Klausur zur Analysis II

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1 Uiversität Würzburg Mathematisches Istitut Prof Jör Steudig SS Klausur zur Aalysis II Aufgabe Die Mege M R 3 sei gegebe durch Zeit: 7:45-9:45 M := { x, y, z R 3 expx + y + z = } a Ist M abgeschlosse? b Ist M offe? c Ist M beschräkt? d Ist M kompakt? Begrüde Sie jeweils Ihre Atwort Lösugshiweise: Vergleiche: A Probeklausur a Es gilt M := { } x, y, z R 3 expx + y + z = = f {}, }{{} :=fx,y,z also ist M als Urbild der abgeschlossee Mege {} abgeschlosse, da f stetig ist, vgl Satz 44 b I R 3 ist ur R 3 ud sowohl offe wie auch abgeschlosse Mit a ist M da icht offe, de M R 3 wege 0, 0, 0 / M ud M wege 0, 0, M Alterativ: Der Pukt P = 0, 0, ist ei Elemet vo M ud die Folge P = 0, 0, + kovergiert gege P Da aber P / M für alle N ist, ka es keie Umgebug U um P gebe mit U M Folglich ist M icht offe c Für alle x, y, z M gilt expx +y + z =, also z < ud x, y l Folglich ist M beschräkt d Nach dem Satz vo Heie-Borel ist M kompakt, da beschräkt ud abgeschlosse

2 Aufgabe a Für welche Werte x, y R kovergiert fx, y := xy k? Stelle Sie f im Kovergezbereich als ratioale Fuktio dar b Bereche Sie grad f ud bestimme Sie alle Pukte x, y R mit grad fx, y = 0 c Hat f im Pukt 0, 0 ei lokales Miimum bzw lokales Maximum? Lösugshiweise: Vergleiche A Probeklausur, Tutorium 6, Tutorium 9 ud Tutorium 0 a Wir wisse, dass die geometrische Reihe zk geau da kovergiert, we z < ist Im Kovergezfall gilt zk = z Folglich ist fx, y = xy k koverget xy < Für xy < ist fx, y = xy b Es gilt: also grad fx, y = y xy, x xy grad fx, y = 0 x, y = 0, 0, c Der Pukt 0, 0 ist ei Sattelpukt, wege fε, ε = > = f0, 0 ε dh 0, 0 ist keie Maximum, da es i jeder Umgebug größere Fuktioswerte gibt ud fε, ε = < = f0, 0 + ε dh 0, 0 ist auch kei Miimum, da es i jeder Umgebug auch kleiere Fuktioswerte gibt Alterativ: Die Hesse-Matrix 0 hessf0, 0 = 0 ist idefiit, de T 0 0 = > 0 aber T 0 0 = < 0

3 Aufgabe 3 Gegebe sei die Fuktioefolge f N mit f : [, π] R, f x = exp si x a Zeige Sie, dass f N puktweise kovergiert ud bereche Sie die Grezfuktio b Kovergiert f N auch gleichmäßig? c Es sei Bestimme Sie lim M M := f xdx Lösugshiweise: Vergleiche A3 Probeklausur, Tutorium 7 ud Übugsblatt 8 a Für alle x [, π] gilt lim exp }{{} 0 dh f kovergiert puktweise gege fx = si x =, }{{} [0,] b Für alle x [, π] gilt f x fx = exp si x = exp si x exp 0 }{{}}{{} exp für ud deshalb folgt sup f x fx 0 x [,π] für Folglich kovergiert f N auch gleichmäßig gege f Alterativ über Ableituge: Am Rad gilt: f π fπ = exp 0 = 0 = f f Im Iere gilt: f f x = six cosx exp si! x = 0 six cosx = 0 x = k π mit k Z Für die Extremwerte vo f f gilt deshalb für alle x, π: { 0 falls x = k f x fx = π mit k gerade exp falls x = k π mit k ugerade Also folgt auch hier: f x fx exp 0 für c Nach b ist die Kovergez gleichmäßig, deshalb dürfe Itegral ud Grezwertbildug vertauscht werde: lim f xdx = lim f xdx = fx dx = dx = π

