3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper"

Transkript

1 32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt und dabei z. B. in Beispiel 2.7 (b) gesehen, dass es außer den reellen Zahlen auch noch ganz andere Mengen (in der Tat sehr sehr viele andere Mengen) gibt, die diese Eigenschaften ebenfalls erfüllen. Wir müssen also noch weitere Eigenschaften auflisten, um die reellen Zahlen eindeutig zu charakterisieren. Dies wollen wir in diesem Kapitel tun. Eine Eigenschaft der reellen Zahlen, die wir bisher völlig vernachlässigt haben, ist, dass man sie ordnen kann, also dass man zwei Zahlen der Größe nach vergleichen kann. Die Eigenschaften dieser Ordnungsrelation werden im Begriff des sogenannten geordneten Körpers formalisiert: Definition 3.1 (Geordnete Körper). Ein Körper K heißt geordneter oder angeordneter Körper, wenn in ihm eine Menge P K (die Menge der positiven Zahlen ) ausgezeichnet ist, so dass die folgenden drei Eigenschaften gelten: (a) Für alle x K gilt genau eine der drei Eigenschaften x = 0, x P oder x P. (Im zweiten Fall nennt man x eine positive Zahl, im dritten eine negative Zahl.) (b) Für alle x,y P ist x + y P ( die Summe zweier positiver Zahlen ist positiv ). (c) Für alle x,y P ist xy P ( das Produkt zweier positiver Zahlen ist positiv ). In diesem Fall schreibt man x < y oder y > x falls y x P, und x y oder y x falls y x P oder y = x. (Insbesondere ist also x > 0 genau dann wenn x P, und x < 0 genau dann wenn x P; außerdem gilt nach (a) für x,y K stets genau eine der Aussagen x < y, y < x oder x = y.) Beispiel 3.2. (a) R und Q sind geordnete Körper (was wir hier wiederum axiomatisch voraussetzen wollen). (b) Der Körper Z 2 aus Beispiel 2.7 (b) kann nicht zu einem geordneten Körper gemacht werden: das Element 1 = u ist nicht gleich 0, also müsste nach Definition 3.1 (a) genau eine der beiden Eigenschaften 1 P und 1 P gelten. Das ist aber unmöglich, da in Z 2 die Gleichung 1 = 1 gilt. Wie schon bei den Körpern wollen wir auch hier für die geordneten Körper die wichtigsten Eigenschaften ableiten, die aus der Definition folgen (und die euch für die reellen Zahlen sicher bekannt sind): Lemma 3.3. Für alle x,y,z in einem geordneten Körper K gilt: (a) (Transitivität) Ist x < y und y < z, so gilt auch x < z. (b) Ist x < y, so folgt x +z < y +z. Ist zusätzlich z > 0, so folgt auch xz < yz; ist jedoch z < 0, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um und es gilt xz > yz. (c) Ist x 0, so ist x 2 > 0. Insbesondere ist also 1 > 0. (d) Ist 0 < x < y, so folgt 0 < y 1 < x 1. (Entsprechende Aussagen gelten natürlich auch für die nicht-strikten Ungleichungen bzw..) Beweis. (a) Ist x < y und y < z, also y x P und z y P, so ist nach Definition 3.1 (b) auch z x = (z y) + (y x) P, also x < z.

2 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 33 (b) Es sei x < y, also y x P. Zunächst einmal folgt dann natürlich (y + z) (x + z) = y x P, also x + z < y + z. Ist außerdem z > 0, also z P, so gilt nach Definition 3.1 (c) auch (y x)z = yz xz P, also xz < yz. Ist hingegen z < 0, also z P, so gilt diesmal (y x)( z) = xz yz P, also yz < xz. (c) Ist x P, so ist natürlich auch x 2 P nach Definition 3.1 (c). Ist x P, so folgt genauso x 2 = ( x) 2 P. Also ist für x 0 in jedem Fall x 2 > 0. Insbesondere ist damit 1 = 1 1 > 0. (d) Ist x P, so folgt aus (c) und Definition 3.1 (c) zunächst x 1 = x (x 1 ) 2 P, also x 1 > 0. Genauso ergibt sich y 1 > 0. Ist nun x < y, so folgt aus (b) durch Multiplikation mit der positiven Zahl x 1 y 1 die Ungleichung xx 1 y 1 < yx 1 y 1, also y 1 < x 1, was zu zeigen war. Notation 3.4 (Intervalle und Betrag). Die folgenden Notationen verwendet man häufig in einem geordneten Körper K: (a) Sind a,b K mit a b, so definiert man die folgenden Teilmengen von K: [a,b] := {x K : a x b} (abgeschlossene Intervalle); (a,b) := {x K : a < x < b} (offene Intervalle); [a,b) := {x K : a x < b} (halboffene Intervalle); [a, ) := {x K : a x} (uneigentliche Intervalle); und analog natürlich (a,b], (a, ), (,b] und (,b). Wenn wir derartige Intervalle im Fall K = R graphisch darstellen, deuten wir wie im Bild unten meistens durch Rundungen an den Intervallgrenzen an, ob die Randpunkte mit dazugehören sollen oder nicht. (b) Für x K definieren wir den Betrag von x als { x falls x 0, x := x falls x 0. Im Fall K = R sieht die Betragsfunktion natürlich wie im folgenden Bild rechts aus. x a (a,b) b R a [a, ) R 1 1 x Die wichtigsten beiden Eigenschaften der Betragsfunktion sind ihre Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation: Lemma 3.5 (Eigenschaften der Betragsfunktion). Für alle x,y in einem geordneten Körper K gilt (a) xy = x y ; (b) x + y x + y. Diese Ungleichung bezeichnet man als Dreiecksungleichung wir werden in Bemerkung 4.10 (a) sehen, warum. Beweis. (a) Wir machen eine Fallunterscheidung je nach Vorzeichen von x und y. Ist z. B. x 0 und y 0, so ist xy 0 und damit nach Definition des Betrages x = x, y = y und xy = xy. Zusammensetzen dieser Gleichungen ergibt die Behauptung xy = xy = x ( y) = x y. Die anderen Fälle der möglichen Vorzeichenverteilungen beweist man genauso. (b) Es gilt stets x x, denn für x 0 ist sogar x = x, und für x < 0 ist x negativ und x positiv. Genauso folgt y y und damit x + y x + y. (1)

