Algorithmik - Kompaktkurs

Transkript

1 Algorithmik - Kompaktkurs Sommersemester 2012 Steffen Lange 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

2 Organisatorisches Vorlesung Folien im Netz (/* bitte zur Vorlesung mitbringen */) Übung Übungsblätter im Netz bitte zur Übung durcharbeiten Anregungen / Kommentare / Fragen per slange@fbi.h-da.de per Telefon: /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

3 Literatur Th.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Algorithmen - Eine Einführung, 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, Uwe Schöning, Algorithmik, Spektrum Akademischer Verlag, Rolf Klein, Algorithmische Geometrie, 2. Auflage, Springer Juraj Hromkovič, Algorithmics for Hard Problems, 2nd Edition, Springer, /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

4 Aufgabenstellung Ein großes Wirtschaftsmagazin will eine Analyse der Börsenentwicklung der letzten 5 Jahre erstellen. Dabei soll u.a. für jede Aktie nachträglich ein bester Einkaufstag und Verkaufstag festgestellt werden.... Das Wirtschaftsmagazin hat Informationen über die Börsennotierungen gekauft. Für jede Aktie gibt es eine Zahlenfolge. Die erste Zahl ist der Kurs der Aktie am ersten Börsentag und jede folgende Zahl gibt (in der Reihenfolge der Börsentage) die absolute Kursänderung gegenüber dem Vortag an.... Anhand der gegebenen Zahlenfolge soll der im gegebenen Zeitraum durch einen einmaligen Kauf und Verkauf der Aktie maximal erzielbare Gewinn bestimmt werden. 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

5 Beispiel Daten für die Aktie xyz Kurs der Aktie am 0. Tag: 120 Tag K-änd Aufgabe... Anhand der gegebenen Zahlenfolge soll der im gegebenen Zeitraum durch einen einmaligen Kauf und Verkauf der Aktie maximal erzielbare Gewinn bestimmt werden. 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

6 Beispiel Daten für die Aktie xyz Kurs der Aktie am 0. Tag: 120 Tag K-änd Einkaufstag: 0 Verkaufstag: 1 Gewinn: -0.5 Einkaufstag: 0 Verkaufstag: 5 Gewinn: 5.0 Einkaufstag: 0 Verkaufstag: 2 Gewinn: 1.5 Einkaufstag: 1 Verkaufstag: 5 Gewinn: 5.5 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

7 Beispiel Daten für die Aktie xyz Kurs der Aktie am 0. Tag: 120 Tag K-änd Lösungsansatz... finde Tage i und k (/* 1 i k */), so daß die Summe der Kursänderungen für die Tage i, i+1,..., k maximal ist 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

8 algorithmische Fragestellung finde einen möglichst effizienten Algorithmus zur Lösung des folgenden algorithmischen Problems (/* die Anzahl der benötigten Vergleiche V(n) und der benötigten Additionen A(n) soll also klein sein */) es sei a[1],...,a[n] eine Folge rationaler Zahlen für alle Paare (i,k) mit 1 i k n sei f(i,k) wie folgt definiert: k f(i,k) = Σ a[j] j=i zulässige Eingabe: Folge a[1],...,a[n] von rationalen Zahlen zulässige Ausgabe: bestimme z = max { f(i,k) 1 i k n } 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

9 Algorithmus 1 (/* normal */) 1. Berechne nacheinander für jedes zulässige Paar (i,k) den Wert von f(i,k) (/* benutze dabei, daß f(i,k+1) = f(i,k) + a[k+1] gilt */) 2. Bestimme ein Paar (i,k) für das f(i,k) maximal ist und gib f(i,k) aus. Analyse von Algorithmus 1 A(n) =... = 1/2*(n*(n-1)) V(n) =... = 1/2*(n*(n+1)) - 1 T(n) = A(n) + V(n) = n 2-1 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

10 Algorithmus 2 (/* divide and conquer */) a[1],...,a[n] sei eine Folge rationaler Zahlen, wobei n eine Zweierpotenz ist für alle zulässigen Paare (i,k) seien die Werte C rechts (i,k) und C links (i,k) wie folgt definiert: C rechts (i,k) = max { f(j,k) i j k } C links (i,k) = max { f(i,j) i j k } für alle zulässigen Paare (i,k) sei C max (i,k) wie folgt definiert: C max (i,k) = max { f(j,m) i j m k } C max (1,8) = 8 Tag K-änd /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik C rechts (1,4) = 2 C links (5,8) = 3.5

11 Algorithmus 2 (/* divide and conquer; Berechnung von c max (1,n) */) 1. Falls n = 1, so gib a[n] aus. 2. Falls n > 1, so gehe gehe wie folgt vor: Berechne mit diesem Algorithmus C max (1,n/2) und C max (n/2+1,n). Berechne C rechts (1,n/2) und C links (n/2+1,n). Bestimme M = max { C max (1,n/2),C max (n/2+1,n),c rechts (1,n/2)+C links (n/2+1,n) } und gib M aus. Analyse von Algorithmus 2 T(n) = 2*T(n/2) + 2n - 1 =... = 2n*log(n) - n + 1 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

12 Algorithmus 3 (/* clever */) 1. Setze Max = max { a[1],0 } und Max* = Max. 2. Für z = 2,...,n: Bestimme Max* = max { Max*+a[z],0 }. Max = max { Max*,Max } 3. Falls Max > 0, so gib Max aus. Sonst bestimme z = max { a[1],...,a[n] } und gib z aus. Schleifeninvariante... für jedes z mit 2 z n gilt: Max = max { C max (1,z),0 } Max* = max { C rechts (1,z),0 } 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

13 Algorithmus 3 (/* clever */) 1. Setze Max = max { a[1],0 } und Max* = Max. 2. Für z = 2,...,n: Bestimme Max* = max { Max*+a[z],0 }. Max = max { Max*,Max } 3. Falls Max > 0, so gib Max aus. Sonst bestimme z = max { a[1],...,a[n] } und gib z aus. Analyse von Algorithmus 3 A(n) = n - 1 V(n) 1 + 2*(n - 1) n - 1 = 3n - 1 T(n) = A(n) + V(n) 4n - 2 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

14 Vergleich der Algorithmen Anzahl der Elemente normal divide & conquer clever 4 (= 2 2 ) (=2 4 ) (=2 6 ) (=2 8 ) (=2 10 ) /1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

15 Zielstellungen Verständnis ausgewählter Prinzipien zum Entwurf effizienter Algorithmen Kenntnis von der Umsetzung dieser Prinzipien im Gebiet algorithmische Geometrie Fähigkeit, komplizierte Algorithmen in Bezug auf deren Laufzeit zu analysieren 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

16 Gliederung 1. Grundlagen 2. Sortier- und Selektionsverfahren 3. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Algorithmische Geometrie 6. Umgang mit algorithmisch schwierigen Problemen 0/1, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik