Kapitel II. Vektorräume

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1 Inhalt der Vorlesung LAAG I Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden WS2017/18 Kapitel II. Vektorräume In diesem ganzen Kapitel sei K ein Körper. 1 Definition und Beispiele 1.1 Beispiel. Ist K = R, so haben wir für R 3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R} eine klare geometrische Anschauung, nämlich den euklidischen Raum. Welche algebraische Struktur können wir hierauf sinnvollerweise definieren? 1.2 Definition (Vektorraum). Ein K-Vektorraum (oder auch Vektorraum über K) ist ein Tripel (V, +, ) bestehend aus einer Menge V, einer Verknüpfung + : V V V, genannt Addition, und einer Abbildung : K V V, genannt Skalarmultiplikation, für die gelten: (V1) (V, +) ist eine abelsche Gruppe. (V2) Skalarmultiplikation ist verträglich: Für λ, µ K und x, y V gilt (i) λ (x + y) = λ x + λ y (ii) (λ + µ) x = λ x + µ x (iii) λ (µ x) = (λµ) x (iv) 1 x = x Das neutrale Element von (V, +) wird mit 0 bezeichnet und heißt der Nullvektor. 1.3 Bemerkung. Man beachte, dass wir nun sowohl im Körper K als auch im Vektorraum V eine Addition definiert haben, die wir der Einfachheit halber mit dem selben Symbol + notieren. Ebenso benutzen wir das Symbol sowohl für die Multiplikation im Körper K als auch für die Skalarmultiplikation. Welche dieser Abbildungen jeweils gemeint ist, wird immer aus dem Kontext hervorgehen, und es ist wichtig, dass Sie sich der Unterscheidung immer bewusst sind! Zur Unterscheidung nennt man die Elemente von V manchmal Vektoren und die Elemente von K Skalare. Wir werden bald auch den Nullvektor einfach mit 0 notieren, also mit dem selben Symbol wie das neutrale Element der Addition im Körper K. Auch für Vektorräume gibt es notationelle Konventionen. So bindet die Skalarmultiplikation stärker als die Addition in V und wird manchmal nicht notiert. 1

2 1.4 Beispiel (Standardraum). Für n N ist V = K n := n K = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n K} mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λ (x 1,..., x n ) := (λx 1,..., λx n ) ein K-Vektorraum, genannt der (n-dimensionale) Standardraum über K (Übung!). Insbesondere (das ist der Spezialfall n = 1) ist also K ein K-Vektorraum. Für n = 0 definiert man K n als den Nullraum V = {0}, der zusammen mit der einzig möglichen Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum bildet. 1.5 Satz. Ist V ein K-Vektorraum, so gelten für λ K und x V : (a) 0 x = 0 (b) λ 0 = 0 (c) ( λ) x = λ ( x) = (λ x), insbesondere ( 1) x = x (d) Ist λ x = 0, so ist λ = 0 oder x = 0. Beweis. (a) Es ist 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x, woraus 0 x = 0 folgt. (b) Es ist λ 0 = λ (0 + 0) = λ 0 + λ 0, woraus λ 0 = 0 folgt. (c) Es ist λ x + ( λ) x = (λ λ) x = 0 x = 0, also ( λ) x = (λ x). Die anderen Behauptungen zeigt man analog. (d) Ist λ x = 0 und λ 0, so ist 0 = λ 1 0 = λ 1 λ x = 1 x = x. 1.6 Beispiel. Weitere Beispiele für Vektorräume: (a) Im Polynomring K[X] hat man die Multiplikation K[X] K[X] K[X]. Schränkt man diese zu einer Abbildung K K[X] K[X] ein, so wird K[X] mit dieser Skalarmultiplikation zu einem K-Vektorraum. Die Skalarmultiplikation ist also explizit gegeben durch λ a k X k = λa k X k. k=0 (b) Im Körper C hat man eine Multiplikation C C C. Schränkt man diese zu einer Abbildung R C C ein, so wird C mit dieser Skalarmultiplikation zu einem R-Vektorraum. Die Skalarmultiplikation ist gegeben durch k=0 λ (x + iy) = λx + iλy. (c) Das allgemeine Prinzip hinter den beiden vorherigen Beispielen ist das Folgende: Ist der Körper K ein Unterring eines kommutativen Rings R mit Einselement 1 K, so wird R durch Einschränkung der Multiplikation R R R zu einer Abbildung K R R zu einem K-Vektorraum. 2