3 34 Andreas Gathmann 06 Auf die gleiche Art ergibt sich x x = x und y y = y und damit ebenso x y x + y. (2) Aber x + y ist in jedem Fall eine der beiden Zahlen x + y oder x y. Damit folgt die Behauptung x + y x + y aus (1) und (2). Bemerkung 3.6 (Dreiecksungleichung nach oben und unten). Die Dreiecksungleichung aus Lemma 3.5 (b) schätzt den Betrag x + y einer Summe nach oben ab. Offensichtlich gilt im Allgemeinen keine Gleichheit, wie das Beispiel x = 1, y = 1 zeigt: hier ist x + y = 0 < 2 = x + y. Möchte man auch eine Abschätzung nach unten haben, so kann man diese erhalten, indem man in der Dreiecksungleichung x = a+b und y = b setzt: dann erhält man nämlich a+b b a+b + b und damit a + b a b für alle a,b K. Schreibt man dies wieder in den Variablen x und y, so sehen wir, dass für alle x,y K die Abschätzungen gelten. x y x + y x + y Eine weitere Anwendung der Eigenschaften eines geordneten Körpers ist die folgende Ungleichung, die oftmals dann nützlich ist, wenn die Größe von Potenzen x n mit der von Produkten n x verglichen werden soll. Satz 3.7 (Bernoullische Ungleichung). Es sei K ein geordneter Körper, x K mit x 1, und n N. Dann gilt (1 + x) n 1 + nx. Beweis. Wir zeigen die Aussage mit Induktion über n. Das Bild rechts unten veranschaulicht die Ungleichung im Fall K = R und n = 2. Der Induktionsanfang für n = 0 ist klar: dann sind beide Seiten gleich 1, die Ungleichung ist dann also erfüllt. Für den Induktionsschritt nehmen wir nun an, dass (1 + x) n 1 + nx für alle x 1 und ein gegebenes n N gilt. Nach Lemma 3.3 (b) können wir diese Ungleichung mit der nach Voraussetzung nicht-negativen Zahl 1+x multiplizieren und erhalten (1 + x) n+1 (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx (1 + x) x x Nach Lemma 3.3 (c) ist nun nx 2 0 und damit (1 + x) n (n + 1)x, was zu zeigen war. Aufgabe 3.8. (a) Für welche x,y R gilt die Ungleichung 2xy x + y x + y 2? (b) Zeige, dass 2 (1 + 1 n )n < 3 für alle n N >0. Aufgabe 3.9. Für welche n N gilt ( n 3 ) n < n! < ( n 2 ) n? (Diese beiden Ungleichungen die für die meisten natürlichen Zahlen gelten, wie ihr herausbekommen solltet geben somit eine recht brauchbare Näherung der Fakultät durch Potenzfunktionen.) Natürlich kann man in einem geordneten Körper K auch das Maximum und Minimum von zwei Elementen x,y K auf die offensichtliche Art definieren, nämlich durch { { x falls x y, x falls x y, max(x,y) := bzw. min(x, y) := y falls y x y falls y x.

