Professor Dr. Walter Kramer

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1 Koinegraion von Akienkursen Professor Dr. Waler Kramer Fachbereich Saisik, Universia Dormund D Dormund Okober 1997 Zusammenfassung Die vorliegende Arbei unersuch das gemeinsame Zeireihenverhalen von spekulaiven Preisen, speziell von Akienkursen. Anhand ausgewahler deuscher Dividendenwere wird gezeig, da dieses gemeinsame Zeireihenverhalen zu den Mark schlagenden Anlagesraegien fuhren kann und in diesem Sinn mi ezienen Marken nich verraglich is. 1 Das Problem Sei x ein um Dividenden, Nennweranderungen ec. bereiniger Akienkurs. In einem informaionsezienen Mark is dann y := `n(x ) ein Random Walk mi Drif (Le Roy 1989): y = + y 1 + " ( =1;:::;T): (1) Ich danke Ingolf Dimann, Gerd Hansen, Jurgen Wolers und zwei anonymen Guachern der ZfbF fur zahlreiche Anregungen und Verbesserungsvorschlage, verbleibende Fehler sind dem Auor anzulasen; bei der rechenechnischen Umsezung haben mir Uwe Hassler und Ralf Runde beigesanden. 1

2 Dabei is die bei koninuierlicher Verzinsung in Periode erwaree bzw. gefordere Rendie; sie wird im weieren als (poeniell) variabel unersell. 1 Im Mielpunk der folgenden Berachung sehen die unerwareen Rendien (= Uberrendien = Innovaionen) 2 " ; in einem ezienen Mark bilden diese eine Maringal{Dierenzenfolge: E(" ja 1 )=0 (2) mi A 1 die Informaion am Ende der Periode 1. Sie sind dami nich aus vergangenen Kursen und sonsigen allgemein zuganglichen Informaionen vorhersagbar. Auerdem sind sie, falls die zweien Momene exisieren, seriell unkorrelier: Cov(" ;" 1 ) = E(" " 1 )=E (E(" j" 1 ja 1 )) = E (" 1 E(" ja 1 )) = E(" 1 0)=0: (3) Diese Implikaionen eines ezienen Kapialmarkes sind sei langem ein bewahrer Ausgangspunk, um ebendiese Ezienz zu esen: Saisoneeke, Winner{ Looser{ Uberreakionen, langfrisige und kurzfrisige Auokorrelaionen, erfolgreiche Handels{Regeln oder die Prognosizierbarkei von Uberrendien aufgrund des Weers oder anderer okonomischer und nichokonomischer Variablen sind die am haugsen geeseen Anomalien, die diesen Konsequenzen eines ezienen Markes zunachs zuwiderlaufen (Saunders 1993, Kramer und Runde 1996, neben vielen anderen). 1 Bei den im weieren verwendeen aglichen Rendien la sich als kurzfrisig konsan berachen. Jedoch uberspann die im weieren berachee Sichprobe mehr als drei Jahrzehne, hier is Konsanz kaum als gegeben anzunehmen. Die von der jeweils unersellen Kapialmarkheorie abhangigen Besimmungsgrunde fur bleiben im weieren auerhalb der Berachung. 2 Leider is der Sprachgebrauch bezuglich "Uberrendien" nich einheilich. Alernaiv wird daruner of auch die Dierenz zwischen asachlicher und Markrendie (siehe ewa Bromann e al. 1997) oder die Dierenz zwischen asachlicher und risikoloser Rendie versanden; lezere sind auch in einem ezienen Mark vorhersagbar. 2

3 Diese Tess unerscheiden sich einmal hinsichlich der zugelassenen Alernaiven zu einem ezienen Mark, zum anderen durch die implizi unersellen Informaionsmengen A,bezuglich derer (2) und (3) geforder werden: Wahrend ewa auf Char{Techniken beruhende Filersraegien oder Auokorrelaionsess nur die vergangenen Kurse des beracheen Papieres selbs benuzen, also die im Fama'schen (1970) Sinne "schwache" Ezienz des Markes uberprufen, werden die Informaionsmengen A bei anderen Tess auch noch von weieren Variablen wie Kalenderdaen (Saisoneeke), relaiver Firmengroe (Size{Eeke) oder Kurs{Gewinn{Verhalnissen und anderen rmenspezischen Informaionen aufgespann. Hier handel es sich also um Tess der "halbsarken" (semi{srong) Ezienz. Aber in einer Hinsich simmen die meisen dieser Tess doch uberein: Von Ausnahmen wie Winner{Looser Sraegien abgesehen, sellen sie allein auf das univariae Zeireihenverhalen der unersuchen Kurse ab, die durch eziene Marke implizieren Konsequenzen fur das gemeinsame, mulivariae Zeireihenverhalen der Kurse bleiben auer Ach. Dieses gemeinsame, mulivariae Zeireihenverhalen sochasischer Prozesse seh im Zenrum der im Kielwasser von Engle und Granger (1987) enwickelen Koinegraionsmehodologie, die sich auch fur saisische Tess der Ezienzmarkheorie verwenden la. Wie man leich sieh, und wie im nachsen Abschni nachgewiesen wird, is Koinegraion von (logarihmieren) Akienkursen mi seriell unkorrelieren Uberrendien nich verraglich; mi anderen Woren: Ein Nachweis von Koinegraionsbeziehungen liefe auf eine Ablehnung eines jeden seriell unkorreliere Uberrendien implizierenden Kapialmarkmodells hinaus. Anders als univariae sind solche mulivariaen Koinegraionsmehoden bislang eher selen fur Ezienzess von Akienmarken herangezogen worden 3

