Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 2, SS

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1 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Komlx Zahl Dr kürst Wg wsch w Wahrht m Rll führt übr das Komlx. [Jacus Hadamard, fra. Mathmatkr, ] Am Afag stad w so oft b wssschaftlch Etdckug d Nchtlösbarkt s Problms. D Nchtlösbarkt bstmmtr algbraschr Glchug hatt scho vorhr oft ur schrttws Erwtrug usrs Zahlbgrffs gführt: x + = 0 cht lösbar N, führt auf Z. x 5x = 0 cht lösbar Z, führt auf Q. x = /5 x = 0 cht lösbar Q, führt auf R. x x + = 0 cht lösbar R. x??? D komlx Zahl rlaub s, solch Glchug ud w wr sh wrd auch all algbrasch Glchug u lös... Dfto ud Darstllug komlxr Zahl Ausghd vo dr Glchug x 0 bw. x führ wr formal d Lösug x,. Df D -: magär Eht D magär Eht wrd durch dfrt. D Rchgst um Wurlh dürf NICHT allgm auf gatv Zahl übrtrag wrd: Bsl ur Warug:??? RICHTIG: Mt als Symbol rch, für das ( )( ) glt, NICHT durch???? rst. Amrkug: I dr Elktrotchk wählt ma auch oft j als Bchr für d magär Eht, damt ma cht mt dm Symbol für d Strom (I, ) Koflkt kommt. Df D - Das Produkt b magär ud komlx Zahl b b r rll Zahl b mt dr magär Eht, hßt magär Zahl. ) D Summ r rll Zahl a ud r magär Zahl b st komlx Zahl: a b a hßt Raltl, b Imagärtl vo : R( ) a, Im( ) b. ) D komlx Zahl * a b hßt d u kojugrt-komlx Zahl. ) D Mg C { a b; a, b R } hßt Mg dr komlx Zahl. W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 8

2 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Am.: D magär Zahl =b löst d Glchug = b, d (b)(b) = b = b. Bsl komlxr Zahl: 7, 5,, jd rll Zahl (s.u.). Df D - Rch mt komlx Zahl Für komlx Zahl =a +b ud =a +b glt d folgd Rchorato: ) Glchht: a a b b ) Addto: a a ( b b ) ) Multlkato: a a b b a b a b Bgrüdug Vorlsug! Für d komlx Addto ud Multlkato glt w für d rll Zahl das Kommutatvgst, das Assoatvgst ud das Dstrbutvgst (Bws durch Nachrch!) Mt komlx Zahl, dr Imagärtl 0 st, wrd w mt rll Zahl grcht: (a (a 0) (a 0) (a 0) (a 0) (a a a ) 0 ) 0 S lass sch dahr mt d rll Zahl dtfr; ma läßt 0 wg ud schrbt kur a statt a 0. I dsm S st R Tlmg vo C. Sat S - Btrag ) Das Produkt r komlx Zahl mt hrr kojugrt-komlx Zahl * st r rll: ( a b)( a b) a b ( ab ab) a ) D Wurl aus dsm Produkt t ma d Btrag dr komlx Zahl: a b b Sat S - Subtrakto ud Dvso komlxr Zahl Für komlx Zahl =a +b ud =a +b glt: ) Es gbt C gau utrals Elmt dr Addto: 0 0, für das glt: C W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 8

3 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS ) Zu jdr Zahl C gbt s gau vrss Elmt dr Addto = a b, für das glt: + ( ) =. Utr dr Subtrakto vrstht ma d Addto mt dm vrs Elmt: a a ) ( b ) ( b ) Es gbt C gau utrals Elmt dr Multlkato: E 0, für das glt: E C 4) Zu jdr Zahl C, 0+0, gbt s gau vrss Elmt dr Multlkato a b, für das glt: E. a Dvso: b a a b b a a b 0 a b a b b Bws Vorlsug! [odr Stgl, S. 09f] Sat S - Mrkrgl Subtrakto ud Dvso Für komlx Zahl =a +b ud =a +b glt: ) Zw komlx Zahl wrd subtrahrt, dm ma hr Ral- ud Imagärtl subtrahrt: b ( a a ) ( b ) ) Um durch komlx Zahl 0 u dvdr, muss ma d Bruch mt hrr kojugrt-komlx Zahl rwtr, damt dr Nr rll wrd (k mhr thält): * * Mrkrgl für Dvso wrd Vorlsug vorgrcht. Ü Übug: Brch S ( )? 4? 4?.. Gaußsch Zahlb Da komlx Zahl durch d Agab wr rllr Zahl dutg fstglgt wrd, lass sch d komlx Zahl d Pukt dr Eb, d.h. ds Vktorraums R uord: x y P( ) ( x, y) D tsrchd grahsch Darstllug hßt Gaußsch Zahlb odr komlx Eb: W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 84

