(1) gegeben. Für x a (und stetige f ) nähert sich (x,f(x)) dem Punkt (a,f(a)), und die Sekante

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "(1) gegeben. Für x a (und stetige f ) nähert sich (x,f(x)) dem Punkt (a,f(a)), und die Sekante"

Transkript

1 88 III. Grundlagen der Differential - und Integralrecnung III. Grundlagen der Differential- und Integralrecnung 8. Differenzierbare Funktionen Maima und Minima Mittelwertsätze und Anwendungen 95. Integrale 00. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung Konstruktion elementarer Funktionen Partialbruczerlegung und elementare Stammfunktionen 5. Uneigentlice Integrale 7 8 Differenzierbare Funktionen 8. Motivation. a) Ausgangspunkte der Differentialrecnung sind das geometrisce Problem der Bestimmung von Tangenten an (zunäcst ebene) Kurven und das pysikalisce Problem der Bestimmung von Momentangescwindigkeiten, etwa bei Bewegungen auf solcen Kurven. Zunäcst wird das Tangentenproblem für solce Kurven in R untersuct, die Grap einer Funktion sind. b) Es seien also I R ein offenes Intervall und f : I R eine Funktion. Für a, I, a, betractet man die Geraden durc (a,f(a)) und (,f()) (Sekanten an den Grapen von f ) und ire Steigungen; diese sind offenbar durc die Differenzenquotienten f(a;) : f() f(a) () gegeben. Für a (und stetige f ) näert sic (,f()) dem Punkt (a,f(a)), und die Sekante sollte sic der Tangente durc (a,f(a)) an den Grapen von f annäern. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Sekantensteigungen f(a; ) für a einen Grenzwert besitzen. 8. Definition. Es seien I R ein offenes Intervall und f : I R eine Funktion. f eißt differenzierbar im Punkt a I, falls der Grenzwert f (a) : lim a f() f(a) eistiert. f (a) eißt dann die Ableitung von f an der Stelle a I. 8.3 Bemerkungen. a) Ist f in a I differenzierbar, so eißt die durc y f(a) + f (a) () (3) gegebene Gerade Tangente in a an den Grapen von f. b) Mit : läßt sic der Limes in () auc screiben als f (a) : lim 0 f(a+) f(a) (). (4)

2 8 Differenzierbare Funktionen 89 c) Auc die Bezeicnungen df d (a) ( d d f)(a) f (a) werden oft für die Ableitung verwendet. 8.4 Beispiele. a) Für p n : n, n N, gilt aufgrund des binomiscen Satzes p n (a;a+) (a+)n a n na n + ( ) n a n + + n na n für a. Somit gilt p n (a) nan für alle a R. Dies ist auc für n 0 rictig. b) Die Betragsfunktion A : ist in 0 nict differenzierbar. Es gilt A(0;) 0 0, > 0, < 0, und dieser Ausdruck at offenbar keinen Grenzwert für 0. c) Für die Eponentialfunktion gilt nac (6.) ep(a;a+) ea+ e a also ep (a) ep(a) für alle a R. e a e e a für 0, d) Aus den Funktionalgleicungen (3.3) und (3.4) der trigonometriscen Funktionen sowie (5.3) und (5.6) ergibt sic für R: also sin(+) sin cos(+) cos sin cos+cos sin sin cos sin+ sin cos cos sin sin cos cos cos cos, cos sin sin sin, sin cos, cos sin, R. (5) 8.5 Gescwindigkeiten. Es wird kurz auf eine pysikalisce Interpretation von Ableitungen eingegangen. Bezeicnet s(t) den Ort eines sic auf einer Geraden bewegenden Massenpunktes zur Zeit t R, so ist offenbar s(τ;t) s(t) s(τ) die t τ mittlere Gescwindigkeit des Massenpunktes im Zeitintervall [τ, t]. Daer kann die Ableitung von s in τ, falls sie eistiert, als Momentangescwindigkeit s(t) s(τ) ṡ(τ) lim t τ t τ des Punktes zur Zeit τ aufgefaßt werden. Auc für andere zeitabängige Größen s(t) ist ṡ(τ) als deren Änderungsgescwindigkeit zur Zeit τ zu interpretieren. In der Pysik werden Ableitungen nac der Zeit meist mit d dt bezeicnet. 8.6 Einseitige Ableitungen. a) Oft sind auc einseitige Ableitungen wictig. Funktionen f : [a,a+δ) R bzw. f : (a δ,a] R eißen rects- bzw. linksseitig differenzierbar in a, falls die Grenzwerte f +(a) f() f(a) : lim a + bzw. f (a) : lim a f() f(a) (6)

