Derivative Finanzinstrumente

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1 Drivaiv Finanzinsrumn Finanzinsrumn, das von inr undrlying curiy abhäng und dssn Wr durch inn bdingn Anspruch ngl. coningn claim dfinir is. bhandl Bispil drivaiv Finanzkonrak im ngrn inn: Forward bzw. Fuur-Konrak Ein Vrragspari vrpflich sich, das Undrlying zu inm dfinirn Zipunk um dn vrinbarn Pris K zu kaufn long posiion währnd di andr Vrragspari sich zum Vrkauf vrpflich shor posiion Payoff ds Konraks zum Zipunk : Vrragsparnr mi dr long posiion: Vrragsparnr mi dr shor posiion: K K Dr arbiragfri Lifrpris K is durch K r o ggbn. andr Bispil drivaiv Konrak im wirn inn: Lbnsvrsichrungsvrräg, chadnsfall bi inr Kfz-Vrsichrung, Wr-Driva, c. Einsaz von drivaivn Insrumnn: zur Absichrung ngl. hdging odr zur pkulaion Drivaiv Finanzinsrumn - Widrholung

2 Forward / Fuur - Konrak: Vrpflichung zum Kauf / Vrkauf ds Undrlying Opionskonrak: Wahlrch zum Kauf / Vrkauf ds Undrlying Dfiniion Ein Vrragspari, di inn Opionskonrak häl long posiion ha das Rch abr nich di Pflich das Undrlying an inm vorggbnn Zipunk Ausübungszipunk, ngl. mauriy da zum vrinbarn Pris Ausübungspris, ngl. srik pric zu kaufn bi inr Call-Opion bzw. zu vrkaufn bi inr Pu-Opion. Di Vrragspari, di inn Opionskonrak unrschrib shor posiion ha di Pflich, dn Vrmögnswr an inm vorggbnn Zipunk zum vrinbarn Pris zu vrkaufn Call-Opion bzw. zu kaufn Pu-Opion CALL Opion long CALL Payoff-Diagramm Call-Opion Gwinn / Vrlus für di Vrragsparnr Gwinn / Vrlus shor CALL abhängig vom Wr ds Undrlyings Annahmn: Pris dr Opion: Ausübungspris: Vrmögnswr Brak-Evn: Binomialmodll für dn Opionskonrak

3 und nsprchnd für di Pu-Opion: 30 PU Opion Payoff-Diagramm Pu-Opion 5 0 long PU Gwinn / Vrlus für di Vrragsparnr 5 0 shor PU abhängig vom Wr ds Undrlyings Gwinn / Vrlus Annahmn: Pris dr Opion: Vrmögnswr Ausübungspris: 35 Brak-Evn: 5 Bispil: Brach Call-Opion auf inn Vrmögnswr Aki mi Laufzi von inm Jahr. Dr Wr dr Aki zum Zipunk ds Vrragsabschlusss brag 50 und wir unrslln, dass zu Vrragnd dr Wr nwdr um 7 Gldinhin sign odr falln kann. Wir nhmn an, dass in srik pric in Höh von 5 Gldinhin vrinbar wurd und dr risikolos Zins für in Jahr 0% bräg. Wi brchn sich dr Pris dr Call-Opion mi disn Paramrn? Binomialmodll für dn Opionskonrak 3

4 Wr dr Call-Opion zum Ausübungszipunk in Abhängigki vom Zusand dr Ökonomi: Akinwr 3 Akinwr 77 Wr dr Call-Opion mi srik pric Wir suchn nun in Handlssragi, di aus inm Akinanil und inm risikolosn Bond bsh und di dn payoff dr Call-Opion rplizir. Di grundlgnd Id bsh darin, dn Anil dr Aki in inm solchn Ausmaß zu wähln, wi s dr Ändrung ds Opionspriss im Vrhälnis zur Wrändrung dr Aki nsprich. Konkr dfinirn wir das Vrhälnis sognanns Hdg-Raio. Opionswr up Opionswr down Akinwr up Akinwr down Hdg-Raio 0, grund und invsirn disn Anil in di zugrund lignd Aki. Man vrvollsändig nun das Porfolio, in dm man so vil Gld lih, um zum Ausübungszipunk dn glichn payoff wi di Call-Opion zu rhaln: Akinwr 3 Akinwr 77 Wr ds Akinanils zum Ausübungszipunk 0,648 35,648 Rückzahlung ds Glds zum Auszahlungszipunk -0,648-0,648 umm dr Gldflüss zum Auszahlungszipunk 0,000 5, Binomialmodll für dn Opionskonrak 4