4 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 35 Für unsere Anwendungen wird es jedoch wichtig sein, die Begriffe von Maximum und Minimum nicht nur für zwei Elemente, sondern auch für eine evtl. unendliche Teilmenge M von K betrachten zu können. Dabei müssen wir jedoch aufpassen: während z. B. das abgeschlossene Intervall M = [0,1] R natürlich die 1 als größtes Element und damit als Maximum dieser Menge besitzt, gibt es im Fall des offenen Intervalls M = (0,1) R keine größte Zahl in M, da die Elemente von M zwar beliebig nahe an 1 heran kommen, diesen Wert aber nicht erreichen. Wie dies für beliebige Teilmengen M aussieht, wollen wir nun formal exakt untersuchen. Definition 3.10 (Beschränkte Mengen). Es sei M eine Teilmenge eines geordneten Körpers K. (a) Ein Element s K heißt obere Schranke für M, wenn x s für alle x M. Existiert eine solche obere Schranke für M, so nennt man M nach oben beschränkt. Analog definiert man den Begriff einer unteren Schranke bzw. einer nach unten beschränkten Menge. (b) Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist, oder äquivalent dazu wenn die Menge ihrer Beträge beschränkt ist, also wenn es ein s K gibt mit x s für alle x M. Beispiel Das Intervall M = (,0) R ist nicht nach unten, wohl aber nach oben beschränkt, z. B. durch die obere Schranke 0. Man beachte, dass dies nach unserer Definition aber nicht die einzige obere Schranke ist: die 1 oder 2, oder jede andere Zahl größer als 0 ist genauso gut eine obere Schranke für M. Natürlich sind diese oberen Schranken nicht so gut wie die 0, und in der Tat interessiert man sich bei beschränkten Mengen oft für möglichst gute Schranken, d. h. möglichst kleine obere und möglichst große untere Schranken. Solche Schranken haben eigene Namen: Definition 3.12 (Supremum und Infimum). Es sei M eine Teilmenge eines geordneten Körpers K. Eine Zahl s K heißt Supremum von M, wenn s eine kleinste obere Schranke für M ist, d. h. wenn gilt: (a) s ist eine obere Schranke für M; und (b) für jede obere Schranke s für M gilt s s. Analog heißt s K ein Infimum von M, wenn s eine größte untere Schranke für M ist, also wenn s eine untere Schranke für M ist und keine größeren unteren Schranken für M existieren. Bemerkung (a) Wenn die Menge M ein Supremum besitzt, dann ist es natürlich eindeutig bestimmt: sind nämlich s 1 und s 2 zwei kleinste obere Schranken, so folgt nach Definition 3.12 (b) sofort s 1 s 2 (weil s 1 Supremum und s 2 auch eine obere Schranke ist) und s 2 s 1 (weil s 2 Supremum und s 1 auch eine obere Schranke ist), also s 1 = s 2. Falls ein Supremum existiert, können wir also von dem Supremum von M reden. Wir bezeichnen es dann mit supm. Analog ist natürlich auch das Infimum von M eindeutig bestimmt, falls es existiert; wir bezeichnen es dann mit infm. (b) Da sich Ungleichheitszeichen beim Multiplizieren mit 1 nach Lemma 3.3 (b) umdrehen, ist es klar, dass man ein Infimum immer auch als Supremum ausdrücken kann: ist M K und M := { x : x M}, so gilt infm = sup( M). Alles, was wir im Folgenden über das Supremum sagen werden, gilt damit analog auch für das Infimum. Beispiel (a) Für M = (,0] R ist supm = 0: natürlich ist 0 eine obere Schranke für M, und für jede beliebige obere Schranke s von M gilt 0 s, weil 0 ja ein Element von M ist. (b) Wir betrachten nun M = (,0) und behaupten, dass immer noch supm = 0 gilt. Da 0 natürlich weiterhin eine obere Schranke für M ist, müssen wir dazu nur noch Eigenschaft (b) aus Definition 3.12 nachweisen. Es sei also s R eine beliebige obere Schranke für M. Angenommen, s wäre so wie im Bild rechts dargestellt kleiner als 0. M s x 0 R