3 90 III. Grundlagen der Differential - und Integralrecnung eistieren. b) Für die Betragsfunktion A : gilt A + (0), A (0). c) Die auf [0, ) stetige Wurzelfunktion w : ist in allen a > 0 differenzierbar, in 0 aber nict rectsseitig differenzierbar. In der Tat at man w (a;) a + a a, a > 0 +, a 0 für a bzw Für a > 0 gilt also w (a) a. d) Eine Funktion f : I R eißt differenzierbar auf einem Intervall I, falls f in jedem Punkt von I differenzierbar ist. Dabei wie auc stets im folgenden ist Differenzierbarkeit in Intervallendpunkten als einseitige Differenzierbarkeit zu versteen. 8.7 Feststellung. Ist eine Funktion f F(I) differenzierbar in a I, so ist f auc stetig in a. Beweise zu diesem Abscnitt findet man in [K], Abscnitt 9. Die Beispiele 8.4 b) oder 8.6 c) zeigen, daß die Umkerung dieser Aussage nict rictig ist. Nac K. Weierstraß gibt es sogar auf R stetige Funktionen, die in keinem Punkt differenzierbar sind, vgl. [K], 9.5*. 8.8 Satz. Sindf,g F(I) in a I differenzierbar,sogilt diesauc für f+g, f g und, im Fall g(a) 0, für f. Es gelten die Regeln g (f +g) (a) f (a)+g (a), (7) (f g) (a) f (a) g(a)+f(a) g (a) (Produktregel), (8) ( ) f (a) f (a) g(a) f(a) g (a) (Quotientenregel). (9) g g(a) 8.9 Satz (Kettenregel). Es seien I,J R Intervalle und f : I J, : J R Funktionen. Ist f differenzierbar in a I und differenzierbar in f(a) J, so ist auc f : I R differenzierbar in a, und es gilt ( f) (a) (f(a)) f (a). (0) 8.0 Beispiele. a) Für g : ( + ) n, n Z, at man g f mit f : + und : y y n. Aus (0) folgt also g () n( +) n. b) Die Wurzelfunktion w : [0, ) R ist stetig und auf (0, ) differenzierbar. Für eine differenzierbare Funktion f : I [0, ) ist somit g : f auf I stetig und außeralb der Nullstellen von f differenzierbar, und dort gilt g () f() f () (für f() 0). () c) Speziell für f : r ist die Funktion g : r auf [ r,r] stetig und auf ( r, r) sogar differenzierbar mit g () r, < r. ()

4 8 Differenzierbare Funktionen 9 8. Satz. Es seien I R ein Intervall und f : I R stetig und streng monoton; dann ist auc J : f(i) ein Intervall. Ist f in a I differenzierbar und f (a) 0, so ist auc f : J I in f(a) J differenzierbar, und es gilt (f ) (f(a)) f (a). (3) 8. Beispiele und Bemerkungen. a) Die Voraussetzung f (a) 0 ist für Satz 8. wesentlic. Für die Potenzfunktion p 3 : 3 etwa ist p 3(0) 0, und p 3 w 3 : y 3 y ist in p 3 (0) 0 nict differenzierbar. b) Wegen ep () ep() 0 für R ist log : (0, ) R differenzierbar mit log y, also ep (logy) ep(logy) log y / y, y > 0. (4) c) Für die Potenzfunktion p α : α ist p α () ep(αlog), > 0. Mit der Kettenregel folgt daer p α() ep(αlog) α, also p α() α α, > 0, α R. (5) d) Wegen sin cos > 0 auf ( π, π ) ist der Arcus-Sinus auf (,) differenzierbar. Für (,) und y : arcsin ( π, π) gilt arcsin sin y cos y sin y e) Die Ableitung des Tangens ist gegeben durc. (6) tan cos +sin cos cos +tan. (7) Wegen tan > 0 auf ( π, π ) ist der Arcus-Tangens auf R differenzierbar. Für R und y : arctan ( π, π ) gilt arctan tan y +tan y +. (8) 8.3 Höere Ableitungen. a) Ist f : I R eine differenzierbare Funktion auf I und die durc f : f () definierte Ableitungsfunktion von f stetig, so eißt f stetig differenzierbar auf I, Notation: f C (I,R) C (I). b) Für m N werden rekursiv C m (I) : f C (I) f C m (I)} und f (m) : (f ) (m ) für f C m (I) definiert. c) C (I) : C m (I) eißt Menge der unendlic oft differenzierbaren Funktionen m auf I. 8.4 Beispiele und Bemerkungen. a) Für f C m (I) eißt f (m) C(I) die m-te Ableitung von f. Man screibt auc f () f, f (3) f, allgemein f (m) () dm f () (( d d m d )m f)(), und für m 0 auc f (0) () : f() sowie C 0 (I) : C(I). b) Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist i. a. nict stetig. Ein solces Beispiel ist gegeben durc die oszillierende Funktion (vgl. 5.8) u : cos, 0 u() (9) 0, 0