5 Dahr lih man zu Vrragsbginn dn Brag von 0,648 / + 0% 9, 680 Gldinhin von inr Bank und kann durch di Rückzahlung mi 0% Zinsn zusammn mi dm Erlös aus dm Vrkauf dr Aki am End dr Laufzi in bidn Zusändn dr Ökonomi Akinbwgung down odr up ak di Zahlungn dr Call-Opion rplizirn. Dahr rmil sich dr Pris dr Call-Opion c zu Vrragsbginn in Höh von c 0,463Anil dr Aki 0, 648 Gldinhin abgzins mi 0 % 0,463* 50 0,648 /, 3, 468 Alrnaiv Brchnung mils ds Maringalmaßs: Wir hän dn Opionspris auch wi folg ablin könnn: in Abschni..5 habn wir das Maringalmaß für in CRR-Modll also in Binomialmodll wi hir vorlignd brchn. Übrragn auf diss Bispil bdu das: a 0,460 r, 00 b, Das CRR-Modll is arbiragfri gnau dann, wnn < a < r < b gil. In dism Fall is das Modll vollsändig und r a,00 0,460 das äquivaln Maringalmaß is ggbn durch q. Wir rhaln in dism Fall q 0, 593. b a,540 0,460 Dr Wr dr Call-Opion brchn sich somi aus dm Erwarungswr bzüglich ds Wahrschinlichkismaßs q, q für di Zusänd up, down und dm mi risikolosn Zins diskonirn Brag in Höh von c 0,593* 5,000 /,00 + 0,593 * 0,000 /,00 3,468 Di Mhod ds rplizirndn Porfolios und di Brchnung ds Erwarungswrs mil ds risikonuraln Wahrschinlichkismaßs Maringalmaß führn auch bi dr Bwrung von Opionsprisn zum glichn Ergbnis! Binomialmodll für dn Opionskonrak 5

6 Anmrkung Wi bi inr Call-Opion läss sich auch bi inr Pu-Opion dr Pris mils ins rplizirndn Porfolios bsimmn. Man wähl dazu bnfalls inn Akinanil im Ausmaß dr Hdg-Raio, allrdings muss man für di gign Handlssragi disn Akinanil vrkaufn und dn Erlös in inn Bond invsirn Vorzichn! Dr rwar Errag dr Aki spil kin Roll bi dr Bwrung dr nsprchndn Opionn. Wir habn dis wdr für di Konsrukion ds rplizirndn Porfolios noch bi dr Brchnung ds Maringalmaßs bnöig sih auch Forwardkonrak. Dr Pris dr Opion wird nur durch dn risikolosn Zins r und dn Quoinn δ bsimm, dr in Maß für di Wrändrung dr Opion bi inr ggbnn Wrändrung ds Undrlyings is. 3 Diss infach Opionsprismodll läss sich unmilbar auf mhrpriodisch ysm rwirn. Das zugrund lignd CRR-Modll für di Bschribung ds Wrprozsss von Akin habn wir bris knnn glrn. Auch hir gil, dass dr Mark vollsändig is wnn, wnn di Bdingung risikonural Maß. < a < r < b rfüll is, und dis dfinir auch das 4 Di schön Eignschaf, dass jds drivaiv Finanzinsrumn durch in gign Handlssragi in dn zugrund ligndn Vrmögnsiln rplizir wrdn kann, gh vrlorn, wnn dr Mark nich vollsändig is. Di Arbiragfrihi ds Marks rich dann nich aus, um inn induign Pris für jdn conign claim zu bsimmn. In dism Fall is auch das Maringalmaß nich induig und dr Pris, dn Markilnhmr für Driva bri sind zu zahln, häng von drn Risikopräfrnzn z.b. ggbn durch in spzill Nuznfunkion ab Binomialmodll für dn Opionskonrak 6

7 5 Lidr sind vollsändig Märk in dr Raliä di Ausnahm dr Rgl. In unsrn vrinfachn mahmaischn Modlln habn wir vil für di Prais bdusam Aspk unbrücksichig glassn. Dis briff z.b. di Erfassung von ransakionskosn, Effk aus dr surlichn Bhandlung von Dividndn- und Kursgwinnn odr bris di asach, dass bsimm Vrmögnsil nich liquid sind, d.h. zwar am Mark vorhandn, abr nich jdrzi und in jdm Ausmaß gkauf bzw. vrkauf wrdn könnn. Das führ zu Nbnbdingungn für handlbar ragin und ggf. zur Unvollsändigki dr Märk. Bispil unvollsändigr Mark: Es si in riskanr Finanzil ggbn durch inn diskrn sochasischn Prozss in Priodn, dn wir durch 5 Vkorn in IR wi folg darslln: / 3 / / Wir nhmn an, dass kin Dividndn gzahl wrdn und dr risikolos Zins r 0 bräg. Wi brchn sich dr Pris dr Call-Opion mi Ausübungspris 6 zum Zipunk? Dr Wr dr Opion zum Ausübungszipunk häng ab vom Wr dr Größ, und dr payoff kann bnfalls als 5 Vkor in IR wi folg dargsll wrdn: Binomialmodll für dn Opionskonrak 7

8 Binomialmodll für dn Opionskonrak 8 Wr dr Call-Opion zum Zipunk : , / 4 9 ma Wir suchn dmnach in Handlssragi, di dn payoff dr Call-Opion rplizir. Dazu brchnn wir widrum di Inkrmn ds Prozsss und bildn möglich Handlssragin, di durch Porfolios 0 ξ und ξ zu dn Zipunkn 0 und - widrum als Vkorn in 5 IR dargsll ggbn sind durch: 3 / 3 / 0 9 / 3 / 6 ; α α α α α ξ 0 γ γ β β β ξ mi IR γ β α,, und dr Markraum M dr Handlssragin ξ ξ in 5 IR is ggbn durch: M IR} γ β α γ α γ α β α β α β α,, : 9 / 3 / 3 / 3 / 6

9 Es läss sich zign Übungsaufgab, dass dr Raum M durch di bidn folgndn Glichungn bschribn wird: Dahr gib s kinn induign Vkor Q in IR, dr normal zu gsamn Markraum M is. Das Maringalmaß wird 5 hir bschribn durch di Wahrschinlichkisvkorn in IR + durch di Mng / /48 { Q 3/6-4/48 λ λ + λ mi λ [0,]} 3/6 9/48 9/6 7/48 Man rhäl somi für di ggnsändlich Call-Opion das arbiragfri Prisinrvall, indm wir dn payoff dr Opion mi dm Q λ im inn ds innrn Produks von Vkorn muliplizirn: 3 { λ : λ [0,]} 6 In disr Ökonomi sind somi di Pris für drivaiv Finanzinsrumn nich induig ggbn, was an dr Unvollsändigki diss Marks lig Binomialmodll für dn Opionskonrak 9

10 Übungsaufgabn a Gbn i das Hdg-Porfolio für di Pu-Opion an, wobi sämlich Angabn vom Bispil dr Call-Opion zu übrnhmn sind also insbsondr dr risikolos Zins und dr Ausübungspris und bsimmn i dn Pris dr Pu-Opion. b Brchnn i auch mils ds Maringalmaßs dn Pris für di Pu-Opion dirk und zign i anhand diss Bispils, dass folgnd Bzihung Pu-Call-Pariä zu Vrragsbginn gil: Prisdiffrnz von Call und Pu Wrdiffrnz von Aki und Ausübungspris c Vrvollsändign i di fhlndn chri in Bispil nach Anmrkung 5 obn und bsimmn i wirs das Prisinrvall für in Call-Opion zum Ausübungspris von 3 zum Zipunk! Binomialmodll für dn Opionskonrak 0

11 Zil: Abliung dr allgminn Diffrnzialglichung für das Opionsprismodll Annahmn:. dr Prisprozss ds ock nsprich dm klassischn Black-chols-Modll, d.h d µ d + dw mi µ, konsan. shor slling von is jdrzi möglich, d.h. man kann dn ock auch wnn man ihn physisch gar nich bsiz jdrzi vrkaufn und dn Erlös sofor invsirn 3. s gib kin ransakionskosn odr urn und di Vrmögnswr sind blibig ilbar, d.h. s gib kin klins Einhi in inr curiy 4. dr Mark is arbiragfri 5. dr Handl is jdrzi möglich und di Zi wird als koninuirlich angnommn 6. dr risikofri Zins is konsan und glich für all Fälligkin flach Zinskurv Dfiniion Ein drivaivs Finanzinsrumn bzüglich is ggbn durch in Abbildung f : IR IR, di wir als Funkion in dn Variabln, schribn und di inn Wr zum Zipunk in Abhängigki von widrgib. Da in sochasischr Prozss is, wird durch X f, in - bzüglich dr von rzugn -Algbra - adapirr sochasischr Prozss dfinir, dn wir als Prisprozss ds drivaivn Finanzinsrumns bzichnn. Wir szn im Folgndn voraus, dass di Funkion und inmal sig diffrnzirbar in dr Variabln is. f : IR IR zwimal sig diffrnzirbar in dr Variabln Driva für das koninuirlich Modll