3 (d) Ist X ein Menge und W ein K-Vektorraum, so wird die Menge der Abbildungen V = Abb(X, W ) durch punktweise Addition (f + g)(x) := f(x) + g(x) und Skalarmultiplikation (λ f)(x) := λ f(x) zu einem K-Vektorraum. Im Spezialfall X = {1,..., n} und W = K erhält man den Standardraum K n. 1.7 Definition (Untervektorraum). Sei V ein K-Vektorraum. Ein Untervektorraum von V ist eine nichtleere Teilmenge W V mit (UV1) Für x, y W ist x + y W. (UV2) Für x W und λ K ist λx W. 1.8 Satz. Sei V ein K-Vektorraum und W V eine Teilmenge. Genau dann ist W ein Untervektorraum von V, wenn W mit geeigneter Einschränkung von Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum ist. Beweis. Lassen sich + : V V V und : K V V einschränken zu Abbildungen + W : W W W und W : K W W, so gilt für x, y W und λ K: x + y = x + W y W und λ x = λ W x W. Ist (W, + W, W ) zudem ein Vektorraum, so ist insbesondere auch W. Somit ist W ein Untervektorraum von V. Sei umgekehrt W ein Untervektorraum von V. Nach (UV1) und (UV2) lassen sich + : V V V und : K V V einschränken zu Abbildungen + W : W W W und W : K W W. Zunächst sehen wir, dass W eine Untergruppe von (V, +) ist: Nach (UV1) ist W abgeschlossen unter Addition, und ist x W, so auch x = ( 1) x W nach (UV2). Insbesondere ist (W, + W ) eine abelsche Gruppe (Satz I.3.14), erfüllt also das Axiom (V1). Die Verträglichkeit (V2) ist für λ, µ K und x, y W erfüllt, da sie in V erfüllt ist. Somit ist (W, + W, W ) ein K-Vektorraum. 1.9 Beispiel. (a) Jeder K-Vektorraum V hat die trivialen Untervektorräume W = {0} und W = V. (b) Ist V ein K-Vektorraum und x V, so ist W := K x := {λx : λ K} ein Untervektorraum von V. (Dieses Beispiel wird im nächsten Abschnitt verallgemeinert.) Insbesondere besitzt zum Beispiel der R 2 unendlich viele Untervektorräume, nämlich alle Ursprungsgeraden. Auch sehen wir, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume im Allgemeinen kein Untervektorraum sein muss. (c) Der K-Vektorraum K[X] hat unter anderem die folgenden Untervektorräume: Den Unterraum K der konstanten Polynome, den Unterraum K[X] 1 := {ax +b : a, b K} der (konstanten oder) linearen Polynome, und allgemeiner den Unterraum der Polynome vom Grad höchstens n. K[X] n = {f K[X] : deg(f) n} 3

4 (d) In der Vorlesung ANAG werden Sie verschiedene Untervektorräume des R-Vektorraumes Abb(R, R) kennenlernen, etwa den Raum C(R, R) der stetigen Funktionen und den Raum C 1 (R, R) der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen { f : f R[X]} (vgl. I.6.7) bildet einen Untervektorraum von C 1 (R, R) Lemma. Ist V ein K-Vektorraum und (W i ) i I eine Familie von Untervektorräumen von V, so ist auch W := i I W i ein Untervektorraum von V. Beweis. Da 0 W i für alle i, ist auch 0 i I W i = W, insbesondere W. Sind x, y W, so sind x, y W i und damit auch x+y W i für alle i, also x+y i I W i = W. (Alternativ: Wende I.3.17 an.) Ist x W und λ K, so ist x W i und somit auch λx W i für alle i, also λx i I W i = W Satz. Ist V ein K-Vektorraum und X V eine Teilmenge, so gibt es einen eindeutig bestimmten kleinsten Untervektorraum W von V, der X enthält. Beweis. Analog zum Beweis von Satz I.3.18 definiert man W als den Schnitt über alle Untervektorräume von V, die X enthalten. Nach Lemma 1.10 ist dies wieder ein Untervektorraum, und er leistet das Gewünschte Definition. Ist V ein K-Vektorraum und X V eine Teilmenge, so nennt man den kleinsten Untervektorraum von V, der X enthält, den von X erzeugten Untervektorraum und bezeichnet ihn mit X. Eine Menge X V mit X = V heißt auch ein Erzeugendensystem von V. Der Vektorraum V heißt endlich erzeugt, wenn er ein endliches Erzeugendensystem X V besitzt. 