Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

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1 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

2 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung, insbesondere elliptischer partieller Differentialgleichungen mit Randbedingungen. Sie ist auch ein weit verbreitetes modernes Berechnungsverfahren im Ingenieurwesen. [Wikipedia] So kam es dazu... Anfänge: Courant ( 42), Argyris ( 54), Turner et al ( 56), Clough ( 60, Begriff FE ), Zienkewitz ( 65, das 1. Buch) Diverse Ingenieuranwendungen in den späten 60 ern, frühen 70 ern 1970+: Anfänge kommerzieller FEM-Software (Ansys, Abaqus, etc) Heute: unzählige (freie & kommerzielle) Software, Anzahl der Forscher (Ingenieure, Mathematiker, Informatiker) ր, das populärste Werkzeug

3 Wo kommen elliptische (u.ä.) Gleichungen vor? Einige Beispiele: Temperaturverteilung: u = 0 Lamé-Navier Gleichungen in Elastizität mit u = (u, v): µ u + (λ + µ) u = f (u, v): Komponenten der Verschiebung, f: innere Kraft, λ, µ: Lamé Koeffizienten Navier-Stokes Gleichungen der Strömungsmechanik ν u + u u + 1 ρ p = f u = 0 u = (u, v): Geschwindigkeit, p: Druck, ν: Viskosität, ρ: Dichte

4 Unsere Grundgleichung Poisson (Laplace) Problem mit Randbedingungen u = f in u = u D auf D, n u = g auf N (Dirichlet bzw. Neumann Randbedingungen) Wichtig: u = ( u)

5 jeder Anfang ist eindimensional

6 Grundidee in 1D... aus der Sicht eines Mathematikers... Zu lösen: u = f in = (0, 1), u(0) = u(1) = 0 Trick : u v = f v für alle v + Integration: für ausreichend glatte v s: (u v) = u v+u v u v = u v = f v (u v) u v = u v 1 u v 0 u v Nehme v: v(0) = v(1) = 0 schwache Formulierung: suche u, so dass u v = f v v : Integrale v 2 und (v ) 2 machen Sinn } {{ } Sobolevraum H 1(Ableitung) 0(Randbedingung) ()

7 Grundidee in 1D Die schwache Formulierung: suche u H0() 1 =: V so dass u v = f v v V } {{ } } {{ } Bilinearform a(u,v) Funktional F(v) Problem: V : unendlichdimensional! Lösung: ersetze V durch ein endlichdimensionales V h. Suche u h V h : a(u h, v) = F(v) v V h Beispiele: V h := span {sin(πnx) n {0, 1, 2,...10}}, dim(v h ) = 11 V h : Raum der Stückweise linearen Funktionen mit Stützstellen 0, 0.2, 0.4, 0.7, 0.8, 1, dimv h = 4 (nur die inneren Knoten)

8 Grundidee in 1D Zu lösen: a(u h, v) = F(v) v V h Ritz-Galerkin: Sei {φ 1,...φ N } eine Basis von V h. Dann u h = N v j φ j, v j =? i=1 Verlange: a(u h, φ i ) = F(φ i ) i {1,...N} Beachte: N a(u h, φ i ) = a( v j φ j, φ i ) = j=1 N v j φ j j=1 φ i = = N j=1 N j=1 ( φ j φ ) i vj a(φ j, φ i )v j! = F(φ i ) Mit A = (A ij ) = (a(φ j, φ i )), b = (b i ) = (F(φ i )) und v = (v i ): A v = Steifigkeitsmatrix b Ladevektor

9 Grundidee in 1D Zu lösen: Av = b Wünschenswert: die Berechnung von A ij soll möglichst einfach sein die Matrix A soll möglichst schwachbesetzt sein

10 FEM: Zerlege in endlich viele Teilmengen ( Elemente ): = τ Th τ τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 Die Räume V h enthalten Funktionen, deren Einschränkungen auf τ T h Polynome sind. Beispiel (stückweise lineare Funktionen): τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 6 Basisfunktionen φ 1,..., φ N von V h sollten einfach zu berechnen sein und einen möglichst kleinen Träger haben. Beispiel ( Hütchenfunktionen ): φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ 5 τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ 6

11 Grundidee in 1D Zusammenfassung: kontinuierliches Problem: u = f in = (0, 1), u(0) = u(1) = 0 schwache Formulierung: a(u, v) := u v = f v =: F(v) v H 1 0() FEM: Suche u V h : a(u h, φ i ) = F(φ i ) φ 1,...φ N : eine Basis von V h (Hütchenfunktionen)