5 36 Andreas Gathmann Dann wäre die Zahl x = s 2, also der Mittelpunkt zwischen s und 0, einerseits kleiner als 0 (d. h. es wäre x M), andererseits aber auch größer als s. Dies ist ein Widerspruch, da s dann ja doch keine obere Schranke für M wäre. Also war unsere Annahme falsch, d. h. es existiert keine kleinere obere Schranke als 0 und es gilt somit supm = 0. Dies sollte natürlich auch anschaulich klar sein, denn wenn wir unsere Schranke von 0 auch nur ein ganz klein wenig nach links zu legen versuchen, werden wir natürlich sofort Punkte in M bekommen, die rechts davon liegen. (c) Die Menge M = (0, ) hingegen ist nach oben unbeschränkt: für jedes s R finden wir natürlich noch ein x M, etwa x = s + 1, mit x > s. Also besitzt M auch kein Supremum. Wir sehen an Beispiel 3.14 (b), dass das Supremum einer Menge M (falls es existiert) nicht unbedingt ein Element von M sein muss. Wenn wir jedoch wie in Beispiel 3.14 (a) ein Element von M finden, das eine obere Schranke für M ist, so ist dies bereits das Supremum: Lemma und Definition 3.15 (Maximum und Minimum). Es sei M eine Teilmenge eines geordneten Körpers K. Ist dann ein Element s von M eine obere Schranke für M, so ist bereits supm = s M. In diesem Fall nennt man s das Maximum von M und schreibt s = maxm. Analog bezeichnet man das Infimum als Minimum minm von M, wenn es bereits ein Element von M ist. Beweis. Wir müssen nur die Bedingung (b) aus Definition 3.12 für s überprüfen. Dies ist aber klar: ist s K eine beliebige obere Schranke für M, so gilt wegen s M natürlich s s. Besitzt eine Menge M ein Maximum, so hat sie also auch ein Supremum, und es gilt maxm = supm. Wie man an Beispiel 3.14 sieht, gibt es jedoch Mengen, die kein Supremum (und damit auch kein Maximum) besitzen, und solche, die zwar ein Supremum, aber kein Maximum haben: Beispiel Für die Mengen aus Beispiel 3.14 gilt: (a) M = (,0] hat das Maximum und Supremum maxm = supm = 0. (b) M = (,0) hat das Supremum supm = 0, besitzt aber kein Maximum. (c) M = (0, ) ist nach oben unbeschränkt und besitzt damit weder ein Supremum noch ein Maximum. Aufgabe (a) Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (sofern sie existieren) der Menge { } m + n M = mn : m,n N >0 R. (b) Es seien A,B R zwei Mengen; wir setzen A + B := {x + y : x A,y B}. Man beweise: Sind A und B nicht leer und nach oben beschränkt, so gilt sup(a + B) = supa + supb. Wir wollen nun wieder zum eigentlichen Ziel dieses Kapitels zurück kommen: die reellen Zahlen zu charakterisieren. Dazu wissen wir bereits, dass R ein geordneter Körper ist. Aber die rationalen Zahlen erfüllen alle Eigenschaften eines geordneten Körpers ebenfalls wir brauchen also noch mehr, um die reellen Zahlen eindeutig zu charakterisieren. In der Tat fehlt uns noch eine Eigenschaft, die R von Q (und allen anderen geordneten Körpern) unterscheiden wird und die wir jetzt behandeln wollen. Anschaulich ist natürlich klar, was R von Q unterscheidet: während R die Menge aller Punkte auf einer Geraden ist, gibt es in den rationalen Zahlen Löcher wie z. B. 2, also Punkte, die auf der Zahlengeraden existieren, die aber keine rationale Zahl darstellen. Für die formal exakte Formulierung dieser Eigenschaft hilft uns der gerade eingeführte Begriff des Supremums. Um dies zu sehen, ändern wir unser Beispiel 3.14 etwas ab: Beispiel Es sei K ein geordneter Körper und M = {x K : x 2 < 2} K. Natürlich besitzt M eine obere Schranke, z. B. 2: für x > 2 ist nämlich x 2 > 4 > 2, also x / M. Wir wollen nun sehen, was die kleinste obere Schranke, also das Supremum von M ist.

6 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 37 (a) Für K = R können wir M unter Verwendung von Quadratwurzeln natürlich als das offene Intervall M = ( 2, 2) schreiben. Insbesondere ist also supm = 2 mit der gleichen Begründung wie in Beispiel 3.14 (b). (b) Im Fall K = Q kann natürlich nicht einfach das gleiche herauskommen, weil in diesem Körper keine Wurzel aus 2 existiert (wie wir gleich der Vollständigkeit halber in Lemma 3.19 auch noch formal beweisen werden). Man könnte nun denken, dass man statt 2 dann einfach die nächstgrößere oder nächstkleinere rationale Zahl nehmen muss. So etwas existiert aber nicht und in der Tat werden wir gleich in Lemma 3.20 zeigen, dass supm auch keine andere Zahl als 2 sein kann. Die Folgerung daraus ist einfach, dass die Menge M im Fall K = Q zwar nach oben beschränkt ist, aber dennoch keine kleinste obere Schranke, also kein Supremum besitzt weil gerade die Zahl, die wir als Supremum bräuchten, in unserem Körper fehlt, d. h. weil Q an dieser Stelle ein Loch auf der Zahlengeraden hat. Wir wollen nun die beiden eben angekündigten Aussagen beweisen: Lemma 3.19 (Irrationalität von 2). Es gibt keine rationale Zahl x Q mit x 2 = 2 (oder anders ausgedrückt: die reelle Zahl 2 liegt nicht in Q). Beweis. Angenommen, es gäbe eine rationale Zahl x Q mit x 2 = 2. Wir können x als gekürzten Bruch x = p q (mit p,q Z und q 0) schreiben und erhalten x 2 = p2 q 2 = 2, also p2 = 2q 2. ( ) Also muss p 2 und damit auch p selbst eine gerade Zahl, d. h. durch 2 teilbar sein. Wir können daher p = 2r für eine ganze Zahl r Z setzen. Einsetzen in ( ) liefert (2r) 2 = 2q 2, also q 2 = 2r 2. Aber dann muss auch q 2 und damit q eine gerade Zahl sein was ein Widerspruch dazu ist, dass die Darstellung von x als Bruch p q als gekürzt vorausgesetzt worden ist. Lemma Es sei K ein geordneter Körper, a K mit a > 0, und M = {x K : x 2 < a}. Falls das Supremum s := supm dieser Menge existiert, so gilt s > 0 und s 2 = a. Beweis. Wegen 0 M ist natürlich s 0. Wir zeigen s 2 a und s 2 a getrennt, woraus dann s 2 = a (und somit auch s 0, d. h. s > 0) folgt. : Angenommen, es wäre s 2 > a, insbesondere also s > 0. Die Idee ist, dass s dann für eine kleinste obere Schranke für M zu groß ist, also dass wir wie im Bild rechts noch eine kleinere obere Schranke s für M finden können. In der Tat gibt es eine solche: wir setzen M s s K s := s s2 a 2s = s2 + a 2s Natürlich ist dann s < s. Aber s ist auch eine obere Schranke für M, denn für alle x K mit x > s gilt ( ) 2 ( x 2 > (s ) 2 = s s2 a s = s 2 (s 2 2 ) 2 a a) + a 2s 2s } {{ } 0 und damit x / M. Also kann s nicht die kleinste obere Schranke gewesen sein ein Widerspruch. > 0.

