Faltung bedeutet imme eine Filteung des Signals. Neben den Eigenschaften des genutzten Wavelets in Bezug auf seine Zeitlokalisation beeinflussen die dilatieten Wavelet-Funktionen die Duchlasschaakteistik des Filtes im Fequenzbeeich. Je göße die Betäge des Skalieungspaametes a, desto niedefequentee Signalanteile können analysiet weden. In jedem Falle wiken Wavelets als eine At Bandpass-Filte [Kelle, 1996]. Im Zeitbeeich eng lokalisiete Wavelets fühen zu einem beiten Fequenzband. Langoszillieende 5 Wavelets ezeugen hingegen einen seh schmalen Bandpass. Die unteschiedlich skalieten Wavelet-Funktionen fühen zu eine At Filteung mit vaiable Bandbeite. Im Genzfall de Skalieung a 0 wikt die Faltung als Hochpass [Beye und Meie, 2001]. f L ψ Ähnlich de Enegieaussage zu Fouie-Tansfomation (1) findet man auch bei de CWT die Gesamtenegie eines Signals im Bildaum vollständig wiede. In de Liteatu zum Thema Wavelets wid die Gesamtenegie auch als Enegiedichte ode Powe benannt. Konkete physikalische Einheiten vebegen sich jedoch nicht dahinte. Alle dei Bezeichnungen entspechen dem gleichen Sachvehalt nach (14). In de als Wavelet-Powe-Spektum (WPS) benannten Dastellung de Koeffizienten teten zwei unabhängige Paamete auf, d.h. de Enegieanteil eines Ausschnittes im WPS ist von de Fequenz bzw. de Peiode und dem Zeitpunkt abhängig. Die Gesamtenegie E G im Bildaum des Signals beechnet sich dahe aus: 2 f L ψ ( a, b) E Lψ f ( a, b) fü a, b R + \{0} (14) G = a b Um die Voteile de CWT gegenübe de FFT zu vedeutlichen soll ein Musiksignal analysiet weden, dass sich aus den Tönen e 1 und e 2 zusammensetzt. Das mittels eine Stimmpfeife eingespielte Signal vehält sich peiodisch und zu sicheen Abgenzung beide Töne ist, in de zeitabhängigen Dastellung de Abbildung 4a ekennba, eine kuze Pause eingefügt. Mit Abtastpunkten po Sekunde liegt das Signal zeitdisket vo. Die FFT gibt nun Aufschluss übe die Fequenzen, die in den veschiedenen Signalanteilen Einfluss nehmen. Das Spektum bescheibt auftetende Fequenzen nu übe den gesamten Zeitaum hinweg. Die Schwingungen mit de höchsten Enegie sind nach dem Egebnis de FFT in Abbildung 4b bei ca. 330 und 660 Hetz, was auch de Tonhöhe de Noten e 1 und e 2 entspicht. 5 Das Wavelet schwingt in einem seh goßen Zeitbeeich, d.h. die Funktionswete von ψ(t) nehmen mit Ausnahme de Nullduchgänge goße Betäge an. 18

20 Bei jedem Musikinstument teten Obetöne auf. Sie sind als natüliches Schwingungsphänomen bekannt und betagen ein Vielfaches de Fequenz des Gundtones. Obetöne sind im Vegleich zum Gundton wenige dominant und damit wenige gut höba. Sie besitzen somit auch geingee Enegie. Die Fequenzen bei 1320 und 1980 Hetz sind den Obeschwingungen zuzuodnen. (a) (b) Abbildung 4: (a) Zeitdisketisietes Musiksignal bestehend aus den Tönen e 1 und e 2. (b) Fouie- Analyse des Musiksignals mit chaakteistischen Fequenzbilden um 330 und 660 Hetz und sowie Obeschwingungen, die zunächst keinem Ton zugeodnet weden können. Die Tansfomation des Musiksignals in den Bildaum mit Hilfe de CWT geift in diesem Beispiel auf die Molet-Funktion als Mutte-Wavelet zuück. Im esten Teil des Signals (Abb. 5) ist deutlich de Gundton e 1 mit 330 Hetz zu ekennen. Zu ihm kann man nun, im Gegensatz zu FFT, die viete Obeschwingung mit 1320 Hetz zuodnen. De enegieeiche Gundton mit 660 Hetz im zweiten Signalabschnitt titt makant hevo. Signalanteile mit de Fequenz von 1980 Hetz teten entspechend