Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P. 6+(5) (3) (8) erreichte P. Hinweise: Benutzen Sie bitte für jede Aufgabe eine neue Seite. Jeder Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. Fragen sind mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe 1 : Gegeben sei eine Kurve K mit Anfangspunkt A = (0, 3) und Endpunkt E = (3, 1), sowie der Parameterdarstellung ( ) ( ) x(t) 3t 2 r(t) = = (s. Skizze). y(t) t 3 3t + 3 (a) Bestimmen Sie die Parameter t A und t E für den Anfangs- und Endpunkt der Kurve. (b) Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes Fl(F ) der Fläche an, die von der Kurve K, sowie den Strecken von (0, 0) nach A und von (0, 0) nach E eingeschlossen wird. Alle bekannten Größen sind einzusetzen und der Integrand ist zu vereinfachen. Die Berechnung ist nicht gefordert. Zusatzaufgabe: (c) Berechnen Sie die Länge L der Kurve K für 0 t 1. Die Integration ist ausführlich darzustellen

2 Aufgabe 2 : Sei f : D(f) R R; f(x) = 4x x2 1. (a) Ermitteln Sie die Menge aller Stammfunktionen von f(x). Die Integration ist ausführlich darzustellen. (Tipp: Substitution) (b) Berechnen Sie Aufgabe 3 : 2 1 Gegeben ist die Funktion f : R 2 R mit f(x) dx. Geben Sie den Lösungsweg an. f(x, y) = 2x 3 12x 2 + y 3 9y 2 21y. (a) Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen Extremwertstellen von f(x, y) auf R 2. Der Lösungsweg ist anzugeben. (b) Bestimmen Sie die Richtungsableitung f v (a) für v = (1, 1)T und a = (1, 2). Der Lösungsweg ist anzugeben. (c) Die gegebenen Werte x 0 = 1 und y 0 = 2 können Fehler dx = ±0.002 und dy = ±0.001 aufweisen. Berechnen Sie näherungsweise eine obere Schranke für den absoluten Fehler f, der bei der Funktionswertberechnung von f(x 0, y 0 ) auftreten kann. Aufgabe 4 : Gegeben ist die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) = 4 + y x 2 + 4x = (x 2) 2 + y. (a) Skizzieren Sie den Schnitt des Graphen der Funktion mit der (x, z)-ebene, sowie der (y, z)-ebene. Bestimmen und skizzieren Sie die Niveaulinien N c (f) für c = 0, c = 1 und c = 2. (b) Sei D 1 = {(x, y) R 2 y = 2, 1 < x < 3}. Bestimmen und klassifizieren Sie alle lokalen Extremwertstellen von f auf D 1. Der Rechenweg ist anzugeben. Das Ergebnis ist in einem Satz zusammenzufassen. Zusatzaufgabe: (c) Sei D 2 = {(x, y) R 2 1 x 3, 0 y 2}. Geben Sie alle globalen Extremwertstellen (mit Klassifikation), sowie die zugehörigen Extremwerte von f auf D 2 an. Eine Rechnung oder Begründung ist nicht gefordert. Tipp: Betrachten Sie die Skizzen aus Aufgabe (a).

3 Aufgabe 5 : Gegeben sei das Vektorfeld v : D R 2 R 2 mit v = 3 + y x 2 y. (a) Für welche (x, y) R 2 ist v definiert? Skizzieren Sie diesen Definitionsbereich D im R 2. Geben Sie den Rand D von D an und entscheiden Sie ob D offen oder abgeschlossen ist. (b) Ist das gegebene Feld v ein Potentialfeld? Falls ja, bestimmen Sie ein Potential u(x, y). Geben Sie den Rechenweg an. (c) Berechnen Sie v d r für die in Aufgabe 1 gegebene Kurve K. K (d) Für y : R (0, ) sei die Differentialgleichung (3 + y) + x 2 y y = 0 gegeben. Um welchen Typ von Differentialgleichung handelt es sich? Geben Sie die allgemeine (implizite) Lösung dieser Differentialgleichung an. Aufgabe 6 : Für y : R R sei die Differentialgleichung gegeben. y + 4xy = 7e 2x2 (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Der Lösungsweg ist anzugeben. Lösung dieser Differentialgleichung? Begründen Sie Ihre Ant- (b) Ist y(x) = (7x + 5 2)e 2x2 wort. Aufgabe 7 : Für y : R R sei das Anfangswertproblem y y = 2 + 6x, y(0) = 5, y (0) = 1, y (0) = 4 gegeben. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, sowie die Lösung des Anfangswertproblems. Der Rechenweg ist anzugeben.