2 Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit Sei V ein K-Vektorraum. 2.1 Definition (Linearkombination). 1. Sei n N 0. Ein x V ist eine (K-)Linearkombination eines n-tupels (x 1,..., x n ) von Elementen von V, wenn es λ 1,..., λ n K mit x = λ 1 x λ n x n gibt. Der Nullvektor ist stets eine Linearkombination von (x 1,..., x n ), auch wenn n = Ein x V ist eine Linearkombination einer Familie (x i ) i I von Elementen von V, wenn es n N 0 und i 1,..., i n I gibt, für die x eine Linearkombination von (x i1,..., x in ) ist. 3. Die Menge aller x V, die eine Linearkombination von F = (x i ) i I sind, wird mit span K (F) bezeichnet. 2.2 Bemerkung. (a) Offenbar hängt die Menge der Linearkombinationen von (x 1,..., x n ) nicht von der Reihenfolge der x i ab. Wegen (V2)(ii) hängt sie sogar nur von der Menge {x 1,..., x n } ab. (b) Deshalb stimmt 2. für endliche Familien (x 1,..., x n ) mit 1. überein. 4

5 (c) Auch die Menge der Linearkombinationen span K (F) einer Familie F = (x i ) i I hängt nur von der Menge X = {x i : i I} ab. Man sagt deshalb auch, x ist Linearkombination von X, und schreibt span K (X) = span K (F), also { } span K (X) = λ i x i : n N, x 1,..., x n X, λ 1,..., λ n K. Man beachte, dass nach Definition stets 0 span K (X) gilt, auch falls X =. (d) Wie schon bei Polynomen schreibt man auch hier gerne formal unendliche Summen i I λ ix i, bei denen nur endlich viele der λ i, und damit nur endlich viele Summanden von Null verschieden sind. 2.3 Lemma. Für jede Teilmenge X V ist span K (X) ein Untervektorraum von V. Beweis. Sei W := span K (X). Nach Definition ist 0 W, insbesondere W. Nach Definition ist span K (X) abgeschlossen unter Addition. Ist x = n λ ix i mit x 1,..., x n X und λ 1,..., λ n K, so ist auch λx = n λλ ix i span K (X) für jedes λ K. 2.4 Satz. Für jede Teilmenge X V ist span K (X) = X der von X erzeugte Untervektorraum von V. Beweis. Nach dem vorherigen Lemma ist span K (X) ein Untervektorraum von V, der wegen x = 1 x die Menge X enthält. Es gilt also X span K (X). Ist nun W ein Untervektorraum von V, der X enthält, so enthält er auch alle Elemente der Form λx mit x X und λ K, und damit auch alle Linearkombinationen aus X. Insbesondere gilt X span K (X). 2.5 Bemerkung. Wir erhalten span K (X) = X also auf zwei verschiedenen Wegen: Erstens von oben als Schnitt über alle Untervektorräume, die X enthalten, und zweitens von unten als Menge der Linearkombinationen aus X. Die erste Variante ist sehr allgemein und elegant, sagt uns aber nicht, wie die Elemente von X aussehen. Man nennt span K (X) auch den von X aufgespannten Untervektorraum, oder die lineare Hülle von X. 2.6 Beispiel. (a) Sei V = K n der Standardraum. Für i = 1,..., n sei e i = (δ i,1,..., δ i,n ), also e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0) etc. Für x = (x 1,..., x n ) ist x = n x ie i, also span K (e 1,..., e n ) = K n. Insbesondere ist der K-Vektorraum K n endlich erzeugt! Man nennt (e 1,..., e n ) die Standardbasis des n-dimensionalen Standardraums K n. (b) Sei V = K[X] der Polynomring über K. Jedes f K[X] ist von der Form f = n i=0 a ix i für ein n N 0, also ist span K ((X i ) i N0 ) = K[X]. Genauer ist span K (1, X,..., X n ) = K[X] n, der Untervektorraum der Polynome vom Grad höchstens n. Tatsächlich ist der K-Vektorraum K[X] nicht endlich erzeugt: Sind f 1,..., f r K[X] und ist d = max{deg(f 1 ),... deg(f r )}, so liegen f 1,..., f r alle im Untervektorraum K[X] d von K[X], und deshalb ist auch span K (f 1,..., f r ) K[X] d K[X]. (c) Der von einem Element x V erzeugte Untervektorraum ist x = K x. Im Fall K = R, V = R 3 ist dies also eine Ursprungsgerade (außer, wenn x = 0). 5