4 (Cherchi und Havenner 1988, Taylor und Tonks 1989, Kasa 1992, Sengos und Panes 1992, MacDonald und Power 1993, Corhay e al. 1993, Richards 1995). Diese Arbeien geben sich in der Regel mi dem rein saisischen Nachweis einer Koinegraionsbeziehung zufrieden, ohne den Konsequenzen bezuglich eziener Marke naher nachzuspuren und vor allem: ohne die fur Sandard{ Koinegraionsanalysen noigen Voraussezungen nachzuprufen. In der vorliegenden Arbei werden ersmals deusche Akienkurse einer Koinegraionsanalyse unerworfen. Dabei zeig sich, da zwar keine Sandard{ Koinegraionen nachgewiesen werden konnen (in dem Sinn, da eine Linearkombinaion der logarihmieren Kurse als saionarer ARMA{Prozess modellierbar ware), da gewisse Linearkombinaionen aber dennoch sochasisch beschrank zu bleiben scheinen, und da dieser Sachverhal fur proable Handelssraegien auszunuzen is. 2 Inegriere und koinegriere sochasische Prozesse Uner leichem Mibrauch der Noaion sei y = y (1) vekorweriger sochasischer Proze. Die Komponenen y (i) von y heien inegrier der Ordnung 1 (kurz: y (i) 0 ;:::;y (n) in weieren ein I(1)), falls ihre mielwerbereinigen ersen Dierenzen als saionare ARMA{Prozesse (alias I(0){Variable) modellierbar sind: y (i) = y (i) y (i) 1 = " (i) + (i) mi " (i) ARMA(p; q): (4) In leicher Verallgemeinerung der Sandarddeniion is dabei ein zeivariabler Wer von E(y () ) zugelassen. 4

5 Um auszuschlieen, da bereis die Ausgangsprozesse y (i) selbs saionare Prozesse sind, soll ferner die Spekraldiche der " (i) Wer annehmen. an der Selle 0 einen posiiven Der in (4) zusammengefae Sachverhal la sich umformulieren zu y (i) = y (i) 0 + X j=1 " (i) j + g (i) (); ( =1;:::;T); (5) mi g (i) () = P j=1 (i) j, was auch die Bezeichnung "inegrier der Ordnung 1" erklar: Die saionaren Ausgangsvariablen " (i) (inegrier). werden einmal aufaddier In einem ezienen Akienmark mi konsanen Innovaionsvarianzen sind die logarihmieren Kurse oensichlich inegrier der Ordnung 1: Die " (i) unkorrelier, d.h. " (i) ARMA(0,0). sind Im weieren seien alle Komponenen des n{dimensionalen Vekorprozesses y inegrier der Ordnung 1 im Sinne von (4) und (5). Ein solcher Vekorproze y aus auschlielich inegrieren, sochasisch rendbehafeen Komponenen y (i) hei koinegrier, wenn eine nichriviale Linearkombinaion der y (i) die keinen Trend mehr ha. Formal: y (i) exisier, I(1) fur i =1;:::;n, aber es gib einen von Null verschiedenen Vekor c =(c 1 ;:::;c n ) 0 (den Koinegraionsvekor) mi c 0 y I(0). 3 Abbildung 1 zeig beispielhaf zwei unabhangige Random Walks mi Drif (keine Koinegraion), Abbildung 2 zwei koinegriere sochasische Prozesse (erzeug durch Addiion zweier unabhangiger saionarer Prozesse zu ein- und demselben Random Walk); die Diagramme zeigen, wie sochasisch rendbehaf- 3 Bei nichrivialen Drifkomponenen (i) der Sandardfall bei Akienkursen beinhale dies die Zusazbedingung c 0 = 0; bei zeivariablen Drifkomponenen beinhale dies die Zusazbedingung c 0 g() =0fur alle. 5

6 ee Variablen ohne Koinegraion immer weier auseinanderdrifen, wahrend koinegriere Variable dem Trend zum Troz eng beieinander bleiben. 4 Der Koinegraionsvekor c is oenbar nich eindeuig, denn jedes skalare Vielfache von c is ebenfalls ein koinegrierender Vekor; falls mehrere linear unabhangige Koinegraionsvekoren c (1) ;:::;c (r) exisieren, is auch jede Linearkombinaion ein Koinegraionsvekor; r hei dann der Koinegraionsrang des Sysems. Koinegraion ha verschiedene Konsequenzen. Die fur die Zwecke der vorliegenden Arbei wichigse is die sog. "Fehlerkorrekurform" des Sysems (Engle und Granger 1987, S. 255; Lukepohl 1995): Sei y ein n{dimensionaler koinegrierer sochasischer Proze mi Koinegraionsrang r (d.h. es gib einen aus r linear unabhangigen Koinegraionsvekoren c (1) ;:::;c (r) zusammengeseze nr Marix C =[c (1) ;c (2) ;:::;c (r) ] mi C 0 y I(0)). Dann gib es eine weiere n r Marix D mi de(c 0 D) 6= 0, so da y = DC 0 y 1 + Linearkombinaion von verzogeren Weren von y + saionarer Res: (6) Die Bedeuung dieser Gleichung fur einen mulivariaen Akienkursproze is eviden: Der Vekor y der ersen Dierenzen der logarihmieren Kurse ensprich dem Vekor der Rendien, y sind die unerwareen Rendien, und aus (6) folg E(y ja 1 )= DC 0 y 1 + E(ubrige TermejA 1 ) 6= 0; (7) 4 Man beache aber, da dieses enge Beieinanderbleiben fur Koinegraion nich noig is: es reich, wenn die erse Variable und ein geeignees Vielfaches der zweien nahe beieinander bleiben. 6