5 9 III. Grundlagen der Differential - und Integralrecnung Nac 5.8 ist u stetig auf R, und für 0 berecnen wir Weiter gilt u () cos + ( sin ) ( ) cos +sin. (0) u (;0) u () u (0) cos 0 für 0, undsomit eistiert u (0) 0. Wegen(0)eistieren aberdieeinseitigen Grenzwerte u (0+ ) und u (0 ) nict; folglic ist u auf R differenzierbar, u in 0 aber unstetig., 0 c) Die Funktion f : ist differenzierbar, und es, < 0 gilt f () für R. Somit gilt f C (R), aber f ist nict zweimal differenzierbar. d) Polynome P liegen in C (R). Für n > degp gilt offenbar P (n) 0. e) Wegen ep ep gilt ep C (R). f) Für > 0 gilt log, log (), log 3,..., allgemein log (m) m (m )! () ( ), () m wie man induktiv bestätigt. Somit gilt log C (0, ). 8.5 Satz. Es seien I R ein Intervall und m. a) Für f,g C m (I) gilt auc f +g, f g C m (I). b) Für f C m (I) und C m (f(i)) gilt f C m (I). c) Ist f C m (I) und f() 0 für I, so folgt / f C m (I). d) Es sei f C m (I) streng monoton, und es gelte f () 0 für I. Dann ist auc J : f(i) ein Intervall, und es gilt f C m (J). 8.6 Beispiele und Bemerkungen. a) In der Situation von Satz 8.5 d) ergibt sic die strenge Monotonie von f bereits aus den übrigen Voraussetzungen: Nac dem Zwiscenwertsatz gilt f > 0 oder f < 0, und man verwendet Bemerkung 0.5 unten. b) Rationale Funktionen, d.. Quotienten von Polynomen, sind außeralb der Nullstellen des Nenners C -Funktionen. c) Für α R gilt p α ep (αlog) C (0, ). d) Aus der Produktregel (fg) f g +fg folgt für f,g C 3 (I): (fg) f g +f g +f g +fg f g +f g +fg, dann (fg) f g +3f g +3f g +fg. Allgemein at man die folgende Leibniz-Regel für öere Ableitungen: (fg) (m) m ) f (m k) g (k) für f,g C m (I). () k0 ( m k Der Beweis ergibt sic induktiv genauso wie der des binomiscen Satzes unter Verwendung von Lemma..

Ableitung und Mittelwertsätze

Ableitung und Mittelwertsätze Ableitung und Mittelwertsätze Definition. Sei I R ein Intervall und f : I R. ) f eißt differenzierbar an 0 I, wenn der Grenzwert eistiert. f() f( 0 ) lim 0 0 = f ( 0 ) = lim 0 f( 0 + ) f( 0 ) Ist dabei

Mehr

Analysis 1. Torsten Wedhorn. f(x) f( x) x x. (2) Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist.

Analysis 1. Torsten Wedhorn. f(x) f( x) x x. (2) Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist. Analysis Torsten Wedorn 8 Differentiation (A) Differenzierbare Funktionen (B) Recenregeln für die Ableitung (C) Lokale Extrema und Mittelwertsatz (D) Ableitung und Monotonie (E) Der Satz von l Hospital

Mehr

Repetitorium Analysis I für Physiker

Repetitorium Analysis I für Physiker Micael Scrapp Ubungsblatt 3 Lösungen Tecnisce Universität Müncen Repetitorium Analysis I für Pysiker Analysis I Aufgabe Wir definieren zunäcst die Funktion g(t) = 2 0 f(t)t 2 dt Die Menge B = g (], 5[)ist

Mehr

8. Differentiation. f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) lim

8. Differentiation. f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) lim 8. Differentiation Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I R eißt in x 0 I differenzierbar (Steno: diffbar), wenn der für x I, x x 0 erklärte Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) nac x 0 stetig

Mehr

Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient

Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrecnung f f 0 + f 0 f f 0 0 eißt Differenzenquotient an der Stelle 0. f, f Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Matematik für

Mehr

Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln

Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln Ableitung einer Funktion f an einer Stelle, Begriff der Ableitungsfunktion Bilden einiger Ableitungsfunktionen Ableitungsregeln und Möglickeiten irer Herleitung