7 38 Andreas Gathmann : Angenommen, es wäre s 2 < a. In diesem Fall ist die Idee analog zu Beispiel 3.14 (b), dass s dann für eine obere Schranke für M zu klein ist, also dass wir eine Zahl x > s finden können, die noch in M liegt. In der Tat gibt es ein solches x: wir setzen ( 1 x = s + h mit h := min 2, a ) s2. 2s + 1 Dann ist sicher h > 0 und damit auch x > s. Darüber hinaus gilt M s x K x 2 = s 2 + 2sh + h 2 < s 2 + 2sh + h (wegen h 1 2 ist h < 1 und damit h2 < h) s 2 + (2s + 1) a s2 2s + 1 = a (wegen h a s2 2s + 1 ) und daher x M. Also kann s keine obere Schranke für M sein, was wieder ein Widerspruch ist. Bemerkung Ihr werdet euch sicherlich fragen, wo die komischen Werte von s und h in den beiden Beweisteilen von Lemma 3.20 herkommen. Wenn wir den Beweis des Lemmas durchgehen, können wir natürlich jeden einzelnen Schritt nachvollziehen und sehen, dass es mit den angegebenen Werten von s und h funktioniert, aber wie kommt man darauf? Nun, in Wirklichkeit habe ich das ganze rückwärts gerechnet, bevor ich angefangen habe, den Beweis aufzuschreiben. Betrachten wir das ganze einmal am Beispiel des zweiten Teils des Beweises. Wir haben hier angenommen, dass s 2 < a, das Supremum also zu klein ist, und mussten demzufolge ein x > s finden, das noch in M liegt. Setzen wir x = s + h, so suchen wir also ein h > 0 mit (s + h) 2 = s 2 + 2sh + h 2 < a. Man könnte jetzt auf die Idee kommen, einfach diese quadratische Ungleichung in h zu lösen und nachzusehen, ob die Lösungsmenge positive Zahlen enthält. Dummerweise brauchen wir für unsere bekannte Lösungsformel für quadratische Gleichungen aber Wurzeln, und wir haben ja gerade in Lemma 3.19 gesehen, dass die nicht unbedingt existieren müssen. In der Tat werden wir in dieser Vorlesung noch oft auf Ungleichungen stoßen, von denen wir aus dem einen oder anderen Grund nicht die exakte Lösungsmenge bestimmen können. Wenn man aber so wie hier gar nicht an der exakten Lösungsmenge interessiert ist, sondern nur zeigen möchte, dass eine Lösung für die Ungleichung existiert, so kommt man dennoch oft weiter, indem man geeignete Abschätzungen vornimmt und evtl. sogar noch weitere Zusatzbedingungen stellt. Hier könnte das z. B. so aussehen: an der Ungleichung s 2 + 2sh + h 2 < a für h stört uns vor allem der quadratische Term h 2 ein linearer wäre hier sicher viel schöner. Wie können wir das erreichen? Nun, da wir aus unserer ursprünglichen Idee wissen, dass wir letztlich sowieso an kleinen Werten für h interessiert sein werden, macht es ja sicher nichts, wenn wir zusätzlich noch h < 1 verlangen. Das hat den Vorteil, dass dann h 2 = h h < h 1 = h ist jetzt reicht es also, die Ungleichung s 2 + 2sh + h a zu erfüllen, denn in diesem Fall ist ja erst recht s 2 + 2sh + h 2 < s 2 + 2sh + h a. Diese lineare Ungleichung ist nun aber leicht zu lösen: sie ist offensichtlich äquivalent zu h 2s+1 a s2. Wir sehen also, dass wir eine Lösung für h haben, wenn wir sicher stellen, dass h sowohl kleiner als 1 als auch höchstens gleich 2s+1 a s2 ist und die im Beweis angegebene Zahl leistet einfach genau dies. Man muss jetzt sozusagen nur noch unsere eben gemachte Rechnung rückwärts aufschreiben (wie wir es oben getan haben), und alles wird dann nach Konstruktion genau so hinkommen, wie wir es wollen. Und wie kommt man jetzt darauf, dass man den quadratischen Term h 2 genau durch ein h abschätzen und h < 1 verlangen muss? Dazu sollten wir zunächst einmal festhalten: man muss das nicht. Dies