12 die Welt der bunten Bilder zweidimensionale Probleme

13 FEM in 2D: Schwache Formulierung 1D: Kontinuierliches Problem: u = f in = (0, 1), u(0) = u(1) = 0 Schwache Formulierung: Multipliziere die Gleichung mit einer Funktion v und integriere FEM: wähle v diskret (z.b., stückweise lineare Funktionen) 2D: genauso!! Zu lösen: xx u + yy u = u = f in, u = 0 auf Beachte: xx u + yy u = ( x, y ) ( x u, y u) = u

14 Schwache Formulierung: u = f ( u) v = f v ( u) v = f v Beachte: ( u v) = ( u) v + u v Damit ( u) v = ( u v) u v = ( u v) n u v die schwache Formulierung u v = f v } {{ } } {{ } Bilinearform a(u,v) Funktional F(v) v H0() 1 } {{ } d.h. R v2 < und R v v<

15 FEM in 2D: Diskretisierung zerlege in Teilgebiete: Stückweise polynomiale Funktionen (z.b., linear d.h. P 1 Elemente): Basisfunktionen (Nodalbasis):

16 FEM in 2D: Gleichungssystem Diskretes Gleichungssystem: a(u h, φ i ) = F(φ i ) φ i {Basis von V h } Setze u h = N j=1 v jφ j, dann (a(u, v) = u v) N a(u h, φ i ) = a( v j φ j, φ i ) = i=j N i=j a(φ j, φ i )v j! = F(φ i ) Mit A = (A ij ) = (a(φ j, φ i )), b = (b i ) = (F(φ i )) und v = (v i ): Av = b

17 Bemerkung zur praktischen Realisierung Hauptarbeit: berechne A ij = a(φ j, φ i ) = Beispiel: φ j φ i = τ T h τ φ j φ i a(φ 1, φ 1 ) = m=1,2,3,12,13,14,15 a(φ 1, φ 2 ) = m=3,12 τ m φ 1 φ 2 φ 1 φ 1 τ m a(φ 1, φ 3 ) = 0

18 Die rechte Seite: eine Möglichkeit: schreibe Dann fφ i f N f j φ j j=1 N f j φ j φ i = j=1 N j=1 f j φ j φ i } {{ } berechne ähnlich wie a(φ i,φ j ) oder: berechne (fast) exakt!! fφ i

19 PDE Toolbox von Matlab

20 Was ist das? The Partial Differential Equation Toolbox contains tools for the study and solution of partial differential equations (PDEs) in two-space dimensions (2-D) and time. A set of commandline functions and a graphical user interface let you preprocess, solve, and postprocess generic 2-D PDEs for a broad range of engineering and science applications, including structural mechanics, electromagnetics, heat transfer, and diffusion. [www.mathworks.com]

21 (Elliptische) Grundgleichungen Skalare Gleichungen: linear: nichtlinear: (c u) + au = f (c(u) u) + a(u)u = f(u) Randbedingungen: Dirichlet: hu = r Verallgemeinerte Neumann: n (c u) + qu = g

22 (Elliptische) Grundgleichungen Gleichungssysteme: (c 11 u 1 ) (c 12 u 2 ) + a 11 u 1 + a 12 u 2 = f 1 (c 21 u 1 ) (c 22 u 2 ) + a 21 u 1 + a 22 u 2 = f 2 Randbedingungen: Dirichlet: h 11 u 1 + h 12 u 2 = r 1 h 21 u 1 + h 22 u 2 = r 2 Verallgemeinerte Neumann: n (c 11 u 1 ) + n (c 12 u 2 ) + q 11 u 1 + q 12 u 2 = g 1 n (c 21 u 1 ) + n (c 22 u 2 ) + q 21 u 1 + q 22 u 2 = g 2 oder auch gemischt

23 Benutzung PDE-Toolbox hat die typischen Bausteine eines (kommerziellen) FEA (Finite Element Analysis)-Werkzeugs: Benutzer Pre-prozess Prozess Baue das FE Modell (Geometrie, Materialparameter, usw). Nicht selten: Auswahl der Methoden, Algorithmen Durchführung numerischer Berechungen (oft eine Black Box für Benutzer) Benutzer Post-prozess Analysiere die Ergebnisse

24 Literatur [1] R. Rannacher. Numerische Mathematik 3 (Numerik von Problemen der Kontinuumsmechanik), Vorlesungsskriptum WS 2006/2007, Heidelberg [2] R. Rannacher. Numerische Mathematik 2 (Numerik Partieller Differentialgleichungen), Vorlesungsskriptum SS 2006, Heidelberg [3] D. Braess. Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie, Springer, 2003

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