Einführung in FEM Motivationsbeispiel. Berechnungsbeispiel COMSOL Multiphysics: Elastizitätsberechnung eines F1 Frontflügels.

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1 Einführng in FEM Motivationsbeispiel Berechnngsbeispiel COMSO Mltiphysics: Elastizitätsberechnng eines F Frontflügels. Originalgeometrie CAD-Modell mit Berechnngsgitter FEM Ergebnis der Aslenkng Folie

2 FEM Modellproblem der Frontflügel ist leider etwas z kompliziert. Als einfaches Einstiegsproblem betrachten wir die Verformng eines Kegelstmpfes (Pylon) nter axialer Drckbelastng: 3D D A(x) ges F (x) x F Agrnd der Rotationssymmetrie betrachten wir znächst lediglich eine zweidimensionale Schnittgeometrie. Gescht ist die Verschiebngsfnktion, die für jede Position die Aslenkng as der Rhelage angibt. Da die Kraft axial wirkt, hängt die geschte Verschiebng nr von der axialen Position ab: =(x). Folie

3 FEM Modellproblem & Differentialgleichng Die Differentialgleichng für die ges Verschiebngsfnktion latet: d F ( x) dx A( x) E (x) x F (Af die Herleitng gehen wir hier nicht ein.) Bedetng der einzelnen Größen: (x) Aslenkng (Verschiebng) as der Rhelage. Wir legen fest, dass eine Verschiebng nach links drch positive Werte beschrieben wird. F Betrag der Kraft, die in axialer Richtng wirkt. E Elastizitätsmodl (Yong-Modl) A(x) Qerschnittsfläche Folie 3

4 FEM Modellproblem & analytische ösng Dieses Modellproblem ist hinreichend einfach gewählt, so dass hier die analytische ösng direkt angegeben werden kann: x F x ( ) dx' Ax ( ') E (x) ges x F Für die Parameter: F = kn E = 3 kn/cm ges = cm A(x) = ( -.9 x) cm (diese möglichst einfach gewählte Flächenfnktion entspricht nicht den geraden Brandngen in den Skizzen) ergibt sich: ( x ) ln(. 9 x ) ln( 3. 9 ) Folie 4

5 Was tn... wenn keine analytische ösng existiert? A Dann wählt man einen nmerischen Zgang: Methode der Finiten Elemente (FEM) (es gibt ach Alternativen: z.b. die Methode der Finite Volmen oder Finite Differenzen ) Um die FEM-Idee z verstehen, betrachten wir im Folgenden Dgl.en der Form f( ( x), ( x)). Wir schreiben die Modell-Dgl. in impliziter Form nd erhalten F damit die geschte Form: ( x) Ax ( ) E Folie 5

6 FEM Grndidee Problemstellng Gescht ist eine Fkt. (x), welche die lineare Dgl f ( x ), x erfüllt. Die FEM bietet ein Verfahren z Berechnng einer genäherten Fnktion (Approximation) ~ ( x ), welche die Dgl möglichst gt erfüllt. Wird ( x ) in die Dgl eingesetzt, ist die rechte Seite i.a. nicht gena Nll, das wäre ja für die exakte ösng der Fall. Diese ist aber nicht bekannt. Für eine gte Approximation sollte die rechte Seite aber möglichst klein sein nd zwar überall: Für alle x [,ges ] soll gelten: f ( x), x r, mit r Der Wert r af der rechten Seite gibt an, welcher Fehler sich beim Einsetzen der Approximation in die Dgl für einen bestimmten x-wert ergibt. Als ein Maß für den Gesamtfehler betrachtet man die Größe ges ~ R f ( x), x dx, diese wird als Residm (= Rest ) bezeichnet. Im Residm werden also die Fehlergrößen für alle x-werte afsmmiert. Anstelle von r f ( x), x wird jedoch über das Qadrat integriert, m Vorzeicheneffekte los z werden. (Ach negative Fehler tragen zm Gesamtfehler bei.) Folie 6

7 FEM Grndidee Die geschte Approximation ~ ( x ) ist m so besser, je kleiner der damit verbndene Fehler ist, je kleiner also das entsprechende Residm ist. As der Minimalbedingng für das Residm lässt sich die optimale Approximation bestimmen. Damit gelingt es ns die ösng der gegebenen Dgl af eine Extremwertsche zrückzführen. Weiter nten werden wir sehen, dass die Minimalbedingng für das Residm af ein lineares Gleichngssystem führt. Anstelle einer komplizierten Dgl ist also nr ein lineares Gleichngssystem z lösen. Folie 7