8 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 39 ist nur eine Lösung, die zum Ziel führt natürlich gibt es viele Werte von h, die das Gewünschte leisten, und auch viele Arten von Abschätzungen, die genauso gut funktionieren. Aber ihr habt schon Recht, dass man bei solchen Abschätzungen oft irgendeine geschickte und vielleicht nicht ganz offensichtliche Idee braucht. Leider sind derartige Abschätzungen ein ganz wesentlicher Bestandteil der Analysis, und so werden wir in diesem Skript noch viele von ihnen sehen. Am Anfang ist das sicher ungewohnt, aber im Laufe der Zeit werdet ihr ein gewisses Gefühl dafür entwickeln, welche Art von Abschätzung in welchen Fällen sinnvoll sein könnte. Aber so oder so für das reine Nachvollziehen einer Abschätzung, die jemand anders gefunden hat (wie z. B. wenn ihr den Beweis von Lemma 3.20 lest und verstehen wollt), sind derartige Ideen natürlich nicht notwendig. Aber zurück zu unserem Beispiel 3.18: wir haben dort gesehen, dass sich die fehlenden Punkte in Q derart äußern, dass es Teilmengen von Q gibt, die zwar nach oben beschränkt sind, aber trotzdem keine kleinste obere Schranke besitzen: die Menge M = {x Q : x 2 < 2} könnte nach Lemma 3.20 als Supremum nur eine Zahl haben, deren Quadrat gleich 2 ist nach Lemma 3.19 gibt es eine solche Zahl in Q aber nicht. In R dagegen gibt es diese Probleme nicht. Wir machen daher die folgende Definition: Definition 3.22 (Supremumsaxiom). Wir sagen, dass ein geordneter Körper das Supremumsaxiom erfüllt, wenn jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge ein Supremum besitzt. (Natürlich besitzt dann nach Bemerkung 3.13 (b) auch jede nicht leere, nach unten beschränkte Menge ein Infimum.) Beispiel (a) Wie wir gerade gesehen haben, erfüllt Q das Supremumsaxiom nicht. (b) Die reellen Zahlen R erfüllen das Supremumsaxiom das werden wir in dieser Vorlesung axiomatisch voraussetzen, und das ist nun endlich auch die letzte Eigenschaft der reellen Zahlen, die wir benötigen. Wenn wir dieses und das vorangegangene Kapitel zusammenfassen, setzen wir insgesamt also über die reellen Zahlen voraus: 07 R ist ein geordneter Körper, der das Supremumsaxiom erfüllt. Wie schon in Notation 1.15 gesagt, kann man die Existenz der reellen Zahlen auch aus den Axiomen der Logik und Mengenlehre herleiten in diesem Fall ist es natürlich ein beweisbarer Satz, dass R ein geordneter Körper ist, der das Supremumsaxiom erfüllt. Man kann sogar noch mehr zeigen, nämlich dass diese Eigenschaften die reellen Zahlen auch vollständig charakterisieren: R ist in der Tat der einzige geordnete Körper, der das Supremumsaxiom erfüllt. Der Beweis dieser Aussage ist jedoch sehr schwierig und soll hier nicht gegeben werden, zumal wir diese Aussage auch nicht benötigen werden. Bemerkung Nach dem Supremumsaxiom existiert das Supremum sup M für jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge M R. Um diese Notation auf beliebige nicht-leere Teilmengen von R zu erweitern, schreibt man für nach oben unbeschränkte Teilmengen M von R oft formal supm =. Dies hat den Vorteil, dass viele Aussagen über Suprema wie z. B. Aufgabe 3.17 (b) auch für den Fall solcher Mengen gelten, wenn man die erwarteten formalen Rechenregeln für definiert (wie z. B. + = und + x = für alle x R, siehe auch Bemerkung 5.17). Analog schreibt man dann natürlich infm = für nach unten unbeschränkte Teilmengen von R. Am Schluss dieses Kapitels wollen wir nun noch zwei einfache und oft benötigte Folgerungen aus dem Supremumsaxiom ziehen. Die erste betrifft die Existenz der oben schon betrachteten Quadratwurzeln. Lemma 3.25 (Existenz von Quadratwurzeln in R). Es sei a R 0. Dann gibt es genau ein s R 0 mit s 2 = a. Man nennt diese Zahl die Wurzel aus a und schreibt sie als a. Beweis. Für a = 0 ist diese Aussage natürlich klar (mit 0 = 0). Für a > 0 betrachten wir die Menge M = {x R : x 2 < a}. Diese Menge ist natürlich nicht leer (denn 0 M) und nach oben beschränkt