6 (d) Im R-Vektorraum C ist span R (1) = R C, im C-Vektorraum C hingegen ist span C (1) = C. 2.7 Definition (Lineare Abhängigkeit). 1. Sei n N 0. Ein n-tupel (x 1,..., x n ) von Elementen von V ist (K-)linear abhängig, wenn es λ 1,..., λ n K gibt, die nicht alle Null sind und λ 1 x λ n x n = 0 erfüllen. Andernfalls heißt (x 1,..., x n ) linear unabhängig. 2. Eine Familie (x i ) i I von Elementen von V ist linear abhängig, wenn es n N 0 und paarweise verschiedene i 1,..., i n I gibt, für welche das n-tupel (x i1,..., x in ) linear abhängig ist. Andernfalls heißt (x i ) i I linear unabhängig. 2.8 Bemerkung. (a) Offenbar hängt die Bedingung λ 1 x λ n x n = 0 nicht von der Reihenfolge der x 1,..., x n ab, und sind (x 1,..., x k ) linear abhängig für k n, so auch (x 1,..., x n ). Deshalb stimmt 2. für endliche Familien (x 1,..., x n ) mit 1. überein, und (x i ) i I ist genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge J I gibt, für die (x i ) i J linear abhängig ist. (b) Weil diese Definition so wichtig ist, schreiben wir noch explizit aus, was lineare Unabhängigkeit bedeutet: Eine Familie (x i ) i I ist genau dann linear unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge J I und jede Wahl von Skalaren (λ i ) i J (fast alle gleich Null) aus i J λ ix i = 0 schon λ i = 0 für alle i J folgt, also wenn sich der Nullvektor nur trivial aus den x i linear kombinieren lässt, d.h. mit allen Koeffizienten λ i gleich Null. Wie der folgende Satz erklärt, bedeutet lineare Abhängigkeit einfach, dass sich eines der x i als Linearkombination der Übrigen schreiben lässt: 2.9 Satz. Genau dann ist eine Familie (x i ) i I linear abhängig, wenn es ein i 0 I mit x i0 span K ((x i ) i I\{i0 }) gibt. In diesem Fall ist span K ((x i ) i I ) = span K ((x i ) i I\{i0 }). Beweis. Es genügt, die Aussage für I = {1,..., n} zu beweisen. Ist (x i ) i I linear abhängig, so gibt es λ 1,..., λ n K, nicht alle gleich Null, mit n λ ix i = 0. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei λ n 0. Dann ist n 1 n 1 x n = λ 1 n λ i x i = ( λ 1 n λ i )x i span K (x 1,..., x n 1 ). Ist umgekehrt x n span K (x 1,..., x n 1 ), so gibt es λ 1,..., λ n 1 K mit x n = n 1 λ ix i. Mit λ n := 1 ist also n λ ix i = 0, was zeigt, dass (x i ) i I linear abhängig ist. Ist x n = n 1 λ ix i und y = n µ ix i span K (x 1,..., x n ), so folgt y = n 1 (µ i+µ n λ i )x i span K (x 1,..., x n 1 ) Satz. Genau dann ist eine Familie (x i ) i I linear unabhängig, wenn sich jedes x span K ((x i ) i I ) in eindeutiger Weise als Linearkombination der (x i ) i I schreiben lässt, d.h. ist x = i I λ ix i = i I λ ix i mit λ i, λ i K, fast alle gleich Null, so ist λ i = λ i für alle i I. Beweis. Es genügt wieder, die Aussage für den Fall I = {1,..., n} zu zeigen. 6

7 Ist die Familie (x i ) i I linear unabhängig und x = n λ ix i = n λ ix i, so folgt aus 0 = x x = n (λ i λ i)x i wegen der linearen Unabhängigkeit, dass λ i λ i = 0, also λ i = λ i für alle i. Lässt sich umgekehrt jedes x span K ((x i ) i I ) in eindeutiger Weise als Linearkombination der (x i ) i I schreiben, so gilt dies insbesondere für x = 0, und da 0 = n 0 x i ist, folgt aus n λ ix i = 0 schon λ i = 0 für alle i Beispiel. (a) Die Standardbasis (e 1,..., e n ) des Standardraums K n ist linear unabhängig: Es ist n λ ie i = (λ 1,..., λ n ). (b) Im K-Vektorraum V = K[X] sind die Monome (X i ) i N0 linear unabhängig. (c) Ein einzelner Vektor x ist genau dann linear abhängig, wenn x = 0, siehe 1.5(d). (d) Ein Paar (x 1, x 2 ) von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist, also x 1 = λx 2 oder x 2 = λx 1 mit λ K. (e) Im R-Vektorraum V = R 2 sind die beiden Vektoren x 1 = (1, 2), x 2 = (2, 1) linear unabhängig (siehe (d)). Im Z/3Z-Vektorraum V = (Z/3Z) 2 hingegen sind die beiden Vektoren x 1 = (1, 2), x 2 = (2, 1) aber linear abhängig: Es ist x 1 + x 2 = 0, anders gesagt x 2 = 2 x 1. (f) Im R-Vektorraum C ist (1, i) linear unabhängig, im C-Vektorraum C hingegen ist (1, i) linear abhängig Bemerkung. (a) Ist x i = 0 für ein i I, so ist die Familie (x i ) i I linear abhängig. (b) Gibt es i, j I, i j mit x i = x j, so ist die Familie (x i ) i I linear abhängig. Im Gegensatz zu Definition 2.1 kommt es hier also nicht nur auf die Menge {x i : i I} an. (c) Dennoch sagt man auch, die Teilmenge X V ist linear abhängig und meint damit, dass die Familie (x) x X linear abhängig ist, d.h. es gibt n N, x 1,..., x n X paarweise verschieden und λ 1,..., λ n K, nicht alle gleich Null, mit n λ ix i = 0. 3 Basis und Dimension Sei V ein K-Vektorraum. 3.1 Definition (Basis). Eine Familie (x i ) i I von Elementen von V ist eine (K-)Basis von V, wenn gilt: (B1) Die Familie (x i ) i I ist linear unabhängig. (B2) Die Familie (x i ) i I erzeugt V, also V = span K ((x i ) i I ). 3.2 Bemerkung. Kurz gesagt ist eine Basis also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Die Nützlichkeit des Begriffs der Basis ergibt sich aus der folgenden Beobachtung: 3.3 Satz. Sei (x i ) i I eine Familie von Elementen von V. Genau dann ist (x i ) i I eine Basis von V, wenn sich jedes x V eindeutig als x = i I λ ix i mit λ i K, fast alle gleich Null, schreiben lässt. Beweis. Dies folgt sofort aus Beispiel. (a) Die leere Familie ist eine Basis des Nullraumes. (b) Die Standardbasis (e 1,..., e n ) ist eine Basis des Standardraumes K n. 7

8 (c) Die Monome (X i ) i N0 bilden eine Basis des Polynomrings K[X]. (d) Eine Basis des R-Vektorraumes C ist gegeben durch (1, i), eine Basis des C-Vektorraumes C ist gegeben durch (1). (e) Der C-Vektorraum C hat viele weitere Basen: Für jedes 0 a C ist (a) eine C-Basis von C. 3.5 Satz. Für eine Familie B = (x i ) i I von Elementen von V sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) B ist eine Basis von V. (2) B ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. B ist ein Erzeugendensystem, aber für jede echte Teilmenge J I ist (x i ) i J kein Erzeugendensystem. (3) B ist maximal linear unabhängig, d.h. B ist linear unabhängig, aber jede Familie (x i ) i J mit J I ist linear abhängig. Beweis. (1) (2): Sei B eine Basis und J I. Für i 0 I\J ist x i0 / span K ((x i ) i I\{i0 }) span((x i ) i J ) nach 2.9, da (x i ) i I linear unabhängig ist. Insbesondere ist (x i ) i J kein Erzeugendensystem. (2) (3): Sei B ein minimales Erzeugendensystem. Wäre (x i ) i I linear abhängig, so gäbe es nach 2.9 ein i 0 I mit span K ((x i ) i I\{i0 }) = span K ((x i ) i I ), im Widerspruch zur Minimalität. Also ist (x i ) i I linear unabhängig. Ist nun (x i ) i J eine Familie mit J I, so gilt für jedes j 0 J \ I, dass x j0 span K ((x i ) i I ) span K ((x i ) i J\{j0 }), und somit ist (x i ) i J linear abhängig nach 2.9. (3) (1): Sei B maximal linear unabhängig. Angenommen, B ist kein Erzeugendensystem. Dann gibt es ein x V \ span K (B). Definiere nun J = I {j 0 } mit einem j 0 / I und x j0 := x. Auf Grund der Maximalität ist (x i ) i J linear abhängig, es gibt also Skalare λ, (λ i ) i I, nicht alle gleich Null, mit λx + i I λ ix i = 0. Da (x i ) i I linear unabhängig ist, muss λ 0 sein, woraus der Widerspruch x = λ 1 i I λ ix i span K (B) folgt. 