4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1, x 2 + ax 3 = 1, ax 2 + x 3 = a 1. 0 a 1 1 Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch:
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- Nicolas Stieber
- vor 5 Jahren
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1 Aufgabe 8 Punkte Bestimmen Sie die Lösungsmenge in R in Abhängigkeit von a R des folgenden linearen Gleichungssystems: 4x + x + 3x 3 =, x + ax 3 =, ax + x 3 =. Lösung. Wir schreiben das lineare Gleichungssystem zunächst in Matrizenschreibweise: a 0 a Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch: a 0 a I I II III III aii a 0 a 0 0 a a Wir machen nun eine Fallunterscheidung: a = : Wir erhalten: Damit ist die Lösungsmenge L = x 3 + x 3 x 3 ; x 3 R. a = : Die letzte Zeile ist nicht lösbar, d.h. die Lösungsmenge ist leer. a und a : Wir erhalten aus der letzten Zeile x 3 = a a = a, sodass mit der zweiten Zeile x = ax 3 = a folgt. Mit der ersten Zeile ergibt sich schlieÿlich x = 4 3 ax 3 = + 3 a = 4 a 4 a, a also gilt für die Lösungmenge L = a a a a 4 = a a 4.
2 Aufgabe +4+=7 Punkte i Bestimmen Sie die Determinante der Matrix 5 4 A = 6 5 und folgern Sie, dass A invertierbar ist. ii Bestimmen Sie A. Hinweis: Alle Einträge von A sind ganzzahlig. iii Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit b = 3 Lösung. i Wir entwickeln nach der ersten Zeile: 5 6 deta = 5 det 4 det det = = = 0. Damit ist A invertierbar. ii Wir führen den Gauÿalgorithmus auf beiden Seiten durch: II 5II 6I III 5III I I I 4II III III II I I+III II II+4III Damit gilt A = iii Es gilt x = A b = 4 3
3 Aufgabe 3 8 Punkte Bestimmen Sie alle komplexen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix i B = i 0 Lösung. Wir berechnen zunächst das charakteristische Polynom: λ 5 0 i detλe 3 B = det 0 λ i 0 λ λ 5 i = λ 4 det + i λ = λ 4 λ 5λ i + i = λ 4 λ 6λ = λ 4λλ 6, wobei wir nach der. Zeile entwickelt haben. Damit sind die Eigenwerte 0, 4 und 6. Zu 0: Mit dem Gauÿalgorithmus erhalten wir 5 0 i 5 0 i III 5III +iiii i 0 0 +i Damit sind die Eigenvektoren Vielfache von Zu 4: Mit dem Gauÿalgorithmus erhalten wir 0 i III III+ +iiii + i Damit sind die Eigenvektoren Vielfache von Zu 6: Mit dem Gauÿalgorithmus erhalten wir 0 i i i 0 0 +i i III III+ +ii 0 i 0 0 I 8I+ iiii
4 Damit sind die Eigenvektoren Vielfache von i 0.
5 Aufgabe 4 3+4=7 Punkte Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen: i z + z8 + i + 8i = 4, ii z 4 + z 3 = 0. Lösung. i Die Gleichung ist äquivalent zu z + z8 + i i = 4 8i i = 4 8i i = 9 und damit zu z i = 9. Damit ergeben sich die zwei Lösungen z = 3i 4 + i = 4 + i und z = 3i 4 + i = 4 4i. ii Wir benutzen die Substitution u = z, sodass u + u 3 = 0. Dies ist äquivalent zu u + u + = 3 + und damit zu u + = 4. Damit erhalten wir die Lösungen u = = und u = = 3. Durch Rücksubstitution erhalten wir z =, z =, z 3 = 3i und z 4 = 3i.
6 Aufgabe =0 Punkte i Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: a b k= k= k k, k k 5 + 8k +. ii Bestimmen Sie den Reihenwert der folgenden Reihen: a b k + k + 3, Hinweis: Beachten Sie den Startindex; Indexverschiebung. 9 k k + 4 k + 6 k. Lösung. i a Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, da für alle k N k und lim n = 0 k + n gilt, d.h. ist eine monoton fallende Nullfolge. Sie konvergiert hingegen k k= nicht absolut, da für α <, also insbesondere α =, nach der Vorlesung divergiert. b Die Reihe konvergiert absolut nach dem Majoranten-Kriterium, da 0 für alle k N gilt und die Reihe konvergiert. k= k α k k 5 + 8k + k3 + 8k 3 = 5 4k 5 k= k k ii a Sei N N. Es gilt: N N+ k + k + 3 = für N. = = kk + = k= N+ k= N+ k k= N+ k= k + + N + N + 3 kk + = = N+ k= 3 4 N+ k= N+3 k k k=3 k k +
7 b Es gilt 9 k k + 4 k + 6 = k k + + k 9 36 k k = = = = k k
8 Aufgabe 6 Untersuchen Sie die Funktion x, für x, 0, e x f : R R, x x 3 + 4x 5, für x [0,, lnx, für x [, 6 Punkte in jedem Punkt ihres Denitonsbereichs auf Stetigkeit. Lösung. Auÿerhalb von 0 und ist f stetig. Zur Stetigkeit in 0: Es gilt mit der Regel von L'Hospital also ist f in 0 nicht stetig. Zur Stetigkeit in : Es gilt sodass f in stetig ist. x lim x 0 e x = lim x 0 x = 0 5 = f0, ex lim x 3 + 4x 5 = 0 = f = ln = lim lnx, x x
9 Aufgabe 7 Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion f : R R, x e x. 6 Punkte Wo ist f streng monoton wachsend, wo streng monoton fallend? Hinweis: Vorzeichentabelle. Lösung. Die Ableitung berechnet sich für x R zu f x = e x e x x = 4xe x e x Die Nullstellen von f sind demnach, 0 und. Weiterhin gilt f = 8e 3 e 3 < 0 f = e 3 4 e 3 4 > 0 f = e 3 4 e 3 4 < 0 f = 8e 3 e 3 > 0 Damit besitzt f in ein lokales Minimum, in 0 ein lokales Maximum und in ein lokales Minimum. Auf, ] und [0, ] ist f monoton fallend, auf [, 0] und [, ist f monoton wachsend.
10 Aufgabe 8 Berechnen Sie die folgenden Integrale: 4+3+=8 Punkte i ii iii ln ln3 e 0 0 x e x dx, x lnx dx, sinx + cosx cosx + sinx dx. Lösung. i Wir benutzen die Substitution ux = x, sodass u x = x und erhalten ln ln3 x e ln x dx = = ln3 ln ln3 = [ e t] ln ln3 u xe ux dx e t dt = e ln e ln3 = 3 = 6. ii Wir benutzen partielle Integration und erhalten e [ ] e x lnx dx = 3 x3 lnx 3 e = 3 e3 x dx 3 = 3 e3 e 3 9 = 9 e e x 3 x dx iii Da die Grenzen übereinstimmen, ist das Integral gleich 0.
2 a 6. a 4 a Wir führen nun den Gauÿalgorithmus durch: 2 a a 2 4a 2 4a a a 2 2a 0 2 a
Aufgabe 8 Punkte). Bestimmen Sie die Lösungsmenge in R in Abhängigkeit von a R) des folgenden linearen Gleichungssystem: x + ax + 6x = 4, ax + 4x + ax =, x + 4x =. Lösung. Wir schreiben das lineare Gleichungssystem
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