8 FEM Diskretisierng Nach der allgemeinen Strategie, wollen wir ns dem Typ von Näherngsfnktion zwenden, mit dem die Verschiebngsfnktion beschrieben werden soll. Daz führen wir erst den Begriff der Diskretisierng ein. Darnter versteht man den Übergang von kontinierlichen Variablen z diskreten Werten. (x) x Im vorliegenden Fall bedetet dies, dass wir (x) nicht für jeden x-wert berechen, sondern die Verschiebng wird nr an bestimmten fest gewählten Stützstellen bestimmt. Im Weiteren wollen wir z.b. nr die Verschiebngen, nd 3, ganz links, in der Mitte nd am rechten Ende bestimmen. 3 Bezogen af das physikalische Problem entspricht dies dem Übergang von der realen Geometrie z einem Stapel zweier Zylinder. Die i beschreiben dann die Verschiebngen an den Enden, bzw. an der Kontaktfläche. Folie 8

9 FEM Diskretisierng Der Übergang zm Zylinderstapel verdetlicht eine wichtige FEM-Grndidee: die reale Geometrie wird drch mehrere einfache Geometrien approximiert. (x) x Die Verschiebngen zwischen den Stützstellen können im einfachsten Fall linear interpoliert werden, d.h. man nimmt eine lineare Z- oder Abnehme der Verschiebng zwischen den Stützstellen an. Jeder der drch die Diskretisierng erzegten Bereiche wird Element genannt daher der Name der Methode. Innerhalb jedes Elements wird die Verschiebng mit einer Ansatzfnktion beschrieben, die wie oben gesagt hier im einfachsten Fall als linear angenommen wird. Die Ansatzfnktion bezeichnen wir mit ( x). i Diskretisierng El. El. 3 Approximation der Verschiebng = 3 Folie 9

10 FEM Ansatzfnktion ineare Ansatzfnktion Betrachten wir z.b. das erste Element. Allgemeiner linearer Ansatz: ~ ( x ) a x b Es ist aber zweckmäßig, a, b drch die Knotenverschiebngen, aszdrücken: Es gilt: ( ) b, ( x ) a b a nd damit: ( x) x In etwas eleganterer Vektorschreibweise lässt sich die Ansatzfnktion darstellen als: x x ( x), x x führt man N( x), N( x) N( x) als Element-Basisfnktionen ein, so gilt: ( x). N( x) Folie

11 FEM Ansatzfnktion Die Element-Basisfnktionen (ach Formfaktoren genannt) sind üblicherweise für alle Elemente bzw. für bestimmte Elementtypen gleich. Die vektorielle Schreibweise ist praktisch, hier aber nicht nbedingt notewendig, weswegen wir im Folgenden nicht näher daraf eingehen. Die lineare Ansatzfnktion für das zweite Element latet entsprechend: Insgesamt gilt also: x ( ) 3 ( x) x. ( x) x x, 3 ( x) x x, Folie

12 FEM Minimierng des Residms Zrück zr Strategie: Minimierng des Residms (Fehlers) ges F Für den konkreten Fall gilt: R ( x) dx Ax ( ) E ges R f ( x), x dx F 3 F R dx dx A( x) E A( x) E Das Residm hängt also von den drei nbekannten Verschiebngen ab. Um das z verdetlichen schreiben wir: R R(,, ) 3 Die geschten Knotenverschiebngen, nd 3 ergeben sich dann as den Minimierngsbedingngen: R R, R, R R R 3 3 Folie

13 FEM Minimierng des Residms Wir betrachten genaer die erste Bedingng R R(,, ) : 3 R (,, ) setzt sich as zwei Integralen zsammen, von denen eins 3 nicht von abhängt. Aßerdem darf hier die Reihenfolge von Integration nd partielle Ableitng vertascht werden. Damit gilt: F F R dx dx A( x) E A( x) E F dx A( x) E F dx E A( x) Es gilt also...das erste Integral bringt einen Faktor : F F R dx dx E A( x) E A( x) Das Vorgehen für die weiteren Bedingngen R nd R ist vollkommen analog. 3 Folie 3