3.6 Theorem (Basisauswahlsatz). Jedes endliche Erzeugendensystem von V besitzt eine Basis von V als Teilfamilie: Ist (x i ) i I ein endliches Erzeugendensystem, so gibt es eine Teilmenge J I, für die (x i ) i J eine Basis ist. Beweis. Sei (x i ) i I ein endliches Erzeugendensystem von V. Setze J := {J I : (x i ) i J ist Erzeugendensystem von V }. Da I endlich ist, ist J endlich. Da I J ist J nicht-leer. Es gibt also ein bezüglich Inklusion minimales Element J 0 J (z.b. irgendein J 0 J mit J minimal). Nach 3.5 ist (x i ) i J0 eine Basis von V. 3.7 Korollar. Jeder endlich erzeugte K-Vektorraum besitzt eine endliche Basis. 3.8 Bemerkung. Der Beweis von 3.6 liefert ein konstruktives Verfahren: Ist (x 1,..., x n ) ein Erzeugendensystem, so prüft man, ob es ein i 0 mit x i0 span K ((x i ) i i0 ) gibt. Falls nicht ist (x 1,..., x n ) eine Basis, andernfalls macht man mit (x 1,..., x i0 1, x i0 +1,..., x n ) weiter. 3.9 Bemerkung. Wie wir gesehen haben, besitzt zum Beispiel auch der nicht endlich erzeugte K-Vektorraum K[X] eine Basis. Aber was ist zum Beispiel mit C(R, R) oder 8

9 C 1 (R, R)? Tatsächlich kann man zeigen, dass jeder K-Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit dieser Aussage hängt aber von bestimmten mengentheoretischen Axiomen ab (genauer gesagt dem sogenannten Auswahlaxiom), auf die wir hier nicht eingehen wollen. Wir werden dieses Thema in der Vorlesung LAAG II kurz ansprechen Lemma (Austauschlemma). Sei B = (x 1,..., x n ) eine Basis von V. Sind λ 1,..., λ n K und y = n λ ix i, so ist für jedes j {1,..., n} mit λ j 0 auch eine Basis von V. B := (x 1,..., x j 1, y, x j+1,..., x n ) Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei j = 1, also B = (y, x 2,..., x n ). Wegen λ 1 0 ist x 1 = λ 1 1 y n i=2 λ 1 1 λ i x i span K (y, x 2,..., x n ), und somit ist B ein Erzeugendensystem. Sind µ 1,..., µ n K mit µ 1 y + n i=2 µ ix i = 0, so folgt 0 = µ 1 y + µ i x i = µ 1 λ i x i + µ i x i = µ 1 λ 1 x 1 + (µ 1 λ i + µ i )x i, i=2 i=2 und aus der linearen Unabhängigkeit von B somit i=2 µ 1 λ 1 = 0, µ 1 λ 2 + µ 2 = 0,..., µ 1 λ n + µ n = 0. Wegen λ 1 0 schließen wir µ 1 = 0 und dann µ i = 0 für alle i. Folglich ist B linear unabhängig Theorem (Steinitz scher Austauschsatz 1 ). Sei B = (x 1,..., x n ) eine Basis von V und F = (y 1,..., y r ) eine linear unabhängige Familie in V. Dann ist r n und es gibt i 1,..., i n r {1,..., n}, für die eine Basis von V ist. B := (y 1,..., y r, x i1,..., x in r ) Beweis. Beweis durch Induktion nach r: Für r = 0 ist nichts zu zeigen. Sei nun (y 1,..., y r ) linear unabhängig und gelte die Aussage für (y 1,..., y r 1 ). Insbesondere ist r 1 n und es gibt i 1,..., i n (r 1) {1,..., n}, für die eine Basis von V ist. Schreibe (y 1,..., y r 1, x i1,..., x in r+1 ) r 1 y r = λ i y i + n r+1 j=1 µ j x ij mit λ 1,..., λ r 1, µ 1,..., µ n r+1 K. Da (y 1,..., y r ) linear unabhängig ist, haben wir y r / span K (y 1,..., y r 1 ). Folglich gibt es ein j 0 {1,..., n r + 1} mit µ j0 0. Insbesondere ist also n r + 1 1, also r n. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei j 0 = 1. Dann gibt uns 3.10, dass auch eine Basis von V ist. 1 nach Ernst Steinitz ( ) (y 1,..., y r 1, y r, x i2,..., x in r+1 ) 9

10 3.12 Korollar (Basisergänzungssatz). Ist V endlich erzeugt, so lässt sich jede linear unabhängige Familie zu einer Basis ergänzen: Ist (x 1,..., x n ) linear unabhängig, so gibt es m n und x n+1,..., x m V derart, dass (x 1,..., x m ) eine Basis von V ist. Beweis. Nach 3.7 besitzt V eine endliche Basis, die Aussage folgt dann aus Korollar. Sind (x i ) i I und (y j ) j J Basen von V, und ist I endlich, so ist I = J. Beweis. Da (y j ) j J linear unabhängig ist, ist J I nach Insbesondere ist J also endlich, und wir können deshalb die Rollen von (x i ) i I und (y j ) j J vertauschen und 3.11 erneut anwenden, woraus wir