Fourier-Transformation Linearität, Symmetrie, Verschiebung, Skalierung, Faltung, Modulation

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1 Übung 3 Fourier-Transformaion Lineariä, Symmerie, Verschiebung, Skalierung, Falung, Modulaion Lernziele - wissen und versehen, dass der Berag der Fourier-Transformieren einer reellen Funkion gerade is. - wissen und versehen, dass das Argumen der Fourier-Transformieren einer reellen Funkion ungerade is. - die Symmerieeigenschafen der Fourier-Transformaion an einer konkreen Funkion nachprüfen können. - grafisch beureilen können, wie sich eine Zeiskalierung bei einer Funkion auf deren Fourier-Transformiere auswirk. - die Zeiverschiebungs-, die Zeiskalierungs- und die Lineariäs-Eigenschaf der Fourier-Transformaion bei der Besimmung der Fourier-Transformieren anwenden können. - die Falungseigenschaf der Fourier-Transformaion kennen und versehen. - wissen, wie die Modulaion zweier Signale definier is. - die Modulaionseigenschaf der Fourier-Transformaion kennen und versehen. - das Spekrum eines modulieren Signals mi Hilfe der Modulaions-Eigenschaf der Fourier-Transformaion besimmen können. Aufgaben. Die Fourier-Transformiere einer reellen Funkion besiz die folgenden Symmerieeigenschafen: () X(-) = ( X() ) * () X() gerade (3) arg( X() ) ungerade (4) gerade X() reell X() gerade (5) ungerade X() rein imaginär X() ungerade Im Unerrich wurde die Symmerieeigenschaf () erläuer. a) Prüfen Sie die Symmerieeigenschafen (), () und (3) anhand der folgenden Funkion nach: = e -a ε() (a>0) b) Prüfen Sie die Symmerieeigenschaf (4) am Beispiel der folgenden geraden Funkion nach: = ( <T ) (T 0 ( >T ) >0) Hinweis: Die Fourier-Transformieren der beiden Funkionen haben Sie bereis in der Übung 0 besimm. c) * Zeigen Sie, dass die Symmerieeigenschafen () und (3) aus der Symmerieeigenschaf () folgen.. Gegeben sind die Grafen der Funkion und deren Fourier-Transformieren X(): Die Funkion x a () sei definier durch x a () := x(a) (a R) m_e08_u3.pdf /6

2 a) i) Skizzieren Sie auf einem Bla nebeneinander die Grafen der Funkionen x a () für 0<a< x a () für a> ii) Skizzieren Sie auf dem gleichen Bla daruner die Grafen der dazugehörigen Fourier- Transformieren X a () für 0<a< X() X a () für a> b) Im Zusammenhang mi der Fourier-Transformaion wird auch von der "Inversen Beziehung zwischen Zeibereich und Frequenzbereich" gesprochen. Berachen Sie die Grafen aus der Aufgabe a). Versuchen Sie mi Hilfe dieser Grafen herauszufinden, was uner der "Inversen Beziehung zwischen Zeibereich und Frequenzbereich" gemein sein könne. Schreiben Sie das Ergebnis Ihrer Berachung in zwei bis drei Säzen nieder. 3. Besimmen Sie die Fourier-Transformiere X() der Funkion. Benüzen Sie dazu lediglich die Fourier-Transformaions-Tabelle (kopieres Bla), und wenden Sie die Eigenschafen der Fourier-Transformaion an. a) T b) = (-4) e -(-4) ε(-4) c) = A sin(a+b) (A>0, a>0, b 0) d) = sin(3+4) + 5 sin(6+7) e) A - T - T T T f) A A - T - T T T m_e08_u3.pdf /6