4 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Im() y r = x + y x R() I Aalog u d Polarkoordat ka d komlx Zahl Läg ds Pfls ud Wkl dargstllt wrd. Mt Hlf dr Trasformatosglchug: rgbt sch: x r cos, y r s x y r cos s x y auch durch d Mt Hlf dr Eulrsch Forml lässt sch ds Darstllug och bträchtlch vrfach: Sat S -4 Eulrsch Forml Für jd rll Zahl glt: cos s. Ü Bws Vorlsug. Übug: Füll S d Tabll aus: R() Im() 0 / Mt dsr Forml folgt d sogat Exotalform: r mt r x y ud ta = y x Df D -4: Darstllugsform komlxr Zahl. Algbrasch odr kartssch Form x y, x R( ), y Im( ) W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 85

5 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Trgoomtrsch Form rcos s mt r R() Im(), ta Im() R(). Exotalform r r hßt Btrag, hßt Phas (odr Argumt odr Wkl) vo. Bd Form. ud. t ma auch Polarform. Amrkug:. Mt dm Wkl st auch k für jds gaahlg k Phas vo, d.h. d Phas st rodsch mt dr Prod. Isbsodr glt 0. Dr sog. Hautwrt dr Phas lgt vor, w ], ].. Jd komlx Zahl hat R d Btrag (d Läg). 4. D Umrchug Polarform kartssch Form st fach: Eulrsch Forml but, Ral- ud Imagärtl ausrch. 5. B dr Umrchug kartssch Form Polarform muss ma b dr Ermttlug dr Phas aufass. Ma rhält Abhäggkt vom Quadrat: y. odr 4. Quadrat: arcta x. odr. Quadrat: arcta I Vorlsug wrd d Forml für d. Quadrat (y>0, x<0) hrgltt [Paula, Bd., S. 00] y x I vl Programmbblothk (C, C++, Java, MATLAB) st ds umfassdr Dfto ds Arcus Tags übr ata(y,x) ]-,] vrfügbar, d glch d obg Fallutrschdug macht: Bsl: ) x R( ), y Im( ) Da dr Raltl gatv ud dr Imagärtl ostv st, lgt d Zahl m. Quadrat. Für Btrag ud Phas folgt: o r 4 4, arcta 0 4 cos s o W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 86

6 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS ) 5 / 6 x R() cos(5 / 6).5, y Im() s(5 / 6).598 Übug: Rch S vo = x + y wdr urück auf r ud. Sat S -5 Für d Multlkato ud Dvso wr komlxr Zahl r, r dr Exotalform glt: r r Zw komlx Zahl wrd multlrt, dm ma d Bträg multlrt ud d Phas addrt. r r Zw komlx Zahl wrd dvdrt, dm ma d Bträg dvdrt ud d Phas subtrahrt. Bws durch Nachrch mt trgoomtrschr Form >> Hausaufgab. Amrkug:. Efach Mrkrgl: "Wd auf d üblch Potgst a!".. I dr trgoomtrsch Form rgb sch d aalog Rgl durch Awdug dr Eulrsch Forml.. Aus dr Exotalform dr Multlkato tmmt ma, daß d Multlkato mt r komlx Zahl gomtrsch r Strckug um d Btrag dr Zahl ud r Drhug um d Phaswkl tsrcht, ds t ma auch Drhstrckug. Java-Alt ur Drhstrckug: GUIComlxPla.htm.lk... Schwgug als komlx Zahl W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 87

7 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Drht ma d Zgr r komlx Zahl A A um d Ursrug, so lässt sch t ( t ) das durch (t) A A bschrb. Vo dr St btrachtt sh wr d Imagärtl y(t), dr susförmg Schwgug bschrbt. (Es glt (t)=x(t)+y(t).) Mt (t) lässt sch vlfach bssr rch als mt y(t). Z.B. ka ma (t) gfahrlos d Nr schrb, d s wrd Null (!), m Ggsat u y(t). E oft buttr Trck: Rll Fukto durch komlx Erwtrug rst, damt rch, um Schluss vom Ergbs ur d Raltl hm. Ist b vl Problm dr Elktrotchk ud dr Quatmchak fachr als r rll Rchug. (Wr rr a Hadamard: Dr kürst Wg wsch w Wahrht m Rll führt übr das Komlx.) Zw Zgr lass sch komlx addr, ud hlf so, komlrtr Schwgugshäom darustll: (t) A (t) A ω t ω 4A t A t 8ωt (t) (t) (t).. Pot komlxr Zahl bdutt " mal mal ". I dr Exotaldarstllug Aufgab ur Motvato: bdutt "mal", dass ma d Phas addr muss, d Bträg multlr. Btracht S also komlx Zahl vom Btrag. D Pot vo hab also auch d Btrag (klar?) Übrlg S grahsch m Zgrdagramm: Für wlch Phas glt, wa also addr sch glch Phas u Gsamthas 0? Zch S d Zgr dr Gauss'sch Zahlb! W sht's aus für 4, für? W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 88