7 im Widerspruch zur zenralen Gleichung (2): Uberrendien sind aus verzogeren Weren vergangener Kurse vorhersagbar, aber genau das is per deniion der Uberrendien ausgeschlossen Koinegraion der kumulieren Uberrendien is mi keinem Kapialmarkmodell verraglich, welches die Maringal{ Dierenzeneigenschaf der Uberrendien implizier. 3 Sind die deuschen Grochemiewere koinegrier? Im Mielpunk der folgenden Unersuchung sehen agliche logarihmiere Kassakurse von Bayer, BASF und Hoechs (rerograd bereinig, vom bis , ensprechend einem Sichprobenumfang T = 7928). Dieser Auswahl lag der Gedanke zugrunde, da sich diese Firmen hinsichlich Groe, Produkpalee und Kosensrukur sehr ahneln; alle sind aus der gleichen unernehmerischen Wurzel, den IG{Farben, hervorgegangen, sie operieren auf verwanden Marken, unerliegen vergleichbaren Risiken: sofern also Koinegraion auf deuschen Akienmarken nachgewiesen werden kann, dann am ehesen wohl hier. 5 Tabelle 1 fa ausgewahle Kurskennzahlen dieser Papiere zusammen. Die durchschnilichen jahrlichen Rendien sind dabei als Kurs am Kurs am 4:1:60 1 (8) 5 Weiere Kandidaen fur Koinegraion sind die groen Bankiel, oder Samm- und Vorzugsakien der gleichen Gesellschaf. Diese a{priori{auswahl der unersuchen Were is wichig, um sog. "daa{mining" zu vermeiden: Wurde man rein mechanisch alle Teilmengen ewa der im Frankfurer Amlichen Handel noieren mehr als 400 Tiel auf Koinegraion esen, ware die Wahrscheinlichkei fur einen Fehler 1. Ar nich mehr zu konrollieren; auch eine korreke Nullhypohese "Keine Koinegraion" wurde of, wenn auch zu Unrech, abgelehn (Fehler 1. Ar), dami zu Unrech auf Koinegraion erkann. Auf diese Weise kommen vermulich die meisen "signikanen" Koinegraionsbeziehungen in MacDonald und Power (1993) zusande. 7

8 und die jahrlichen Volailiaen als das Produk der Wurzel der Borsenage per annum mi der Sandardabweichung der aglichen Rendien berechne. Abb. 3 zeig beispielhaf den (rerograd bereinigen und logarihmieren) Kurs von BASF: die Ahnlichkei mi dem kunslich erzeugen Random Walk aus Abb. 1 is nich zu ubersehen und wird wie bei den anderen Weren auch durch formale Einheiswurzeless besaig. Abb. 4 zeig die Kurse von Hoechs und Bayer simulan (ahnlich auch die ubrigen Kurvenpaare; Beschrankung auf zwei Were, um die Graphik nich zu uberladen). Der reine Augenschein la Koinegraion vermuen: Troz individueller sochasischer Trends bleiben beide Reihen eng beisammen. Alernaiv zeig Abb. 5 die logarihmieren Kurse von Bayer und Hoechs in einem bivariaen, Abb. 6 alle drei Kurse zusammen in einem rivariaen Sreudiagramm. Neben der Koinegraionsbeziehung als solcher wird in diesen Diagrammen zusazlich noch die Gerade deulich (der "Arakor" in der Noaion von Granger 1986), zu dem die Werepaare bzw. Wereripel quasi hingezogen werden. Auch aus dieser Sich is Koinegraion nich unwahrscheinlich. Es gib verschiedene formale Tess zur Prufung, ob dieser Augenschein nich rug, d.h. ob oder ob nich die Nullhypohese "es gib keine Koinegraion" im Lich der Daen verworfen werden mu. Die ersen, von Engle und Granger (1987) vorgeschlagenen Mehoden nuzen die Idee, da bei Gelung von H 0, d.h. bei Abwesenhei von Koinegraion, keine saionare Linearkombinaion c 0 y der zur Debae sehenden Variablen y (1) ; ;y (n) exisieren darf. Mi anderen Woren, das saisische Tesen der Nullhypohese "keine Koinegraion" lauf auf das Tesen der Hypohese "sochasischer Trend alias Einheiswurzel in z = c 0 y " hinaus. 8

9 Im weieren werden daher verschiedene gangige Einheiswurzeless auf ausgewahle Linearkombinaionen der logarihmieren Kurse angewand: 6 Der Dickey{Fuller{Tes (DF), der Dickey{Fuller{{Tes (DF), der "Augmened" Dickey{Fuller{Tes (ADF), die Z und Z {Tess von Phillips (1987) und der P u {Tes von Phillips und Ouliaris (1990) (siehe auch Hamilon 1994, Kap. 19 und 20 oder Fuller 1996, Kap.10 fur Einzelheien). Der Dickey{Fuller{Tes basier auf der Prufgroe T (^ 1) (9) mi ^ die Kleins{Quadrae{Schazung fur in z = z 1 + u ; (10) und der Dickey{Fuller{{Tes is der Sandard {Tes von H 0 : = 1 in (10) mi Prufgroe ^ 1 ^^ : (11) Beide Verfahren halen ihr Signikanzniveau nur bei unabhangigen u 's; sie werden bei poeniell korrelieren Sorgroen durch allgemeinere Tess ersez: der "Augmened" Dickey{Fuller{Tes ha die gleiche Prufgroe (11) wie der Dickey{Fuller{{Tes, nimm aber in (11) noch m verzogere Were von z in der rechen Seie auf (im weieren m =1:::7); die Z { und Z {Tess von Phillips addieren einen geeigneen Korrekurfakor zu (9) bzw. (11), der ebenfalls die Auswirkungen korrelierer Sorgroen in der Regressionsbeziehung (10) asympoisch konerkarier, und der P u {Tes von Phillips und Ouliaris 6 Miels der Saisik{Sofware Coin 2.0, einer Sammlung einschlagiger Gauss{ Programme von Ouliaris und Phillips (1994). 9

