Finite Elemente in der Baustatik

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1 Horst Werkle Finite Elemente in der Baustatik Band I

2 Horst Werkle Finite Elemente in der Baustatik Band 1 Lineare Statik der Stab- und Flachentragwerke

3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Werkle, Horst Finite Elemente in der Baustatik / Horst Werlde. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg. Bd. 1. Lineare Statik der Stab- und F1lichentragwerke ISBN ISBN (ebook) DOI / SOFiSliK ist Warenzeichen der SOFiSliK GmbH, OberschleiBheim. MicroFe ist Warenzeichen der mb-programme, Software im Bauwesen GmbH, Hameln. Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Brau~schweig / Wiesbaden, 1995 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1995 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschlieblich a1ler seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzullissig und strafbar. Das gilt insbesondere flir Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf sliurefreiem Papier ISBN

4 5 Inhalt Vorwort Matrizenrechnung Matrizen und Vektoren Matrizenalgebra l.2.1 Addition und Subtraktion Multiplikation Matrizeninversion Gleichungssysteme l.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme..., Existenz von Losungen Losungsverfahren Die Grundgleichungen der Elastizititstheorie Tragwerkstypen und Grundgleichungen Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe Grundgleichungen von Biegebalken und Platte Finite-Element-Methode f"lir Stabwerke Uberblick Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren l.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente Berechnungsverfahren Einfiihrungsbeispiel: Ebene Fachwerke Statisches System Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs Koordinatentransformation Systemsteifigkeitsmatrix Auflagerbedingungen Losung des Gleichungssystems Auflagerkrafie und Elementspannungen Fedem... 81

5 6 Inbalt 3.4 Biegebalken E1ementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix E1ementlasten Erweiterung der Steifigkeitsmatrix fur Normalkrifte und zur Berilcksichtigung dec Schubsteifigkeit Koordinatentransfonnation Gelenke Zusammengesetzte Stabwerke Rium1iche Stabwerke ModeUbildung bei Stabwerken Auflager Federn Biegebalken Syrnmetrische Systeme Qualititssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen Fehlermoglichkeiten bei Stabwerksbecechnungen KontroUe von Stabwerksbecechnungen Finite-Element-Methode fur F1ichentragwerke Historische Entwicklung Oberblick Niiherungscharakter der Finite-Element-Methode Eindimensionales Erliiuterungsbeispiel Analytische Losung FEM-Niiherungslosung mit Iinearem Verschiebungsansatz FEM-Niiherungslosung mit quadratischem Verschiebungsansatz Eigenschaften der FEM-Niiherungslosung Rechteckelement fur Scheiben Ansatzfunktionen Verzerrungen und Spannungen Steifigkeitsmatrix Elementlasten Beispiele Finite Elemente fur Scheiben Eigenschaften von Finiten Elementen Elemente mit stetigen Verschiebungsansiitzen Nichtkonforme Elemente Hybride Elemente

6 Inhalt Rechteckelement fur Platten Elementtyp Ansatzfbnktionen VerzerrungsgrOBen und SchnittgrOBen Steifigkeitsmatrix Elementlasten Finite Elemente fur Platten Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz Hybride Plattenelemente Beispiel Finite Elemente fur Schalen Ebene Schalenelemente Gekriimmte Schalenelemente als spezielle Volumenelementen Rotationssymmetrische Schalenelemente Modellbildung von Bauteilen Tragwerksmodelle Singularitaten von ZustandsgroBen Elementwahl und Netzbildung Modellbildung von Scheiben Modellbildung von Platten Ergebnisausgabe Qualitlitssicherung und Dokumentation von Finite-Element-Berechnungen bei Flachentragwerken Fehlerabschatzung und adaptive Netzverdichtung Kontrollen bei Fllichentragwerken Dokumentation der Finite-Element-Berechnung Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen Programmautbau Netzgenerierung Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen Integration in die computerunterstiitzte Tragwerksplanung Literatur Finite-Element-Software Sachwortverzeichnis