14 Folie 4 etztendlich findet man, dass jede (notwendige) Minimalbedingng af eine einfache lineare Gleichng führt. Die Bedingngen zsammen führen af ein lineares 3 x 3 Gleichngssystem für die geschten Verschiebngen: damit sind wir fast am Ziel. eider hat das gefndene Gleichngssystem keine eindetige ösng. Das liegt daran, dass wir die Randbedingng des Kegels an der linken Seite noch nicht eingebat haben. Da der Kegel links fest afliegt, mss hier die Verschiebng verschwinden, es mss also gelten =. x ) A( dx E F R 3 3 ) x A( dx E F R 3 x ) A( dx E F x ) A( dx E F R b b b b ( ) ( ) 3 F dx b E A x F dx b E Ax FEM Minimierng des Residms

15 FEM Minimierng des Residms Wir ersetzen die erste Gleichng drch die Randbedingng = nd erhalten: 3 b b b3 3 Die Terme der rechten Seite: b F dx F dx b, E Ax ( ) E Ax ( ) 3 können vorab berechnet werden. Im vorliegenden Fall: F = kn E = 3 kn/cm ges = cm A(x) = ( -.9 x) cm latet die ösng des Gleichngssystems dann: Folie 5

16 FEM Ergebnisse Modellproblem Ergebnisvergleich: Die blaen Pnkte zeigen die FEM-Ergebnisse an den drei Stützstellen, in rot sind die linearen Interpolationen gezeigt. Die schwarze Krve zeigt das exakte Ergebnis Elemente gleicher änge lineare Ansatzfnktion Frage: Was kann man noch besser machen? Folie 6

17 FEM Ergebnisse Modellproblem Ergebnisvergleich: FEM mit adaptiver Diskretisierng. Generell ist es von Vorteil, dass in Regionen, in denen sich die geschte Größe stark ändert, kleinere Elemente verwendet werden Elemente nterschiedlicher änge lineare Ansatzfnktion Folie 7

18 FEM Ergebnisse Modellproblem Ergebnisvergleich: FEM Ergebnis mit feinerer Diskretisierng. Ach drch die Verwendng mehrerer kleinerer Elemente können Änderngen in der geschten Größe genaer beschrieben werden..5.5., 3, 4, 6 Elemente gleicher änge lineare Ansatzfnktion Folie 8

19 FEM verschiedene Ansatzfnktionen Anhand des Vergleichs der bisherigen FEM-Ergebnisse mit der exakten ösng sieht man, dass die Güte der Näherng drch die Verwendng möglichst kleiner Elemente verbessert wird. Anstelle der Anzahl kann man aber ach die Art der Elemente optimieren. Bisher wrde eine lineare Ansatzfnktion für die Elemente gewählt, d.h. die Verschiebng innerhalb eines Elements wrde linear interpoliert also drch eine Gerade dargestellt. Man kann stattdessen ach z.b. ein Polynom. Ordnng also eine Parabel verwenden. Daz mss innerhalb jedes Elements eine weitere Stützstelle berechnet werden, da eine Parabel nr drch drei Pnkte eindetig bestimmt ist. ineare Ansatzfnktion Qadratische Ansatzfnktion 3 Folie 9

20 FEM verschiedene Ansatzfnktionen ineare Ansatzfnktion (Wdh.) Qadratische Ansatzfnktion Element: 3 Ansatzfnktion: ( ) x axb a nd b werden drch Knotenverschiebngen asgedrückt: a,b, ( ) x x oder in vektorieller Schreibweise: N( x) ( x) N( x) mit x x N( x), N( x) ( x) ax bxc Ach hier werden die Koeffizienten a, b, c drch die Knotenverschiebngen asgedrückt. Ergebnis (ohne Herleitng) in vektorieller Schreibweise: N( x) ( x) N( x) mit N3( x) 3 x N ( x) 3 x x x x N ( x) 4, N ( x) 3 x Folie

21 FEM Rechenbeispiel mit qadratischer Ansatzfnktion Wirkliche Strktr Diskretisierng El. El Näherng im gesamten Rechengebiet: N( x) ( x) N( x) x, N3( x) 3 x ( ) N ( ˆ x) 3 ( ) ( ˆ) ˆ x N x 4 x, N ( ˆ 3 x) 5 xˆ x Residm: R Gescht sind jetzt fünf Knotenverschiebngen. Analog zm linearen Fall ergeben sich diese as den Minimalbedingngen: R, R ges 5 ~ ( x ) F A( x ) E dx Folie