10 (1990) vergleich im wesenlichen zwei auokorrelaionsrobuse Schazungen fur die Varianz der z = c 0 y : Bei Abwesenhei von Koinegraion haben diese Schazungen den gleichen Grenzwer (nach geeigneer Normierung), die Prufgroe konvergier, bei Koinegraion divergieren diese Schazungen, dami auch die Prufgroe, die Nullhypohese "keine Koinegraion" wird abgelehn. Eine erse Serie von Tess benuz die a priori xieren Koinegraionsvekoren c (1) = ; c(2) = ; c(3) = ; 1 d.h. es wird geese, ob paarweise Dierenzen der logarihmieren Kurse als inegriere Prozesse modellierbar sind. Dieser a{priori{auswahl der poeniellen Koinegraionsvekoren lagen einmal opische Hinweise aus Abb. 4 (und ahnlichen, hier nich wiedergegebenen Abbildungen anderer Kurspaare), aber auch sachlogische Argumene zugrunde: In dem Umfang, wie zwei Unernehmen als Kopien voneinander gelen konnen, sollen sich ihre Akienkurse proporional enwickeln, ewa Bayer = Hoechs sochasische Abweichung (Sorung), d.h. `n(bayer) = `n() + `n(hoechs) + `n(sorung): (12) Die Koinegraionsbeziehung is also gerade die Dierenz. Tabelle 2 zeig die Prufgroen des Augmened Dickey{Fuller{Tess 7 zusammen mi den Schazungen fur. Unabhangig von der Anzahl der verzogeren 7 Auf die Wiedergabe der Sandard{Dickey{Fuller Tess wird hier verziche; wegen Korrelaion der u 's uner H 0 sind deren Aussagen bei Koinegraionsresiduen nur schwer zu inerpreieren. 10

11 z auf der rechen Seie von (10) (in der Tabelle m genann) kann die Hypohese "keine Koinegraion" fur die Paare Bayer{BASF und Bayer{Hoechs nich verworfen werden. Bemerkenswer auch die Robushei der Schazungen fur, die sich bei Aufnahme weierer Regressoren in die Gleichung (10) ers ab der vieren Nachkommaselle andern und deshalb in der Tabelle als konsan erscheinen. Alernaiv zur Auokorrelaionsadjusierung durch den Augmened Dickey{- Fuller{Tes zeig Tabelle 3 die Z { und Z {Tess von Phillips (1987), die die Auswirkungen poeniell korrelierer Sorgroen in (10) durch Korrekurfakoren an den Prufgroen (9) und (11) abfangen. Auch hier ergib sich ein gemisches Bild: Fur einige Tess und Werepaare wird die Hypohese "keine Koinegraion" verworfen, fur andere dagegen nich. Um dem Einwand zu begegnen, diese fehlende Eindeuigkei konne auf einer falschen Wahl der a priori fesgelegen Koinegraionsvekoren beruhen, wurde in einer weieren Serie von Tess der Koinegraionsvekor durch die Daen selbs besimm. Dazu werden alle drei Kursreihen auf die jeweils anderen regressier, und die Residuen dieser Regression den gleichen Einheiswurzeless wie in den Tabellen 2 und 3 unerworfen. Tabelle 4 zeig das Resula fur den Augmened Dickey Fuller Tes (die Resulae fur die Tess von Phillips sind ahnlich und werden hier nich eigens referier): Zwar nehmen die Ablehnungen der Hypohese "keine Koinegraion" zu, aber von einer einhelligen Akzepanz von Koinegraion kann noch immer keine Rede sein (in Tabelle 4 sind zusazlich noch die geschazen Regressionskoezienen angegeben). Ein groer, auch in diesen Tabellen manifeser Nacheil dieser auf geschazen Residuen basierenden Einheiswurzeles is die Abhangigkei der Prufgroe 11

12 von der Wahl des Regressanden, d.h. die Normierung des Koinegraionsvekors c. Da dieser, falls exisen, nur bis auf skalare Vielfache feslieg, wird bei seiner empirischen Besimmung eine seiner Komponenen willkurlich auf 1 normier; diese Komponene besimm zugleich den Regressanden in der Koinegraionsregression. Obwohl asympoisch unerheblich (bei einem von Null verschiedenen wahren Koezienen des Regressanden konvergieren die Schazungen immer gegen ein Vielfaches von c), hang das Tes-Ergebnis in endlichen Sichproben von dieser Normierung ab. Um auch diesem Einwand zu begegnen, zeig Tabelle 5 noch die Resulae dreier nich{residuengesuzer Tess auf Koinegraion; die ersen beiden vergleichen im wesenlichen Eigenwere von verschieden geschazen heoreischen Kovarianzmarizen: Der Phillip{Ouliaris P z {Tes die normieren Eigenwere zweier empirischer Kovarianzmarizen des Variablenvekors y, der Sock{- Wason{Tes (1988) die zweier Auokovarianzmarizen erser Ordnung von y. Der Johansen{Tes schlielich is ein uner der Annahme normalvereiler Innovaionen berechneer Likelihood{Quoienen{Tes gegen die Alernaive "es gib genau einen koinegrierenden Vekor" (siehe Hamilon, 1994, Kap. 20 fur Deails). Auch hier ein gemisches Bild: zwei Tess lehnen ab, einer (Johansen) dagegen nich. Als Fazi dieser formalen Tess bleib dami zu konsaieren, da die Hypohese "keine Koinegraion" je nach Tes durchaus verworfen werden kann, aber doch nich so eindeuig und jenseis allen Zweifels, wie der erse Augenschein erwaren la: bei einer Sichprobe des Umfangs > 7000, bei der selbs kleinse Verlezungen der Nullhypohesen zu saisisch signikanen Tesresulaen fuhren, bedarf die fehlende Eindeuigkei einer Erklarung. 12

