Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen Allgemeines Geschichtliches Anwendungen

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1 Die Einführung der Zahlenbereiche aufgrund spezieller Problemstellungen Allgemeines Geschichtliches Anwendungen PAUL Christina, TEUTSCH Elisabeth, Seite 1 von 19

2 Inhaltsverzeichnis 1. Abstract Seite 4. Introduction Seite 4 3. Die Zahlenbereiche Seite Die natürlichen Zahlen Seite Allgemeines Seite Problemstellung Seite Die Ägypter Seite Die ömer Seite Heute Seite Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Seite echnen mit natürlichen Zahlen- Übersichtstabelle Seite Die Erweiterung der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null Seite 6 3. Die ganzen Zahlen Seite Allgemeines Seite Problemstellung Seite Namensgebung Seite Die ganzen Zahlen in Europa Seite Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Seite echnen mit ganzen Zahlen- Übersichtstabelle Seite Die rationalen Zahlen Seite Allgemeines Seite Problemstellung Seite Die Ägypter Seite Die Babylonier Seite Die ömer Seite Brüche in Europa Seite Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Seite echnen mit rationalen Zahlen- Übersichtstabelle Seite Die irrationalen Zahlen Seite Allgemeines Seite Problemstellung Seite Beweis Seite Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Seite Berühmte irrationale Zahlen Seite Die Zahl π Seite Die Zahl e, die Eulersche Zahl Seite Die reellen Zahlen Seite Allgemeines Seite Graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Seite echnen mit reellen Zahlen- Übersichtstabelle Seite 11 Seite von 19

3 3.6. Die komplexen Zahlen Seite Allgemeines und Problemstellung Seite Die graphische Darstellung in der Gauß schen Zahlenebene Seite Die Polarform komplexer Zahlen Seite Die Exponentialform komplexer Zahlen Seite echnen mit komplexen Zahlen Seite Addition komplexer Zahlen in der Komponentenform Seite Subtraktion komplexer Zahlen in der Komponentenform Seite Multiplikation komplexer Zahlen in der Komponentenund Polarform Seite Division komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform Seite Potenzieren komplexer Zahlen in der Komponentenund Polarform Seite adizieren komplexer Zahlen in der Polarform Seite Anderes Symbol für die imaginäre Einheit in der Technik Seite Anwendungen Seite Conclusion Seite Literaturverzeichnis Seite 19 Seite 3 von 19

4 1. Abstract Zahlen sind etwas alltägliches und jedem bekannt. Sie werden eingeteilt in die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen, zusammengefasst spricht man von den reellen Zahlen. Ein weiterer Zahlenbereich, der jedoch nicht zu den reellen Zahlen zählt, ist der Bereich der imaginären, der komplexen Zahlen. Im Folgenden wird die Notwendigkeit dieser Zahlenbereiche besprochen und Gründe für die Erweiterung des eiches der Zahlen erläutert.. Introduction Die natürlichen Zahlen, die wir zum Zählen verwenden, reichen völlig aus, um einfache positive ganzzahlige Größen zu addieren, das Ergebnis ist ebenfalls eine natürliche Zahl. Neben der Addition ist auch die Multiplikation als echenverfahren möglich, die wieder eine positive ganzzahlige Lösung ergibt. Die Subtraktion und Division hingegen zwingen uns, manchmal über die natürlichen Zahlen hinauszugehen. Um Antwort auf gewisse Aufgabenstellungen zu erhalten, sind negative Zahlen und Brüche notwendig. Das Verlangen nach Vollständigkeit war Auslöser der Erfindung negativer Zahlen. Zunächst wehrten sich einige Mathematiker gegen die negativen Zahlen, die sie als sinnlos oder fiktiv bezeichneten. Das eich der Zahlen musste wieder vergrößert werden, als die Griechen versuchten, den genauen Bruch der Quadratwurzel von zwei zu ermitteln. Die irrationalen Zahlen als neue Zahlenart war unerlässlich. Alle Zahlen im Universum schienen somit entdeckt. All diese Zahlen konnten auf der Zahlengerade aufgelistet werden und ließen keinen Platz für andere. afaello Bombelli stieß bei seinen Untersuchungen zur Quadratwurzel jedoch auf eine nicht zu beantwortende Frage. Das Lösen der Quadratwurzel von minus eins schien unlösbar. Er führte i als imaginäre Zahl ein. Demnach muss es auch i geben, also existieren imaginäre natürliche Zahlen, imaginäre ganze Zahlen, imaginäre Brüche und imaginäre irrationale Zahlen. Die imaginären Zahlen scheinen das letzte Element zu sein, das nötig ist, um die Mathematik zu vervollständigen. Seite 4 von 19