est in de zweiten Hälfte des Musiksignals auf und stellen die ditte Obeschwingung von e 2 da. Die extahieten Infomationen de CWT sind natülich nu in begenztem Maße genau. An diesem einfühenden Beispiel wid beeits de Voteil eine gemeinsamen Ebene, bestehend aus Zeitund Fequenzinfomation, deutlich. Weitefühende Betachtungen zu Genauigkeit de kontinuielichen Wavelet-Tansfomation sind Bestandteil des Abschnitts Abbildung 5: Das Egebnis de CWT des Musiksignals dagestellt im Wavelet-Powe-Spektum. Als Analysefunktion wude das Molet-Wavelet gewählt Die diskete Wavelet-Tansfomation Ein Signal f(t) wid bei de CWT edundanzbehaftet in de Koeffizientenmatix f L ψ ( a, b) abgelegt. Mit de disketen Wavelet-Tansfomation (DWT) vesucht man den Rechenaufwand und die Redundanz zu minimieen. Es genügt, nu einen bestimmten Anteil von f L ψ ( a, b) und nicht meh unend- 19

21 lich viele Koeffizienten zu beechnen. Das Wavelet wid nu noch in disketen abzählbaen Schitten skaliet und am Signal in disketen Schitten entlanggeschoben. Die Schittweite de Paamete a und b stellt nu noch eine Teilmenge im Beeich de natülichen Zahlen (N) da. Dilatiete Wavelet- Funktionen ezeugt man übe den Zoomschitt mit de Potenz zu Basis σ > 1. Am gebäuchlichsten ist die Tansfomation mit de Skalieung zu Basis σ = 2, die auch unte dem Ausduck dyadische WT bekannt ist. Mit dem Gundschitt β steuet man die Schittweite de tanslatieten Wavelet- Funktion entlang de Zeitachse. Blatte [1998] stellt die diskete Wavelet-Funktion ψ a, b mit den Laufvaiablen κ und η vo: ψ ( σ κ t ηβ ) κ 2 ( t = σ ψ (15) a, b ) κ a = σ und b = ησ κ β mit κ,η N (16) Je nach genutztem Mutte-Wavelet liegt es nahe, dass bei de Wahl zu goße Zoom- und Gundschitte Infomationen übe das Signal veloen gehen. De gewünschte Efolg bei de Tansfomationsveeinfachung mit Hilfe de Disketisieung de Wavelet-Paamete kam jedoch nicht in ehofftem Maße zustande [Esse, 2001]. De Duchbuch fü die Wavelet-Technologie vo allem im Beeich de Bildbeabeitung efolgte im Jahe Stephane Mallat und Yves Meye entwickelten fü das Konzept de Mehfachauflösung eine numeische Implementieung, welche unte dem Namen schnelle Wavelet-Tansfomation (FWT = Fast Wavelet-Tansfomation) bekannt wude Die schnelle Wavelet-Tansfomation und die Mehfachauflösung Die Mehfachauflösung (MRA = Multiesolution Analysis) nutzt zu Tansfomation des zeitabhängigen Signals in den Zeit-Fequenz-Raum neben dem Wavelet noch die Skalieungsfunktion ϕ a, die eine Abspaltung niedefequente Signalanteile dient. Das Hauptkiteium fü ϕ ist die Existenz eines aus de Skalieungsfunktion und seinen um η N\{0} veschobenen Vesionen ezeugten Othonomalsystems. Die Skalapodukte aus ϕ und seinen ganzzahligen Tanslatieten müssen Null egeben. Als die einfachste alle Skalieungsfunktionen sei die in Abbildung 6a dagestellte Haaskalieung genannt, deen zugehöige Basisfunktion das Haa-Wavelet ist. (a) (b) Abbildung 6: (a) Die Haa-Skalieungsfunktion ϕ (t), die auch de Daubechies-Skalieungsfunktion 1. Odnung entspicht und (b) das Haa-Wavelet ψ(t), welches dem Daubechies- Wavelet 1. Odnung gleicht. 20