8 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Pot mt rll Exot Bkatrmaß kö Potr ud Wurlh bd auf hoch c -Orato urückgführt wrd. Damt das fach u rch st, wchslt ma mmr d Exotaldarstllug. W c k ga Zahl st, sodr ratoal Zahl (Bruch), da muss ma sämtlch k Phas vo aufschrb, d.h. r. D Pot brch sch w folgt: c k c c c kc r r D Brückschtgug dr Prod st otwdg, da ma all Fäll d c k ga Zahl st, mhr als Lösug rhält. Gomtrsch hab all Pot d glch Btrag. D St dr ughörg Pfl lg all auf m Krs vom Radus c r. W vl Lösug s gbt, rklär wr wtr ut, b c st ratoal Zahl. Salfäll.) c st ga Zahl. Da st kc k wdr gaahlgs Vlfachs vo ud all Wkl fall usamm. I dsm Fall gbt s ur Lösug: r Dr achfolgd Sat lfrt komakt Zusammfassug vlr trgoomtrschr Addtosthorm: Sat S -6 (Sat vo Movr) cos s cos s Bw: folgt drkt aus d Potrchrgl ud dr Eulrsch Forml (Sat S -4). Ü Übug: But S d Sat vo Movr, um d Addtosthorm für cos() ud s() hrult. Ü Übug: Lt S d "ormal" Addtosthorm cos( ) cos cos s s s( ) s cos cos s aus dr Eulrsch Forml (Sat S -4) hr. Lösug d Übug..) c st ratoal Zahl. Wr kö ahm, dass c mt tlrfrmd ga Zahl ud st. I dsm Fall st s wckmäßg, ach dm -Potr Faktor k u rgä ud k vo 0 bs lauf u lass. Es rgb sch vrschd Lösug: W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 89

9 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 90 ),..,(, 0 k mt r r r r k k c c k c Bsl: k mt k k....,, Übug: Brch ud ch S 4..) c st rratoal Zahl. I dsm Fall st k gaahlgs Vlfachs vo c ga Zahl, dahr st für k gaahlgs k d Größ kc Vlfachs vo. Es gbt dahr udlch vl Lösug, d all auf dm Krs mt dm Radus c r lg.... Fudamtalsat dr Algbra W wr.) gsh hab, bstt jd Glchug w w also gau komlx Lösug für. Es glt sogar wstlch mhr: Sat S -7 Fudamtalsat dr Algbra E algbrasch Glchug -t Grads (N) 0 0 a a... a a () P Ü

10 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS mt komlx Kofft a j bstt dr Mg C dr komlx Zahl gau "Lösug",,..., d.h. das Polyom P lässt sch w folgt Larfaktor rlg: P ( ) a... Amrkug:. D,,... müss cht all vrschd s, dshalb "Lösug" Aführugsstrch.. Dsr Sat gt, dass mach Dg m Komlx fachr sd! Für rlls Polyom ka s k,, w,..., vl Lösug gb (d.h. vl lästg Fallutrschdug sd u bacht). Im Komlx gbt s mmr Larfaktor.. Folgrug: Jds Polyom P () mt hat mdsts C als Lösug. 4. Dr Sat st fach aufuschrb, abr xtrm schwr u bws. Bsl: Das Polyom P ) ( rfällt d rll Zahl offschtlch cht Larfaktor, da d Glchug 4 0 k rll Lösug hat. I d komlx Zahl läßt sch P w folgt rlg: 4 ( )( )( ) P ( ) 4 4 Ü Übug: Wlch, C lös d Glchug ( 4 ) Bstmm S d Lösug mt dr Mthod dr uadratsch Ergäug. Braucht ma ach N Z Q R C och größr Zahlkörr als C? N, d d komlx Zahl C bld "algbrasch abgschloss" Körr. D dr Fudamtalsat dr Algbra bsagt: "Jds Polyom mt komlx Kofft ud Grad größr 0 hat Nullstll C." Mt adr Wort: Währd s b d adr Zahlkörr mmr och Polyomglchug übr dm Zahlkörr gab, d cht lösbar war, gbt s jtt solch Glchug cht mhr: x + = 0 cht lösbar N, führt auf Z. x 5x = 0 cht lösbar Z, führt auf Q. x 5 x = 0 cht lösbar Q, führt auf R. x x + = 0 cht lösbar R, führt auf C. x a x + a - x a 0 =0 lösbar C für all a C (!!) W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 9