5 3. Die Zahlenbereiche 3.1. Die Natürlichen Zahlen, Allgemeines Unsere ersten Vorstellungen von Zahl und Form reichen bis in die ältere Steinzeit zurück, wo Menschen in Höhlen wohnten, unter nicht wesentlich anderen Bedingungen als Tiere. In der jüngeren Steinzeit gab es große Fortschritte im Verständnis für Zahlen. Zwischen Dörfern entstand Handel, was zur Ausbildung der Sprache und zu einfachen Zahlenausdrücken führte. Anfangs wollte man nur zwischen eins, zwei und viele unterscheiden Problemstellung Unsere Vorfahren hatten das Bedürfnis verschiedene Mengen von Dingen miteinander zu vergleichen, um herauszufinden, welche Menge mehr Bestandteile enthält. Dies kann man durch Abzählen der Menge erreichen, oder durch Zuordnen. Man setzt einen Mann auf ein Pferd und schaut, ob ein Mann oder ein Pferd über bleibt. Die Menge, von der ein oder mehr Elemente überbleiben, ist dann die größere. Ein zweites Bedürfnis bestand darin, Ordnungen innerhalb einer Menge zu schaffen. So konnte festgelegt werden, wer bei der Jagd an 1.,., 3,... Stelle ritt. (z.b.: nach Alter geordnet) So entwickelten sich Kardinal- und Ordinalzahlen, die die beiden Aspekte der natürlichen Zahlen bilden. Häufig rechnet man auch die Null dazu. Auch konnten bereits einfache Gleichungen gelöst werden, wie zum Beispiel: 4x + 7x = 11x 5x = Die Ägypter Die Ägypter verwendeten ein dekadisches Zahlensystem (dekadische Stufen: 1, 10, 100, 1000,...) mit dem sie durch Aneinanderreihung der einzelnen Zeichen die natürlichen Zahlen darstellen konnten. Beispiel: = 1 = 10 Die Zahl 3: Die ömer Die ömer verwendeten als Grundzeichen : I = 1 X = 10 C = 100 M = 1000 Und als Hilfszeichen: V = 5 L = 50 D = 500 Steht das Zeichen einer kleineren Zahl links, wird subtrahiert, ansonsten addiert. Beispiel: Neun : IX (10-1) oder VIIII (5+4) Seite 5 von 19

