Die negativen Zahlen eine Aufgabensammlung

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1 Stephan Sigler Die negativen Zahlen eine Aufgabensammlung Didaktischer Kommentar mit Lösungen edition waldorf GESTALTEN + ENTDECKEN Mathematik Pädagogische Forschungsstelle Kassel

2 Die negativen Zahlen - eine Aufgabensammlung Didaktischer Kommentar mit Lösungen Stephan Sigler edition waldorf

3 In diesem Buch wird der Einfachheit halber nur die männliche Form verwendet. Die weibliche Form ist selbstverständlich immer mit eingeschlossen. Ich danke Benedikt Kaiser und Peter Schwab sehr herzlich für die Hilfe beim Layout und letzterem zusätzlich für zahlreiche Korrekturen und Hinweise sowie den Mitgliedern der Lehrplangruppe Mathematik der Pädagogischen Forschungsstelle beim Bund der Freien Waldorfschulen für die Unterstützung und kritische Begleitung. Impressum Bildungswerk Beruf und Umwelt Brabanter Str Kassel Telefon Fax Dieses Buch ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte auf Übersetzung, des Vortrages, der Reproduktion und der auch auszugsweisen Vervielfältigung sind in jeglicher Art und Weise vorbehalten. ISBN: Bildungswerk Beruf und Umwelt 1. Auage 2014 Online-Bezugsadressen:

4 Inhaltsverzeichnis I Allgemeine Hinweise 5 1 Zum Gebrauch der Aufgabensammlung Orientierungshilfen Zu viele Aufgaben? Epochengliederung Grundsätzliches zum Üben Fähigkeitsbildung Charakter der Aufgaben Binnendierenzierung Fähigkeitsbildung Ergebnissicherung Innere Bewegung statt äuÿere Anschauung 17 4 Gestaltung des Hauptunterrichts 20 II Aufgaben mit Lösungen, Kommentaren und didaktischen Hinweisen 25 1 Übungen im Auf und Ab Kontobewegungen Gemischte Übungen Seen auf der Erde Temperaturrekorde Rechnen beim Dartspiel Das Einführen des Zahlbegris der negativen Zahl Addition von positiven und negativen Zahlen Einführende Aufgaben Additionsmauern Magisches Weitere Übungen Subtraktion von positiven und negativen Zahlen 53 Unterrichtliche Einführung der Subtraktion

5 Inhaltsverzeichnis 3.1 Einführende Aufgaben Gemischte Aufgaben Vereinfachung der Schreibweise Klammern und Vorrangregeln Die Multiplikation von positiven und negativen Zahlen 75 Die Einführung der Multiplikation von negativen Zahlen - ein Beispiel für einen dreigegliederten Hauptunterricht Der Charakter der Gedankenführung Einführende Aufgaben Multiplikation mit 10er-Zahlen Multiplikation mit Brüchen Gemischte Aufgaben Etwas zum Knobeln Die Division von positiven und negativen Zahlen 102 Die Einführung der Division mit negativen Zahlen Einführende Aufgaben Division durch 10er-Zahlen Gemischte Aufgaben 106 Literaturverzeichnis 108 Quellen 111 4