11 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Wso komlx Zahl "schö" sd: Awdugsfall Fraktal D Natur st komlx, d.h. vlgstaltg. Dr Msch vrsucht s durch möglchst fach Gst u bschrb. Mt dm vo Bot Madlbrot gführt Bgrff dr Fraktal hab d Mathmatkr twas twcklt, was aus fach Gst rstaulch komlx Mustr hrvorbrgt. E wchtg Roll sl dab d komlx Zahl. Btracht S d fach Rkurso 0 c mt, c C 0 Jtt stll wr ur d fach Frag: Für wlch c blbt d Folg bschräkt? 6 Ma mag rwart, dass rgd glatts Gbt dr komlx Eb d Atwort st. D Atwort st abr wstlch komlxr ud führt auf d Madlbrot-Mg, d auch utr dm Nam "Aflmäch" bkat st. Das Gbt st am Rad rfrast, mmr wdr tauch kovrgt Isl m dvrgt Mr auf ud vor allm: Das Mustr st slbstählch, d.h. s thält a vl Stll ählch vrklrtr Ko sr slbst. (Java-Alt vo oomfähg. Rot: für ds c blbt Folg bschräkt; adr Farb: für ds c srgt d Folg mhr odr wgr schll jd Schrak) Slbstählch Struktur fd sch auch a vl Stll dr Natur: Far, Bäum, Schflock, DNA-Faltug,... oft das Lb ugm.) Nb dr ästhtsch Schöht dr fraktal Struktur hat hr mathmatsch Modllrug also vor allm Zwck: u vrsth, w ma komlx Systm aus fach Gst bschrb ka. (Das muss cht mmr mt komlx Zahl gschh, abr s vrfach Iformatk-Awdugsfall Bldkomrsso: Bldr lass sch xtrm komrmr, w ma s aus fach "fraktal Bldugsgst" kostrur ka >> Itrrt Fuktosystm (IFS) 6 Das bdutt d mst Fäll: Wo kovrgrt d Folg? W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 9

12 Prof. Dr. Wolfgag Ko Mathmatk, SS Fat: Komlx Zahl Wou sd komlx Zahl gut?. Mt h lass sch vorhr ulösbar Glchug w = - lös. Währd ma vorhr ( d rll Zahl) b algbrasch Glchug umstädlch Fallutrschdug "hat k//mhrr Lösug" mach musst, glt jtt (m Körr dr komlx Zahl) htlch dr Fudamtalsat dr Algbra (Sat S -7): E Glchug. Grads läßt sch gau Larfaktor rlg (hat gau Lösug).. D Gaußsch Zahlb gbt aschaulch Vorstllug vo komlx r Zahl als Vktor. D altratv Polar- odr Exotaldarstllug r komlx Zahl rlaubt fachs Multlr ud Potr.. D Eulrsch Forml cos s st dr wchtgst Forml dr mathmatsch Physk. Mt hr lass sch Schwgugshäom (s- ud cos-fukto) komakt schrb übr. Mt läßt sch vl fachr rch (Multlkato odr Potr durch Addto bw. Multlkato m Exot vl fachr als trgoomtrsch Addtosthorm!). Ma darf durch mmr dvdr, was b cos a d Nullstll cht rlaubt wär. a. Awdugsfall: Wchslstrombhug dr Elktrotchk gauso abr auch b adr Schwgugshäom. 4. Wtrs Awdugsgbt (darauf komm wr sätr och) a. Fourrrh ud Fourrtrasformato; auch hr wrd d Brchug durch wstlch lchtr. D Fourrtrasformato slt dr für d tchsch Iformatk wchtg Sgalvrarbtug ud dr Bldvrarbtug groß Roll. b. Lös vo Dffrtalglchug (DGL): Mt dm Asat t, C, lass sch vrschd Ty vo DGLs gschloss lös..5.. Whr to go from hr Vrtfugsmöglchkt: W S mhr übr komlx Zahl lr woll ud wss woll, was ma och mt komlx Zahl mach ka: o o Lös komlrtr Itgral m Rll durch d "Umwg" übr d Gaußsch Zahlb Lös vo lar Dffrtalglchug übr Asat ( t ) x ( t ) r( t ). o Wchslstrombhug dr Elktrotchk [Stgl, S. 56-6] o Fraktal: schö Eführug [Schrodr94] ud schö Bldr [PtgR86] o IFS (Itrrt Fuktosystm) ur Bldkomrsso: [Barsly88] o Aflmäch Java rogrammr: W. Ko ZDgsamt-xt.docx St 9

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