6 Nachteil des Additionssystem ist, dass die Zahlzeichen sehr lang werden können und daher unübersichtlich. Über den Ursprung der Zeichen besteht keine Klarheit. M für 1000, zum Beispiel, wird seit dem Mittelalter verwendet Heute Heute verwenden wir ein System, das auf die Inder zurückgeht. Man spricht von einem dekadischen Positionssystem, auch Dezimalsystem. Um 800 u. Z. wurde die Null auch von den Indern eingeführt Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl echnen mit natürlichen Zahlen- Übersichtstabelle A, B echenart Bedingung möglich Nicht möglich Addition A + B Keine Subtraktion A B B < A Multiplikation A*B Keine * 6 Division A/B C : C*B = A 8/4 8/3 Potenzieren A B Keine 3 adizieren B A falls B gerade, A > 0 x : x B = A Die Erweiterung der natürlichen Zahlen mit der Zahl Null, 0 Manchmal werden die natürlichen Zahlen mit der Zahl Null erweitert. Diese Erweiterung muss aber explizit angegeben sein, denn die natürlichen Zahlen erhalten die Null normal nicht. Gekennzeichnet wird diese Erweiterung zum Beispiel mit einem eigenen Symbol 3.. Die Ganzen Zahlen, Allgemeines In der ealität kommt man in gewissen Gebieten mit den natürlichen Zahlen nicht aus. So muss zum Beispiel angegeben werden, ob eine Temperatur oberhalb oder unterhalb des Gefrierpunktes gemessen worden ist Problemstellung Die Hindus stellten fest, dass 5 minus 3 offensichtlich ergab, 3 minus 5 jedoch nicht so einfach zu lösen war. Die Antwort lag jenseits der natürlichen Zahlen und so wurden die negativen Zahlen eingeführt. Seite 6 von 19

7 Ansätze der Verwendung negativer Zahlen finden sich bei dem spätgriechischen Mathematiker Diophant (um 50 u.z.). Bei den Indern (um 700 u.z.) war das echnen mit negativen Zahlen voll entwickelt. Gleichungen dieser Art konnten gelöst werden: 3x 7x = -4x, -7x = Namensgebung Die Bezeichnungen positiv und negativ kommen von den Wörtern für Guthaben und Schulden Die ganzen Zahlen in Europa Der Grund dafür, dass negative Zahlen in Europa erst sehr spät eingebürgert wurden, liegt vermutlich darin, dass sie von den Arabern, die die mathematische Brücke zwischen Indien und Europa waren, abgelehnt wurden. Endgültig aufgenommen in die Mathematik wurden sie durch Hermann Hankel ( ) Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl echnen mit ganzen Zahlen- Übersichtstabelle A, B echenart Symbol Bedingung Möglich Nicht möglich Addition A + B Keine Subtraktion A B Keine Multiplikation A * B Keine * 6, - * 5 Division A / B C : C*B = A -4/ 8/3 Potenzieren A B Keine 3, -3, -4 6 adizieren B A x : x B = A falls B gerade: A > 0 16, 3-7 1, Die ationalen Zahlen, Allgemeines Die Lehre von den Brüchen, so wie wir sie kennen, kam von Indien ( um 600 u.z.) über die Araber und italienischen Kaufleute zu uns Problemstellung Die Erweiterung der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen war ein Fortschritt gewesen, doch auch in dem Bereich der ganzen Zahlen stieß man schnell auf Grenzen. Denn nicht immer führen Berechnungen mit ganzen Zahlen wieder auf ganze Zahlen. Zum Beispiel führt die Gleichung x = 5 niemals zu einem x- Wert aus den ganzen Zahlen. Seite 7 von 19