6 KAPITEL 1 Epocheninhalte Kontobewegungen und daran anschlieÿende weitere Beispiele, in denen implizit negative Zahlen, das damit verbundene (innerliche) Ausmesssen des Zahlenraumes und das Überschreiten der Null vorkommen Einführung des Zahlbegris der negativen Zahl und erste Übungen dazu Die Addition und Subtraktion Aufgaben aus 1.3. EPOCHENGLIEDERUNG Zeitbedarf bei 3 Wochen Zeitbedarf bei 4 Wochen Kap. 1.1., Tage 4 Tage Kap und Anfang von Kap. 2. Kap 2. und Kap Tage 2 Tage 4 Tage 5 Tage Klammern und Vorrangregeln Kap Tag 2 Tage Die Multiplikation Kap Tage 3 Tage Die Division Kap Tage 3 Tage Gemischtes Überblick u.a. Kap Tag 1 Tag Wenn die Epoche vier Wochen dauern kann, ist es natürlich besser: Es herrscht mehr Ruhe, die Erlebnisse können viel stärker verinnerlicht und verarbeitet werden und die Fähigkeitsbildung erreicht ein völlig anderes Niveau. Zur ersten thematischen Orientierung können folgende Abschnitte zuerst gelesen werden, die den Gang und die Charakteristik dieser Epoche beschreiben: Warum mit Schulden und Guthaben beginnen? Seite 26 Einführung des Zahlbegris der negativen Zahl Seite 41f Addition von positiven und negativen Zahlen Seite 43 Subtraktion von positiven und negativen Zahlen Vereinfachung der Schreibweise und Rechenregeln für die Addition und Subtraktion Die Multiplikation von positiven und negativen Zahlen; hier ndet sich auch ein beispielhafter Gang durch einen dreigliedrigen Hauptunterricht Seite 53 Seite 64f Seite 75 Die Division von positiven und negativen Zahlen Seite 102 9

7 Hinweise Hinweise 1 Übungen im Auf und Ab Die Aufgaben des Kapitels 1 dienen als Vorbereitung für das Einführen der negativen Zahlen. Erst am Ende von Abschnitt 1.5 sollten die negativen Zahlen als Zahlen eingeführt werden. Dort soll diese Begrisbildung genauer ausgeführt werden. Die erste Thematisierung der negativen Zahlen erfolgt am sachgerechtesten am Beispiel von Guthaben und Schulden, weil sie die verschiedenen Qualitäten von positiv und negativ in ihrer Gegensätzlichkeit auszudrücken vermögen. Die Null ist keine willkürliche Setzung wie etwa bei der Temperaturskala, sondern trennt ganz real die beiden Qualitäten und ergibt sich immer dann, wenn Guthaben und Schulden in gleicher Höhe zusammenkommen. Auÿerdem ergibt sich hier eine wichtige Brücke zu einer Wirtschaftskunde, die R. Steiner für dieses Lebensalter vorsieht (vgl. [17], S. 191) und wie sie E. Schuberth exemplarisch ausgearbeitet hat (vgl. [10]). Dort sind die Grundzüge des Wirtschaftslebens, die Funktion des Geldes und die Bedeutung von Guthaben und Schulden gut zugänglich dargestellt und sollten unbedingt im Unterricht Berücksichtigung nden! 1.1 Kontobewegungen Guthaben Schulden Diese Aufgabe eignet sich sehr gut als Einstieg, weil sich alle Lösungen aus dem Kopfrechnen ergeben. Dabei soll im Hintergrund die Gutschrift als Addition einer positiven Zahl und die Lastschrift als Addition einer negativen Zahl verstanden werden: Zu einem Anfangskapital kommt eine Gutschrift dazu, das Anfangskapital wird mehr; kommt eine Lastschrift dazu, wird es weniger. Der erste Teil der ersten Aufgabe würde auf die mathematische Schreibweise (+20) + ( 90) = ( 70), die erst viel später eingeführt wird, führen. Auch dass es sich eigentlich um eine Subtraktion handelt, soll erst viel später aus den Erfahrungen mit weiteren Aufgaben bewusst gemacht werden. In diesem Abschnitt wird also, neben dem Üben des wiederholten Überschreitens der Null, die Denkform der Addition von positiven und negativen Zahlen vorbereitet. Manche Aufgaben müssen von hinten, also vom Ergebnis her, gelöst werden. Man vermeide jede Formalisierung des Rechenganges. Bei der vorletzten Aufgabe denke