22 FEM Ergebnisse Modellproblem Ergebnisvergleich: Die blaen Pnkte zeigen die FEM-Ergebnisse an den Stützstellen. Die blaen inien zeigen die qadratische Interpolation. Die schwarze Krve zeigt das exakte Ergebnis Elemente gleicher änge qadratische Ansatzfnktion Folie

23 Konvergenzverhalten: Um die Qalität der FEM-Näherng z berteilen, betrachten wir die Spannng an der Kegelspitze. Während im gewählten FEM-Beispiel die Aslenkng selbst sehr gt wiedergegeben wird, ist das für die Spannng nicht der Fall: Spannng [kn/cm ] FEM Ergebnisse Modellproblem 5 E d dx exaktes Ergebnis qadratischer Ansatz linearer Ansatz E d~ dx Elemente Folie 3

24 FEM Konvergenzverhalten: Mit znehmender Elementanzahl nähert sich das FEM-Ergenbis dem exakt berechneten Wert, sowohl für lineare als ach qadratische Ansatzfnktionen. Im linearen Fall geschieht dies jedoch sehr langsam, so dass sehr viele Elemente benötigt würden m eine akzeptable Genaigkeit z erreichen. Mit qadratischen Ansatzfnktionen fnktioniert das besser, so dass diese im vorliegenden Fall, trotz des höheren Rechenafwands, z bevorzgen sind. Das gesamte Vorgehen ist af der folgenden Folie noch einmal krz zsammengefasst. Folie 4

25 FEM Zsammenfassng Gegeben ist eine Differentialgleichng (mit entsprechenden Randbedingngen) Gescht ist eine möglichst gte Näherngslösng Afteilng des Rechengebiets in Elemente (Diskretisierng) Wahl der Ansatzfnktion, für jedes Elemnt, z.b. linear Die Näherngslösng erfüllt die Dgl. i.a. nicht exakt, sonder nr ngefähr. Der Gesamtfehler (Residm) ist As der Fehlerminimierng folgt ein ineares Gleichngssystem, dessen ösng ergibt die Aslenkngen an den Knotenpnkten ~ f ( x), ( x), x hier: ( x) hier: x ( ) ( x ) x F A( x) E f ( x), x r ges R f ( x), x dx R, R, R 3 A b Folie 5

26 FEM Ein paar Anmerkngen zm Schlss Der hier skizzierte Zgang z FEM ist nr einer von mehreren möglichen. Einige Schlüsselbegriffe für weitere Recherchen sind: Energiefnktional, Ritz-Verfahren, Garlekin-Methode, Viele weitere Aspekte bzgl.: Implementation, Speicherbedarf, Rechenafwand, Konvergenzverhalten, freie nd kommerzielle FEM Software, können hier in der Kürze nicht besprochen werden. Ach diesbzgl. wird af die weiterführende iteratr verwiesen. Im Rahmen des FEM-Zgangs wird eine Dgl af ein lineares Gleichngssystem abgebildet. Der ösngsvektor enthält die geschten Fnktionswerte (in nserem Beispiel die Verschiebngen) an den Knotenpnkten. In der Praxis kann der ösngsvektor sehr viele Einträge haben. Anstelle der Dgl ist dann ein lineares System mit einigen Hnderttasend bis einigen Millionen Gleichngen nd ebenso vielen Unbekannten z lösen. Mit den richtigen Solver-Rotinen lässt sich dies hetztage af leistngsstärkeren PCs oder aptops bewerkstelligen. Folie 6

27 FEM Ein paar Anmerkngen zm Schlss Warm mss Sie das interessieren? das rechnet doch sowieso alles der Compter! - Berechnngsergebnisse sind aber höchstens so gt wie die Handhabng des Programms, leider gilt immer noch: garbage in garbage ot - Alle disktierten Pnkte, wie Elementanzahl, Ansatzfnktion nd noch viele weitere) erfordern i.a. Spezifizierngen drch den Bediener. - Man mss wissen, was nd wie das Programm rechnet, m af Probleme reagieren z können. FEM kann noch viel mehr. Die Einsatzmöglichkeiten der Methode gehen über das einfache disktierte Beispiel nd über Strktrmechanik allgemein weit hinas. Weitere Einsatzgebiete sind: - Fliddynamik: Navier-Stokes Gleichngen, Mehrphasenströmngen, - Stoff- & Wärmetransport: Konvektions-Diffsions-Gleichngen - Elektrodynamik: Maxwell-Gleichngen allgemeine partielle Differentialgleichngen. Folie 7

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