Mehr

5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen

5 Differenzialrechnung für Funktionen einer Variablen 5 Differenzialrecnung für Funktionen einer Variablen Ist f eine ökonomisce Funktion, so ist oft wictig zu wissen, wie sic die Funktion bei kleinen Änderungen verält. Bescreibt etwa f einen Wacstumsprozess,

Mehr

Übungsaufgaben zur Differential-Rechnung

Übungsaufgaben zur Differential-Rechnung Übungsaufgaben zur Differential-Recnung Weitere Übungsaufgaben mit Lösungen gibt es z.b. in Brauc/Dreyer/Haacke, Papula, Stingl, Stöcker, Minorski usw.. Bestimme allgemeines Folgen-Element, Eigenscaften

Mehr

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung einer Funktion Die Ableitung einer Funktion I. Definition der Ableitung Definition. Sei I R ein Intervall und f : I R. 1) f eißt differenzierbar an x 0 I, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 existiert.

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 08 Dr. Anreas Steiger Lösung - Serie 5 MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Es sei f : [a, b] R eine Funktion. Welce er folgenen Aussagen ist rictig? (a) (b) f ist stetig f ist ifferenzierbar.

Mehr

Vorkurs Mathematik Herbst Skript Teil VI

Vorkurs Mathematik Herbst Skript Teil VI Vorkurs Matematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript Teil VI. Stetigkeit Definition. Eine Funktion f : R R eißt stetig im Punkt p, wenn für alle konvergente Folgen x : N R, n x n mit gleicen Grenzwert

Mehr

Analysis I. 8. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 8. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I 8. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 9, 207 Grenzwerte Korollar 5.2.2 (Bernoulli-de l Hôpital) Seien f, g : [a, b] R stetig und differenzierbar

Mehr

Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a

Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a . Einführung in die Differentialrechnung ==================================================================. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kompetenz: Verinnerlichung des Mittelwertsatzes Daraus ergibt sich leicht der wichtige Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

Kompetenz: Verinnerlichung des Mittelwertsatzes Daraus ergibt sich leicht der wichtige Mittelwertsatz der Differentialrechnung: 16 Mittelwertsätze und Anwendungen 71 16 Mittelwertsätze und Anwendungen Lernziele: Konzepte: Konvexität und Konkavität Resultate: Mittelwertsätze der Differentialrechnung Methoden: Regeln von de l Hospital

Mehr

Lösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)

Lösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Anreas Steiger Lösung - Serie 3. MC-Aufgaben (Online-Abgabe). Es sei ie Funktion f : [0, ) [0, ) efiniert urc f() = ln( + ), wobei er Logaritmus ln zur Basis e ist. Welce

Mehr

Mathematischer Vorkurs NAT-ING II

Mathematischer Vorkurs NAT-ING II Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite

Mehr

16. Differentialquotient, Mittelwertsatz

16. Differentialquotient, Mittelwertsatz 16. Differentialquotient, Mittelwertsatz Gegeben sei eine stetige Funktion f : R R. Wir suchen die Gleichung der Tangente t an die Kurve y = f(x) im Punkt (x, f(x ), x R. Das Problem dabei ist, dass vorderhand

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Analysis I. Vorlesung 18. Differenzierbare Funktionen. f: D K

Analysis I. Vorlesung 18. Differenzierbare Funktionen. f: D K Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 18 Differenzierbare Funktionen In dieser Vorlesung betracten wir Funktionen, wobei D K eine offene Menge in K ist. Das ist eine Menge derart,

Mehr

Á 5. Differenzierbarkeit

Á 5. Differenzierbarkeit Á. Differenzierbarkeit Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4 Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4 . Differenzierbarkeit Zur Berecnung der Steigung

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wie Blatt 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höere Matematik 2 Sommersemester 202 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungsinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H 58. Differenzierbarkeit

Mehr

7.2. Ableitungen und lineare Approximation

7.2. Ableitungen und lineare Approximation 7.. Ableitungen und lineare Approximation Eindimensionale Ableitungen und Differentialquotienten einer Funktion bekommt man bekanntlic als Limes von Differenzenquotienten f ( a) = f ( a + ) f( a ) = x

Mehr

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 2 c 2016 A. Kersch

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 2 c 2016 A. Kersch Differentialrechnung. Definition Vorkurs Mathematik-Physik, Teil c 06 A. Kersch Geometrische Interpretation Die Ableitung einer Funktion f() an einer Stelle = 0 ist über den Grenzwert des Differenzenquotienten

Mehr

Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5

Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5 Eigenschaften stetiger Funktionen Buch Kap. 2.5 Satz 2.6: (Nullstellensatz) Ist f : [a, b] R stetig und haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so besitzt f in (a, b) mindestens eine Nullstelle.

