Installation und Test des Finite-Elemente Programms Z88

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1 BERUFSAKADEMIE LÖRRACH STAATLICHE STUDIENAKADEMIE Fachrichtung Maschinenbau Studienarbeit LT95MB/KO 6.Hj. Installation und Test des Finite-Elemente Programms Z88 Bearbeiter: Betreuer: Firma: Carsten Reumschüssel Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Heusler WERNER RIETSCHLE GmbH + Co. KG Roggenbachstraße Schopfheim Beginn: 9. März 1998 Abgabe: 12.Juni 1998 Redaktion: Dipl.-Ing. (FH) Martin Gräßlin

2 Inhalt 1 Allgemeines zu Finite-Elemente Programmen Warum Finite-Elemente Methode? Grundidee der Finite-Elemente Methode Ansatz für Festigkeitsberechnungen Spannungen Generierung von FE-Netzen Adaptive Netzverfeinerung Einsatzgebiete der FEM Hardwareplattformen für FE-Anwendungen Softwareplattformen für FE-Anwendungen Kurze Übersicht über FE-Programme Kosten Das Finite-Elemente Programm Z Die Philosophie von Z Die Möglichkeiten von Z Netzgenerierung Konvertierung von CAD-Daten Darstellung der Ergebnisse Erforderliche Hardware für Z Geeignete Betriebssysteme für den Einsatz von Z WINDOWS WINDOWS NT LINUX Verfügbarkeit von Z Elementtypen in Z Stabelemente Stab Nr. 9 in der Ebene Stab Nr. 4 im Raum Balkenelemente Balken Nr. 13 in der Ebene Balken Nr. 2 im Raum Welle Nr Scheibenelemente Scheibe Nr. 3 mit 6 Knoten Scheibe Nr. 7 mit 8 Knoten Scheibe Nr. 11 mit 12 Knoten Toruselemente Torus Nr. 6 mit 3 Knoten Torus Nr. 8 mit 8 Knoten Torus Nr. 12 mit 12 Knoten Volumenelemente Hexaeder Nr. 1 mit 8 Knoten Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 2

3 3.5.2 Hexaeder Nr. 11 mit 20 Knoten Randbedingungen in Z Die Datei z88i2.txt Verschiebungen Kräfte Flächenlasten Elemente mit linearem Ansatz Elemente mit quadratischem Ansatz Elemente mit kubischem Ansatz Beispiel zu Flächenlasten Beispiele für FE-Berechnungen mit Z Beispiel 1: Gekerbter Zugstab Problemstellung Wahl des Elementtyps Erzeugung des FE-Modells Randbedingungen Berechnung Auswertung Beispiel 2: Trommelbremse Problemstellung Wahl des Elementtyps Erzeugung des FE-Modells Randbedingungen Berechnung Auswertung Beispiel 3: Rohr unter Torsionsbeanspruchung Normales Rohr Geschlitztes Rohr Geschlitztes Rohr, am Ende geschlossen Zusammenfassung A) Literatur Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 3

4 1 Allgemeines zu Finite-Elemente Programmen 1.1 Warum Finite-Elemente Methode? Bei der rechnerischen Auslegung von technischen Geräten stellt man häufig fest, daß sich viele Probleme gar nicht mit analytischen Rechenansätzen erfassen lassen. Analytische Ansätze funktionieren wunderbar bei idealisierten Modellen. Mit gewissen Einschränkungen lassen sich diese analytischen Ansätze auf einfache reale Fälle übertragen. Bei etwas komplizierteren Fällen kommt man mit den analytischen Ansätzen nicht mehr zu brauchbaren Ergebnissen. So ist es z.b. schon bei einem einfachen Gabelschlüssel kaum möglich durch analytische Rechenmethoden die auftretenden Spannungen zu bestimmen. Als Abhilfe wurden für viele Probleme empirische Rechenverfahren entwickelt. Da sich dabei die realen Belastungen nur bedingt erfassen lassen, müssen großzügige Sicherheitszuschläge berücksichtigt werden. Erst in aufwendigen und teuren Versuchen kann man sich an die Grenzen herantasten. Bei vielen Produkten ist es unabdingbar an gewisse Grenzen zu gehen, um Werkstoffe und den zur Verfügung stehenden Raum optimal zu nutzen (Leichtbau!). Die Finite-Elemente Methode gibt dem Konstrukteur ein Werkzeug in die Hand, mit dem möglich ist, mit nahezu beliebiger Genauigkeit 1 Produkte auszulegen. Das soll keineswegs bedeuten, daß Versuche völlig überflüssig werden. Man kann jedoch durch die rechnerische Simulation viele kostspielige Versuche einsparen. 1.2 Grundidee der Finite-Elemente Methode Die Grundidee bei der Methode der finiten Elemente beruht darauf, daß man ein Bauteil in viele kleine (finite) Elemente aufteilt, deren Belastungen problemlos mit analytischen Methoden ermittelt werden können. Während man bei der analytischen Methode eine bessere Genauigkeit durch einen höheren (und komplizierteren) Ansatz erzielt, behält man bei der Finite- Elemente Methode den einfachen Ansatz bei und erzielt die Genauigkeit durch eine Aufteilung des Bauteils in genügend kleine Elemente [1]. Für gute Genauigkeiten sind je nach der Komplexität der gegebenen Struktur oft mehrere Tausend Elemente 2 erforderlich. Somit wird schnell klar, daß die 1 die erzielbare Genauigkeit hängt praktisch nur von der zur Verfügung stehenden Rechenleistung ab 2 typische Berechnungsmodelle liegen bei bis Elementen (in Extremfällen bis Elemente) Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 4

5 Finite-Elemente Methode (im Weiteren mit FEM abgekürzt) erst mit der Verbreitung leistungsfähiger Computer ihre Bedeutung erlangt hat Ansatz für Festigkeitsberechnungen Bei statischen Festigkeitsberechnungen wird als analytischer Grundansatz das Hooke sche Gesetz verwendet: E ε = σ Gl. 1-1 Arbeitet man gegebene Querschnittswerte ein, so wird aus dem Elastizitätsmodul E die Steifigkeit k, aus der relativen Dehnung ε die Verschiebung u und aus der Spannung σ die Last f: k u = f Gl. 1-2 Dieses Gesetz gilt prinzipiell für jedes finite Element. Man muß nun von jedem vorhandenen Element die Steifigkeit ermitteln. Dann läßt sich für jeden Knoten die Gleichung Gl. 1-2 aufstellen. So erhält man schließlich ein lineares Gleichungssystem, das man zweckmäßigerweise in Matrixschreibweise darstellt: [K] { u } = { F } Gl. 1-3 Dabei ist [K] die Steifigkeitsmatrix, {u} der Verschiebungsvektor und {F} der Lastvektor. Da die Verschiebungen gesucht sind, wird von der Steifigkeitsmatrix die Inverse gebildet und auf die andere Seite der Gleichung herübergenommen: { u } = [K] -1 { F} Gl Spannungen Kennt man nun die Verschiebungen der Knoten und damit auch die Dehnungen der Elemente, so kann man über das Hooke sche Gesetz die Spannungen in den einzelnen Elementen berechnen. Dabei muß allerdings folgendes berücksichtigt werden: Gute Genauigkeiten für die Verschiebungen erhält man schon mit relativ wenig Elementen. Bei den Spannungen muß das keineswegs so sein. Berechnet man z.b. eine Struktur mit scharfen Kerben, so treten natürlich im Bereich der Kerben sehr hohe Spannungen und Dehnungen auf. Die Dehnungen im Bereich der Kerben spielen für die Gesamtverformung des Bauteils nur eine untergeordnete Rolle, da sie sich nur auf kleine Bereiche erstrecken. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 5