8 Aus diesem Grunde führte man die rationalen Zahlen ein. ationale Zahlen sind Brüche mit endlich vielen Kommastellen, wie zum Beispiel ½, ¼, ¾ usw. Nach Einführung der rationalen Zahlen konnten Aufgaben wie diese gelöst werden: ¾ x + 0,7x =, 9/3 = Die Ägypter Die Ägypter kannten nur Stammbrüche, die sich aus obig erwähnten Zeichen zusammensetzen. Alle anderen Brüche wurden als Summe von Stammbrüchen dargestellt, was oft sehr umständlich war Die Babylonier Die Babylonier verwendeten als Grundzahl 60, hergeleitet von der Zeit- und Winkelteilung und stellten Brüche als Vielfache von 1/60 dar Die ömer Die ömer stellten nur Brüche mit dem Nenner 1 dar. Der römische Name für 1/1 ist Uncia, ein Wort, das später zum Gewichtmaß Unze (1 Unze entspricht 8,4 Gramm) wurde Brüche in Europa In Europa wurden Brüche erst im Mittelalter bekannt. Zum Unterrichtsgegenstand in Schulen wurden sie erst um etwa 1700, wo jedoch auch nur das Allernötigste ohne Begründung gelehrt wurde. Als Begründer der Lehre von den Dezimalbrüchen gilt der holländische Kaufmann und Ingenieur Simon Stevin ( ). Allerdings hatte er auch Vorläufer wie etwa Johannes egio-montaus ( ) und Francois Vieta Viéte ( ) Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl echnen mit rationalen Zahlen- Übersichtstabelle A, B echenart Bedingung Möglich Nicht möglich Addition A + B Keine,3 + 5,6 Subtraktion A B Keine 1,7 3,4 Multiplikation A*B Keine 1* 9,87 Division A/B C : C*B = A 3,4 / 0,5 U/d bei Kreis Potenzieren A B Keine (-1,17) 3,45 adizieren B A x : x B = A Falls B gerade: A > 0 1, -5 Seite 8 von 19

9 3.4. Die Irrationalen Zahlen Allgemeines Die Entdeckung der irrationalen Zahlen gelang wahrscheinlich den pythagoreischen Mathematikern um die Mitte des fünften Jahrhunderts. Hippasos veröffentlichte die Konstruktion der aus fünf Fünfecken zusammengesetzten Kugel und die Entdeckung des Irrationalen. Die Geometrie forderte das Gebiet der rationalen Zahlen durch die irrationalen Zahlen zu erweitern. Ihre bloße Vorstellung war Pythagoras zuwider, er lehnte sie ab. Ihre Existenz widerlegt die Ideologie, alles in der Welt lasse sich durch natürliche Zahlen ausdrücken. Er legte seinen Schülern nahe, die Existenz dieser mathematischen Monster zu verheimlichen Problemstellung Betrachtet man die einfachsten Brüche, die es gibt, wie zum Beispiel 1/,1/3 und 1/4, wird man erkennen, dass 1/3 unendlich viele Kommastellen hat. Das heißt, man kann die Zahl 1/3 nie exakt mit all ihren Kommastellen anschreiben. Will man die Zahl allerdings nicht als Bruch anschreiben, schreibt man: 0,3. Das Symbol über der Zahl 3 bedeutet 3 periodisch, das heißt, der 3 folgen unendlich viele mehr. Unendlich viele Nachkommastellen machen allerdings nicht automatisch irrationale Zahl aus. Irrational ist eine Zahl dann, wenn die unendlich viele Nachkommastellen in keiner Form periodisch sind. Ein Beispiel für eine irrationale Zahl ist. Mit der Durchsetzung einer strengen Beweisführung zur Zeit Karl Friedrich Gauß ( ), Augustin-Louis Cauchy ( ) und Niels Abel ( ) sah man die irrationalen Zahlen als etwas Selbstverständliches. Euklid wagte sich daran, zu beweisen, dass nicht als Bruch darstellbar ist Beweis Da er den Widerspruchsbeweis verwendete, ging er zunächst davon aus, das Gegenteil sei wahr, nämlich dass als noch unbekannter Bruch geschrieben werden könne. Dieser hypothetische Bruch wird durch den Ausdruck q p dargestellt, wobei p und q ganze Zahlen sind. p = q p = q q = p q = ( m) = 4m q = m (n) = 4n = m p m m = = = q n n 1. Schritt: Quadrieren beider Seiten. Schritt: umformen (bruchfrei machen) Bemerkung: p² muss gerade sein, denn eine beliebige Zahl mit zwei multipliziert ist immer gerade; demnach ist auch p gerade 3. Schritt: für p m einsetzen, ausquadrieren (m ) 4. Schritt: durch dividieren Bemerkung: q² muss gerade sein, denn eine beliebige Zahl mit zwei multipliziert ist immer gerade 5. Schritt: für q kann nun n eingesetzt werden (n ) Seite 9 von 19