4 Aufgabe 8 : Gegeben ist ein Körper K mit der Grundfläche B = {(x, y) R 2 x y 2, y 2 x} und der Höhe h = 2x. (a) Skizzieren Sie die Grundfläche B des Körpers. (b) Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens des Körpers an. Alle bekannten Größen sind einzusetzen. Die Berechnung des Volumens ist nicht gefordert. Aufgabe 9 : Gegeben ist ein gerader Kreiskegel mit der Spitze nach oben mit Radius 3cm und Höhe 7cm. (a) Beschreiben Sie die Mantelfläche M des Kreiskegels in Zylinderkoordinaten in einem geeigneten Koordinatensystem. Geben Sie die Laufbereiche der Variablen an. (b) Berechnen Sie den nach außen gerichteten Normalenvektor der Mantelfläche.

5 Ergebnisse Gruppe B - keine vollständigen Lösungen 1: (a) t A = 0, t E = 1, (b) F l(f ) = 1 1 3t 4 + 9t 2 18t dt, (c) L = 4LE 2 2: (a) F (x) = 4 x c, c R, (b) 3: f(x) dx = 4 3 (a) f x = 6x 2 24x, f y = 3y 2 18y 21, f x = f y = 0 x 1 = (0, 7), x 2 = (4, 7), x 3 = (0, 1) und x 4 = (4, 1) sind extremwertverdächtig. ( ) 12x 24 0 f xx = 12x 24, f xy = f yx = 0, f yy = 6y 18, H f (x, y) = 0 6y 18 det(h f (0, 7) = < 0 x 1 = (0, 7) ist Sattelstelle von f. det(h f (4, 7) = > 0 und f xx > 0 x 2 = (4, 7) ist lokale Minimalstelle von f. det(h f (0, 1) = 24 ( 24) > 0, f xx < 0 x 3 = (0, 1) ist lokale Max.stelle von f. det(h f (4, 1) = < 0 x 4 = (4, 1) ist Sattelstelle von f. (b) f (a) = 27 v 2 (c) f S, S : (a) y = 0 z = (x 2) 2, x = 0 z = y 4, z = c y = (x 2) 2 + c (b) f(x) = 2 x 2 + 4x, f (x) = 2x + 4 = 0 x = 2, f (x) = 2 < 0 x = 2 ist lokale Maximalstelle von f(x) und somit ist (x, y) = (2, 2) lokale Maximalstelle von f(x, y) auf D 1. Weitere EWS gibt es nicht. (c) globale Minimalstellen: (x 1, y 1 ) = (1, 0), (x 2, y 2 ) = (3, 0), z 1 = z 2 = 1; globale Maximalstelle: (x 3, y 3 ) = (2, 2), z 3 = 2 5: (a) v ist auf D = {(x, y) R 2 y > 0} definiert. D = {(x, y) R 2 y = 0} D ist ein offenes Gebiet. (b) P = 3 + y, Q = x 2, P y y = 1 2 = Q y x v ist ein Potentialfeld. u = P dx = 3 + y dx = 3x + x y + c 1 (y), u = Q dy = x 2 dy = x y + c y 2 (x) u = x y + 3x. (c) v d r = u(e) u(a) = 12 K (d) Die DGL ist exakt, Allgemeine Lösung: x y + 3x = c, c R 6: (a) y inh = c e 2x2 + 7x e 2x2, c R (b) Ja, (7x + 5 2)e 2x2 ist Lösung der DGL für c = 5 2

6 7: y inh = c 1 + c 2 x + c 3 e x x 3 4x 2, c 1, c 2, c 3 R, y AW P = 7 11x + 12e x x 3 4x 2 1 x 4 2 x 1 2 y 8: (b) V = 2x dydx + 2x dydx = 2x dxdy 0 x 1 x 9: (a) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = 7 7 r, 0 r 3, 0 ϕ 2π 3 cos ϕ r sin ϕ (b) r r = sin ϕ, r ϕ = r cos ϕ, n = r r r ϕ = y 2 7 r cos ϕ 3 7 r sin ϕ 3 r