6 Gilt das Hauptinteresse den Verformungen, so kann man problemlos mit einem recht groben Netz die Struktur berechnen. Möchte man auch realistische Aussagen über auftretende Spannungen machen, so muß man im Bereich von Kerben das FE-Netz entsprechend verfeinern. 1.3 Generierung von FE-Netzen Um die Genauigkeit von FE-Berechnungen zu verbessern gibt es prinzipiell 2Möglichkeiten: 1) Man wählt Elemente mit höherem Ansatz 2) Man erhöht die Anzahl der finiten Elemente Der 1. Möglichkeit wird dadurch Rechnung getragen, daß viele FE-Programme über eine ganze Bibliothek von Elementen verfügen. So kann der Anwender einen Elementtyp auswählen, dessen Ansatz für das jeweilige Problem am besten geeignet ist. Dadurch muß eine Struktur in deutlich weniger Elemente aufgeteilt werden um Ergebnisse guter Genauigkeit zu erzielen. Elemente höherer Ansätze verursachen allerdings auch einen höheren Rechenaufwand als einfache Elemente, aber unterm Strich kann durch eine günstige Elementwahl Rechenaufwand eingespart werden, weil man mit weniger finiten Elementen auskommt. Bei komplizierten Strukturen und besonders im Bereich von Kerben muß man trotzdem feine FE-Netze erzeugen, um gute Ergebnisse zu erreichen. Über die Anzahl der finiten Elemente läßt sich die Genauigkeit der FE-Berechnung nahezu beliebig erhöhen. Damit sich bei vertretbarem Aufwand feine Netze erzeugen lassen, sind automatische Netzgeneratoren erforderlich. Besonders vom Netzgenerator hängen die Qualitäten und der praktische Nutzen eines FE- Programmes ab Adaptive Netzverfeinerung Eine sehr feine Vernetzung über die gesamte Struktur führt zu sehr großen Elementzahlen und damit zu einem gewaltigen Rechenaufwand. Um die Verschiebungen relativ genau zu berechnen, sind nicht allzu viele Elemente erforderlich, und für genaue Spannungsberechnungen ist es wichtig, lediglich im Bereich von Kerben sehr fein zu vernetzen. Einige FE-Programme sind daher in der Lage kritische Bereiche automatisch feiner zu vernetzen. Um kritische Bereiche zu erkennen bedienen sich diese Programme eines Fehlerschätzers. Falls sich die berechneten Spannungen von einem Element zum benachbarten Element sprunghaft ändern, ist dies ein Maß für die Abweichung der berechneten von der wirklichen Spannung. Das Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 6

7 FE-Programm verfeinert dann automatisch in dem betreffenden Bereich das Netz. Unterm Strich reduziert die adaptive Netzverfeinerung den Rechenaufwand und sorgt für recht genaue Spannungswerte. 1.4 Einsatzgebiete der FEM Die ersten FEM-Anwendungen wurden entwickelt, um statische Festigkeitsberechnungen durchzuführen. Damit sind die Möglichkeiten der Finite-Elemente noch bei Weitem nicht ausgereizt. So läßt sich Gl. 1-2 einfach auf dynamische Probleme erweitern, indem man die Gleichung für den gedämpften Einmassenschwinger einarbeitet: m u + d u + k u = f( t ) Gl. 1-5 Hinzugekommen ist die Masse m, die mit der zweiten Ableitung der Verschiebung nach der Zeit (also der Beschleunigung) multipliziert wird und die Dämpfung d, die mit der Geschwindigkeit multipliziert wird. Um diese Gleichung auf ein Modell aus finiten Elementen zu übertragen wird analog zu Gl. 1-3 in Matrixschreibweise dargestellt: [M ] { u} + [D] {u} + [K] { u } = { f( t )} Gl. 1-6 Nach diesem Prinzip läßt sich die Finite-Elemente Methode auch auf viele andere Anwendungen übertragen. Man wählt für das jeweilige Problem einen analytischen Ansatz, der für idealisierte Modelle Gültigkeit hat, und wendet ihn auf genügend kleine Elemente an, indem man die analytische Gleichung in die entsprechenden Matrizen überträgt. Für reibungsbehaftete Strömungen liegen z.b. die NAVIER-STOKES Gleichungen und für Magnetfelder die MAXWELL Gleichungen als analytischer Ansatz zugrunde. Die Folgende Aufzählung soll einen kurzen Überblick über die Einsatzgebiete der Finite-Elemente Methode geben: Strukturmechanik (Spannungen, Dehnungen) Dynamische Vorgänge (Eigenschwingungen, Crashsimulationen, Umformvorgänge) Temperaturfelder, Wärmeströme Elektrische Felder Magnetfelder Strömungen Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 7

8 Diffusionsvorgänge Kombinationen obiger Bereiche, z.b. für Spritzgießsimulationen 1.5 Hardwareplattformen für FE-Anwendungen Da FEM-Anwendungen sehr rechenintensiv sind, wurden diese bis etwa 1980 ausschließlich auf Großrechnern eingesetzt. In den 80er Jahren waren Workstations schon so leistungsfähig, daß viele typische FE-Berechnungen darauf durchgeführt werden konnten. Seit etwa 1995 sind auch Personalcomputer in die Leistungsbereiche der Workstations vorgestoßen. Lediglich FE-Berechnungen, mit sehr großen komplexen Modellen, wie z.b. bei Crashsimulationen, bleiben bis heute Großrechnern vorbehalten. Für typische FE-Berechnungen sind PCs mit PENTIUM oder PENTIUM II Prozessor ( MHz) und einem Hauptspeicher von 128 MB völlig ausreichend. 1.6 Softwareplattformen für FE-Anwendungen Lange Zeit dominierte UNIX als Betriebssystem für FE-Programme, insbesondere auf Workstations. Mit dem verstärkten Einsatz von PCs für FE- Berechnungen haben auch die Betriebssysteme WINDOWS 95 und besonders WINDOWS NT als Basis für FE-Programme stark an Bedeutung gewonnen. Der Vorteil von WINDOWS liegt darin, daß man neben speziellen FE- und CAD- Programmen auch allgemeine Office-Software auf demselben Rechner einsetzen kann, wodurch sich Kosten für Hardware und Platz einsparen lassen. Auch das UNIX-Derivat LINUX wird vermutlich in Zukunft einen festen Platz als Betriebssystem für professionelle Software einnehmen (siehe auch 2.4.3). 1.7 Kurze Übersicht über FE-Programme Man schätzt, daß weltweit inzwischen mehr als 1000 FE-Programme existieren. Die meisten davon wurden für spezielle Anwendungen an Hochschulen und in der Industrie entwickelt. Eine weite Verbreitung und größere Bedeutung haben allerdings nur rund ein Dutzend Programme erlangt. In erster Linie sind da die sogenannten General-Purpose-Programme, die eine Art Universalprogramme für FE-Anwendungen sind. Diese Programme er- Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 8