12 Nach dm Io-Lmma rhaln wir folgnd Diffrnzialglichung für dn Io-Prozss X : dx f µ + + d + dw wobi dr Winr-Prozss W glichrmaßn dn Prozssn und X zugrund lig. Durch Wahl inr Handlssragi kann dr Winrprozss liminirn wrdn: dfinirn ξ ggbn durch das Porfolio in Aniln ds drivaivn Finanzinsrumns ds zugrund ligndn ocks : X : - Dr Wr diss Porfolios zum Zipunk bräg dahr ξ innrhalb ins klinn Ziinrvalls + d di Bzihung +. X + und s gil für di Vrändrung dr Größn dξ dx + d, wobi, konsan im Ziinrvall + d si. z man nun in di bsimmndn Glichungn für und f dξ d X in, rhäl man: Das Porfolio ξ nhäl somi kinn sochasischn Anil, dahr muss das Porfolio im Ziinrvall d dn glichn Errag habn, wi in risikolosr Finanzil, wil ansonsn in Arbiragmöglichki nshn würd. Dahr gil: dξ rξ d Driva für das koninuirlich Modll

13 z man nun in di dfinirnd Glichung für das Porfolio in, rhäl man + f d r f d Dis Glichung gil zu jdm Zipunk und für jds klin Ziinrvall Güligki dr folgndn parilln Diffrnialglichung: + d. Daraus folg insbsondr di + r f + rf Black-chols Glichung Di Black-chols-Diffrnialglichung muss dmnach unr dn gnannn Vorausszungn für jds Driva gln. Di obig Abliung zig insbsondr, dass das Porfolio ξ nur dann prmann risikolos sin kann, wnn di nsprchndn dazu rfordrlichn Anil in X und jdrzi adjusir wrdn könnn, also in koninuirlichs Handln im rfordrlichn Ausmaß in disn Insrumnn möglich sin muss. Di spzilln Lösungn di man aus dr Black-chols-Glichung rhäl, wrdn durch di Randbdingungn, d.h. di Anhängigkin von möglichn Wrn ds Drivas von und bsimm. Bispilswis is für dn Fall dr uropäischn Call-Opion: f, ma K,0 für bzw. uropäischn Pu-Opion: f, ma K,0 für nsprchnd als Randbdingung vorggbn, wobi K jwils dn Ausübungspris und Ausübungszipunk bzichn. jwils dn fin Driva für das koninuirlich Modll 3

14 Anmrkung Für di inzlnn rm in dr Black-chols Glichung gbn di grundlgndn Abhängigkin ds Drivas von dn zugrund ligndn Variabln widr. Für dis habn sich in dr Liraur di Buchsabn Θ, und Γ ingbürgr und ihr Charakrisika sind wsnlichr Bsandil dr mahmaisch-ökonomischn Analysn für allgmin drivaiv Finanzkonrak. Wir habn hir insbsondr di grichisch Variabl dazu bnuz, in risikoloss Porfolio aus dm Driva slbs und dr zugrund ligndn Aki zu bildn. Di Variabl gib somi di Prissnsiiviä bi inr Ändrung ds Wrs ds Undrlyings an, und Handlssragin, für di dis Größn maßgblich sind, nnn man auch Hdging-ragis. Im diskrn ndlichn Modll habn wir auch auf das nsprchnd Analogon zurückggriffn, um dn Pris inr Call- Opion zu brchnn. Im Ggnsaz zu dn obn angführn uropäischn Opionn nnn man di Call- bzw. Pu-Opion amrikanisch, wnn dis zu jdm blibign Zipunk währnd dr Laufzi ds Vrrags ausgüb wrdn kann. 3 Man kann zign, dass im Fall inr Call-Opion di vorziig Ausübung ni opimal is. Dazu brachn wir zwi Porfolios: Porfolio A: in Call-Opion und in risikolosr Bond, dr zum Zipunk dn Wr K ha Porfolio B: di zugrund lignd Aki Driva für das koninuirlich Modll 4