9 40 Andreas Gathmann (z. B. durch a+1, denn für x > a+1 ist x 2 > (a+1) 2 = a 2 +2a+1 > a, also x / M). Damit existiert s := supm R nach dem Supremumsaxiom, und nach Lemma 3.20 ist s > 0 und s 2 = a. Da s und s nun Nullstellen der quadratischen Polynomfunktion x x 2 a sind, müssen dies nach Satz 2.24 (b) dann auch bereits die einzigen Nullstellen sein. Also ist s auch die einzige positive Zahl mit s 2 = a. Aufgabe (a) Man zeige: Für alle x,y Z und k,n N ist (x + y k) n + (x y k) n Z. (b) Bestimme die 100. Nachkommastelle (im Dezimalsystem) von (2 + 5) Aufgabe 3.27 (Existenz höherer Wurzeln in R). In dieser Aufgabe wollen wir die Aussage von Lemma 3.20 und 3.25 auf höhere Wurzeln verallgemeinern. Es sei dazu wieder K ein geordneter Körper, a K mit a > 0 und n N >1. Zeige, dass dann für die Menge M := {x K : x n < a} gilt: (a) M ist nach oben beschränkt. (b) Besitzt M ein Supremum s, so ist s n = a. Schließe daraus, dass in R jede nicht-negative Zahl eine eindeutige nicht-negative n-te Wurzel besitzt. (In Aufgabe 5.27 werden wir noch einen anderen Beweis dieser Aussage sehen.) Bemerkung Natürlich erfüllt die Wurzel aus Lemma 3.25 die Gleichung xy = x y für alle x,y 0, denn x y ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich xy ist, und muss nach Lemma 3.25 daher gleich xy sein. Die zweite Folgerung aus dem Supremumsaxiom, die wir hier kurz behandeln wollen, ist die, dass es zu jeder reellen Zahl eine größere natürliche Zahl gibt, dass also N nach oben unbeschränkt ist. Das erscheint zwar vielleicht selbstverständlich, man kann allerdings geordnete Körper konstruieren, in denen diese Aussage falsch ist, in denen es also Elemente gibt, die größer sind als jede Zahl, die man durch fortlaufendes Aufaddieren der 1 erhalten kann. Lemma 3.29 (Unbeschränktheit von N). Die Teilmenge N = {0,1,2,...} R ist nach oben unbeschränkt. Beweis. Angenommen, N wäre nach oben beschränkt. Dann würde nach dem Supremumsaxiom s := supn R existieren. Da s die kleinste obere Schranke ist, ist s 1 keine obere Schranke; es gibt also ein n N mit n > s 1. Dann ist aber n + 1 N mit n + 1 > s, im Widerspruch dazu, dass s eine obere Schranke für N ist. Aufgabe Zeige, dass jedes (nicht-leere) offene Intervall in R unendlich viele rationale und unendlich viele irrationale Zahlen enthält.

4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper

4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper 40 Andreas Gathmann 4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

b liegt zwischen a und c.

b liegt zwischen a und c. 2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St ]

2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St ] 7 2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St 6.4-6.5] 2.1 Körperstruktur und Anordnung von R [Kö 2.1-2.2] Für (beliebige) reelle Zahlen a, b, c R gelten die folgenden (algebraischen) Körperaxiome: (K1) a +

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Axiomatik der reellen Zahlen

Axiomatik der reellen Zahlen Kapitel 13 Axiomatik der reellen Zahlen 13.1 Motivation Analysis beschäftigt sich mit Grenzwerten, Differentiation und Integration. Viele Phänomene in den Natur- und Ingenieurswissenschaften lassen sich

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. 8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 Rationale und reelle Zahlen 2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K,0,1,+, mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1 (K, 0, +

Mehr

p 2istirrational Satz 1.15 Beweis. Es gibt keine rationale Zahl x, diediegleichungx 2 =2erfüllt.

p 2istirrational Satz 1.15 Beweis. Es gibt keine rationale Zahl x, diediegleichungx 2 =2erfüllt. p 2istirrational Satz 1.15 Es gibt keine rationale Zahl x, diediegleichungx 2 =2erfüllt. Beweis. Annahme: Es existiert x 2 Q mit x 2 = 2. Wegen x 2 Q folgt x = p q und p und q sind teilerfremde ganze Zahlen.

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 111

Beispiellösungen zu Blatt 111 µ κ Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 111 Aufgabe 1 Ludwigshafen hat einen Bahnhof in Dreiecksform. Markus, Sabine und Wilhelm beobachten den Zugverkehr

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010

Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010 Mathematische Grundlagen Lernmodul 4 Reelle Zahlen Stand: Oktober 200 Autoren: Prof. Dr. Reinhold Hübl, Professor Fakultät für Technik, Wissenschaftliche Leitung ZeMath, E-Mail: huebl@dhbw-mannheim.de

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17 Blatt Nr. 3 Prof. F. Merkl Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 206/7 Aufgabe Das Guthaben G setzt sich zusammen aus der Summe aller bisherigen Einzahlungen multipliziert mit ( + p) k, wobei

Mehr

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit. Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen

ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen MAB.01012UB MAT.101UB Vorlesung im WS 2017/18 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz 2.1 Körperstruktur

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen?