4 Aufgabe 4 Gegebe sei die Fuktio F : R R, x, y xy a Bestimme Sie die lokale ud globale Extrema dieser Fuktio uter der Nebebedigug x + y = b Welche der Extrema aus a sid auch Extrema ohe der Nebebedigug x + y =? Lösugshiweise: Vergleiche Tutorium a Es sei fx, y = x + y Da hat die Jacobi-Matrix f x, y = x, y i de Pukte, die die Nebebedigug fx, y = 0 erfülle, volle Rag Defiiere Φx, y, λ = F x, y λfx, y Kritische Pukte sid die Lösuge vo grad Φx, y, λ = 0 y λx x λy = 0 x + y y = λx x = λy x + y = Setzt ma Gleichug II i I ei, so ergibt sich sofort: y = λ 4y Wege y 0 de asoste ergibt sich mit Gleichug II auch x = 0 im Widerspruch zu Gleichug III folgt λ = 4 Fall Sei zuächst λ = Mit Gleichug I ergibt sich da y = x bzw mit III x = y = ± Fall Sei u λ = Mit Gleichug I ergibt sich da y = x bzw mit III x = y = ± Da V := {x, y R x + y = } kompakt ist klar, vgl Aufgabe, immt F auf V sowohl ei globales Maximum wie auch ei globales Miimum a Als kritische Werte komme dafür aber ur folgede Pukte i Frage:,, Wege f, = f,,, wird i de Pukte,,, das Miimum ageomme,,, = ud f, = f, =, das Maximum ud i de Pukte,, b Keie der Extrema aus a sid Extrema ohe Nebebediguge, de für alle Extrema gilt grad fx, y = y, x 0 grad fx, y = 0 ist aber ei otwediges Kriterium für Extrema ohe Nebebediguge

5 Aufgabe 5 Für welches α R ist die Läge der Kurve am kürzeste? f : [, π] R 3, t cosαt, siαt, αt Lösugshiweise: Vergleiche A4 Probeklausur, Tutorium 5, Übugsblatt 6 ud Übugsblatt Da f stetig differezierbar ist, errechet sich die Läge der Kurve durch λf = = f t dt = α siαt + α cosαt + α dt α + α dt = π α α + = π α + Die Kurve ist folglich am kürzeste, we α = ist Alterativ: Miimum durch Ableite bestimme Aufgabe 6 a Bilde Sie die Taylorreihe zu x sihx im Etwicklugspukt x = 0 Zur Erierug: sihx = expx exp x b Fide Sie ei Polyom p zweite Grades, so dass sihx px x < x4 für 0 < x 90 ud beweise Sie diese Ugleichug Lösugshiweise: Vergleiche Übugsblatt 0 ud Tutorium 0 a Für alle x R gilt: expx = xk k! ud exp x = x k k! Damit ergibt sich: sihx = expx exp x = x k x k k! = x k+ k +! Da sich sihx als Potezreihe schreibe lässt, ist dies ach Satz 3 auch die Taylorreihe b Wir setze px = + 6 x das sid die erste beide Glieder der Potezreihe vo sihx x, de da folgt für alle 0 < x : sihx x px = + 6 x + x k+ k + +! = x 4 5! x k = x4 0 k= x4 x k k +! + 6 x = x k k + +! < x x4 0 x4 = 90

6 Aufgabe 7 Für α R sei die Potezreihe α fx := x mit gegebe =0 α := ud 0 α αα α + :=! a Bestimme Sie de Kovergezradius R vo f i Abhägigkeit vo α b Zeige Sie, dass für alle x R, R die Idetität + xf x = αfx gilt Hiweis: Zeige Sie zuächst + α + + α = α α c Zeige Sie + x α = =0 α x Hiweis: Utersuche Sie die Ableitug der Fuktio F x = fx +x α Lösugshiweise: Vergleiche Probeklausur A5 ud A6, Tutorium 8, Tutorium 0 ud Übugsblatt 9 a Falls α N ist, da ist α = 0 für alle > α, folglich ist f ei Polyom ud hat damit Kovergezradius R = Ist dagege α R\N, da gilt: lim a a + α = lim = lim α + αα α +! αα α ++ +! = lim + α = lim + α = Nach dem Quotietekriterium ist i diesem Fall da der Kovergezradius R = b Es gilt: α α αα α + + αα α = + + = + +!! αα α αα α + =! αα α + α α = α }{{! }}{{} = α =α Weiterhi ist f x = =0 α x ud damit α α + xf x = x + x = α + = = = [ α + + α α + x + x = + =0 ] α + x = α =0 = α x = αfx c Wir betrachte die Fuktio F x = fx +x Wege b erhalte wir da: α F x = + xα f x fxα + x α + xα + x α = + x α + xf x αfx = 0 }{{} =0 Folglich ist F x kostat, dh fx = C + x α für ei C R Wege f0 = ergibt sich C = ud damit fx = + x α