9 strecken sich nahezu über sämtliche Anwendungsgebiete. Verbreitete General- Purpose-Programme sind beispielsweise ANSYS und NASTRAN. Darüber hinaus gibt es noch auf Spezialanwendungen zugeschnittene Programme wie z.b. LS-DYNA für Crashsimulationen oder C-MOLD die Spritzgießsimulation [2]. 1.8 Kosten Der Einsatz der FEM ist in den letzten Jahren preislich wesentlich erschwinglicher geworden. Der Hauptgrund dafür liegt darin, daß die Computer in rasendem Tempo leistungsfähiger und gleichzeitig preiswerter wurden. Durch die preiswertere Hardware erhöht sich die Zahl der FEM-Anwender, wodurch wiederum die Preise für die Software sinken. Trotzdem ist FEM aber noch eine kostspielige Angelegenheit. Oft stellt sich daher für eine Firma die Frage, ob es finanziell überhaupt rechnet, FEM einzuführen. Die Anschaffung von Hard- und Software verursacht leicht Kosten in der Größenordnung von ca ,- DM. Dazu kommen noch erheblich Personalkosten, da für den wirtschaftlichen Einsatz der Finite-Elemente Methode wenigstens ein Mitarbeiter zu 50% mit FEM-Tätigkeiten ausgelastet sein sollte [3]. Dem stehen typische Kosten von ca ,- DM pro Berechnungsauftrag gegenüber. Vorteile der Fremdvergabe sind die Konzentration auf Kernkompetenzen und eine bessere Kostenkalkulation, als Nachteile wären zunehmende Abhängigkeit und die Preisgabe firmeninterner Informationen zu nennen. Es muß also sorgfältig abgewogen werden, ob man generell Aufträge für FE- Berechnungen vergeben oder diese im eigenen Hause durchführen möchte. Des Weiteren gibt es aber auch noch die Möglichkeit sich ein preiswertes, einfaches FE-Programm wie z.b. Z88 zu beschaffen. Ohne viel Geld zu investieren erhält man die Möglichkeit einfache FE-Berechnungen selber durchzuführen und gleichzeitig Erfahrungen mit der FEM zu sammeln. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 9

10 2 Das Finite-Elemente Programm Z Die Philosophie von Z88 Z88 versteht sich nicht als Konkurrenz zu den unter 1.7 genannten FE- Programmen, die zwar weltweit Bedeutung haben, aber dafür extrem teuer sind. Die Philosophie von Z88 zielt auf etwas anderes ab: Z88 ist kompakt und für den Einsatz auf PCs ausgelegt. Weiterhin beschränken sich die Funktionen von Z88 auf statische Festigkeitsberechnungen. Hier muß allerdings betont werden, daß der Nachteil der Funktionseinschränkungen die Bedienung von Z88 sehr vereinfacht. Zudem ist Z88 auch verhältnismäßig preiswert. Kurz gesagt bietet Z88 folgende Merkmale: Schnell und kompakt: für PCs entwickelt, kein portiertes Großsystem Flexibel und transparent: Steuerung über Textdateien Voller Datenaustausch von und zu CAD-Systemen mit DXF- Schnittstelle Kontextsensitive On-Line-Hilfe (im HTML-Format) Kein Kopierschutz, keine lästigen Paßwort-Abfragen Einfachste Installation: Keine Subdirectories, kein Verändern der Systemdateien 2.2 Die Möglichkeiten von Z88 Z88 eignet sich für statische Festigkeitsberechnungen. Dabei steht eine Reihe von Elementtypen ( 3) zur Verfügung, mit denen sich die meisten Fälle berechnen lassen. Lediglich Schalenelemente für die Berechnung von nicht rotationssymmetrischen Behältern oder z.b. Rohrbögen sind leider nicht vorhanden Netzgenerierung Wesentlich ist der automatische Netzgenerator, über den Z88 verfügt. Allgemein kann man sagen, daß die Finite-Elemente Methode ohne automatische Netzgenerierung nur sehr bedingt von Nutzen ist. Mit den wichtigsten Elementtypen von Z88 ist diese automatische Netzgenerierung möglich, so daß man nahezu beliebig feine Netze erzeugen kann. Andere Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 10

11 Elemente wie z.b. das Dreieckscheibenelement, das keine automatische Netzgenerierung ermöglicht, sind nur aus historischen Gründen und für eventuellen Datenaustausch zu anderen Systemen enthalten. Falls man ein feines Netz benötigt, sollte man diese Elemente nicht verwenden. Trotz der automatischen Netzgenerierung bleibt ein erheblicher Schwachpunkt von Z88: Alle Randbedingungen müssen als Kräfte oder Verschiebungen an einzelnen Knoten angegeben werden ( 4). Will man das Netz eines FE- Modells weiter verfeinern, so wächst der Arbeitsaufwand für die Bestimmung und Eingabe der einzelnen Knotenbelastungen rapide an. Somit muß man stets einen Kompromiß zwischen gewünschter Genauigkeit und vertretbarem Arbeitsaufwand bei der Eingabe der Randbedingungen in Kauf nehmen Konvertierung von CAD-Daten Z88 kann CAD-Daten im DXF-Format zur Erstellung des FE-Modells importieren. Dabei sind jedoch bestimmte Regeln bezüglich der Zeichenreihenfolge und der Verwendung von Layern streng einzuhalten [6]. Falls die Zuordnung einzelner Zeichenelemente zu definierten Layern und die Reihenfolge der Erstellung bestimmter Linienzüge (Umfahrung der Elemente) nicht peinlich genau eingehalten wird, sind die DXF-Daten für Z88 unbrauchbar! Dies ist z.b. schon dann der Fall, wenn man vorhandene Beispieldateien in das MI-Format von HP ME10 und danach wieder zurück in das DXF-Format konvertiert. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig für die Erstellung der CAD- Daten AUTOCAD oder AUTOCAD LT zu verwenden (für die Beispiele im Abschnitt 5 wurde AUTOCAD FÜR WINDOWS, VERSION 12 verwendet) Darstellung der Ergebnisse Die berechneten Ergebnisse kann sich der Anwender in zwei verschiedenen Formen anzeigen lassen: Zum einen sind da die Ausgabedateien. Diese enthalten die berechneten Verschiebungen (z88o2.txt), die Spannungen (z88o3.txt) und die Knotenkräfte (z88o4.txt). Bei diesen Dateien handelt es sich um gewöhnliche Textdateien, die mit jedem Texteditor betrachtet werden können. Für die Dokumentation der Rechenergebnisse sind diese Dateien ebenfalls sehr wichtig. Andererseits ist auch noch ein Plotmodul in Z88 integriert, mit dem es möglich ist, Verschiebungen und Vergleichsspannungen grafisch darzustellen. Bei der Darstellung der Verschiebungen läßt dieses Modul eigentlich kaum Wünsche offen: Es können dreidimensionale Strukturen angezeigt werden. Diese können Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 11