Mehr

Funktionentheorie A. K. Hulek

Funktionentheorie A. K. Hulek Funktionenteorie A K. Hulek 1 Holomorpe Funktionen Die wictigsten Objekte dieser Vorlesung sind die olomorpen Funktionen. Es sei U C offen, f : U C eine Abbildung und z 0 U ein Punkt. Definition (i Die

Mehr

TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1

TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1 TU Dresden Fakultät Matematik Institut für Numerisce Matematik Lösung zur Aufgabe 4 (a) des 9. Übungsblattes größtmöglicer Definitionsbereic: Die Funktion ist überall definiert, außer an der Stelle = 3

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09) Vorlesung Mathematik für Ingenieure (Wintersemester 2008/09) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 9. November 2008) Die

Mehr

Vorlesung Analysis I WS 07/08

Vorlesung Analysis I WS 07/08 Vorlesung Analysis I WS 07/08 Erich Ossa Vorläufige Version 07/12/04 Ausdruck 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Elementare Logik.................................. 1 1.1.A Aussagenlogik................................

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 6. Übung: Woche vom bis

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 6. Übung: Woche vom bis Übungsaufgaben 6. Übung: Woche vom 17. 11. bis 21. 11. 2014 Heft Ü1: 9.1 (d,n,t); 9.2 (b,h,i); 9.3 (b,e); 9.4 (b,e,f) Übungsverlegung (einmalig!): Gruppe VIW 02 nach Mo., 5. DS; WIL C 204 (für Mittwoch,

Mehr

24 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen

24 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen 4 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen 4 Partialbruchzerlegung und elementare Stammfunktionen Aufgabe: Versuchen Sie, 0 d und 4 0 d 6 und zu berechnen. 4. Rationale Funktionen. a) uotienten

Mehr

Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit.

Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit. Stetigkeit vs Gleichmäßige Stetigkeit. Beispiel: Betrachte ie Funktion f(x) = 1/x auf em Intervall D = (0, 1]. f ist in jeem Punkt p (0, 1] stetig. Denn: Sei p (0, 1] un ε > 0 gegeben. Setze δ = min (

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 008/009 Anweseneitsaufgaben Übung 4 Einleitung Es soll darauf ingewiesen werden, daß es in der Woce vor der Klausur

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Katharina Brazda 5. März 007 Inhaltsverzeichnis Motivation. Das Tangentenproblem................................... Das Problem der Momentangeschwindigkeit.......................3 Differenzenquotient und

Mehr

7. Teil: Differentialrechnung

7. Teil: Differentialrechnung 7 Teil: Differentialrecnung Differenzierbarkeit und Differentiation Definition: Sei f(x) eine für x [a,b] D f stetige Funktion Dann eisst die für x (a,b) durc f(x+) f(x) lim oder lim f(x) f(x ) oder lim

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011)

Mehr

Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit

Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Historisc ist der Begriff der Differenzierbarkeit lange vor dem der Stetigkeit entwickelt worden. Untersciedlice Definitionen der Differenzierbarkeit werden von Gottfried

Mehr

- 1 - Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar an der Stelle x 0, wenn der Grenzwert (siehe Kap. 3)

- 1 - Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar an der Stelle x 0, wenn der Grenzwert (siehe Kap. 3) - 1-4 Differentialrechnung 4.1 Ableitung einer Funktion Eine Funktion f() ist in einer Umgebung definiert. Abb.: Differenzenquotient Man kann immer einen Quotienten bilden, ( + ) f ( + h) f ( ) f h f +

Mehr

Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln

Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln by Nictnäerdefiniert 5..003-6..003 Index. Differenzenquotient. Faktorregel 3. Konstantenregel 4. Summenregel 5. Produktregel 6. Quotientenregel 7. Potenzregel

Mehr

Analysis I. Guofang Wang , Universität Freiburg

Analysis I. Guofang Wang , Universität Freiburg Universität Freiburg 10.1.2017, 11.1.2017 Definition 1.1 (Ableitung) Die Funktion f : I R n hat in x 0 I die Ableitung a R n (Notation: f (x 0 ) = a), falls gilt: f(x) f(x 0 ) lim = a. (1.1) x x 0 x x

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik

Mehr

2015, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik. Ableiten. Tag WS 2015/16