10 Wir haben nun einen Bruch, der einfacher ist, als q p. Das selbe Verfahren angewendet auf n m ergibt einen neuen Bruch h g, und so weiter, ohne Ende. Brüche können nicht unendlich oft vereinfacht werden, deshalb ist die Folge ein Widerspruch und ist eine irrationale Zahl. Die Lösung der Gleichung x = ist also nur in den irrationalen Zahlen möglich, genauso wie alle Gleichungen, die über mehrere echenschritte zu dieser Form führen, wie zum Beispiel die quadratische Gleichung ½ x + 4x + 7 = 0. Nach Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen kommt man zu dem Ergebnis 1 x = - 4 ±, und sieht sofort, dass es nur in den irrationalen Zahlen eine Lösung gibt Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Berühmte irrationale Zahlen Zwei berühmte irrationale Zahlen sind π und e Die Zahl π π gibt das Verhältnis zwischen dem Umfang U und dem Durchmesser d in einem Kreis an. U = π*d Werte für π Ca v. Chr. 3,1605 (16/9) Ca. 300 v.chr. 3,148 (/7) Ca. 400 n. Chr. 3, (355/113) Ca n. Chr. Erstmals Berechnung von 14 Nachkommastellen Ca n. Chr. Leonhard Euler: berechnete innerhalb einer Stunde 0 Nachkommastellen Ca n. Chr. Johann Dase verwendete Monate seines Lebens, um 00 Nachkommastellen zu berechnen Im Jahre Stellen Doch was bedeuten schon Milliarden angesichts der Unendlichkeit π mit seinem ersten 100 Nachkommastellen Pi = Seite 10 von 19

11 Die Zahl e, die Eulersche Zahl: Die nach Leonhard Euler benannte Zahl e ist die Basis der sogenannten natürlichen Logarithmen. e ist das Ergebnis eines Grenzübergangs. Die beiden bekanntesten Darstellungen dieser Zahl lauten: e = lim (1 + 1/n) n e = 1/0! + 1/1! + 1/! + 1/3! + 1/4! /n! (n ) e =, Die reellen Zahlen, Allgemeines Die reellen Zahlen sind eine Zusammenfassung aller bis jetzt erwähnten Zahlenbereiche. Bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts hat es gedauert, bis die Mathematiker präzise mit reellen Zahlen arbeiten konnten Die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl Der Zahlenstrahl hat nun keine Lücken mehr! echnen mit reellen Zahlen- Übersichtstabelle A, B echenart Bedingung Möglich Nicht möglich Addition A + B Keine Subtraktion A B Keine Multiplikation A*B Keine Division A/B Keine Potenzieren A B Keine adizieren B A x : x B = A Falls B gerade: A > 0 3-7, Die Komplexen Zahlen, Allgemeines und Problemstellung Wie bereits in den vorigen Kapiteln erläutert, gibt es quadratische Gleichungen der Form ax + bx + c = 0, die in lösbar sind. Doch gibt es auch Gleichungen, die in den reellen Zahlen nicht lösbar sein können, wie z.b. x = -1, denn die Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Die Menge der reellen Zahlen reicht also nicht aus, alle Gleichungen der Form ax + bx + c = 0 zu lösen. Die komplexen Zahlen haben ihren Ursprung also in der Forderung, den Quadratwurzeln aus negativen Zahlen etwas zuzuordnen, also Zahlen anzugeben, deren Quadrate negativ sind. Seite 11 von 19