12 beliebig gedreht und gezoomt werden. Ebenso kann der Anwender frei wählen, wie stark vergrößert Verschiebungen dargestellt werden. Standardmäßig werden Verschiebungen um den Faktor 100 vergrößert. Die Darstellung der Spannungen genügt den meisten Anforderungen. Dabei werden die Spannungen durch Buchstaben von A bis J gekennzeichnet, denen über eine Skala ein bestimmter Spannungsbereich zugewiesen wird. Zur besseren Unterscheidung werden Buchstaben unterschiedlicher Spannungen auf dem Bildschirm in verschiedenen Farben dargestellt. Allerdings beschränken sich die Spannungswerte auf die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese. Interessiert man sich für einzelne gerichtete Spannungen, so muß man diese von Hand der Datei z88o3.txt entnehmen. Für Dokumentationszwecke kann das Plotmodul die Bildschirmdarstellung von Verschiebungen und Spannungen in eine HPGL-Datei 3 schreiben. Diese Datei kann man dann entweder direkt ausdrucken, indem man sie auf einen HPGLfähigen Drucker oder Plotter schickt, oder man kann sie in Textdokumente einbinden, sofern das verwendete Textverarbeitungsprogramm über einen entsprechenden Filter verfügt. 2.3 Erforderliche Hardware für Z88 Die Hardwareanforderungen von Z88 sind relativ bescheiden. Für diese Studienarbeit stand ein PC mit AMD K6 Prozessor (200 MHz) und 32 MB Hauptspeicher zur Verfügung. Diese Rechnerausstattung erwies sich als völlig ausreichend für Z88. Nach meiner Einschätzung würde auch ein langsamerer Prozessor (Pentium, 100 MHz) noch problemlos ausreichen. Beim Hauptspeicher sollte man jedoch folgendes bedenken: Prinzipiell ist ein kleiner Hauptspeicher ( 16 MB) kein Hindernis für FE-Anwendungen, auch dann nicht, wenn die Modelle etwas größer werden. Kann das Programm jedoch nicht das gesamte Gleichungssystem für das zu berechnende FE- Modell im Hauptspeicher unterbringen, muß ständig mit einer Auslagerungsdatei gearbeitet werden, was die erforderliche Rechenzeit stark erhöht. Empfehlenswert ist eine RAM-Ausstattung von 32 MB, was mittlerweile auch schon als Serienausstattung bei handelsüblichen PCs gilt. Falls man häufig mit recht großen Modellen (mehrere tausend Elemente) arbeitet, sollten schon 64 MB vorhanden sein. 3 HPGL: Hewlett Packard Graphics Language, eine verbreitete Plottersprache Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 12

13 2.4 Geeignete Betriebssysteme für den Einsatz von Z88 Z88 ist sowohl für MICROSOFT WINDOWS (95/NT) als auch für LINUX erhältlich. Bei der WINDOWS-Version handelt es sich um eine 32 Bit Version, die unter WINDOWS 95 und unter WINDOWS NT lauffähig ist. Die LINUX-Version ist natürlich auch ein 32 Bit Programm, deren Vorteil gegenüber der WINDOWS-Version darin liegt, daß diese zur Zeit noch als Freeware vertrieben wird. Daher wurde die LINUX-Version von Z88 für diese Studienarbeit verwendet. Alle drei genannten Betriebssysteme sind Multitaskingbetriebssysteme, d.h. der Anwender kann mehrere Programme gleichzeitig laufen lassen WINDOWS 95 WINDOWS 95 ist derzeit das im privaten Bereich am weitesten verbreitete Betriebssystem. Auch in einigen Firmen wird WINDOWS 95 eingesetzt. Gegenüber WINDOWS NT hat es den Vorteil, daß es preiswerter ist (ca. 300 DM anstatt ca. 600 DM) und etwas geringere Hardwareanforderungen bezüglich Hauptspeicher und Prozessorleistung hat. Der Nachteil besteht allerdings darin, daß es von den hier genannten Betriebssystemen das Instabilste ist. Ein fehlerhafte Anwendung kann das gesamte Betriebsystem zum Absturz bringen, was zur Folge hat, daß auch die ungesicherten Daten aller anderen aktiven Anwendungen verlorengehen. Ein Grundproblem bei WINDOWS 95 ist allerdings, daß bei der Installation von Programmen häufig Dateien (sogenannte DLLs) in Systemverzeichnisse kopiert werden. Ebenso werden auch meistens wichtige Systemdateien verändert. Das hat einerseits zur Folge, daß sich installierte Software in der Regel nicht mehr vollständig entfernen läßt, zum anderen werden oft auch andere Anwendungen dadurch beeinträchtigt. So kann es vorkommen, daß bestimmte Anwendungen nach der Installation eines neuen Programmes nicht mehr einwandfrei laufen WINDOWS NT WINDOWS NT gilt als professionelles WINDOWS. Es hat praktisch die gleiche Benutzeroberfläche wie WINDOWS 95, ist jedoch wesentlich stabiler. Totalabstürze sind sehr unwahrscheinlich. Allerdings kommt es an die Stabilität von LINUX trotzdem nicht ganz heran. Außer dem höheren Preis hat WINDOWS NT auch den Nachteil, daß es im Verhältnis zu WINDOWS 95 mehr Speicher benötigt, weil jede Anwendung in Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 13

14 einem separaten Speicherbereich läuft. Dadurch wird vermieden, daß eine Anwendung auf die Speicherbereiche des Betriebssystem oder anderer Anwendungen zugreift und dabei eventuell Schäden und Systemabstürze verursacht. Für einen wesentlichen Nachteil halte ich zudem, daß das Installieren (und Deinstallieren) von Anwendungssoftware ebenso wie unter WINDOWS 95 erhebliche Probleme bereiten kann, was dem Systemadministrator viel Arbeit und der jeweiligen Firma nicht unwesentliche Kosten verursacht LINUX Bei LINUX handelt es sich um ein UNIX-Derivat. Der Kernel wurde von LINUS THORVALDS geschrieben und kostenlos allen interessierten Personen zur Verfügung gestellt. So ist durch das Engagement vieler Programmierer im Laufe der Zeit ein stabiles UNIX-Betriebssystem entstanden, das den Vergleich mit rein kommerziellen Produkten nicht mehr zu scheuen braucht [4]. Dazu ist zu erwähnen, daß es eine Vielzahl von LINUX-Distributionen gibt. Diese unterscheiden sich im Wesentlichen in den Installationsroutinen und mitgelieferten Zusatzpaketen. Eine der in Deutschland verbreitetsten Distributionen ist S.u.S.E. LINUX, die von der S.u.S.E. GmbH in Fürth ( vertrieben wird. LINUX ist im Bezug auf die Betriebssicherheit sogar stabiler als WINDOWS NT [5]. Die Netzwerkfunktionalität ist bereits voll integriert. Für unter 100 DM erhält man ein Betriebssystem, das nicht nur für den Betrieb von Workstations, sondern auch für Server bestens geeignet ist (zum Vergleich: WINDOWS NT SERVER kostet ca DM). Allerdings muß hier auch darauf hingewiesen werden, daß LINUX noch nicht sehr intensiv verbreitet ist. Obgleich es mittlerweile sehr viele Anwendungen für LINUX gibt und deren Anzahl ständig wächst, ist keineswegs gewährleistet, daß man zu etablierten WINDOWS-Anwendungen vergleichbare Software unter LINUX findet. Zudem haftet LINUX aufgrund seiner Entstehungsgeschichte noch der Ruf des Hackerspielzeuges an. Für Serveranwendungen in einem gemischten Netzwerk (z.b. mit WINDOWS- Arbeitsstationen) ist LINUX allerdings schon jetzt eine sinnvolle Alternative zu WINDOWS NT [5]. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 14