15 Wird di Call-Opion zum Zipunk < ausgüb, dann ha das Porfolio A dn Wr: K + K r und disr is srik klinr als - also dm Porfolio B zu dism Zipunk - falls r > 0. Wird di Call-Opion zum Zipunk ausgüb, dann ha das Porfolio A dn Wr ma 0, K + K ma K, und disr Wr nsprich zuminds dm Wr ds Porfolios B zu dism Zipunk. omi is dr Wr ds Porfolios A immr klinr als dr Wr ds Porfolios B. Wnn abr di Ausübung dr Opion rs zum Zipunk rfolg, ha Porfolio A zuminds dn Wr von Porfolio B. Daraus folg, dass dr Pris inr amrikanischn Call-Opion glich jnm dr uropäischn Call-Opion is, da di vorziig Ausübung ökonomisch brach kinn Wr habn kann und dn Pris dahr nich binfluss. 4 Im Ggnsaz dazu is dr Pris inr amrikanischn Pu-Opion immr größr als jnr dr uropäischn Opion. Dazu brachn wir widr zwi Porfolios: Porfolio C: in Pu-Opion und di zugrund lignd Aki Porfolio D: in risikolosr Bond, dr zum Zipunk dn Wr K ha Wird di Pu-Opion zum Zipunk < ausgüb, dann ha das Porfolio C dn Wr K, währnd Porfolio D r dn Wr K ha. Dr Wr ds Porfolio C is somi srik größr als dr Wr ds Porfolios D, falls r > 0. Wird di Pu-Opion zum Zipunk ausgüb, dann ha das Porfolio C dn Wr ma 0, K + ma K, Driva für das koninuirlich Modll 5

16 und disr Wr nsprich zuminds dm Wr ds Porfolios D zu dism Zipunk. omi is dr Wr ds Porfolios C immr größr als dr Wr ds Porfolios B. Wnn di Ausübung dr Opion zum Zipunk rfolg, ha Porfolio C zuminds dn Wr von Porfolio D. 5 owohl Call- als auch Pu-Opionn habn di Funkion inr Vrsichrung ggn in für dn Markilnhmr unvorilhaf Prisändrung dr zugrund ligndn Aki. Bi dr Pu-Opion wird durch das glichziig Haln dr Aki drn Kurs für dn Invsor nach unn abgsichr. Das Haln inr Call-Opion ansll dr Aki gib dm Invsor di Möglichki, in Aki noch zu inm günsign Pris zu kaufn, wnn dis an Wr dn Ausübungspris übrschri; vrmu dr Invsor jdoch inn zukünfign Prisvrfall dr Aki, is r bssr bran, di Call-Opion zu vrkaufn. Wird r inn Käufr für dn Konrak findn? Übungsaufgabn r a Zign si, dass für dn Forward-Konrak aus Abschni.3. di Funkion f ggbn durch f, K di Black-chols-Diffrnzialglichung rfüll. b Zign i, dass di Pu-Call-Pariä für uropäisch Opionn gil, d.h. Prisdiffrnz von Call und Pu Wrdiffrnz von Aki und Ausübungspris Hinwis: Vrwndn i Porfolio A aus Anmrkung 3 und Porfolio B aus Anmrkung 4 c Gbn i in Anwor auf di abschlißnd Frag in Anmrkung 5 mi Bgründung! Driva für das koninuirlich Modll 6

17 Di Ausnahm dr Rgl: in plizi Forml für dn Pris ins Opionskonraks Wir brachn in uropäisch Call-Opion C auf inr Black-chols-Aki mi Ausübungspris K zum Ausübungszipunk. Es gil somi: d µ d + dw mi C, ma K,0 µ, konsan für als Randbdingung Wir wissn, dass di Funkion C di Black-chols-Glichung rfüll, di in parill Diffrnialglichung vom parabolischn yp is. Man kann zign, dass sich dis Glichung durch gign Variablnransformaion in in Diffusionsglichung dr Form u u τ wobi u, τ und Funkionn dr Variabln,,, K, r und sind ransformir wrdn kann, drn Lösung man unr dn ransformirn Rahmnbdingungn plizi angbn kann. Di nsprchnd Abliung is im Buch von [Willmo] daillir dargsll. Wir wähln inn andrn Zugang, dr auf dr Grundlag dr risikonuraln Bwrung bruh und somi dn ökonomischn Aspk in dn Vordrgrund rück! Black-chols-Forml für Opionspris 7