2015, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik. Ableiten. Tag WS 2015/16 Vorkurs 4. Mathematik Ableiten WS 2015/16 Tag Einführendes Beispiel Vernachlässigen wir den Luftwiderstand, so können wir in hinreichender Näherung für den freien Fall eines Körpers s(t) = 5t 2 als Weg-Zeit-Abhängigkeit

Mehr

3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung

3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung 42 3.2 Polarkoordinaten und exponentielle Darstellung Ein Punkt z = a + bi der Gaußscen Zalenebene ist durc seine kartesiscen Koordinaten a und b eindeutig festgelegt. Man kann jedoc auc zwei andere Grössen

Mehr

10 Differenzierbare Funktionen

10 Differenzierbare Funktionen 10 Differenzierbare Funktionen 10.1 Definition: Es sei S R, x 0 S Häufungspunkt von S. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h

Mehr

Differential- und Integralrechnung. Biostatistik, WS 2010/2011. Inhalt. Nochmal: Exponentielles Wachstum. Matthias Birkner

Differential- und Integralrechnung. Biostatistik, WS 2010/2011. Inhalt. Nochmal: Exponentielles Wachstum. Matthias Birkner Biostatistik, WS 200/20 Differential- und Integralrecnung Mattias Birkner ttp://www.matematik.uni-mainz.de/~birkner/biostatistik0/ 2..200 Inalt Ableitung Änderung und Steigung Recenregeln Anmerkungen 2

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Matematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Cristian Leibold 7. Oktober 2014 Folgen Allgemeines zu Folgen Monotonie und Bescränkteit Grenzwerte und Konvergenz Summen und Reien

Mehr

5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105. f(x) = O(g(x)) für x x 0, f(x) < M g(x). f(x) g(x)

5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105. f(x) = O(g(x)) für x x 0, f(x) < M g(x). f(x) g(x) 5.2. ABLEITUNGEN BEKANNTER FUNKTIONEN 105 Definition 5.2.4 (Landau Symbole (Fortsetzung)) Wir sagen f(x) = O(g(x)) für x falls es ein K > a ein M R + gibt, so dass für alle x > K gilt f(x) < M g(x), f(x)

Mehr

Analysis I. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 26, 2017 1 Erinnerung Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls 1, 2 X : 1 2 f( 1 ) f( 2 ). (In Worten:

Mehr

Institut für Analysis SS 2014 Prof. Dr. Roland Schnaubelt Dipl.-Math. Leonid Chaichenets. Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Institut für Analysis SS 2014 Prof. Dr. Roland Schnaubelt Dipl.-Math. Leonid Chaichenets. Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Institut für Analysis SS 4 Prof. Dr. Roland Scnaubelt 8.7.4 Dipl.-Mat. Leonid Caicenets Höere Matematik II für die Facrictung Pysik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 68: Wir arbeiten den Folgenden

Mehr

V. Differentialrechnung

V. Differentialrechnung V.. Die Ableitung 97 V. Differentialrecnung Ausgeend von der Frage nac der Approximierbarkeit von Funktionen durc affine Funktionen, d.., Funktionen, deren Grap eine Gerade ist, werden wir in diesem Kapitel

Mehr

VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA

VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Mittwoc: Ableiten, Kurvendiskussionen, Optimieren, Folgen und Reien Betracte auf einem Hügel einen Weg, dessen Seitenansict

Mehr

Einführung in die Differentialrechnung

Einführung in die Differentialrechnung Reiner Winter Einfürung in die Differentialrecnung. Das Tangentenproblem als ein Grundproblem der Differentialrecnung Wir betracten im folgenden die quadratisce Normalparabel, d.. den Grapen GI f der Funktionsgleicung

Mehr

dx nf(x 0). dx f(n 1) (x 0 ) = dn

dx nf(x 0). dx f(n 1) (x 0 ) = dn 4.3. Höhere Ableitungen, Konveität, Newtonverfahren 65 4.3 Höhere Ableitungen, Konveität, Newtonverfahren Ist f:i R differenzierbar auf einem Intervall I, so erhalten wir eine neue Funktion auf I, nämlich

Mehr

Kapitel 5: Differentialrechnung

Kapitel 5: Differentialrechnung Kapitel 5: Differentialrechnung Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 1 / 23 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen

Mehr

Grundlagen der Differentialrechnung

Grundlagen der Differentialrechnung Grundlagen der Differentialrecnung Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inaltsverzeicnis 1 Vorwort 2 2 Grundprinzip der Differenzialrecnung 3 3 Ableiten von Funktionen 7 3.1 Ableitungen wictiger Grundfunktionen:..................