22 Die Mehfachauflösung stellt sich als eine At Veschachtelung von Räumen da, bei de sich ein Raum 6 W k aus einem goben Anteil W k+1 und einem dazu othogonalen hochfequenten Anteil H k+1 zusammensetzt. De niedefequente Anteil W k+1 spaltet sich in de zweiten Auflösungsstufe in wiedeum zwei Unteäume auf. Die Räume H k+1 und W k+1 mit weite steigendem Index beinhalten imme niedefequentee Schwingungsanteile. Diese Algoithmus findet anwendungsspezifisch oft Wiedeholung (Abb. 7). Die Filteung und damit die Abspaltung des Signalteiles W k übenimmt die Skalieungsfunktion ϕ. Zu Analyse des hochfequenten Anteiles (H k ) kommen die skalieten Wavelet-Funktionen zum Einsatz. Bei eine eneuten Filteung wid die Skalieungsfunktion dilatiet, um imme göbee Signalanteile abzutennen. Aus de Veeinigungsmenge alle hochfequenten Unteäume H k J k = 1 mit k = 1,2, K, J und des Unteaumes W k egibt sich das Gesamtsignal f(t). Signal f(t) ϕ ϕ ϕ W 1 von f(t) W 2 von W 1 ψ ψ ψ H 1 von f(t) H 2 von W 1 Abbildung 7: Die Zelegung des Signals f(t) in unteschiedliche Fequenzbände H k mit Hilfe de Skalieungsfunktion ϕ (Tiefpassfilte) und des Wavelets ψ (Hochpassfilte). Das Konzept de Mehfachauflösung bedaf jedoch noch eine leistungsfähigen numeischen Implementieung, um sich gegenübe de DWT zu behaupten. Diese effiziente Algoithmus ist unte dem Namen schnelle Wavelet-Tansfomation bekannt. Die Funktionen ϕ und ψ müssen bei jede Filteung pefekt hamonieen. Nicht zu jedem Wavelet lässt sich eine passende Skalieungsfunktion finden, die auch noch othogonal zu seine Tanslatieten ist. Fü das Molet-Wavelet existiet im Unteschied zu andeen Wavelets (Abb. 8) keine Skalieungsfunktion. Zu Synthese de Räume muss de Funktionsvelauf von ϕ und ψ nicht explizit bekannt sein. Übe Koeffizienten fü eine Skalieung und Näheungsfomeln fü Wavelets (z.b. Daubechies-Wavelet) können die Veläufe appoximativ beschieben weden. Fü den inteessieten Lese sei fü weitegehende Infomationen auf Louis et al. [1994], Blatte [1998] und Petz [2001] vewiesen. 3.3 Wavelet-Familien Im Pinzip ist es möglich, fü jede paktische Anwendung de WT ein speziell zugeschnittenes Wavelet zu konstuieen ode eines de zahleichen beeits bekannten Wavelets zu nutzen. Die Fage nach de Wahl des ichtigen Wavelets sollte est nach de Entscheidung fü ode gegen die diskete ode kontinuieliche WT anstehen, da einige Wavelets (z.b. Molet, Mexikanische Hut, Gauss) keine othogonalen Tansfomationen untestützen [Misiti et al., 2001]. Dem Nutze steht nach seine Ent- 6 In Stufe 0 ist dies das Gesamtsignal f(t). 21

23 scheidung fü eine Tansfomationsat aus de goßen Vielfalt de bekannten Basisfunktionen (Wavelets) eine vekleinete Auswahl zu Vefügung. Die wichtigsten Kiteien bei de Auswahl des Mutte-Wavelets sind im Folgenden aufgefüht. Die Abbildungen 6 und 8 dienen untestützend zu Diffeenzieung de einzelnen Mutte-Wavelets. Tägebeite: Häufig haben die Basisfunktionen einen Täge mit unendlich goße Beite, wobei sich die ψ(t) außehalb eines begenzten Intevalls an die Abszisse anschmiegen. Von Voteil wäe ein Wavelet, welches nu in einem endlichen Beeich ungleich null ist, wie z. B. das Symlet-, Haa- und Daubechies-Wavelet (Abb. 6b und 8a,b). Diese Eigenschaft von Wavelets wude schon in Abschnitt 3.1 als Finite Suppot ode als Lokalisation im Zeitbeeich eingefüht. Die im Beispiel des Abschnittes genutzte Molet- Funktion besitzt einen beiten Täge, de jedoch nach schnellem Abfall de Amplituden minimal oszilliet (Abb. 8d). Regulaitätsgad: De Regulaitätsgad (RG ψ ) dückt die Glattheit eines Wavelets aus und ist als Anzahl de stetigen Ableitungen eines Wavelets definiet [Hubbad, 1997]. Das Haa-Wavelet weist aufgund seine Teppenfom eine geinge Regulaität auf, hingegen ist das Daubechies-Wavelet 7 in seine Glattheit höhe und RG ψ vestellba [Kelle, 1996]. Die Molet-Funktion ist unendlich egulä, jedoch nu bedingt zeitlokal, da die Funktionswete mit abnehmende Amplitude um die Abszisse schwingen. Die Rechengeschwindigkeit ist bei Tansfomationen mit glatteen Wavelets um bis zu eine Gößenodnung geinge. Wenige glatte Wavelets fühen im Anwendungsbeeich de Bildcodieung teilweise zu unewünschten Atefakten. So entstehen im epoduzieten Abbild Kanten, wo im Oiginal übehaupt keine vohanden sind [Hubbad, 1997]. Symmetie: In de Bildbeabeitung spielt die Symmetie von Analysefunktionen eine goße Rolle. Diese Eigenschaft, die eine Phasenveschiebung bei de Faltung des Bildes untebindet, ist nu gegeben, wenn sich das veschobene Wavelet an de Odinate spiegelt. In den Beispielen de Abbildung 8 ist ausschließlich die Molet-Funktion symmetisch. Symlets besitzen, totz des naheliegenden Wotstammes, keine vollständige Symmetie. Anzahl veschwindende Momente (AvM): Die Anzahl de veschwindenden Momente (km+1), die ein Wavelet ψ und die zugehöige Skalieungsfunktion ϕ besitzen, sind fü die Kompession von Daten ein entscheidende Fakto. Näheungsweise kann man die AvM mit de Zahl de Oszillationen des Wavelets im Zeitbeeich bescheiben. Zudem ist die Möglichkeit bestimmte Signalanteile zu extahieen abhängig von de Anzahl de veschwindenden Momente des Wavelets. Basisfunktionen mit einem veschwindenden Moment analysieen keine lineaen Signale. Andee Wavelets mit km +1 = 2 sind zusätzlich blind fü quadatische Signalveläufe [Hubbad, 1997]. Die Wavelet- Koeffizienten, gebildet aus dem Skalapodukt von Wavelet ψ(t) und einem Signal f(t), ehalten nach (17) fü ein Wavelet mit km+1 veschwindenden Momenten den Wet 7 Das Haa-Wavelet entspicht dem Daubechies (1) Wavelet. 22

24 Null. Im Falle eines Polynoms de Fom nach Misiti et al. [2001]: f ( t) = 0 k km v k t k mit den Koeffizienten v k gilt R 0 f ( t) ψ ( t) dt = 0 fü alle k = 0,1, KkM (17) Die explizit angehangene Odnungszahl bei de Bezeichnung de Wavelets entspicht de Anzahl de veschwindenden Momente (z.b. db2 = Daubechies-Wavelet mit AvM=2). Skalieungsfunktion: Die schnellen Algoithmen de MRA bedingen die Existenz eine Skalieungsfunktion ϕ. Bei einigen Analysefunktionen, wie z.b. beim Molet-Wavelet, existieen keine Skalieungsfunktionen. Othogonalität: Die pefekte Signalekonstuktion sowie die edundanzfeie Analyse eines Signals setzen othogonale Wavelets bzw. -funktionen voaus. Um Wavelet- Koeffizienten f L ψ beechnen zu können, nutzt man das mathematische Wekzeug des Skalapoduktes. Die geometischen Eigenschaften othogonale Wavelets eleichten und beschleunigen das Beechnen de Tansfomation, denn nu hie egibt sich jede Wavelet-Koeffizient aus einem einzigen Skalapodukt, und dessen Beechnung ist unabhängig von den andeen in die Tansfomation eingehenden Koeffizienten [Hubbad, 1997, S.160]. ( a, b) Abbildung 8: Gegenübestellung ausgewählte Wavelets und zugehöige Skalieungsfunktionen: (a) asymmetisches othogonales Daubechies (2)-Wavelet mit endlichem Täge und AvM=2; (b) Daubechies (3)-Wavelet mit höhee Regulaität im Vegleich zu (a) und AvM=3; (c) Symlet als ein othogonales, fast symmetisches Wavelet mit endlichem Täge und AvM=4; (d) Symmetisches Molet-Wavelet mit unendliche Regulaität. Eine othogonale Wavelet-Analyse ist nicht möglich, eine Skalieungsfunktion existiet nicht und de Täge ist nicht kompakt (schwingt unendlich lang um die Abszisse). 23