13 4 Frakionale Koinegraion Die mangelnde Eindeuigkei der Diagnose "Koinegraion" fur die hier unersuchen Daen kann zwei Grunde haben: (i) die Koinegraionsvekoren konnen die nichsochasischen Komponenen der logarihmieren Kursreihen nich annulieren: c 0 g() 6= 0, oder (ii) die Koinegraionsresiduen verhalen sich anders als in den Sandardess vorausgesehen. Im weieren is Erklarung (i) aus a{priori{grunden auszuscheiden: auch wenn man zeivariable erwaree Rendien zula, werden diese quer zur Zei fur die hier beracheen Dividendenwere nahezu idenisch sein: bei idenischem Bea (siehe Tabelle 1) und auch sons vergleichbarer Unernehmenssrukur gib es keinen Anla, hier sysemaische Dierenzen zu vermuen; zumindes fur die Koinegraionsvekoren c 2f[ 110],[ 1; 0; 1] und [0; 1; 1]g durfe dami c 0 g() =0fur alle zu unersellen sein. Im weieren seh daher Erklarung (ii) im Mielpunk. Die Sandard{Koinegraionsmehodologie geh davon aus, da die fragliche Linearkombinaion c 0 y der Ausgangsvariablen y (1) ;:::;y (n) im Koinegraionsfall als saionarer ARMA{Proze modellierbar is (c 0 y I(0)); bei Abwesenhei von Koinegraion dagegen is c 0 y inegrier der Ordnung 1. Diese Dichoomie is unnoig und unrealisisch srik; es erschein sowohl moglich als auch im Konex der hier unersuchen Kurse sogar hoch wahrscheinlich, da gewisse Linearkombinaionen c 0 y der inegrieren Ausgangsdaen zwar saionare und sochasisch beschranke, aber nich ARMA{modellierbare sochasische Prozesse sind. Diese Moglichkei wurde bereis von Granger (1986, S. 222) durchaus gesehen, aber als wenig wichig abgean; von wenigen Ausnahmen abgesehen (siehe ewa Cheung und Lai 1993 im Konex von Kauf- 13

14 krafpariaen) sind in empirischen Koinegraionsanalysen fur die Koinegraionsresiduen nur die Alernaiven I(0) oder I(1) erlaub. Die hier unersuchen Daen deuen aber darauf hin, da die Koinegraionsresiduen besser als inegrier der Ordnung d (I(d)) mi 0 < d < 1 zu modellieren sind. Dabei hei ein sochasischer Proze fz g frakional inegrier oder inegrier der Ordnung d, wenn d z I(0) mi d =(1 L) d = 1X i=0 i L i : (13) Dabei is Lz = z 1 der Lag{Operaor und i = iy j=1 j 1 d j (14) (siehe Hassler 1993 oder Schligen/Sreiberg 1994, S. 142). Fur d < 0; 5 sind frakional inegriere Prozesse saionar (genauer: gib es eine saionare Losung der sochasischen Dierenzengleichung d z = u mi u ARMA(p; q)). Die folgenden Eigenschafen sezen frakional inegriere Prozesse von ARMA{ Prozessen ab. (i) fur 0 < d gil: P 1 i=0 je(z z i )j = 1 (in diesem Sinn haben frakional inegriere Prozesse ein "langes Gedachnis"; fur saionare ARMA{ Prozesse gil je(z z i )j < 1). (ii) die Auocovarianzen E(z z sich fur groe i wie i 2d dagegen exponeniell). i ) klingen nur sehr langsam ab; sie verhalen 1 (bei saionaren ARMA{Prozessen is der Abfall (iii) die Spekraldiche ha eine Polselle bei 0 (bei saionaren ARMA{Prozessen is die Spekraldiche eine auf dem ganzen Inervall [-0,5; 0,5] seige Funkion). 14

15 Abb. 7 zeig beispielhaf die ersen 100 Auokorrelaionen der Koinegraionsresiduen `n(bayer) { `n(hoechs): Diese Auokorrelaionen klingen nur langsam ab; selbs bei 100 Tagen Absand is die Auokorrelaion noch groer als 0,8. Abb. 8 zeig die empirische Spekraldiche von `n(bayer) { `n(hoechs); auch hier das gleiche Bild: die Graphik suggerier eine Polselle bei 0, d.h. ein frakional inegrierer Proze schein fur die Koinegraionsresiduen das bessere Modell zu sein. Tabelle 6 zeig ausgewahle Schazungen fur d, die mi einem von Geweke/Porer{ Hudak vorgeschlagenen Verfahren ermiel worden sind: dieses Verfahren nuz die Tasache, da sich die Spekraldiche f() eines frakional inegrieren Prozesses schreiben la als!! d f() = 4 sin 2 g(): (15) 2 Durch Logarihmieren erhal man `nf() =`n(g(0)) d`n 4 sin 2 2!! + `n(g()=g(0)) ; (16) wobei der leze Term fur kleine vernachlassig werden darf. Fur kleine harmonische Frequenzen j Periodogramms I( j ): (ewa j p T ) erhal man dami durch Addiion des `n(i( j )) = `n(g(0)) d`n 4 sin 2 j 2!!! + `n I( j) ; (17) f( j ) wobei der leze Term sochasisch um 0 variier, und der Parameer d durch eine KQ{Regression von `n(i( j )) auf `n 4 sin 2 ( j =2) geschaz werden kann. Tabelle 6 zeig die Ergebnisse dieses Verfahrens, angewand auf die Koinegraionsresiduen bei konsanen und geschazen Koinegraionsvekoren: die 15