12 Zu diesem Zweck führte Leonhard Euler eine neue Zahl ein: i. Diese Zahl sollte die Lösung der Gleichung x = -1 sein. i wird als imaginäre Einheit bezeichnet. Multipliziert man diese imaginäre Einheit mit einer reellen Zahl b, so entsteht eine neue Art von Zahlen. Zahlen der Form ib nennt man die imaginären Zahlen. Wird eine imaginäre Zahl ib mit einer reellen Zahl a addiert, so erhält man eine komplexe Zahl a + ib. Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Komponentenform z = a + ib (a,b ) darstellen. Dabei heißt a der ealteil von z und b der Imaginärteil von z. Man schreibt e{z} = a und Im{z} = b. Zwei komplexe Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen ihrer Imaginärteile unterscheiden, nennt man konjugiert komplexe Zahlen. Es gilt: z = a + ib (a;b) z* = a - ib (a;-b) 3.6. Die graphische Darstellung in der Gauß schen Ebene Die komplexen Zahlen haben jedoch den Nachteil, dass sie auf den ersten Blick nicht anschaulich dargestellt werden können. Der Zahlenstrahl, mit dem die Zahlenbereiche der vorigen Kapitel dargestellt werden, reicht zur Darstellung nicht aus. Der Erste, der eine gute Möglichkeit für die graphische Darstellung der komplexen Zahlen sah, war Karl Friedrich Gauß. Er führte die graphische Darstellung der komplexen Zahlen als Vektoren in der Ebene ein. Nach ihm benannt ist die Gauß sche Zahlenebene, die bis heute der Darstellung dient. Dabei wird der bisher bekannte Zahlenstrahl um eine Achse erweitert, die imaginäre Achse. Die Gauß sche Zahlenebene Seite 1 von 19

13 Einige Beispiele: z 1 = 3 z = i z 3 = + i* z 4 = 4 i* z 5 = - + i*3 z 6 = -3 i*4 z 5 Im z 3 z z 1 e z 6 z Die Polarform komplexer Zahlen Neben der Komponentenform gibt es eine weitere Vorschrift zum Beschreiben komplexer Zahlen. Im r z r Betrag der komplexen Zahl z; r = z ϕ Argument der komplexen Zahl z; ϕ = arg z ϕ b e a Hierbei gelten folgende Zusammenhänge: r = a +b ϕ = arctan a/b z = a + ib = r* cos ϕ + i* r* sin ϕ = (ϕ ; r) Beispiel: z = 4 +i*3 in Polarform: r = = 5 ϕ = acrtan ¾ = 6,87 z = 4 + i*3 = 5*(cos 36,87 + i* sin 36,87 ) = (36,87 ; 5) Seite 13 von 19

14 Die Exponentialform komplexer Zahlen Neben der Komponentenform und der Polarform gibt es noch eine dritte Darstellungsform für komplexe Zahlen. Eulersche Formel: cos ϕ + i* sin ϕ = e iϕ Aus diesem Grund lässt sich jede Zahl z = a+ ib = r(cos ϕ + i* sin ϕ) 0 in der Exponentialform darstellen: z = r* e iϕ Ein Beispiel: z = - i*3 In Polarform: z = 3,61 (cos 36,31 + i* sin 36,31 ) In Exponentialform: z = 3,61*e 4,144 (Exponent in adianten) echnen mit komplexen Zahlen A, B echenart Symbol Bedingung Möglich Nicht möglich Addition A + B Keine + i*3 + i*4 Subtraktion A B Keine 17+ i*3 i* Multiplikation A*B Keine *(3+i*5) Division A/B Keine 17/i*3 Potenzieren A B Keine (+ i*4) 3 adizieren B A Keine -5, -16, i*3 Im folgenden Kapitel wird immer der einfachste Lösungsweg erklärt! Die komplexe Zahl wird in der Form (Komponenten-, Exponential- oder Polarform, oder auch in zwei verschiedenen) dargestellt, in der es am einfachsten ist, die Aufgabe zu lösen Addition komplexer Zahlen in der Komponentenform z 1 = a + ib, z = c + id z = z 1 + z = (a + ib) + (c + id) = (a+c) + (ib+id) Die ealteile werden addiert und die Imaginärteile werden addiert. Beispiel: z 1 = + i3, z = 1 + i z = ( + i3)+( 1 + i) = (+1)+(i3+i) = 3 + i Subtraktion komplexer Zahlen in der Komponentenform z 1 = a + ib, z = c + id z = z 1 - z = (a + ib) - (c + id) = (a-c) + (ib-id) Die ealteile werden subtrahiert und die Imaginärteile werden subtrahiert. Seite 14 von 19