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung 6 Differentialrecnung 6.1 Einfürung Newton und Leibniz Ableitung Maxima und Minima Newton sces Verfaren Die Differentialrecnung wurde von Newton (1643-1727) und von Leibniz (1646-1716) unabängig voneinander

Mehr

9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 9. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/2010 8./9. Dezember 2009 Gruppenübung

Mehr

f(f 1 (w)) = w f 1 (f(z)) = z Abbildung 21: Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion

f(f 1 (w)) = w f 1 (f(z)) = z Abbildung 21: Eine Funktion und ihre Umkehrfunktion Mathematik für Naturwissenschaftler I 2.8 2.8 Umkehrfunktionen 2.8. Definition Sei f eine Funktion. Eine Funktion f heißt Umkehrfunktion, wenn f (w) = z für w = f(z). f darf nicht mit f(z) = (f(z)) verwechselt

Mehr

V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte

V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte V.1 Konvergenz, Grenzwert und Häufungspunkte S. 108 110 A. Bereits bekannt: Folge Extrem wichtig: Grenzwert bzw. Konvergenz: a n a oder lim n a n = a : ε R, ε > 0 n 0 N : a n a < ε n n 0 Begriffe: Fast

Mehr

Differenzierbare Funktionen

Differenzierbare Funktionen Kapitel 5 Differenzierbare Funktionen In diesem Kapitel widmen wir uns dem Begriff der Differenzierbarkeit und entwickeln die Eigenscaften differenzierbarer Funktionen. Darüberinaus wollen wir auc unsere

Mehr

Definition: Differenzierbare Funktionen

Definition: Differenzierbare Funktionen Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ

Mehr

Geometrisch ergibt sich deren Graph als Schnitt von G mit der senkrechten Ebene y = b bzw. x = a:

Geometrisch ergibt sich deren Graph als Schnitt von G mit der senkrechten Ebene y = b bzw. x = a: Fläcen im Raum Grap und Scnittkurven Im ganzen Artikel bezeicnet D eine Teilmenge des R 2 und eine skalarwertige Funktion in zwei Veränderlicen. Der Grap f : D R 2 R : (x, y) z = f(x, y) G = { (x, y, z)

Mehr

Mathematischer Vorkurs

Mathematischer Vorkurs Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite / 50 Kapitel 5 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 54 / 50 Scheitel S Schenkel α Winkelbereich Winkel werden in Grad

Mehr

Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11. A.: Wurde in diesem Kapitel behandelt. C.: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant)

Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11. A.: Wurde in diesem Kapitel behandelt. C.: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant) Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11 Im Folgenden bedeutet A: Wurde in diesem Kapitel behandelt B: Interessante Aufgaben C: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant) V1 Konvergenz, Grenzwert

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Ein immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders

Ein immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders Vorlesung 14 Differentialrecnung Ein immer wiedererendes Konzept in der Matemati ist die Zurücfürung auf Beanntes, bezieungsweise auf besonders einface Fälle. Besonders einfac sind lineare Funtionen in

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Cristop Scmoeger Heiko Hoffmann SS 24 Höere Matematik II für die Facrictung Informatik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 9 a) Bestimmen

Mehr

Thema 5 Differentiation

Thema 5 Differentiation Thema 5 Differentiation Definition 1 Sei f : D R. Dann ist f im Punkt x 0 differenzierbar, falls f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 auf der Menge D \ {x 0 } existiert. Der Limes ist dann die Ableitung von f im Punkt

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen

MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen Version 01.02. Januar 2007 MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07 Kurzfassung Martin Schottenloher Kapitel VI. Differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen In diesem Kapitel werden differenzierbare

Mehr

= (Differenzenquotient).

= (Differenzenquotient). Micael Bulmann Matematik > Analysis > Ableitungen > Änderungsrate Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate Für zwei versciedene Punkte P( 1 y 1 und Q( y auf der Zalenebene ergibt sic die Steigung

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 3

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 3 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 3 Hausaufgaben Aufgabe 3. Zeigen Sie mit Hilfe der ɛ-δ-formulierung vgl.