16 geschazen d sind durchweg posiiv, hangen allerdings vom Umgang der Hilfsregression (alernaiv die m = 50 oder m = 100 kleinsen harmonischen Frequenzen, ohne die ersen 20) und auch von den jeweiligen Residuenreihen ab. Alernaiv wurde der Parameer d auch durch die zuers von Mandelbro (1969) fur Wirschafsdaen vorgeschlagene "Range{Scale{Analyse" geschaz. Sei dazu z := X i=1 z i ( =1;:::;T) (18) der Proze der sukzessiven kumulieren Summen des Ausgangsprozesses z, sei R(; k) := max z z i + z z +i +i 0ik k min z z i + z z (19) +i +i 0ik k die im Inervall von bis + k realisiere Spannweie der kumulieren Summen um einen linearen Trend (siehe Abb. 9), und sei S(; k) die Sandardabweichung der z +i(i =0;:::;k). Dann is der "rescaled range" R=S := R(; k)=s(; k) fur groe k proporional zu k 0;5+d : R=S Konsane k 0;5+d ; (20) und `n(r=s) `n(konsane) + (0; 5 + d)`n(k): (21) Abb. 10 illusrier dieses Grenzverhalen fur z = `n(bayer) { `n(hoechs): die realisieren Were von R=S liegen fur groes k auf einer Geraden mi einer Seigung von knapp uner 1, d.h. der Inegraionsparameer d lieg knapp uner 1/2. 16

17 Dieses Ergebnis wurde durch analoge R/S{Analysen der ubrigen Koinegraionsresiduen besaig. Dami is als Fazi dieses Abschnis feszuhalen, da konvenionelle Koinegraionsmehoden im Konex von Akienkursen nich mehr greifen; zwar scheinen durchaus sochasisch beschranke Linearkombinaionen der Kursreihen zu exisieren, aber diese zeigen wei hohere als mi ARMA{Modellen verragliche Langfriskorrelaionen und sind besser als frakional inegriere Prozesse zu modellieren. 8 Dami erklar sich auch die zogerliche Ablehnung der Nullhypohese "Keine Koinegraion" bei vielen Tess: Bei frakionalen Alernaiven haben Einheiswurzeless nur wenig Mach, d.h. ein Fehler 2. Ar komm hier besonders haug vor (siehe Diebold und Rudebusch 1991, Hassler und Wolers 1994 oder Kramer 1997). 5 Uberrendien durch Handelssraegien Das wichigse Ergebnis der ersen vier Abschnie is: auch wenn formale Koinegraionsess keine "klassischen"koinegraion der deuschen Grochemie erkennen, scheinen gewisse Linearkombinaionen dieser Were dennoch sochasisch beschrank zu bleiben, konkre: durch saionare frakional inegriere Prozesse modellierbar zu sein. Diese Saionaria implizier aber "mean reversion", d.h. aus (beispielsweise) `n(bayer) { `n(hoechs) I(d) 8 Wegen der Fehlerkorrekurdarsellung (6) folg daraus zugleich die I(d){Eigenschaf der Rendien selbs, und die logarihmieren Kures selbs sind nich I(1). Ich danke Jurgen Wolers fur diesen wichigen Hinweis. Jedoch is diese nich{i(1){komponene in den Kursen minimal, sie bleib bei allen Tess auf Einheiswurzeln unendeck. 17

18 folg, da bei `n(bayer) >`n(hoechs) die kunfigen Rendien von Hoechs die von Bayer uberseigen werden, und umgekehr: bei `n(bayer) <`n(hoechs) wird Bayer die hoheren Rendien zeigen. Auf einer weniger formalen Ebene is dieser Sachverhal vielen Invesoren wohlbekann: die meisen auf Porfolioumschichungen beruhenden Handelssraegien laufen auf das Ausnuzen von derarigen Koinegraionsbeziehungen hinaus. So sind ewa die von Schiereck und Weber (1995) oder Bromann e al. (1997) unersuchen Handelssraegien als implizies Ausweren von Koinegraionsbeziehungen zwischen deuschen Dividendenweren zu versehen, und auch das periodische Umgewichen einzelner Lander in inernaionalen Anlageporfolios kann man als angewande Koinegraionsanalyse begreifen. 9 Tabelle 7 zeig Gesamrendien von Anfang 1960 bis Ende 1991 bei bilaeralen Porfolioumschichungen: Es sehen jeweils zwei Were zur Debae, Anfang 1960 wird der billigere in das Porfolio eingesell. 10 Dor bleib er, bis sein Kurs den Konkurrenen um "% uberseig, dann wird geausch. Die Tabelle zeig die so erzielen Gesamrendien fur " = 0;1; 2; 3; 4; 5 und fur verschiedene prozenuale Transakionskosen: 0%; 0; 5%; 2; 5%. Ebenfalls angegeben is die Anzahl der Porfolioumschichungen, die bei dieser Regel noig werden. Wie diese Zahlen zeigen, is ab einer kriischen Handelsschranke 1 + " = 1;03 eine akive Handelssraegie einem buy{hold{verhalen selbs bei Transakionskosen von 2; 5% pro Umschichung fur alle Werepaare vorzuziehen: in allen Fallen ergib akives Handeln eine hohere als maximal bei einer buy{and{ hold{sraegie erzielbare Gesamrendie (519% fur Bayer; s. Tabelle 1). 9 Bei den meisen dieser Handelssraegien sind allerdings die Tauschzeipunke a priori fes; bei den hier unersuchen Sraegien sind sie daeninduzier. 10 Implizi wird dabei unesell, ein Invesor 1960 hae wissen konnen, welches 1992 die bei rerograder Bereinigung billigse Anlage sein wurde. In praxi ware zunachs die Groe `() aus (12) aus einer Vor{Sichprobe zu schazen, dann sunde die billigere der beiden Akien fes, das gesame Vermogen wurde in diesen Wer invesier und bei Tauschsignalen vollig umgeschiche. 18