18 Wir habn vorausgsz, dass dr Mark bshnd aus dm Finanzil und dm risikolosn Bond B mi konsann Zinsn r arbiragfri is. Dahr isir in äquivalns Maringalmaß Q, so dass für jdn Finanzil X für dn payoff zum Zipunk in dism Mark gil: E Q [ X ] r X für Dr Pris c dr uropäischn Call-Opion zum Zipunk brchn sich dahr wi folg: r Q c E [ma K,0] für Wir wissn, dass ln log-normalvril is und wir habn in Abschni.. unr Anmrkung auch di Vrilung nach dm risikonuraln Maß anggbn. Dmnach gil p r + W mi W ~ N0, und wir könnn dn Erwarungswr bzüglich ds Maringalmaßs Q als Ingral schribn: c r ma K,0 dq r ma r + K,0 π / d Black-chols-Forml für Opionspris 8

19 Black-chols-Forml für Opionspris 9 Dr Ingrand vrschwind dahr wnn 0 < + K r d.h. wnn ln d r K + und wir rhaln dahr Um das rs Ingral zu brchnn führn wir in Variablnransformaion durch und dfinirn d r K d + + ln Wir rhaln somi unr Vrwndung dr Vrilungsfunkion für di sandardisir Normalvrilung d d y y y Φ / / π π + + / / / / d r d d r d d r r d K d d K d d K c π π π π π

20 di Black-chols-Forml für dn Pris dr uropäischn Call-Opion c π d d r K π d / d Anmrkung Φ d r KΦ d Für in uropäisch Pu-Opion läss sich mi dr glichn Mhod in plizi Forml angbn. Man kann zign, dass mi dn glichn Bzichnungn dr Pris p inr Pu-Opion durch di folgnd Forml ggbn is: r p KΦ d Φ d Bwis: Übung konkrs Bispil für di Brchnung von Opionsprisn mi Hilf dr Black-chols-Forml: Akullr Pris dr Akin: 0 40 Ausübungszipunk: 0, 5Jahr Ausübungspris: K 4 Risikolosr Zins: r 0% p. a. Volailiä dr Aki: 0% Daraus rmiln sich di Wr für di Größn d und d wi folg: 4 0% 4 0% ln + 0% + * 0,5 ln + 0% * 0,5 d 40 0,7693 d 40 0, 678 0% 0,5 0% 0, Black-chols-Forml für Opionspris 0

21 Di Wr für di Vrilungsfunkion Φ dr andardnormalvrilung kann man übr Nährungsformln brchnn odr man nimm in PC-Programm zur Hilf, wlchs dis Funkion zur Vrfügung sll. Für di Wr von d und d rhaln wir Φ 0,7393 0,779 Φ 0,7393 0, 09 Φ 0,678 0,7349 Φ 0,678 0, 65 und daraus brchnn sich di Pris für di uropäisch Call-Opion c 4, 76 di uropäisch Pu-Opion p 0, 8 Di Aki muss also um mhr als dn Brag von, 76 sign, dami sich für dn Käufr disr Call-Opion di Invsiion lohn. Umgkhr muss di Aki zuminds um inn Brag von, 8 falln, dami dr Käufr dr Pu-Opion sinn brak vn rrich. 3 Mi Hilf dr Black-chols-Forml kann man auch in Einschäzung ds Marks bzüglich dr Volailiä von Akin rhaln. Wird bispilswis dr Pris inr Call-Opion am Mark bzüglich inr bsimmn Aki bobach, dann läss sich di Volailiä disr Aki aus dr Black-chols-Forml rückrchnn. Ein plizi Angab inr Forml für in Abhängigki von dn Variabln, K, r und is zwar nich möglich für di Vrilungsfunkion Φ gib s kinn analyischn Ausdruck, abr s lassn sich gign Algorihmn findn, um diss Problm numrisch zu lösn Black-chols-Forml für Opionspris