I J erhalten. Zusammengenommen bedeutet dies, dass I = J Korollar. Ist V endlich erzeugt, so haben alle Basen von V die gleiche Mächtigkeit 2. Beweis. Nach 3.7 besitzt V eine endliche Basis, die Aussage folgt deshalb aus Definition (Dimension). Ist V endlich erzeugt, so ist die Dimension von V die Mächtigkeit dim K (V ) einer Basis von V. Andernfalls sagt man, dass V unendliche Dimension hat, und schreibt dim K (V ) = Beispiel. Es ist dim K (K n ) = n, dim K (K[X]) =, dim R (C) = 2 und dim C (C) = Bemerkung. Nach 3.7 ist V also genau dann endlich erzeugt, wenn V eine endliche Basis besitzt, d.h. dim K (V ) <. Nach 3.5 ist dim K (V ) = min{ B : span K (B) = V } = max{ B : B ist linear unabhängig} N 0 { } Satz. Sei V endlich erzeugt und W V ein Untervektorraum. (a) Es ist dim K (W ) dim K (V ). Insbesondere ist W endlich erzeugt. (b) Ist dim K (W ) = dim K (V ), so ist W = V. Beweis. (a) Ist F eine linear unabhängige Familie in W, so ist F auch in V linear unabhängig, und somit ist F dim K (V ). Insbesondere gibt es eine eine maximale linear unabhängige Familie B in W, und es folgt dim K (W ) = B dim K (V ). (b) Ist B eine Basis von W und dim K (V ) = dim K (W ), so ist B eine linear unabhängige Familie in V, die maximal sein muss, und deshalb ist B auch eine Basis, insbesondere ein Erzeugendensystem von V. 4 Summen von Vektorräumen Sei V ein K-Vektorraum und (W i ) i I eine Familie von Untervektorräumen von V. 4.1 Definition (Summe von Untervektorräumen). Die Summe der Familie (W i ) i I ist der Untervektorraum ) W i i I W i := span K ( i I von V. Im Fall I = {1,..., n} schreibt man auch W W n für i I W i. 2 Gemeint ist die Mächtigkeit der Indexmenge, also die Anzahl der Elemente in der Familie. 10

11 4.2 Lemma. Es ist { W i = x i : x i W i, fast alle gleich Null i I i I }. Beweis. Die Inklusion gilt, da die rechte Seite ein Untervektorraum von V ist, der alle W i enthält. Die Inklusion ist klar. 4.3 Beispiel. Ist (x i ) i I eine Familie von Elementen von V, so ist span K ((x i ) i I ) = i I Kx i, wobei Kx i der Untervektorraum aus 1.9(b) und 2.6(c) ist. 4.4 Satz. Es sind äquivalent: (1) Jedes x i I W i ist eindeutig als i I x i mit x i W i darstellbar. (2) Für jedes i I ist W i j I\{i} W j = {0}. Beweis. (1) (2): Sei x W i j i W j. Dann ist x = j x j mit x j W j und x i = 0, die Eindeutigkeit der Darstellung impliziert also, dass x = 0. (2) (1): Sei x = j I x j = j I x j mit x j, x j W j für alle j. Dann ist 0 = j I (x j x j), also x i x i = j i (x j x j) W i j i W j = {0} und somit x i = x i für jedes i. 4.5 Definition (Direkte Summe von Untervektorräumen). Ist jedes x i I W i eindeutig als i I x i mit x i W i darstellbar, so sagt man, dass i I W i die direkte Summe der Untervektorräume (W i ) i I ist, und schreibt i I W i für i I W i. Im Fall I = {1,..., n} schreibt man auch W 1 W n für i I W i. 4.6 Beispiel. Ist (x 1,..., x n ) eine Basis von V, so ist V = Kx 1 Kx n. So ist zum Beispiel K n = Ke 1 Ke n. 4.7 Bemerkung. Wir wollen uns jetzt noch kurz mit dem wichtigen Spezialfall I = {1, 2} beschäftigen und schreiben zunächst 4.4 für diesen Spezialfall noch einmal explizit hin: 4.8 Korollar. Seien W 1, W 2 Untervektorräume von V. Es sind äquivalent: (1) V = W 1 W 2 (2) V = W 1 + W 2 und W 1 W 2 = {0} 4.9 Satz. Seien W 1, W 2 Untervektorräume von V mit Basen (x i ) i I1 bzw. (x i ) i I2, wobei I 1 I 2 =. Es sind äquivalent: (1) V = W 1 W 2 (2) (x i ) i I1 I 2 ist eine Basis von V Beweis. (1) (2): Da span K ((x i ) i I1 ) = W 1 und span K ((x i ) i I2 ) = W 2 ist span K ((x i ) i I1 I 2 ) = W 1 + W 2 = V. 11

12 Ist i I 1 I 2 λ i x i = 0, mit λ i K, fast alle gleich Null, so ist λ i x i = λ i x i W 1 W 2 = {0}, i I 1 i I 2 aus der linearen Unabhängigkeit der (x i ) i I1 folgt also λ i = 0 für alle i I 1, und analog für alle i I 2. Demnach ist (x i ) i I1 I 2 linear unabhängig, und damit eine Basis von V. (2) (1): Da (x i ) i I1 I 2 ein Erzeugendensystem ist, ist W 1 + W 2 = V. Die lineare Unabhängigkeit von (x i ) i I1 I 2 impliziert, dass W 1 W 2 = {0} Korollar. Ist V endlichdimensional, so ist jeder Untervektorraum ein direkter Summand, d.h. ist W ein Untervektorraum von V, so gibt es einen (im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmten) Untervektorraum W von V (genannt ein lineares Komplement zu W ) mit V = W W. Es ist dim K (W ) = dim K (V ) dim K (W ). Beweis. Sei (x 1,..., x m ) eine Basis von W. Nach 3.12 lässt sich diese zu einer Basis (x 1,..., x n ) von V ergänzen. Mit W := span K (x m+1,..., x n ) ist dann V = W W nach Bemerkung. Ist dim K (V ) <, so folgt aus W 1 W 2 = {0} also insbesondere Allgemeiner gilt: dim K (W 1 + W 2 ) = dim K (W 1 ) + dim K (W 2 ) Theorem (Dimensionsformel). Ist V endlichdimensional und sind W 1, W 2 Untervektorräume von V, so ist dim K (W 1 + W 2 ) + dim K (W 1 W 2 ) = dim K (W 1 ) + dim K (W 2 ). Beweis. Da dim K (V ) < besitzen alle Untervektorräume von V Basen. Sei also B 0 = (x 1,..., x n ) eine Basis von W 1 W 2. Nach 3.12 können wir diese zu Basen von W 1 und von W 2 ergänzen. Wir behaupten, dass B 1 = (x 1,..., x n, y 1,..., y p ) B 2 = (x 1,..., x n, z 1,..., z q ) B := (x 1,..., x n, y 1,..., y p, z 1,..., z q ) eine Basis von W 1 + W 2 ist. Offenbar ist B ein Erzeugendensystem von W 1 + W 2. Seien nun λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ p, η 1,..., η q K mit λ i x i + p µ j y j + j=1 q η k z k = 0. k=1 Dann ist p q λ i x i + µ j y j = η k z k W 1 W 2. j=1 k=1 12

13 Da B 0 ein Erzeugendensystem von W 1 W 2 ist und B 1 linear unabhängig ist, folgt, dass µ j = 0 für alle j. Analog argumentiert man, dass η k = 0 für alle k. Aus der linearen Unabhängigkeit von B 0 folgt dann auch λ i = 0 für alle i. Somit ist B linear unabhängig. Folglich ist dim K (W 1 ) + dim K (W 2 ) = B 1 + B 2 = (n + p) + (n + q) = (n + p + q) + n = = B + B 0 = dim K (W 1 + W 2 ) + dim K (W 1 W 2 ) Definition (Externes Produkt von Vektorräumen). Das (externe) Produkt einer Familie (V i ) i I von K-Vektorräumen, ist der K-Vektorraum i I V i bestehend aus dem kartesischen Produkt der V i mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation: Für (x i ) i I, (x i) i I i I V i und λ K ist (x i ) i I + (x i) i I := (x i + x i) i I und λ (x i ) i I := (λx i ) i I Definition (Externe direkte Summe von Vektorräumen). Die (externe) direkte Summe einer Familie (V i ) i I von K-Vektorräumen ist der Untervektorraum { V i := (x i ) i I } V i : x i = 0 für fast alle i i I i I des Produktes i I V i Bemerkung. Man prüft sofort nach, dass i I V i wieder ein K-Vektorraum ist und i I V i eine Untervektorraum davon. Für I endlich ist i I V i = i I V i, aber für unendliches I sind Produkt und direkte Summe im Allgemeinen verschieden. Den Standardraum K n zum Beispiel können wir schreiben als K n = n V i = n V i, wobei V i = K für jedes i. Eine erste Beziehung zwischen externer direkter Summe und direkter Summe im Sinne von 4.5 gibt das folgende Lemma. Im nächsten Kapitel werden wir den Zusammenhang dann vollständig verstehen Lemma. Sei (V i ) i I eine Familie von K-Vektorräumen und V := i I V i. Für jedes j I ist Ṽj = V j i I\{j} {0} ein Untervektorraum von V, und V = i I Ṽi. Beweis. Ist x = (x i ) i I mit x i V i, fast alle gleich Null, so ist x = i I x i mit x i = (x i δ i,j ) j I Ṽi. Die Gleichung Ṽi j i Ṽj = {0} folgt sofort aus der Definition. 13