19 Tabelle 8 zeig die Rendien bei zwei alernaiven, alle drei Were simulan erfassenden Sraegien. Sraegie I verfahr dabei wie folg: kaufe billigsen der drei Were, ausche gegen billigeren, falls Kurs > (1 + ") (Minimum der beiden anderen Kurse); bei Sraegie II wird dagegen nur geausch, falls Kurs > (1 + ") (Maximum der beiden anderen Kurse). Wie die Tabelle zeig, sind auch hier berachliche Uberrendien zu erzielen. 6 Fazi und Ausblick Die Haupergebnisse der vorliegenden Arbei sind: (1) zwischen gewissen deuschen Akienkursen scheinen Koinegraionsbeziehungen vorzuliegen, (2) die aus diesen Koinegraionsbeziehungen resulierenden Residuen lassen sich mi konvenionellen ARMA{Modellen schlech beschreiben und (3) diese Koinegraionsbeziehungen lassen sich dennoch fur Handelssraegien nuzen, die den Mark zu schlagen scheinen. Da sich sowohl das Bea als auch die Volailiaen der aus diesen Handelssraegien resulierenden Porfolios kaum von denen der Einzelwere unerscheiden zu jedem Zeipunk is genau einer der drei Were im Porfolio schein dieses Phanomen auch nich durch Zusazrisiko erklarbar. Eine vorlauge ex{ane Berachung schein diese ex{pos Sich der Dinge zu besaigen: die Rendie des am Ende der Sichprobe billigsen Weres (BASF) ha seiher (d.h. von Januar 1992 bis Sepember 1997) die Rendie des am Ende der Sichprobe euersen Weres (Bayer) geschlagen: 228 Prozen verglichen mi 181 Prozen. Innerhalb dieser Zeispanne haben sich die Kurse nich gekreuz, es ware keine Umschichung erfolg. Fur eine sysemaische ex{ane Analyse waren aber auch die Koinegraions- 19

20 kandidaen hier im Ruckblick ausgewal durch a priori Uberlegungen zu nden (ewa Samm{ und Vorzugsakien der gleichen Gesellschaf). Diese Analysen sind zur Zei in Arbei. Ers wenn auch dann noch Uberrendien erzielbar blieben, ware Koinegraion endgulig als Indikaor eines inezienen Markes anzusehen. 20

21 Lieraur Bromann, O.; Schiereck, D. und Weber, M. (1997): "Reichum durch (ani{) zyklische Handelssraegien am deuschen Akienmark?" Zeischrif fur beriebswirschafliche Forschung 49, 603 { 616. Campbell, J.Y.; Lo, A.W. und MacKinlay, A.C. (1997): The economerics of nancial markes, Princeon (Princeon Universiy Press). Cherchi, M. and Havenner, A. (1988): "Coinegraion and sock prices." Journal of Economic Dynamics and Conrol 12, Cheung, Y.W. und Lai, K.S. (1993): "A fracional coinegraion analysis of purchasing power pariy." Journal of Business and Economic Saisics 11, 103 { 112. Corhay, A.A.; Tourani, R. und Urbain, J.P. (1993): "Common sochasic rends in European sock markes." Economics Leers 42, 385 { 390. Diebold, F. und Rudebusch, G.D. (1991): "On he power of Dickey{- Fuller{Tess agains fracional alernaives." Economics Leers 35, 155 { 160. Dwyer, G.P. und Wallace, M.S. (1992): "Coinegraion and marke eciency." Journal of Inernaional Money and Finance 11, 318 { 327. Engle, R. und Granger, C.W.J. (1987): "Coinegraion and error correcion: represenaion, esimaion and esing." Economerica 55, 176 { 251. Fama, E. (1970): "Ecien capial markes: A review of heory and empirical work." Journal of Finance 25, 383 { 417. Fuller, W.A. (1996): Inroducion o saisical ime series. 2. Auage, New York (Wiley). Geweke, J. and Porer{Hudak, S. (1983): "The esimaion and applicaion of long memory ime series models." Journal of Time Series Analysis 4, 221 { 238. Granger, C.W.J. (1986): "Developmens in he sudy of coinegraed economic variables." Oxford Bullein of Economics and Saisics 48, 213 { 238. Hamilon, J.P. (1994): Time Series Analysis. Princeon (Princeon Universiy Press). 21

22 Hassler, U. (1992): Frakional inegriere Prozesse in der Okonomerie, Frankfur (Haag und Herchen). Hassler, U. und Wolers, J. (1994): "On he power of uni roo ess agains fracional alernaives." Economics Leers 45, 1 { 5. Hosking, J.R.M. (1981): "Fracional Dierencing." Biomerika 68, 165 { 176. Kasa, K. (1992): "Common sochasic rends in inernaional sock markes." Journal of Moneary Economics 29, 95 { 124. Kramer, W. (1997): "Fracional inegraion and he Augmened Dickey{ Fuller es." Technical Repor No. 6, SFB 475, Universia Dormund. Kramer, W. und Runde, R. (1996): "Sochasic properies of German sock reurns." Empirical Economics 21, 281 { 306. LeRoy, S. (1989): "Ecien capial markes and maringales." Journal of Economic Lieraure 27, 1583 { Lukepohl, H. (1995): "Koinegraion und gemeinsame Trends." In: Oppenlander, K.H. (Hrsg.): Konjunkurindikaoren, Munchen (Oldenburg). MacDonald, R. und Power, D. (1993): "Sock prices, eciency and coinegraion: he case of he U.K.." Inernaional Review of Economics and Finance 2, 251 { 265. Mandelbro, B. (1969): "Long run lineariy, locally Gaussian processes, H{ specra and innie variances." Inernaional Economic Review 10, 82 { 111. Ouliaris, S. und Phillips, P.C.B. (1994) : Coin 2-0: Gauss Procedures for coinegraed regressions, ohne Or. Phillips, P.C.B. (1987): "Time series regression wih a uni roo." Economerica 55, 277 { 301. Phillips, P.C.B. und Ouliaris, S. (1990): "Asymoic properies of residual based ess for coinegraion." Economerica 58, 165 { 193. Richards, A.J. (1995): "Comovemens in naional sock marke reurns: evidence of predicabiliy, bu no coinegraion." Journal of Moneary Economics 36, 631 {

23 Saunders, E.M. (1993): "Sock prices and Wall Sree weaher." American Economic Review 83, 1337{1345. Schiereck, D. und Weber, M. (1995): "Zyklische und anizyklische Handelssraegien am deuschen Akienmark." Zeischrif fur beriebswirschafliche Forschung 47, 3 { 24. Schligen, R. und Sreiberg, B. (1994): Zeireihenanalyse (5. Auage), Munchen (Oldenbourg). Sengos, T. und Panas, E. (1992): "Tesing he eciency of he Ahens sock exchange: Some resuls from he banking secor." Empirical Economics 17, 239 { 252. Sock, J. und Wason, M.K. (1988): "Tesing for common rends." Journal of he American Saisical Associaion 83, 1097 { Taylor, M.P. and Tonks, I. (1989): "The inernaionalisaion of sock markes and he aboliion of U.K. exchange conrols." Review of Economics and Saisics, 332 {

24 Tabelle 1: Ausgewahle Kurskennzahlen BASF Bayer Hoechs Kassa{Kurs ,60 277,60 222,00 rerograd bereiniger Kurs ,94 44,69 36,72 Gesamrendie uber 32 Jahre: 449,8% 521,2% 504,6% durchschn. jahrl. Rendie b. Operaion Blanche 5,5% 5,9% 5,8% Volailia (jahrlich) 17,9% 18,6% 17,7% Bea 0,68 0,68 0,69 groer Kursgewinn an einem Tag 8,86% 8,87% 8,90% Daum groer Kursverlus an einem Tag -10,7% -8,8% -11,5% Daum

25 Tabelle 2: Augmened Dickey-Fuller-Tess bei a priori xieren Koinegraionsvekoren (kriischer 5%-Wer = -2.86) m Schazung fur Prufgroe a) `n(bayer) { `n(hoechs) b) `n(hoechs) { `n(basf) c) `n(bayer) { `n(basf)

26 Tabelle 3: Die Z und Z {Tess von Philips bei a priori xieren Koinegraionsvekoren (kriischer 5% Wer in Klammern) Koinegraionsbeziehung Schazung fur Prufgroe a) Z {Tes (-8.1) `n(bayer) { `n(hoechs) `n(hoechs) { `n(basf) `n(bayer) { `n(basf) b) Z {Tes mi Absoluglied (-14.1) `n(bayer) { `n(hoechs) `n(hoechs) { `n(basf) `n(bayer) { `n(basf) c) Z {Tes (-1.95) `n(bayer) { `n(hoechs) `n(hoechs) { `n(basf) `n(bayer) { `n(basf) d) Z {Tes mi Absoluglied (-2.86) `n(bayer) { `n(hoechs) `n(hoechs) { `n(basf) `n(bayer) { `n(basf)

27 Tabelle 4: Augmened Dickey-Fuller-Tess auf Einheiswurzel in den Koinegraionsresiduen bei geschazen Koinegraionsvekoren (kriischer 5%-Wer = -3.76) m Schazung fur Prufgroe a) `n(bayer)= {0,38 + 0,42 `n(hoechs) + 0,66 `n(basf) + Residuum b) `n(hoechs)= {0,17 + 0,17 `n(bayer) b+ 0,85 `n(basf) + Residuum c) `n(basf)= 0,35 + 0,70 `n(hoechs) + 0,23 `n(bayer) + Residuum

28 Tabelle 5: Nich{Residuengesuze Tess auf Koinegraion Tes Prufgroe kriischer 5 % Wer Phillips/Ouliaris P z Sock/Wason Johansen (max EW) Ablehnung, falls Prufgroe > kriischer Wer. Tabelle 6: Schazung des frakionalen Inegraionsparameers nach Geweke/Porer{Hudak Residuen Schazung fur d m = 50 m = 100 `n(bayer) `n(hoechs) 0,41 0,69 `n(bayer) `n(basf) 0,43 0,84 `n(hoechs) `n(basf) `n(bayer) +0; 38 0; 42 `n(hoechs) 0; 66 `n(basf) 0,56 1,07 `n(hoechs) +0; 17 0; 17 `n(bayer) 0; 85 `n(basf) 0,31 0,62 `n(basf) 0; 35 0; 25 `n(bayer) 0; 70 `n(hoechs) 0,51 0,70 28

29 Tabelle 7: Rendien 1960{1991 bei bilaeralen Umschichungen kriische Handelsschranke 1 + " 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 a) Bayer { BASF Umschichungen keine Transak. Kosen 879% 902% 1028% 942% 785% 731% 0,5% Transak. Kosen 511% 780% 931% 881% 759% 715% 2,5% Transak. Kosen -9% 419% 615% 669% 660% 651% b) BASF { Hoechs Umschichungen keine Transak. Kosen 1477% 1280% 1202% 1247% 1019% 1136% 0,5% Transak. Kosen 647% 979% 1037% 1125% 959% 1070% 2,5% Transak. Kosen -64% 299% 557% 733% 747% 836% c) Hoechs { Bayer Umschichungen keine Transak. Kosen 1156% 1102% 913% 1007% 880% 845% 0,5% Transak. Kosen 529% 904% 835% 932% 841% 817% 2,5% Transak. Kosen -62% 383% 576% 677% 700% 712% Tabelle 8: Rendien 1960{1991 bei rilaeralen Umschichungen kriische Handelsschranke 1 + " 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 a) Sraegie I Umschichungen keine Transak. Kosen 1940% 1707% 1668% 1937% 1251% 1205% 0,5% Transak. Kosen 570% 1192% 1354% 1644% 1153% 1129% 2,5% Transak. Kosen -93% 231% 559% 829% 824% 863% b) Sraegie II Umschichungen keine Transak. Kosen 1001% 1116% 1168% 1019% 990% 861% 0,5% Transak. Kosen 958% 1074% 1124% 991% 963% 842% 2,5% Transak. Kosen 799% 919% 962% 886% 860% 768% 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35