22 Für das voranggangn Bispil würd das wa bdun, dass man bi inm Markpris c dr Call-Opion von 5, 00 bzw. 4, 00 auf in Volailiä von 3 % bzw. 8 % im inn inr Markminung schlißn könn. Dis Mhod dr implizin Volailiä sll in Alrnaiv zur chäzung dr Volailiä aus hisorischn Zirihn sih Abschni..4 dar. 4 Im Allgminn lassn sich für Opionskonrak und andr komplr drivaiv Finanzinsrumn plizi Pris nich dirk brchnn. Insbsondr gib s kin gschlossn Forml für dn Pris inr amrikanischn Pu-Opion. Aus dism Grund is man in dr Prais dazu gzwungn, numrisch Brchnungsmhodn inzuszn. Man sh somi vor dm Problm, dn Pris ins allgminn Drivas f bzogn auf in Undrlying zum Zipunk nach dr Forml Opionspris E Q s [ f, ] zu brchnn. Man kann hir alrnaiv zum Übrgang auf das Maringalmaß auch mi dm subjkivn Wahrschinlichkismaß oprirn, jdoch muss dann ansll dr Diskonirung mi dm risikolosn Zins in sochasisch Diskonirung angwnd wrdn. Dis nsprich dm äquivalnn Ansaz dr Bwrung mi Dflaorn aus Abschni... Wir wrdn im lzn Kapil noch gnaur auf konkr Bwrungsfragn unr Einsaz von imulaionsrchnungn inghn, abr an disr ll soll di Mhodik dr Mon-Carlo-imulaion zu Brchnung dr Pris von Call- und Pu-Opionn kurz präsnir wrdn Black-chols-Forml für Opionspris

23 Wir vrwndn di glichn Angabn wi im Bispil unr Anmrkung, unrslln jdoch davon abwichnd inn vrglichswis frnn Ausübungszipunk von 0 Jahrn. Im Ggnsaz zur risikonuraln Bwrung brachn wir nun di Pfad dr Aki in dr raln Wl und i i unrslln di Knnnis bzüglich ds rwarn Errags. Wir rhaln j imulaion konkr Wr,, 0 i, wobi dn Wr dr Aki am End dr Priod in dr i n imulaion darsll. Glichziig zu jdr Ralisirung inr möglichn Kursnwicklung brchnn wir dn nsprchndn Dflaor: D D0 p{ µ r + } + r µ ln für 0 i i Di Glichung ds Opionspriss für X zum Zipunk für dn payoff zu inm spärn Zipunk lau: D X E [ D X ] wobi nun für E [.] das subjkiv Wahrschinlichkismaß ansll ds Maringalmaßs zu vrwndn is. Im Fall dr Prisbsimmung dr Call-Opion zu Bginn dr Laufzi 0 brchnn wir j imulaion di Wr c i D i ma i K,0 und bildn anschlißnd dn Milwr übr insgsam N imulaionn: c N N i c i N N i D i ma i K, Black-chols-Forml für Opionspris 3

24 Ein Implmnirung diss Algorihmus mils ins ampls von glichvriln Zufallszahln dr Mng.0000 lifr 000 znarin von möglichn Wrnwicklungn dr Akin übr 0 Jahr und dn jwils nsprchndn Dflaor. Daraus folg unmilbar dr bris korrk diskonir payoff dr Opion nach dr obign Forml, und man rhäl als Ergbnis dn simulirn Pris dr Opion durch Übrgang zum Milwr allr payoffs. Mi dn Pramrn Akullr Pris dr Akin: 00 Ausübungszipunk: 0 Ausübungspris: K 50 Risikolosr Zins: r 3% Volailiä dr Aki: 5% Erwarr Errag dr Aki: 7,5% Jahr p.a. µ rhaln wir: Black-chols-Forml imulaionsrchnung Abwichung in % Pris dr Call-Opion 4,7 4,65-0,4% Pris dr Pu-Opion 5,83 4,40-5,5% Übungsaufgabn a Bwisn i di Black-chols-Forml für in uropäisch Pu-Opion nwdr analog zur Abliung dr Call- Opion odr vrwndn i di Forml für di Call-Opion und zign dis mi Hilf dr Pu-Call-Pariä! b Was könn dr Grund dafür sin, dass di Nährung durch di obig imulaionsrchnung für di Call-Opion dulich bssr ausfäll als für di Pu-Opion? Für wlch Paramr vrmun i schlchr imulaionsrgbniss? Black-chols-Forml für Opionspris 4

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