Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel
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- Sylvia Schmitz
- vor 8 Jahren
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1 Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel Bastian Gross Universität Trier 30. April 2012 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
2 Inhaltsverzeichnis 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
3 Beispielprogramme Die Beispielprogramme sind hier zu finden: gross Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
4 Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Divison Bastian Gross (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
5 Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Differenzieren und Integrieren Bastian Gross (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
6 Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Grundrechenarten Die Rechenmaschine von Gottfried Wilhelm Leibniz aus dem Science Museum (London UK). Bastian Gross (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
7 Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
8 Einführung Die einzelnen Zellen und damit ihr Inhalt werden mittel der Zeilenzahl und des Spaltenbuchstabes aufgerufen (z.b. D4). Falls man eine Zeile oder Spalte konstant halten will geschieht dies mit dem Dollarzeichen, $ (z.b. $D$4 oder jeweils $D4 bzw. D$4). Formeln in einer Zelle müssen mit eine Gleichheitszeichen, =, beginnen! Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
9 Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
10 Einführung Funktionen die in den einzelnen Zellen aufgerufen werden können, findet man hier! Um sich Zeit beim Eintippen zu sparen kann man mit Hilfe der Maus Zellen ziehen. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
11 Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
12 Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
13 Einführung Wenn man die Ausgabe in einer oder mehrerer Zellen formatieren möchte, also zum Beispiel die Anzahl der Nachkommastellen vergrößern will, muss man mit einem Rechtsklick der Maus, nach dem alle gewünschten Zellen markiert sind, auf Zellen formatieren klicken und dann in diesem neuen Fenster das gewünschte einstellen. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
14 Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
15 Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
16 Berechnung von π Leibniz Reihe Madhave-Leibniz-Formel π = 4 k=0 ( 1) k 2k + 1 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
17 Berechnung von π Leibniz Reihe Leibniz Reihe zur Berechnung von π Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
18 Berechnung von π Wallis Produkt Wallis Produkt (2k) 2 π = 2 (2k) 2 1 k=1 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
19 Berechnung von π Wallis Produkt Wallis Produkt zur Berechnung von π Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
20 Berechnung von π Übungen Übung: Riemansche ζ-funktion Schreiben Sie ein Excel Program, das π mittels der Riemanschen ζ-funktion für s = 2 approximiert: π 2 = 6 k=1 1 k 2 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
21 Berechnung von π Übungen Übung: Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe Schreiben Sie ein Excel Program, das π mittels folgender Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe (BBP-Reihe) approximiert: π = 1 ( k 8k k k ) 8k + 7 k=0 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
22 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Geometrische Reihe Für die endliche geometrische Reihe gilt folgende Formel n k=0 α 0 q k = α 0 1 q n+1 1 q q R\{1}, Für die (unendliche) geometrische Reihe gilt dann für q < 1 α 0 q k = lim k=0 n n k=0 α 0 q k 1 q n+1 = lim α 0 = α 0 n 1 q 1 q Die geometrische Reihe findet zum Beispiel in der Finanzmathematik bei der Rentenberechnung (Barwertberechnung) a Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
23 Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Fibonacci Reihe Leonardo von Pisa (Fibonacci) ca Vermehrung eines Kaninchenpaares : Ein Paar wirft vom 3. Lebensmonat an in jedem weiteren Lebensmonat ein weiteres Kaninchenpaar, ebenso wie alle seine Nachkommen. Die rekursive Folge wird dann wie folgt beschrieben f 0 = 1, f 1 = 2, f n+1 = f n + f n 1 n 2. Nun betrachten wir den Grenzwert des Quotientens f n+1 lim = Φ, n f n der gegen den Goldenen Schnitt φ = konvergiert. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
24 Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Fibonacci Reihe zur Berechnung des Goldenen Schnittes Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
25 Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Übung: Schreiben Sie ein Excel Program, das folgende Grenzwerte approximiert: a) b) c) ( ) lim n n + 1 n n ( lim 1 + x ) n x R beliebig n n lim n ( 1 n n ) n Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
26 Newton Verfahren Table of contents 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
27 Newton Verfahren Newton-Raphson Verfahren Das Newton-Raphson Verfahren ist eine Nullstellensuche für eine Funktion f C 1 [a, b] mit a, b R. Solange f (x k ) 0 x k+1 = x k f (x k) f (x k ). Mit dieser Vorschrift erhält man eine angenäherte Lösung x für das Problem f (x) = 0. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
28 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren Um die Zahl x = a für ein beliebiges a 0 zu berechnen, benützt man die Funktion f (x) = x 2 a und verwendet das Newton Verfahren zur Nullstellenbestimmung dieser Funktion. Dann erhält man als Iterationsvorschrift x k+1 = 1 ) (x k + axk. 2 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
29 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren mit Excel Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
30 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen: Ergebnis Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
31 Integralapproximation Table of contents 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
32 Integralapproximation Mittelwertregel Mittelwertregel von f (x) = 1 x Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
33 Integralapproximation Trapezregel Trapezregel von f (x) = 1 x Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
34 Integralapproximation Simpsonsregel Simpsonsregel von f (x) = 1 x Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
35 Integralapproximation Übungen Übung Schreiben Sie ein Excel Program, das die Integrale folgender Funktionen auf dem Intervall [ 2, 2] mit n = 10 und n = 100 numerisch berechnet: f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = x 2 f 3 (x) = cos(x 2 ) Die Exakte Lösung muss nicht ausgerechnet werden! Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
36 Integralapproximation Übungen Informationen: gross/ Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs / April / 36
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