15 2.5 Verfügbarkeit von Z88 Vertrieben wird Z88 von: HPS GmbH Karlsbader Strasse Darmstadt Tel / FAX / Anregungen und Bug -Reports können direkt an die Adresse dr.frank.rieg@t-online.de g t werden [Datei: LIESMICH]. Die Version für WINDOWS 95/NT kostet ca DM, ein gedrucktes Handbuch ist für 49,- DM erhältlich. Der Preis gilt für eine unbefristete kommerzielle Nutzung von Z88. Damit ist Z88 ein relativ preiswertes FE-Programm. Noch preiswerter ist allerdings die Version für LINUX. Diese wird als Freeware kostenlos im Internet zum herunterladen angeboten. Auch in der LINUX-Distribution von S.u.S.E. (z.b. V.5.2) ist Z88 enthalten. Die kommerzielle Nutzung ist auch bei der LINUX-Version ausdrücklich gestattet, obwohl diese kostenlos angeboten wird. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 15

16 3 Elementtypen in Z88 Man könnte einwenden, daß man ja alle Probleme mit einem Universalelement lösen könnte. Um alle Probleme erfassen zu können, müßten diese Universalelemente auf jeden Fall dreidimensional sein. Dreidimensionale Elemente haben wesentlich mehr Knoten als zweidimensionale. So hat zum Beispiel ein Hexaederelement mindestens 8 Knoten, während ein viereckiges Scheibenelement mit 4 Knoten auskommt. Dazu kommt noch, daß man im dreidimensionalen Raum 3 Freiheitsgrade pro Knoten benötigt, in der Ebene sind es dagegen nur 2 Freiheitsgrade pro Knoten. Es wird also schnell klar, daß man unnötig viel Rechenleistung benötigt, wenn man sämtliche Probleme dreidimensional berechnet. Viele Probleme lassen sich nämlich auf ein ebenes Problem reduzieren. Ebenso können rotationssymmetrische Teile mit Hilfe von Toruselementen zweidimensional gerechnet werden. Dieses Kapitel soll nun eine kurze Übersicht über die vorhandenen Elementtypen in Z88 geben und deren prinzipielle Einsatzmöglichkeiten aufzeigen. Für detaillierte Informationen ist es auf jeden Fall ratsam, die im HTML-Format mitgelieferte Bedienungsanleitung zu studieren [7]. 3.1 Stabelemente Die Stabelemente gehören zu den einfachsten finiten Elementen. Wie aus der technischen Mechanik bekannt können Stäbe nur Zug- und Druckkräfte aufnehmen. Aufgrund der einfachen Belastungsmöglichkeiten der Stabelemente benötigen diese wenig Speicher und Rechenleistung. Die Ergebnisse für die Verschiebungen und Spannungen sind exakt im Rahmen des Hooke schen Gesetzes. Mit Stabelementen kann man sehr gut Fachwerkkonstruktionen durchrechnen. Allerdings bleiben hinsichtlich der Belastungen noch einige Punkte zu berücksichtigen, die in der FE-Berechnung nicht berücksichtigt werden: Bei Druckstäben muß der Anwender noch unbedingt einen Knicksicherheitsnachweis führen. Das FE-Programm geht davon aus, daß die Stäbe gelenkig miteinander verbunden sind. Da dies in der Praxis nicht der Fall ist, können bei den wirklichen Belastungen Abweichungen auftreten. Kerbspannungen an den Verbindungsstellen werden überhaupt nicht berücksichtigt. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 16

17 3.1.1 Stab Nr. 9 in der Ebene Abb. 3-1: Stab Nr. 9 linearer Ansatz für ebene Probleme 4 4 Elementsteifigkeitsmatrix sehr geringer Rechenaufwand Stab Nr. 4 im Raum Abb. 3-2: Stab Nr. 4 linearer Ansatz für räumliche Probleme 6 6 Elementsteifigkeitsmatrix sehr geringer Rechenaufwand 3.2 Balkenelemente Die Balkenelemente in Z88 können auf Zug, Druck, Biegung und Torsion belastet werden. Wie bei den Stabelementen sind die Rechenergebnisse exakt im Rahmen des Hooke schen Gesetzes. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 17

18 3.2.1 Balken Nr. 13 in der Ebene Abb. 3-3: Balken Nr. 13 linearer Ansatz für Zug und Druck, kubischer Ansatz für Biegung für ebene Probleme 8 8 Elementsteifigkeitsmatrix geringer Rechenaufwand Dieses Balkenelement liegt in der X-Y-Ebene und kann sich um die Z-Achse biegen. Da der Balken in der Ebene liegt, ist keine Torsionsbeanspruchung möglich Balken Nr. 2 im Raum Abb. 3-4: Balken Nr. 2 linearer Ansatz für Zug und Druck, kubischer Ansatz für Biegung für räumliche Probleme Elementsteifigkeitsmatrix geringer Rechenaufwand Dieses Balkenelement ist mit einer Einschränkung für räumliche Probleme geeignet: Es muß parallel zur X-Y-Ebene liegen. Das Profil kann beliebig, muß aber symmetrisch sein. Es können Biegungen um die lokale Y- und Z-Achse sowie Torsion um die lokale X-Achse auftreten. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 18

19 3.2.3 Welle Nr. 5 Abb. 3-5: Welle Nr. 5 linearer Ansatz für Zug, Druck und Torsion, kubischer Ansatz für Biegung Elementsteifigkeitsmatrix geringer Rechenaufwand Welle Nr.5 ist im Grunde ein Spezialfall von Balken Nr.2. Hierbei wird von einem kreisförmigen Querschnitt ausgegangen, der konzentrisch zur X-Achse liegt. Als Querschnittparameter wird im Gegensatz zu den beiden Balkenelementen nur der Durchmesser angegeben. Hohlwellen werden dabei leider nicht berücksichtigt. 3.3 Scheibenelemente Scheibenelemente sind sehr universelle Elemente für die Ebene. Man kann sie stets dann einsetzen, wenn man Spannungen und Dehnungen in einer Achse vernachlässigen kann. Da man in der Ebene arbeiten kann, lassen sich die FE- Modelle auch recht schnell und bequem erstellen. Z88 verfügt über drei verschiedene Scheibenelemente. Von praktischer Bedeutung sind allerdings nur Scheibe Nr. 7 und Scheibe Nr. 11. Diese Elemente sind superelement-fähig. Superelemente sind Elemente, die sich vom Netzgenerator in eine beliebige Anzahl von finiten Elementen unterteilen lassen. Man kann also ein FE-Modell erzeugen, indem man mit einer relativ geringen Anzahl an Superelementen die Kontur des betreffenden Teils grob wiedergibt. Der Netzgenerator kann die Superelemente dann automatisch verfeinern. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 19