3 4. Einleiung Die Fourier-Transformaion F ha wie die Laplace-Transformiere L die folgende Falungseigenschaf (ohne Beweis): F { x () * x () } = F { x () } F { x () } oder anders geschrieben: x () * x () X () X () d.h. die Fourier-Transformiere der Falung zweier Funkionen is gleich dem Produk der Fourier- Transformieren der einzelnen Funkionen. Aufgabe Prüfen Sie die Falungseigenschaf der Fourier-Transformaion am Beispiel der folgenden beiden Funkionen nach: Anleiung: x () = e - ε() x () = e - ε() i) Schlagen Sie in der Fourier-Transformaions-Tabelle die Fourier-Transformiere X () von x () nach. ii) iii) iv) Schlagen Sie in der Fourier-Transformaions-Tabelle die Fourier-Transformiere X () von x () nach. Besimmen Sie das Produk X () X (). Besimmen Sie das Falungsproduk := x () * x () der beiden Funkionen x () und x (), indem Sie x () und x () im Zeibereich falen, d.h. das ensprechende Falungsinegral berechnen. v) Besimmen Sie die Fourier-Transformiere X() von. Überzeugen Sie sich davon, dass das Resula mi demjenigen aus iii) übereinsimm, d.h. dass gil: X() = X () X () 5. Einleiung Uner der Modulaion eines Signales x () mi einem zweien Signal x () verseh man die Muliplikaion von x () mi x (): x () x () Bsp: In der Rundfunkechnik wird die Ampliudenmodulaion (AM) verwende. Dabei wird ein Signal y() mi einem sogenannen Trägersignal y s () modulier, und man erhäl das moduliere Signal y m (): y() := y 0 sin() y s () := y s0 sin( s ) y m () = y() y s () =... s = Trägerfrequenz Die Fourier-Transformaion F ha die folgende Modulaionseigenschaf (ohne Beweis): F { x () x () } = oder anders geschrieben: x () x () π ( F { x () } * F { x () } ) π ( X () * X ()) m_e08_u3.pdf 3/6

4 d.h. die Fourier-Transformiere des Produkes zweier Funkionen is (bis auf einen Fakor /π) gleich der Falung der Fourier-Transformieren der einzelnen Funkionen. Aufgabe Ein beliebiges Signal mi Spekrum X() wird mi dem cosinus-förmigen Signal m() = cos( 0 ) modulier. Man erhäl so das moduliere Signal x m () := m() a) Ennehmen Sie einer Fourier-Transformaions-Tabelle das Spekrum M() von m(). b) Skizzieren Sie den Grafen von M(). c) Besimmen Sie mi Hilfe der Modulaionseigenschaf der Fourier-Transformaion das Spekrum X m () des modulieren Signals x m (). Drücken Sie also X m () durch das als bekann angenommene Spekrum X() von aus. Hinweis: Bei der Besimmung des Falungsinegrals X()*M() kann die Ausblendeigenschaf der δ- Funkion angewende werden. d) Skizzieren Sie den Grafen von X m () uner der Annahme, dass der Graf von X() die folgende Form ha: X() - e) Erklären Sie in eigenen Woren, wie das Spekrum X m () aus dem Spekrum X() hervorgeh, bzw. wie sich das Spekrum eines beliebigen Signals veränder, wenn man das Signal mi einem cosinus-förmigen Signal modulier. f) Skizzieren Sie den Grafen von X m () i) wie in d) m() = cos() ii) wie in d) m() = cos ( ) m_e08_u3.pdf 4/6

5 Lösungen. a) X() = a+j () X(-) = ( X() ) * = () X() = (3) arg( ) sin(t b) X() = ) T a-j a + gerade X() = - arcan ( ) a c) *... Ansaz: X() = X() e j arg(x()) ungerade ( 0) = T sinc(t ) reell und gerade (=0). a)... b) Je breier der Recheck (= Graf von ) is, deso enger is die sinc-kurve (= Graf von X()). 3. a) X() = Die Auswirkungen einer Veränderung des Signals (hier: Zeiskalierung) sind im Zei- und im Frequenzbereich engegengesez zueinander. b) X() = T T sin ( T ) T (j+) 3 e-j4 e -jt/ ( 0) (=0) c) X() = A j π ( δ(+a) - δ(-a) ) e jb/a d) X() = j π ( ( δ(+3) - δ(-3) ) e j4/3 + 5 ( δ(+6) - δ(-6) ) e j7/6 ) A e) X() = T sin(t ) - T sin(t ) T T A (T - T ) f) X() = A T sin(t ) T + (A - A ) T A T + (A - A ) T ( 0) (=0) sin T T ( 0) (=0) 4. i) X () = ii) X () = +j +j iii) X () X () = (+j)(+j) m_e08_u3.pdf 5/6

6 iv) v) X() = = (e - - e - ) ε() (+j)(+j) = X () X () 5. a) M() = π δ(+ 0 ) + π δ(- 0 ) b) M() π π c) X m () = X(+ 0 ) + X(- 0 ) d) X m () / e)... f) i) X m () / - - ii) X m () / - 3/ - / / 3/ m_e08_u3.pdf 6/6