8 S. 22 Hinweise S EINFÜHRENDE AUFGABEN KAPITEL 2 46 Lösung: Wenn der erste Summand vergröÿert wird und das Ergebnis gleich bleiben soll, so muss der zweite Summand um die gleiche Zahl verkleinert werden. 6. Von einer Aufgabe ist noch gegeben: ( 12) plus (+8) = ( 4) ( 11) plus (+7) = ( 4) ( 10) plus (+6) = ( 4) ( 9) plus (+5) = ( 4). plus = In dieser Aufgabe waren Zahlen vombetrag 2 und 5 und 7 beteiligt. Leider sind alle Zahlen samt ihren Vorzeichen gelöscht worden. Wie kann die Rechnung geheiÿen haben? Wie viele mögliche Lösungen ndest Du? Eine Möglichkeit wäre z.b. (+7) plus ( 2) = (+5) Lösung: (+7) plus ( 2) = (+5) ( 7) plus (+2) = ( 5) (+7) plus ( 5) = (+2) ( 7) plus (+5) = ( 2) (+5) plus ( 7) = ( 2) ( 5) plus (+7) = (+2) (+5) plus (+2) = (+7) ( 5) plus ( 2) = ( 7) (+2) plus ( 7) = ( 5) ( 2) plus (+7) = (+5) (+2) plus (+5) = (+7) ( 2) plus ( 5) = ( 7) Bei dieser Aufgabe, die ja an sich kaumeine rechnerische Herausforderung bietet, kann für schnellere Schüler eine Systematik des Suchens aller Lösungen thematisiert werden. Lässt es sich bspw. nach ersten Überlegungen überblicken, wie viele verschiedene Lösungen es gibt?.. 7. Welche Addition hat bei den folgenden Aufgaben das gröÿte Ergebnis? Überlege

9 KAPITEL EINFÜHRENDE AUFGABEN erst ohne zu rechnen, dann rechne und überlege, wie man ohne Ausrechnen das gröÿte Ergebnis nden kann. ( 173) plus (+458) = (+285) ( 174) plus (+459) = (+285) ( 172) plus (+459) = (+287) ist am gröÿten! ( 174) plus (+457) = (+283) Wenn man nicht rechnet, muss man überlegen, dass ( 172) der gröÿte erste Summand und (+459) der gröÿte zweite Summand ist. Die beiden gröÿten Summanden ergeben zusammen die gröÿte Summe. In der Regel können das die Schüler nicht in dieser intellektuellen Klarheit aussprechen; sie lösen diese Aufgabe halb intuitiv. Sie haben es im Gefühl. Das Gefühl bewusst zu machen darauf kommt es hier an! 47 Hinweise

10 Die negativen Zahlen eine Aufgabensammlung Didaktischer Kommentar mit Lösungen Die negativen Zahlen stellen einen zentralen Unterrichtsgegenstand der 7. Klasse dar, der sich nicht im Anwenden unverstandener Rechenregeln erschöpfen darf, sondern der die Gedanken- und Phantasiekräfte der Schülerinnen und Schüler herausfordert und fördert. Wie kann dieser Eroberung des neuen Zahlenbereiches gedankliche Tiefe gegeben werden? Welche Haltungen und welche Kräfte können dabei entwickelt werden? Das Aufgabenheft für die Schülerhand enthält ein reiches Spektrum vielfältigster Aufgaben, die auf der einen Seite im besten Sinne in unterschiedlichen Denkformen fähigkeitsbildend sind und auf der anderen Seite immer wieder die Reflexion über die eigene Tätigkeit anregen. Der Lehrerband enthält die Lösungen aller Aufgaben mit Erklärung der Rechenwege, die didaktische Erschließung des Themas sowie Hinweise zu einer möglichen Unterrichts- und Epochengestaltung. Stephan Sigler ist Dozent am Lehrerseminar Kassel für die Fächer Mathematik und Geographie sowie Lehrer in der Mittel- und Oberstufe an der Freien Waldorfschule Kassel. Unterrichtsfächer GESTALTEN + ENTDECKEN ist eine Buchreihe der Pädagogischen Forschungsstelle Kassel. Weitere Themengebiete finden Sie in unserem Onlineshop: forschung.de ISBN Mathematik GESTALTEN + ENTDECKEN

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