20 3.3.1 Scheibe Nr. 3 mit 6 Knoten Abb. 3-6: Scheibe Nr. 3 quadratischer Ansatz sehr gute Genauigkeit der Verschiebungen gute Genauigkeit der Spannungen im Schwerpunkt Elementsteifigkeitsmatrix mittlerer Rechenaufwand Dieses Element ist nicht superelement-geeignet. Man muß daher die gesamte Vernetzung eines Modells mit diesen Elementen von Hand bei der Erstellung der CAD-Daten vornehmen. Deshalb ist dieses Element für den praktischen Einsatz nur bedingt geeignet Scheibe Nr. 7 mit 8 Knoten Abb. 3-7: Scheibe Nr. 7 isoparametrisches Element mit quadratischem Ansatz sehr gute Genauigkeit der Verschiebungen sehr gute Genauigkeit der Spannungen in den Gausspunkten Elementsteifigkeitsmatrix hoher Rechenaufwand Mit Scheibe Nr. 7 kann man Superelemente erzeugen, die vom Netzgenerator in eine frei wählbare Anzahl von Unterelementen (auch Elementtyp Scheibe Nr. 7) unterteilt werden. Dabei lassen sich auch krummlienige Konturen recht Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 20

21 gut beschreiben. Es genügt z.b. Bögen mit den Superelementen recht grob wiederzugeben. Bei der automatischen Netzgenerierung werden diese Linienzüge zunächst durch Kurven approximiert, so daß das endgültige FE-Modell die Kontur des Ausgangsmodells sehr gut beschreibt. Ebenso können Strukturen manuell in finite Elemente vom Typ Scheibe Nr. 7 unterteilt werden, was wegen des hohen Arbeitsaufwandes allerdings nicht zu empfehlen ist Scheibe Nr. 11 mit 12 Knoten Abb. 3-8: Scheibe Nr. 11 isoparametrisches Element mit kubischem Ansatz ausgezeichnete Genauigkeit der Verschiebungen ausgezeichnete Genauigkeit der Spannungen in den Gausspunkten Elementsteifigkeitsmatrix sehr hoher Rechenaufwand Mit Scheibe Nr. 11 können entweder direkt Strukturen vernetzt werden oder es können Superelemente erzeugt werden, aus denen der Netzgenerator die finiten Elemente des Typs Scheibe Nr. 7 generiert. Hinsichtlich Genauigkeit und Anpassungsfähigkeit an komplizierte Konturen ist dieses Element dem Element Scheibe Nr. 7 deutlich überlegen. Der Einsatz ist aufgrund des höheren Aufwandes bei der Erstellung des FE-Modells (mehr Knoten pro Element) und der längeren Rechendauer nur bei entsprechend komplizierten Geometrien gerechtfertigt. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 21

22 3.4 Toruselemente Toruselemente sind den Scheibenelementen sehr ähnlich. Überträgt man den Ansatz der Scheibenelemente auf rotationssymmetrische Probleme, so kann man derartige Teile weiterhin zweidimensional rechnen Torus Nr. 6 mit 3 Knoten Abb. 3-9: Torus Nr. 6 linearer Ansatz mittlere Genauigkeit der Verschiebungen geringe Genauigkeit der Spannungen 6 6 Elementsteifigkeitsmatrix geringer Rechenaufwand Der praktische Nutzen dieses Elements ist - ähnlich wie beim Elementtyp Scheibe Nr. 3 - recht gering, weil sich damit keine Superelemente erzeugen lassen Torus Nr. 8 mit 8 Knoten Abb. 3-10: Torus Nr. 8 Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 22

23 isoparametrisches Element mit quadratischem Ansatz sehr gute Genauigkeit der Verschiebungen hohe Genauigkeit der Spannungen Elementsteifigkeitsmatrix hoher Rechenaufwand Verwendung und Einsatz des Elements Torus Nr. 8 sind analog zu Scheibe Nr. 7. Man kann es durchaus als das Standardelement für axialsymmetrische Probleme ansehen Torus Nr. 12 mit 12 Knoten Abb. 3-11: Torus Nr. 12 isoparametrisches Element mit kubischem Ansatz ausgezeichnete Genauigkeit der Verschiebungen ausgezeichnete Genauigkeit der Spannungen Elementsteifigkeitsmatrix sehr hoher Rechenaufwand Mit Superelementen vom Typ Torus Nr. 12 lassen sich finite Elemente vom Typ Torus Nr. 8 erzeugen. Bei sehr komplizierten Strukturen kann es vorteilhaft sein für Superelemente Torus Nr. 12 anstatt Torus Nr. 8 zu verwenden. 3.5 Volumenelemente Volumenelemente eröffnen dem Anwender die meisten Möglichkeiten. Sie sind aber auch am kompliziertesten in der Handhabung und benötigen zudem deutlich mehr Rechenleistung als die übrigen Elementtypen. Allerdings spielt der Rechenaufwand wirklich erst bei größeren Strukturen (ab etwa 500 Elementen) eine Rolle. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 23

24 3.5.1 Hexaeder Nr. 1 mit 8 Knoten Abb. 3-12: Hexaeder Nr. 1 linearer Ansatz mittlere Genauigkeit der Verschiebungen brauchbare Genauigkeit der Spannungen Elementsteifigkeitsmatrix sehr hoher Rechenaufwand Vom direkten Gebrauch des Elements Hexaeder Nr. 1 ist abzuraten, weil man damit keine Superelemente erzeugen kann. Es ist in jedem Fall zweckmäßiger finite Elemente Hexaeder Nr. 1 aus Superelementen Hexaeder Nr. 10 zu erzeugen Hexaeder Nr. 11 mit 20 Knoten Abb. 3-13: Hexaeder Nr. 11 isoparametrisches Element mit quadratischem Ansatz sehr gute Genauigkeit der Verschiebungen hohe Genauigkeit der Spannungen Elementsteifigkeitsmatrix extrem hoher Rechenaufwand Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 24

25 Hexaeder Nr. 11 ist ein sehr leistungsfähiger, aber extrem rechenintensiver Elementtyp. Aus Superelementen Hexaeder Nr. 11 lassen sich wahlweise FE- Netze aus Hexaeder Nr. 1 oder Hexaeder Nr. 11 generieren. Wenn relativ genaue Ergebnisse gefordert sind, ist es in den meisten Fällen besser eine moderate Anzahl an Hexaeder Nr. 11 zu verwenden als extrem viele Hexaeder Nr. 1. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 25

26 4 Randbedingungen in Z Die Datei z88i2.txt In Z88 werden die Randbedingungen in der Datei z88i2.txt [8] angegeben. Die 1. Zeile dieser Datei enthält die Anzahl aller Randbedingungen. Die übrigen Zeilen sind folgendermaßen aufgebaut: KN FG (X=1, Y=2, Z=3) RB (Kraft=1, Versch.=2) Zahlenwert Die einzelnen Werte müssen durch mindestens ein Leerzeichen voneinander getrennt werden. Der Zahlenwert wird in der gewählten Einheit angegeben. Da in Z88 nur mit Längen, Kräften und Spannungen gerechnet wird, ist es sinnvoll, Längen in mm und Kräfte in N anzugeben. Die Spannungen haben damit die Einheit N/mm Verschiebungen Alle Verschiebungen müssen in Z88 explizit als Knotenverschiebungen angegeben werden. An Auflagern haben die betreffenden Knoten die Verschiebung 0 im entsprechenden Freiheitsgrad. Wird einem Knoten in mehreren Freiheitsgraden eine Verschiebung zugewiesen, so ist für jeden Freiheitsgrad eine neue Zeile in der Datei z88i2.txt zu verwenden (anschließend die Gesamtzahl der RB in der 1. Zeile überprüfen / richtigstellen). Leider ist es nicht möglich allen Knoten entlang einer Linie oder gar allen Knoten auf einer Fläche automatisch eine Verschiebung zuzuweisen. Alle Knotennummern müssen manuell mit den zugehörigen Werten in z88i2.txt eingetragen werden. Eine Automatisierung per Scriptfile oder Makro ist praktisch kaum möglich, weil die Knotennummern erst nach der automatischen Netzgenerierung feststehen Kräfte Auch Kräfte müssen explizit für jeden Knoten und Freiheitsgrad angegeben werden. Streckenlasten oder Flächen können leider auch nicht direkt angegeben werden sondern müssen auf die jeweiligen Knoten aufgeteilt werden. Dabei sind einige wesentliche Aspekte zu beachten, die in 4.2 beschrieben sind. Es kann schon als gewisser Schwachpunkt angesehen werden, daß Kräfte (und Verschiebungen) für jeden Knoten explizit angegeben werden müssen. Will man z.b. ein FE-Netz weiter verfeinern, was durch die Verwendung von Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 26