15 Beispiel: z 1 = 4 + i, z = 3 + i3 z = z 1 - z = (4 + i)-( 3 + i3) = (4-3)+(i-i3) = 1 i Multiplikation komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform In Komponentenform: z 1 = a + ib, z = c + id z = z1 * z = (a + ib) * (c + id) = a*c + a*id + c*ib + i *b*d Die Klammern werden ausmultipliziert und soweit vereinfacht wie möglich. Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen wird es vorkommen, dass die Hilfszahl i nicht nur in der ersten Potenz auftritt. i 0 1 i 1 i i -1 i 3 -i i 4 1 i 5 i Beispiel z 1 = + i, z = 1 + i3 z = z 1 * z = (+i) * (1+i3)= + *i3 + i+ i **3 = + i8-6 = -4 +i8 In der Polarform: z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) z = z1*z = (ϕ1 + ϕ; r1*r) z1 = 1,(cos 40 + i sin 40 ), z = 0,8(cos 0 + i sin 0 ) z = z1*z = (40 +0 ; 0,8*1,) = (60 ; 0,96) Division komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform In der Komponentenform: z 1 = a + ib z = c + id z = (a + ib) = (a + ib) * (c - id) (c + id) (c + id) * (c - id) Der Nenner wird mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert, um ihn reell zu machen. Daher muss natürlich auch der Zähler erweitert werden. Anschließend wird der Bruch soweit wie möglich berechnet und vereinfacht. Beispiel z 1 = 1+i, z = 1+i z = z 1 = (1+i) = (1+i) *(1-i) = (1+i+i+i ) = (-1 +i3) z (1+i) (1+i)*(1-i) (1-4) -3 In der Polarform: z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) z = z1 = (ϕ1 - ϕ; r1 ) z r Seite 15 von 19

16 z1 = 1,(cos 40 + i sin 40 ), z = 0,8(cos 0 + i sin 0 ) z = z1 = (40-0 ; 0,8) = (0 ; 0,66) z 1, Potenzieren komplexer Zahlen in der Komponenten- und Polarform In der Komponentenform: z 1 = (a +ib) z = z 1 Die binomische Formel wird angewandt. Beispiel z 1 = (+i3) z = (+i3) = 4 + **i3 + i 9 = -5 + i1 In der Polarform: z = (ϕ;r) z n = (ϕ;r) n = (n*ϕ; r n ) Beispiel: z = (0 ; 5) z = (*0 ; 5 ) = (40 ; 5) adizieren komplexer Zahlen in der Polarform z = (ϕ;r) n z = (ϕ/n ; n r) Die so gefundene Lösung nennt man Hauptwert. Die n-te Wurzel besitzt in C aber immer n Lösungen. Die k-te Lösung ergibt sich durch: (ϕ/n + k*(360 /n); n r) Beispiel: z = (60, 8) 3 z =? z 0 = (0, ) z 1 = (0 + 1*(360 /3);) = (140 ;) z = (0 + *(360 /3);) = (60 ;) Anderes Symbol für die imaginäre Einheit in der Technik In der Technik wird normalerweise statt einem i ein j für die imaginäre Einheit verwendet, da zum Beispiel in der Elektrotechnik das i für den zeitabhängigen Strom steht. Mit der Umbenennung sollen Verwechselungen und Unklarheiten vermieden werden. + j3 entspricht + i* Anwendungen Die komplexen Zahlen finden vor allem Anwendung in der Elektrotechnik, zum Beispiel werden sie bei der Berechnung von Widerstandsnetzwerken (Zusammenschaltung mehrerer elektrischer Widerstände) gebraucht.. Sei zum Beispiel ein Widerstandsnetzwerk und die Eingangsspannung gegeben; zu berechnen ist der Gesamtwiderstand der Schaltung und der Strom. Seite 16 von 19