7 Man kann gewifj nicht alles simpel sagen, aber man kann es einfach sagen. Und tut man es nicht, so ist das ein Zeichen, daft die Denkarbeit noch nicht beendet war. Tucholsky Vorwort Computerorientierte Berechnungsverfahren der Baustatik unterscheiden sich grundlegend von k1assischen Berechnungsverfahren, die fur die Handrechnung oder fur die zeichnerische Losung einer statischen Aufgabe entwickelt wurden. Zwar sind die mechanischen Grundlagen und deren mathematische Formulierung in der Regel bei beiden Verfahren gleich, jedoch ist die Losung der mathematischen Aufgabe nach sehr unterschiedlichen Gesichtspunkten optimiert. Bei den klassischen Verfahren werden die zu losenden Gleichungen so aufbereitet, dab ein Minimum an Rechenaufwand entsteht und ein grobtmogliches MaB an Anschaulichkeit in den einzelnen Losungsschritten gegeben ist. Damit sollen die Bearbeitungszeit fur die Durchfuhrung der Berechnung so kurz wie moglich gehalten und die Richtigkeit der Rechenergebnisse sichergestellt werden. DemgegenOber ist der Rechenaufwand bei den computerorientierten Berechnungsverfahren nahezu bedeutungslos. Erst bei Gleichungen mit mehreren tausend Unbekannten wird er hier von Interesse. Computerorientierte Berechnungsverfahren sind in Hinblick auf eine moglichst schematische Durchfuhrung der Rechenaufgabe formuliert. Das gesamte Tragwerk wird hierzu in eine Vielzahl von Abschnitten zerlegt, deren statisches Verhalten verhiiltnismiibig einfach und leicht oberschaubar ist. Erst durch das Zusammenfugen a1ler Abschnitte entsteht das gesamte Tragwerk mit seinem komplizierten statischen Tragverhalten. Durch diese Vorgehensweise sind die Verfahren sehr Obersichtlich und verhiiltnismiibig leicht zu programmieren. Sie erlauben die Berechnung von komplizierten Tragwerken mit nahezu dem gleichen Aufwand wie bei einfachen statischen Systemen. DarOber hinaus ermoglichen es computerorientierte Verfahren auch, komplizierte Fliichentragwerke in sehr guter Niiherung statisch zu berechnen, wiihrend die k1assischen statischen Verfahren sich in der Regel auf Stabtragwerke beschriinken mossen. Computerorientierte Berechnungsverfahren wurden mit einer eher abstrakten, analysierenden Denkweise entwickelt, wiihrend die k1assischen Verfahren einer eher ganzheitlichen Betrachtung des statischen Systems entsprechen. Dies bedeutet jedoch nicht, dab die computer-

8 10 vorwort orientierten Berechnungsverfahren keiner ganzheitlichen Betrachtung bedorfen. Nach jeder Computerberechnung sind die Ergebnisse - wie im Obrigen auch bei der Handrechnung - auf ihre Richtigkeit, zurnindest aber auf ihre Plausibilitlt hin zu OberprQfen. Dies erfordert das 'ganze' statische Wissen und die Erfahrung des konstruktiven Ingenieurs. FOr Computerberechnungen in der Baustatik hat sich heute die Finite-Element-Methode in der Praxis durchgesetzt. FOr topologisch eindimensionale Systeme wie Durchlauftrlger ist noch das Obertragungsmatrizenverfahren von Bedeutung. Eine gewisse Sonderstetlung nimmt auch die Randelementmethode fur F1lchentragwerke und Kontinua ein. In der vorliegenden Arbeit wird ausschlieblich die Finite-Element-Methode behandelt. Eine statische Berechnung ist nur dann transparent, wenn das zugrunde Iiegende Verfahren einsichtig und verstlndlich ist. Dies gilt auch fur die Finite-Element-Methode. Daher ist das Verstlndnis der Grundlagen der Finite-Element-Methode auch fur den Anwender baustatischer Berechnungsprogramme unabdingbar. Hierzu werden zunlchst a1s mathematisches Hilfsmittel die GrundzQge der Matrizenrechnung und weiterhin die Grundgleichungen des Stabes, der Scheibe und der Platte behandelt. Daran schliebt sich eine EinfUhrung in die Finite-Element-Methode fur Stabwerke an. Danach werden die theoretischen Grundlagen der Finite-Element-Berechnung von Scheiben- und Plattentragwerken, fur die die Finite Element-Methode heute zum Standardwerkzeug geworden ist, behandelt. Die Eigenschaften von gangigen, in kommerzielle Finite-Element-Software implementierten Elementtypen werden in einem Uberblick dargestellt. AbschlieBend werden die in der Praxis wichtigen Fragen der Modellbildung und der Qualitatssicherung von Finite-Element-Berechnungen erortert. Das Buch richtet sich an praktisch tatige Ingenieure sowie an Studierende der Fachhochschulen und - soweit die Anwendung der Finite-Element-Methode im Vordergrund steht - auch der Technischen Hochschulen und Universitaten. Es hat zum Ziel, zu einem vertieften Verstandnis der Finite-Element-Methode und der qualifizierten Interpretation der mit ihr erhaltenen Ergebnisse beizutragen. Die Arbeit entstand im Zusammenhang mit Meiner Lehrtatigkeit an der Fachhochschule Konstanz. Mein Dank fur die unermiidliche Unterstiitzung hierbei gilt vor allem Frau Outi Teirikangas-Lerssi sowie Herro Petri Aitta. Oem Vieweg-Verlag danke ich fur die hilfreiche Zusammenarbeit.