27 Superelementen sehr einfach ist, so müssen alle Randbedingungen neu angegeben werden, weil sich fast sämtliche Knotennummern geändert haben. Es ist also wichtig, sich schon bei der Erstellung des FE-Modells Gedanken über die Feinheit des Netzes zu machen. 4.2 Flächenlasten Bei Flächenlasten würde es zunächst naheliegen, die Gesamtkraft einfach auf die Anzahl der betreffenden Knoten gleichmäßig zu verteilen. Das ist jedoch keineswegs immer zulässig. Nach welcher Regel Kräfte auf einzelne Knoten aufgeteilt werden müssen, hängt von dem Ansatz ab, der dem verwendeten Elementtyp zugrunde liegt. Eine falsche Lastaufteilung führt in unmittelbarer Nähe der Kraftangriffspunkte zu falschen Ergebnissen bei Verschiebungen und Spannungen. Etwas weiter von den Kraftangriffspunkten entfernt stimmen die Ergebnisse mit denen der korrekten Lastaufteilung wieder sehr gut überein. Je nachdem welche Bereiche einen interessieren, kann man durchaus abwägen, ob man z.b. bei Elementen mit quadratischem Ansatz die Last genau nach Vorschrift oder einfach gleichmäßig aufteilt Elemente mit linearem Ansatz Abb. 4-1: Lastaufteilung bei Elementen mit linearem Ansatz Hier ist die Lastaufteilung am einfachsten. Die Gesamtlast wird gleichmäßig auf die Anzahl der belasteten Elemente aufgeteilt. Die einzelne Elementlast wird dann gleichmäßig auf die belasteten Knoten aufgeteilt. Diese Vorgehensweise ist richtig für die Elemente: Torus Nr. 6 Hexaeder Nr. 1 Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 27

28 4.2.2 Elemente mit quadratischem Ansatz Abb. 4-2: Lastaufteilung bei Elementen mit quadratischem Ansatz Bei Elementen mit quadratischem Ansatz wird die Gesamtlast zunächst auch gleichmäßig auf die Anzahl belasteter Elemente aufgeteilt. Die einzelne Elementlast wird dann allerdings nach Abb. 4-2 auf die belasteten Knoten verteilt. Dieses Verfahren wird für die folgenden Elemente verwendet: Scheibe Nr. 3 und Nr. 7 Torus Nr. 8 Hexaeder Nr Elemente mit kubischem Ansatz Abb. 4-3: Lastaufteilung bei Elementen mit kubischem Ansatz Auch hier wird zuerst die Gesamtlast auf die Anzahl der belasteten Elemente aufgeteilt. Die Verteilung auf die einzelnen Knoten erfolgt dann nach Abb Dies gilt für die Elemente: Scheibe Nr. 11 Torus Nr. 12 Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 28

29 4.2.4 Beispiel zu Flächenlasten Abb. 4-4: Beispiel für falsche Lastaufteilung (Elementtyp: Scheibe Nr. 7) Zum besseren Verständnis soll hier noch ein einfaches FE-Modell aus Scheiben Nr. 7 (quadratischer Ansatz), auf das eine vertikale Streckenlast von insgesamt 1000 N einwirkt, betrachtet werden. Am einfachsten - aber in diesem Fall falsch - wäre es, diese 1000 N auf die oberen Knoten gleichmäßig aufzuteilen (Abb. 4-4). Abb. 4-5: Beispiel für richtige Lastaufteilung (Elementtyp: Scheibe Nr. 7) Da Scheibe Nr. 7 jedoch einen quadratischen Ansatz hat, muß für die korrekte Lastaufteilung folgendermaßen vorgegangen werden: 1000 N auf 3 Elemente verteilt ergibt 333,33 N je Element. Von diesen 333,33 N entfällt je 1 / 6 auf die Eckknoten und 1 / 3 auf die mittleren Knoten. An den gemeinsamen Knoten zwischen 2 Elementen werden beide Anteile addiert. Somit ergibt sich die korrekte Lastaufteilung wie in Abb. 4-5 dargestellt. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 29

30 5 Beispiele für FE-Berechnungen mit Z88 Um vom praktischen Umgang mit Z88 einen Eindruck zu bekommen, wurden verschiedene einfache Beispiele gerechnet. Von diesen Beispielen sollen die interessantesten in diesem Kapitel vorgestellt werden. Die Dateien für alle neu erstellten Beispiele befinden sich auf der Diskette im Anhang. An dieser Stelle soll auch auf die Beispieldateien verwiesen werden, die direkt mit Z88 mitgeliefert werden. Diese sind im Kapitel 5 der Bedienungsanleitung von Z88 enthalten. Zum Verständnis der hier vorgestellten Beispiele kann es hilfreich sein sich zunächst die Originalbeispiele von Z88 anzusehen. 5.1 Beispiel 1: Gekerbter Zugstab Problemstellung Mit diesem Beispiel soll untersucht werden, welche Spannungen an einem Flachstahl auftreten, der von 2 Seiten her eingekerbt ist. Der Werkstoff sei Stahl. Der Stab ist 5 mm dick und 8 mm breit. Der Flachstahl ist mit 2 symmetrischen Kerben (Winkel 90, 2 mm tief), so daß im Bereich der Kerben noch ein Querschnitt von 4 5mm 2 verbleibt. Dieses Teil wird nun mit einer Zugkraft von N belastet. Von besonderem Interesse sind die Spannungen, die im Bereich der Kerben auftreten Wahl des Elementtyps Da es sich dabei um ein ebenes Problem handelt, wird der Elementtyp Scheibe Nr. 7 für das FE-Modell gewählt. Prinzipiell soll zwar die Dicke der Scheiben gegenüber den übrigen Abmessungen sehr gering sein. Trotzdem macht es nichts, daß in diesem Fall die Dicke mit 5 mm recht groß im Vergleich zu den übrigen Abmessungen ist. Beim Element Scheibe Nr. 7 ist der Kehrwert der Dicke lediglich ein rechnerischer Proportionalitätsfaktor für die Dehnungen und Spannungen Erzeugung des FE-Modells Das zu untersuchende Teil ist zu 2 Achsen spiegelsymmetrisch. Es würde daher genügen ein Viertel des Bauteils im FE-Modell darzustellen. Zu Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 30