17 Das Ohmsche Gesetz Liegt an einem Verbraucher(Widerstand) eine bestimmte Spannung an, so fließt ein gewisser Strom. Strom I Spannung U Widerstand Das Ohmsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Spannung, dem Strom und einem Widerstand, U = *I Enthält eine Schaltung nun mehrere Widerstände, muss der Gesamtwiderstand berechnet werden. In der Elektrotechnik gibt es verschiedene elektrische Widerstände. Manche haben nur einen reellen Anteil, manche haben nur einen komplexen Anteil. Ohmscher Widerstand: Induktiver Widerstand: L Z = Z = jωl Kapazitiver Widerstand: C 1 Z = ω = πf jωc f ω Frequenz der Spannung bzw. des Stroms( in Österreich f = 50Hz) Kreisfrequenz Darstellung eines komplexen Widerstands z: Im Im z ωl e ϕ X e 1/ωC X ϕ Wirkkomponente Blindkomponente Phasenwinkel Seite 17 von 19

18 Beispiel für die graphische Darstellung und exakte Berechnung eines Gesamtwiderstandes bei Serienschaltung. Durch die graphische Darstellung ist sehr leicht ersichtlich, wie gerechnet werden muss(pythagoras) L Im ωl Z = + jωl Z = +(ωl) ϕ = arctan ωl Im e C e 1 /ωc Z = + 1 jωc Z = +( 1 ) ωc 1 ϕ = arctan ωc Im L ωl 1 /ωc C ωl 1/ωC e 1 Z = + jωl + 1 Z = + (ωl - 1 ) ϕ = arctan ωl - ωc jωc ωc Seite 18 von 19

19 4. Conclusion Bereits in der älteren Steinzeit hatten die Menschen eine Vorstellung von Zahl und Form. Die Erweiterung zu den natürlichen Zahlen ermöglichte die Lösung der Gleichung 3x=9 und ähnliche. Bei der Subtraktion zweier natürlichen Zahlen, wobei der Subtrahend größer ist, als der Minuend, ergibt sich ein Problem, zu dessen Lösung eine Erweiterung der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen notwendig ist. Die Gleichung 3x=9 kann somit gelöst werden. Schon bald reichten aber auch die ganzen Zahlen nicht mehr aus und die rationalen Zahlen wurden eingeführt. Aufgaben wie zum Beispiel 9/3 sind lösbar. In der Geometrie stieß man auf die Notwendigkeit der Dezimalschreibweise mit unendlich vielen Nachkommastellen. Konkrete Beweise nahmen immer mehr Bedeutung an und so konnte mathematisch exakt bewiesen werden, dass als Beispiel, nicht als Bruch darstellbar ist, und daher irrational sein muss. Die Gleichung x²= hat somit eine irrationale Lösung. Damit auch die Gleichung x² = -1 lösbar ist, wurde das Symbol `i der komplexen Zahlen eingeführt. Vor allem die Elektrotechnik ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der komplexen Zahlen. 5. Literaturverzeichnis Mathematik in Antike und Orient Abriß der Geschichte der Mathematik Die Pythagoreer auf dem Weg zum exakten Denken (Diplomarbeit) Fermats letzter Satz Grosse Augenblicke aus der Geschichte der Mathematik Irrationalzahlen Kleine Enzyklopädie- Mathematik Basiswissen Elektrotechnik Mathematikskriptum HTL Braunau, Jahrgang Helmuth Gericke Dirk J. Struik Sandra ieger Simon Singh óbert Freud (Hrsg.) Prof. Dr. Oskar Perron Fleischmann, Dieter Seite 19 von 19