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? 1. Zahlenpartner Quadratwurzel Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995) Variationen: (a) einfachere Zahlen (b) ein weiteres

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,

Mehr

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität).

Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). Analysis 1, Woche 2 Reelle Zahlen 2.1 Anordnung Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). 2. Für jeden a, b K mit a b und b a gilt a = b (Antisymmetrie).

Mehr

$Id: reell.tex,v /11/15 13:12:24 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /11/15 13:12:24 hk Exp $ $Id: reell.tex,v.8 200//5 3:2:24 h Exp $ 4 Die reellen Zahlen 4.3 Das Vollständigeitsaxiom Wir hatten das Supremum einer Menge M R als die leinste obere Schrane von M definiert, sofern eine solche überhaupt

Mehr

2.1 Definitionen Sätze und Beweise Erklärungen zu den Definitionen... 15

2.1 Definitionen Sätze und Beweise Erklärungen zu den Definitionen... 15 Mengen Übersicht.1 Definitionen................................................. 11. Sätze und Beweise............................................ 14.3 Erklärungen zu den Definitionen...............................

Mehr

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

13. Abzählen von Null- und Polstellen

13. Abzählen von Null- und Polstellen 13. Abzählen von Null- und Polstellen 77 13. Abzählen von Null- und Polstellen Als weitere Anwendung des Residuensatzes wollen wir nun sehen, wie man ot au einache Art berechnen kann, wie viele Null- bzw.

Mehr

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

1 Die reellen Zahlen. 1. Ziele des Mathematikstudiums: Die Studierenden sollen lernen,

1 Die reellen Zahlen. 1. Ziele des Mathematikstudiums: Die Studierenden sollen lernen, 1 Die reellen Zahlen 1. Ziele des Mathematikstudiums: Die Studierenden sollen lernen, präzise und logisch zu denken, komplexe Strukturen schnell und gründlich zu erfassen, Dinge kritisch zu hinterfragen

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Kapitel 2. Zahlenbereiche

Kapitel 2. Zahlenbereiche Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m } n m Z, n N. Beachte:

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H 5+7+8 = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle

Mehr

Kapitel 2. Zahlenbereiche

Kapitel 2. Zahlenbereiche Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m n m Z, n N }. Beachte:

Mehr

4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen 4.2 R ist archimedisch geordnet 4.5 Q liegt dicht in R 4.7 Existenz von Wurzeln nicht-negativer reeller Zahlen In diesem Paragraphen werden wir zum ersten

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

6 Conways Chequerboard-Armee

6 Conways Chequerboard-Armee 6 Conways Chequerboard-Armee Spiele gehören zu den interessantesten Schöpfungen des menschlichen Geistes und die Analyse ihrer Struktur ist voller Abenteuer und Überraschungen. James R. Newman Es ist sehr

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik

Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik Lineare Algebra Analytische Geometrie I* Übungsaufgaben, Blatt Musterlösungen Aufgabe. Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Zeige: i A B C =

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Steven Klein

Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Steven Klein Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen Steven Klein 04.01.017 1 In dieser Ausarbeitung konstruieren wir die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Hierzu denieren wir zunächst

Mehr

Die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}. Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge Ø, eine unendliche

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

1 x. Eine kurze Erinnerung an die Definition der Betragsfunktion:

1 x. Eine kurze Erinnerung an die Definition der Betragsfunktion: Wie rechne ich mit Ungleichungen? Die do s und don t s mit Beispielen aus der Miniklausur Lukas Steenvoort Addition und Subtraktion 1 ) Dies funktioniert ähnlich wie bei Gleichungen addieren wir denselben

Mehr

Kapitel 1. Körper und Zahlen. 1.1 Mengen

Kapitel 1. Körper und Zahlen. 1.1 Mengen Kapitel 1 Körper und Zahlen 11 Mengen 12 Das Prinzip der vollständigen Induktion 13 Körper 14 Geordneter Körper 15 Reelle Zahlen 16 Komplexe Zahlen 11 Mengen Dieser Abschnitt gibt eine kurze Einführung

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.) 3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Kapitel 2 Reelle Zahlen

Kapitel 2 Reelle Zahlen Wolter/Dahn: Analysis Individuell 5 Kapitel Reelle Zahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die reellen Zahlen einzuführen, wenn man die ratio- /0/0 nalen Zahlen bereits definiert hat. Die geläufigsten

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr

Reelle Zahlen. 2-a Die Körperaxiome

Reelle Zahlen. 2-a Die Körperaxiome 2 Reelle Zahlen Die reellen Zahlen bilden das Fundament der gesamten Analysis. Es ist daher sinnvoll, sich zunächst Klarheit über dieses Fundament zu verschaffen. Der konstruktive und historisch korrekte

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null)

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null) Algebra und Zahlentheorie Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Leitfaden 1 Zahlentheorie in Z Bezeichnungen: Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (ganze Zahlen) und N := {1, 2, 3,...} (natürliche Zahlen

Mehr