31 besseren Übersicht soll hier aber die Hälfte dargestellt werden. Die Schnittstelle ist die Spiegelachse, die durch beide Kerben verläuft. Für die Netzgenerierung werden 2 Superelemente erzeugt, die vom Netzgenerator in weitere finite Elemente aufgeteilt werden. Die Aufteilung der Superelemente wird schon bei der Erstellung der DXF-Datei festgelegt, kann aber später noch problemlos geändert werden (durch Manipulation der Datei z88ni.txt). Die DXF-Zeichnung, die mit AUTOCAD 12 erstellt wurde, ist in Abb. 5-1 dargestellt. Abb. 5-1: DXF-Zeichnung für Zugstab Diese DXF-Datei wird von Z88 in die Textdatei z88ni.txt konvertiert. Diese kann bei Bedarf noch verändert werden (um z.b. das Netz weiter zu verfeinern). Der Netzgenerator Z88N generiert dann aus z88ni.txt die Datei z88i1.txt, die das endgültige FE-Modell beschreibt (Abb. 5-2). Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 31

32 Abb. 5-2: FE-Modell des Zugstabes Randbedingungen In Abb. 5-2 sind die Randbedingungen (Einspannungen und Kräfte) durch entsprechende Symbole dargestellt. Diese Symbole sind bei den graphischen Darstellungen von Z88 allerdings nicht vorhanden, sondern wurden hier nur der Übersichtlichkeit wegen manuell eingefügt. Entlang der horizontalen Spiegelachse soll das Teil eingespannt sein, d.h. alle Knoten auf dieser Linie bekommen die Verschiebung 0 (für beide Freiheitsgrade) zugeordnet. Genaugenommen müßte man nur die Y-Verschiebungen an dieser Schnittfläche auf 0 setzen, aber irgendein Knoten muß auf jeden Fall in X-Richtung fixiert werden, auch dann, wenn gar keine Kräfte in dieser Richtung auftreten. Wenn das System statisch unterbestimmt ist, können nämlich schon sehr kleine Abweichungen im Bereich der Rechengenauigkeit zu chaotischen und unbrauchbaren Ergebnissen führen (statisch überbestimmte Systeme sind dagegen unproblematisch). An der unteren horizontalen Linie wirkt eine Kraft in Form einer Gleichstreckenlast nach unten. Da es sich bei Scheibe Nr. 7 um ein Element mit quadratischem Ansatz handelt, wird die Gesamtkraft auf die einzelnen Knoten aufgeteilt, wie es in Abschnitt beschrieben ist. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 32

33 Abb. 5-3: Knotennummerierung im Bereich des Kraftangriffs Nachdem die einzelnen Knotenkräfte ermittelt wurden, werden diese in die Textdatei z88i2.txt eingegeben. Zur Verdeutlichung ist für dieses Beispiel der Inhalt der Datei z88i2.txt mit Kommentaren in Abb. 5-4 dargestellt. 27 Anz. Randbedingungen Knoten 1, Kraft in Y-Richtung , , , , , , , , , Verschiebung in X-Richtung , Y , X , Y , X , Y , X , Y , X , Y , X , Y , X , Y , X , Y , X , Y- Abb. 5-4: Randbedingungen in der Datei z88i2.txt Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 33

34 5.1.5 Berechnung Zunächst wird der FE-Prozessor Z88F gestartet. Dieser berechnet die Knotenverschiebungen. Wenn auch Spannungen und Knotenkräfte berechnet werden sollen, müssen zusätzlich noch der Spannungsprozessor Z88D und der Knotenkraftprozessor Z88E gestartet werden. Wird dies unterlassen, dann können die entsprechenden Ergebnisdateien noch Spannungs- und Knotenkraftwerte von einer alten Berechnung enthalten. Um derartige Fehler zu vermeiden, sollten immer alle drei Module Z88F, Z88D und Z88E in dieser Reihenfolge ausgeführt werden Auswertung Für Dokumentationszwecke werden sämtliche Ergebnisse in die Dateien z88o1.txt bis z88o5.txt geschrieben. Anschaulicher ist aber in jedem Fall die graphische Darstellung. Dazu kann das Plotmodul Z88P aufgerufen werden. Mit diesem kann man sich die Originalstruktur, die verformte Struktur und die Vergleichsspannungen graphisch anzeigen lassen. Ebenso ist es möglich den Bildschirminhalt in eine HPGL-Datei schreiben zu lassen, die dann auf einem geeigneten Plotter ausgeplottet oder anderweitig weiterbearbeitet werden kann. Abb. 5-5: Verformte Struktur des Zugstabes (Verformungen 100 vergrößert) Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 34

35 Abb. 5-6: Vergleichsspannungen im Bereich der Kerbe Überschlagsrechnungen zeigen, daß die berechneten Spannungswerte recht realistisch sind: In dem Bereich, in dem die Kerben keinen Einfluß haben, ist die Querschnittsfläche 8 5mm 2 =40 mm 2. Bei einer Zugkraft von N wird dort eine Spannung von 250 N/mm 2 auftreten. Gemäß Abb. 5-6 treten dort zwischen 240 und 340 N/mm 2 auf. Im Bereich der Kerben ist nur die halbe Querschnittsfläche - also 20 mm 2 - vorhanden. Somit liegt die Nennspannung bei 500 N/mm 2. Nach der FE- Berechnung beträgt die Spitzenspannung ca N/mm 2, die Kerbformzahl läge damit bei etwa 2, was auch realistisch erscheint. Allerdings ist es gerade im Bereich von Kerben wichtig, ein möglichst feines Netz zu legen, um die Kerbeinflüsse ausreichend genau zu erfassen. Bei diesem Beispiel sollte man das Netz auch noch weiter verfeinern, was aber zur Folge hätte, daß gerade das Bild mit den Vergleichsspannungen sehr unübersichtlich wird. Bei der Betrachtung am Bildschirm ist das nicht so schlimm, weil man die interessanten Bereiche stark vergrößern kann. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 35

36 5.2 Beispiel 2: Trommelbremse Problemstellung Eine Bremstrommel (Außendurchmesser 200 mm, Breite 60 mm, Wandstärke 8mm) erfährt auf dem Innendurchmesser eine nach außen gerichtete Anpreßkraft. Der Einfachheit halber wird angenommen, daß die Anpreßkraft gleichmäßig auf dem gesamten Innendurchmesser ( 184 mm) verteilt ist. Die Trommelbremse soll maximal das Bremsmoment M Brems =750 Nm erzeugen. Damit beträgt die Umfangskraft: F U MBrems = = r 750 Nm 0,092 m = 8152 N Der Reibwert zwischen Bremsbelägen und Bremstrommel wird mit µ =0,2 angenommen. Daraus resultiert eine erforderliche Normalkraft von: F N FU = = 8152 N µ 0,2 = N Gerechnet wird mit F N =42000 N Wahl des Elementtyps Bei dem gegebenen Problem handelt es sich um einen rotationssymmetrischen Körper mit rotationssymmetrischen Belastungen. Daher eignen sich Toruselemente gut, um diese Aufgabe zu bearbeiten. Gewählt wird also das Element Torus Nr. 8. Dieses Element ist Scheibe Nr. 7 sehr ähnlich und wird auch praktisch genauso verwendet Erzeugung des FE-Modells Z88 geht bei Toruselementen davon aus, daß die Y-Achse die Symmetrielinie ist. Gezeichnet wird daher nur das, was rechts von der Y-Achse liegt. Studienarbeit 6. Hj.: Finite-Elemente Programm Z88 36