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 11. Übungsblatt. { wachsend fallend

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 11. Übungsblatt. { wachsend fallend UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Aufgabe Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

8 Reelle Funktionen. 16. Januar

8 Reelle Funktionen. 16. Januar 6. Januar 9 54 8 Reelle Funktionen 8. Reelle Funktion: Eine reelle Funktion f : D f R ordnet jedem Element x D f der Menge D f R eine reelle Zahl y R zu, und man schreibt y = f(x), x D. Die Menge D f heißt

Mehr

Die elementaren Funktionen (Überblick)

Die elementaren Funktionen (Überblick) Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und

Mehr

Die elementaren Funktionen (Überblick)

Die elementaren Funktionen (Überblick) Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und

Mehr

Serie 4: Flächeninhalt und Integration

Serie 4: Flächeninhalt und Integration D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt

Mehr

HM I Tutorium 9. Lucas Kunz. 19. Dezember 2018

HM I Tutorium 9. Lucas Kunz. 19. Dezember 2018 HM I Tutorium 9 Lucas Kunz 19. Dezember 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Definition der Ableitung............................ 2 1.2 Ableitungsregeln................................ 2 1.2.1 Linearität................................

Mehr

2.6 Lokale Extrema und Mittelwertsatz

2.6 Lokale Extrema und Mittelwertsatz 2.6. Lokale Etrema und Mittelwertsatz 49 2.6 Lokale Etrema und Mittelwertsatz In diesem Kapitel bezeichne f stets eine reellwertige Funktion, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b]. Unter

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 19. Dezember 2007 Grenzwerte einiger Funktionen notwendige Bedingung hinreichende Bedingung : Die Funktion f : D R d mit D R m hat den Grenzwert

Mehr

Mathematik für Chemiker I

Mathematik für Chemiker I Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Matematik PD Dr. L. Strüngmann WS 007/08 Übungsmaterial sowie andere Informationen zur Veranstaltung unter: ttp://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.stml

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 75 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f

Mehr

Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient

Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrechnung f = f 0 + f 0 = f 0 0 heißt Differenzenquotient an der Stelle 0., Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Auffrischungskurs

Mehr

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04. Gegeben sei eine Funktion f(). Differenzialrechnung Differenzenquotient f() 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.2007 18:38:45 1 Differenzenquotient Gesucht ist die Tangente an der Stelle, wobei

Mehr

ARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

ARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES ARBEITSUNTERLAGEN zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Vorbemerkung Ziel des Propädeutikums ist es, die Schulmathematik wieder ins Gedächtnis zu rufen und eine gemeinsame Grundlage für die

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung IV

Differenzial- und Integralrechnung IV Differenzial- un Integralrecnung IV Rainer Hauser September 202 Einleitung. Ableitung un Integral Die Ableitung einer Funktion f: R R, f() ist efiniert urc en Differenzialquotienten als f () = f() = f(

Mehr

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben

Mehr

Stichwortverzeichnis. Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis. Stichwortverzeichnis Stichwortverzeichnis Die Ergänzungen (A) und (B) hinter einem Eintrag bedeuten: (A) Dieser Eintrag tritt in einer Aufgabe auf. (B) Dieser Eintrag tritt in einem Beispiel auf. 1 1. Hauptsatz der Differential-

Mehr

Mathematik zum Mitnehmen

Mathematik zum Mitnehmen Mathematik zum Mitnehmen Zusammenfassungen und Übersichten aus Arens et al., Mathematik Bearbeitet von Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth

Mehr

1 Holomorphe Funktionen

1 Holomorphe Funktionen $Id: olo.tex,v 1.2 2013/04/09 17:01:23 k Exp k $ 1 Holomorpe Funktionen In den ersten Kapiteln dieser Vorlesung werden wir uns mit der sogenannten Funktionenteorie bescäftigen, dies ist die Teorie der

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS 2017 1 / 25 Vorlesung 7 (Lecture 7) Differentialrechnung differential

Mehr

Nicht differenzierbare Funktionen

Nicht differenzierbare Funktionen Nicht differenzierbare Funktionen Wir haben schon ein Beispiel gesehen (senkrechte Tangente). Differenzierbare Funktionen sind stetig wegen den Grenzwertregeln: 0 f (x) + f(x) (u x) f(u) f(x) u x Also

Mehr

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 1

Zusammenfassung: Differenzialrechnung 1 LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Aufgabenformulierungen Gleichungen Graphen, Trigonometrie und Geraden Ableitung Ableitungsregeln, höhere Ableitungen 3 Kettenregel

Mehr

2.2 Reellwertige Funktionen

2.2 Reellwertige Funktionen 4 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen. Reellwertige Funktionen Ein zentraler Begriff der Mathematik ist der Begriff der Abbildung oder Funktion, und dieses Konzept taucht in den verschiedensten

Mehr

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 15 Peter Hartmann

Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 15 Peter Hartmann Verständnisfragen 1. Ist f : D und 0 D, so ist der Differenzenquotient eine Abbildung von D\ 0. Warum muss hier 0 aus dem Definitionsbereich herausgenommen werden? Weil sonst der Nenner 0 werden kann..

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr