Stochastik - Lösung (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL)

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1 Prof. Dr. M. Schweizer ETH Zürich Sommer 8 Stochastik - Lösug (BSc D-MAVT / BSc D-MATH / BSc D-MATL). (6 Pukte) a) (.5 Pukte) Wir defiiere die Ereigisse D = die ähmaschie bekommt eie kleie Defekt} ud U = die ähmaschie ist ubrauchbar}. Laut Aufgabestellug gilt P (D) =.3, P (U D) =.75 ud P (U D c ) =.4. Der Satz der totale Wahrscheilichkeit liefert P (U) = P (U Ω) = P (U (D D c )) = P (U D) + P (U D c ) = P (U D)P (D) + P (U D c )P (D c ) = P (U D)P (D) + P (U D c )( P (D)) = =.55. Die Wahrscheilichkeit, dass eie ähmaschie, die mehr als 5 Jahre alt ist, ubrauchbar ist, ist 5.5%. b) (.5 Pukte) P (D c U) = P (Dc U) = P (U Dc )P (D c ) = P (U Dc )( P (D)).4.7 = =.554. P (U) P (U) P (U).55 Die Wahrscheilichkeit, dass eie ähmaschie, die ubrauchbar ist, ie eie Ausfall gehabt hat, ist 55.4%. c) ( Pukt) Es beschreibe die Zufallsvariable X die Gesamtzahl der ähmaschie, die ierhalb vo 5 Jahre eie kleie Defekt habe. Da gilt X Bi( =, p =.3). Die Wahrscheilichkeit, dass keie ähmaschie eie kleie Defekt hat, ist also gegebe durch P (X = ) = ( p) =.7 =.8 =.8%. d) ( Pukt) Es beschreibe die Zufallsvariable Z die Gesamtzahl der ähmaschie, die ierhalb vo 5 Jahre komplett ausfalle. Da gilt Z Bi( =, p =.55). Also sid die Gesamtkoste Y = 6 + 6Z = 6( + Z). Die durchschittliche Gesamtkoste sid gegebe durch de Erwartugswert der Zufallsvariable Y, also E(Y ) = E(6(+Z)) = 6(+E(Z)) = 6(+p) = 6(+.55) = 93. e) ( Pukt) Die Wahrscheilichkeit, dass das Budget überschritte wird, ist gegebe durch P (Y > 66) = P (6( + Z) > 66) = P (Z > ) = P (Z ) ( ) = P (Z = ) P (Z = ) = p ( p) = (.495).55 (.495) 9 =.99 = 99%. ( ) p ( p) 9

2 . (6 Pukte) a) ( Pukt) f X (x) = R f X,Y (x, y)dy = 8x x } x ydy = 8x x } [ y ] x = 4x 3 x }. b) ( Pukt) Die Wahrscheilichkeit, dass der Küchechef weiger als a hg für eie Pizza verwedet, ist gegebe durch P (X a) = F (a) = a f X (x)dx = a 4x 3 x } dx = a 4 a } + a>}. Also ist die Wahrscheilichkeit, dass der Küchechef weiger als 5 g =.5 hg für eie Pizza verwedet, gegebe durch P (X.5) = (.5) 4 =.65 = 6.5%. c) ( Pukt) Die Wahrscheilichkeit, dass der Küchechef δ mal soviel Mozzarella wie Tomatesauce für eie Pizza verwedet, wobei δ >, ist wege y x} x > δy} = y < x } gegebe durch δ P (X > δy ) = x>δy}f X,Y (x, y)dxdy = 8xy x } y x} x>δy}dxdy R R x δ [ ] x y δ = 8x ydy dx = 8x dx = 4 x 3 dx = δ δ. Wir suche δ >, so dass gilt P (X > δy ) =. Daraus folgt, dass δ = 9 = 3. Mit eier 9 Wahrscheilichkeit vo =.% verwedet der Küchechef dreimal soviel Mozzarella 9 wie Tomatesauce. d) ( Pukt) Die erwartete Quotiet zwische Mozzarella ud Tomatesauce für eie Pizza ist gegebe durch ( ) X x x E = Y y f X,Y (x, y)dxdy = 8x dy dx = 8x 3 dx =. R Im Durchschitt verwedet der Küchechef zweimal soviel Mozzarella wie Tomatesauce. e) ( Pukt) Wir bereche die bedigte Verteilug vo Y gegebe X = x für x >. Das ist = 8xy <x } y x} = x y 4x 3 y x} <x } für x >. Wir bereche de bedigte Erwartugswert vo Y gegebe X = a mit > als f Y X=x (y) = f X,Y (x, y) f X (x) E(Y X = a) = R yf Y X=a (y)dy = a a y dy = 3 a. We der Küchechef scho 7 g =.7 hg Mozzarella für eie Pizza verwedet hat, so ist die erwartete Mege vo Tomatesauce E(Y X =.7) =.7 hg =.47 hg = 47 g. 3

3 f) ( Pukt) Die Dichte vo Y für y ist f Y (y) = R f X,Y (x, y)dx = y 8xydx = 4y( y ) y }. Also gilt f X,Y (x, y) = 8xy x } y x} 4x 3 x } 4y( y ) y } = f X (x)f Y (y), d.h. X ud Y sid icht uabhägig. 3. (6 Pukte) a) (.5 Pukte) Wir suche so, dass das s-te theoretische Momet vo X, defiiert als µ s = E(X s ), ud das s-te empirische Momet vo x,..., x, defiiert als m s = i= xs i, übereistimme. Also habe wir für s =, µ (, λ) = m µ (, λ) = m E(X) = m E(X ) = m E(X) = m Var(X) + E(X) = m Durch Ersetze vo i der zweite Gleichug bekomme wir λ= m m m Dies führt zum Mometeschätzer ˆλ MoM = i= X i i= X i ( i= X i ( ) = X i= X i X i= ˆ MoM = X i) i= X i ( X i= X ) = i i= X i. X, λ = m + λ = m ud = m m. m b) (.5 Pukte) Da die Beobachtuge uabhägig sid, köe wir die Likelihoodfuktio schreibe als L(x,..., x,, λ) = i= f,λ(x i ). Die log-likelihoodfuktio ist l(x,..., x,, λ) = ( ) λ log L(x,..., x,, λ) = log f,λ (x i ) = log Γ() x i e λx i i= i= = log λ log Γ() + ( ) log x i λ x i. Die Ableitug der log-likelihoodfuktio ist l(x,..., x,, λ) = λ λ x i. Also i= habe wir, dass l(x,..., x,, λ) = λ = λ i= x. Da die zweite Abteilug i l (x,..., x,, λ) = λ λ Der gesuchte Maximum-Likelihood-Schätzer ist also i= egativ ist, schliesse wir daraus, dass λ ei Maximum ist. ˆλ MLE = i= X i = X. i=

4 c) (.5 Pukte) Wir ehme a, dass die Kerkraftwerke uabhägig voeiader sid. Eie zweite Aahme ist, dass gross geug ist, damit die ormalverteilug via de zetrale Grezwertsatz eie gute Approximatio liefert. Wir wede also de zetrale Grezwertsatz a. Laut dem ZGS ist X approximativ (µ X, σ X )-verteilt mit µ X = E(X) = ud λ σ X = Var(X) =. λ Die Wahrscheilichkeit, dass die durchschittliche Lebesdauer der Kerkraftwerke die Höchstgreze A überschreitet, ist also approximativ gegebe durch ( ) X µ X P (X > A) = P (X A) = P A µ X P ( Z A µ X σ X σ X σ X ) ( ) (A µx ) = Φ σ X ( ( )) ( A λ = Φ = Φ (A /λ λ ) ). λ d) (.5 Pukte) Die Wahrscheilichkeit, dass die Differez zwische der durchschittliche Lebesdauer der Kerkraftwerke ud der erwartete Lebesdauer eies Kerkraftwerks höchstes Jahr beträgt, ist approximativ gegebe durch ( P ( X µ X ) P Z σ ) ( ) X = P Z = P ( Z σ X ) ( ) P Z σ X ( ) ( ) = Φ Φ σ X ( ) = Φ. σ X Wir suche, so dass approximativ gilt ( ) P ( X µ X ).95 Φ.95 Φ (.975)σ X σ X σ X σ X σ X ( Φ (.975) ) λ. Wege Φ (.975) =.96 sollte Frakreich approximativ midestes 3.84 λ Kerkraftwerke habe. 4. (6 Pukte) Seie X i (µ, σ ) die Zahl der Chips i Paket i, die fehlerhaft sid, ud wie immer die tatsächlich gemessee Werte x,..., x Realisieruge davo. Der Parameter µ soll getestet werde. Da die Stadardabweichug σ ubekat ist, muss sie aus de Date geschätzt werde, was us zum t-test führt.

5 a) ( Pukt) Mit t ; = t 9;.975 =.6 ergibt sich die Realisierug des [ ] s 95%-Vertrauesitervalls zu I 95% = x t 9,.975 s, x + t 9,.975 = [6., 3.99]. b) ( Pukt) Wir wolle wisse, ob mehr als.5% der Chips fehlerhaft sid, d.h. ob µ grösser als 5 ist. Dazu führe wir eie ach obe eiseitige Test zum iveau % mit ull- ud Alterativhypothese H : µ = µ : = 5 ud H A : µ > µ durch. Der Verwerfugsbereich ist somit gegebe durch K = [t,, ) = [t 9,.99, ) = [.8, ). Die Realisierug der Teststatistik ist t = x µ = 9 5 s 4.9 weshalb die ullhypothese verworfe wird. = 3. K, c) ( Pukt) Wir suche das iveau, das gerade de Verwerfugsbereich [3., ) hat; das heisst, wir suche das iveau, für das t, = 3. gilt. Durch Rückwärtsauslese aus der Tabelle der t-quatile sieht ma lediglich, dass der Wert zwische % ud.5% liege muss (liear iterpoliert bekommt ma.77%). Dieses iveau heisst P -Wert. We σ = 4. bekat ist, verwede wir jetzt de z-test. Der eizige Uterschied ist, dass die Quatile der t-verteilug durch jee der Stadardormalverteilug ud die geschätzte Streuug durch die tatsächliche Streuug ersetzt werde. d) ( Pukt) K = [z, ) = [z.99, ) = [.36, ). Die Teststatistik lautet u Z = X µ, ud ihre Realisierug ist gegebe durch σ z = x µ σ Also wird H auch hier verworfe. = = 3. K. e) ( Pukt) Wege Z ( µ µ, ) ist Z µ=6 (.753, ), ud somit ergibt sich die σ Wahrscheilichkeit für eie Fehler.Art zu P µ=6 (Z / K) = P µ=6 (Z <.36) = F (.753,) (.36) = Φ( ) was ziemlich hoch ist. = Φ(.573) =.94 94%, f) ( Pukt) Die Breite des Vertrauesitervalls ist σ z.995. Somit ergibt sich die Bedigug σ z.995 < ud weiter > σz.995 =4..576=.8 bzw. >.8 =7.5, d.h. sollte midestes 8 sei. Die Frage ist u, wie gross x 8 sei muss, damit z = 8 x gilt. Diese 4. Bedigug ist äquivalet zu x = 5.9. Bei eiem Stichprobeumfag vo = 8 würde also bereits ei empirisch gemesseer Mittelwert vo 5.9 zum eiseitige Verwerfe der ullhypothese führe. 5. (6 Pukte)

6 a) (.5 Pukte) Die Stichprobe ist gepaart. Es geht um die gleiche Videos, mit zwei uterschiedliche Werbuge. b) (.5 Pukte) Wir köe icht sage, dass die Verteilug eie ormalverteilug ist. Wir köe mit eiem QQ-Plot besser beurteile, ob eie ormalverteilug vorliegt oder icht. c) ( Pukt) Sei D i = X i Y i, wobei X i die durchschittliche Zeit der Wiedergabe des i-te Videos mit der Werbug A sei, ud Y i die durchschittliche Zeit der Wiedergabe des i-te Videos mit der Werbug B. Wir wolle teste, ob die durchschittliche Zeite der Wiedergabe der Videos bei de zwei Werbuge uterscheide. Es gibt keie Aahme der ormalverteilug. Die Voraussetzuge für de etsprechede Wilcoxo-Test sid daher, dass die D i uabhägig ud idetisch verteilt, mit eier um de Mittelwert µ symmetrische stetige Verteilug, sid. Für de t-test kommt hizu, dass die D i ormalverteilt sei müsse. Für de Vorzeichetest würde ma die Symmetrie icht brauche, soder ur, dass der Media ull ist. Daher ist der Wilcoxo-Test am beste geeiget um die gegebee Iformatioe bestmöglich auszuutze. d) (.5 Pukte) Wir wolle herausfide, ob der Mittelwert µ der Differeze D i = X i Y i ugleich ist. Dazu führe wir eie zweiseitige Test zum iveau 5% mit ull- ud Alterativhypothese H : µ = ud H A : µ durch. Der Verwerfugsbereich ist somit gegebe durch K = W l} W u} = W 8} W 47}. Wir bereche die etsprechede Räge Rag( d i ) ud die V i -Idikatore. Werbug A (x i ) Werbug B (y i ) d i = x i y i Rag( d i ) v i Die Realisierug der Teststatistik ist w = Rag( d i )v i = = 3.5 / K, i= weshalb die ullhypothese icht verworfe wird. Es ka also icht achgewiese werde, dass sich die durchschittliche Zeite der Wiedergabe der Videos mit de beide Werbuge uterscheide. e) (.5 Pukte) We die Date wirklich (µ, σ )-verteilt sid, erwarte wir ugefähr eie Gerade (mit Steigug σ ud Achseabschitt µ). Ahad dieses QQ-Plots köe wir schliesse, dass die Zeitdiffereze eher (µ, σ )-verteilt sid. f) ( Pukt) Uter der Aahme eier ormalverteilug sollte Youtube de t-test wähle, da er eie bessere Macht hat (uter dieser Aahme) als der Wilcoxo-Test oder der Vorzeiche-Test. Der z-test ist keie Optio, de die Variaz ist icht bekat. Also führe wir eie zweiseitige Test zum iveau 5% mit ull- ud Alterativhypothese H : µ = ud H A : µ durch. Der Verwerfugsbereich ist somit gegebe durch

7 K = (, t ] [t, ) = (, t.5] [t.975, ) = (,.6] [.6, ). Die Teststatistik lautet u T = D µ s d, ud ihre Realisierug ist gegebe durch t = d µ =.7 s d 4.85 Also wird H auch hier icht verworfe. g) ( Pukte) Wir suche, so dass t 9, =.456 / K. =.456. Also wolle wir mit P (T 9.456) = P (T 9.456) = P (T 9.456) = Durch Rückwärtsauslese aus der Tabelle der t-quatile sieht ma lediglich, dass der Wert zwische 6% ud 7% liege muss (liear iterpoliert erhält ma 66.9%). Der P -Wert (zwische 6% ud 8%) ist demzufolge gösser als das Sigifikaziveau 5%; deshalb wird die ullhypothese icht verworfe.