komplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.

Transkript

1 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch ist diese Fläche z.b. bei konstnten Funktionen f(x) = c, d dort die frgliche Fläche ein Rechteck ist. Bei komplizierteren Funktionen versucht mn, die Fläche durch mehrere Rechtecke nzunähern. Abbildung 3: Zerlegung in Teilintervlle [x i,x i ] mit Zwischenstellen z i Wollen wir beispielsweise die Fläche unter einer Funktion f in einem Intervll [,b] pproximieren, können wir folgendermßen vorgehen: () Wir zerlegen [,b] uf eine beliebige Weise in n Teilintervlle [x i,x i ]. Die x i bilden eine Zerlegung Z: Z : = x < x < < x n < x n = b. (2) In jedem Teilintervll wählen wir eine beliebige Zwischenstelle z i [x i,x i ] für i =,...,n. (3) Für jedes Teilintervll können wir eine rechteckige Teilfläche berechnen, die Höhe des Rechtecks ist der Funktionswert n der Zwischenstelle, die Breite des Rechtecks ist die Länge des Teilintervlls: f(z i ) (x i x i ) für i =,...,n. (4) Zum Schluss ddieren wir lle Teilflächen und erhlten eine Approximtion n die Fläche unter dem Funktionsgrphen von f: f(z i ) (x i x i ). I Z heißt Riemnnsche Summe zur Zerlegung Z. 42

2 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. Diese Approximtion knn verbessert werden, indem eine feinere Zerlegung Z gewählt wird. Sei Z = mx{x i x i für i =,...,n} die Norm einer Zerlegung Z (nschulich ist dies die Breite des breitesten Teilintervlls). Mit Z nähert sich offensichtlich I Z der gesuchten Fläche. Abbildung 32: Feinere Zerlegungen ergeben genuere Approximtionen Wenn nun ds obige Verfhren für beliebige Zerlegungen mit Z und beliebige Zwischenstellen z i stets ds gleiche Ergebnis liefert, können wir diesen Grenzwert ls die Fläche zwischen dem Grphen von f und der x-achse uffssen: 4.. Definition Sei f eine Funktion, die im Intervll [,b] beschränkt ist (d.h. f(x) C für lle x [, b]). Konvergieren die Riemnnschen Summen f(z i ) (x i x i ) für lle Folgen von Zerlegungen Z von [, b] mit Z und jede Whl von Zwischenstellen z i [x i,x i ] gegen einen Grenzwert I, so ist f integrierbr in [,b]: f(x)dx = I = lim Z I Z. f(x)dx ist ds Integrl über f von bis b. [,b] heißt Integrtionsintervll, f ist der Integrnd Bemerkung () Istf(z i )neinerzwischenstellez i negtiv,gehtuchdieentsprechende Teilfläche negtiv in die Berechnung ein. Ddurch unterscheidet sich ds Integrl dnn von der Vorstellung einer Fläche unter f. (2) Die Vrible x in f(x)dx ist nur ein Pltzhlter. Ebenso könnte mn eine ndere Vrible wählen: 4..3 Beispiele () cdx =? f(x)dx = f(t)dt = f(ω)dω =. Hier ist lso f(x) = c für lle x. Betrchten wir lso eine beliebige Zerlegung von [,b] Z : = x < x < < x n = b 43

3 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.2 mit beliebigen Zwischenstellen z i [x i,x i ]. Es gilt = f(z i )(x i x i ) c(x i x i ) = c (x i x i ) = c(x x +x 2 x +x 3 x 2 ± +x n x n ) = c( x +x n ) = c(b ) D c(b ) für beliebige Z und z i, folgt cdx = lim Z c(b ). (2) Betrchten wir die Dirichlet-Funktion {, flls x rtionl, δ(x) =, flls x irrtionl mit D(δ) = [,]. Sei Z eine Zerlegung von [,b] = [,]. In jedem Teilintervll gibt es sowohl rtionle ls uch irrtionle Zhlen. Wählen wir zuerst rtionle Zwischenstellen z i : Anlog zum letzten Beispiel rechnen wir δ(z i )(x i x i ) = }{{} = (x i x i ) = b =. Andererseits gilt für irrtionle Zwischenstellen z i δ(z i )(x i x i ) =. }{{} = Die Riemnnschen Summen I Z konvergieren lso nicht, δ(x) ist folglich nicht integrierbr. Wir sehen n diesem Beispiel, wie wichtig es ist, lle Zerlegungen und lle Zwischenstellen zu betrchten. Außerdem sehen wir, dss es Funktionen gibt, die nicht integrierbr sind. D ds Zerlegungsverfhren in der Prxis sehr ufwändig ist, benötigen wir ein einfcheres System, um integrierbre Funktionen zu erkennen. Es gilt: 4..4 Stz () Jede uf [, b] monotone und beschränkte Funktion ist in [, b] integrierbr. (2) Jede uf [, b] stetige Funktion ist in [, b] integrierbr. 44

4 Mthemtik für Nturwissenschftler I Rechnen mit Integrlen Bisher hben wir Integrle f(x)dx nur für < b definiert. Wir erweitern die Definition: 4.2. Definition Sei f in [, b] integrierbr. Es sei b f(x)dx = f(x)dx und f(x)dx =. Drüber hinus gilt: Stz Eine Funktion f ist in [,b] genu dnn integrierbr, wenn f für jedes c [,b] in [,c] und [c,b] integrierbr ist. Dnn gilt f(x)dx = Eine Folgerung us diesem Stz ist sehr nützlich: Jede bschnittsweise stetige Funktion ist integrierbr. D eine solche Funktion in Teilintervllen stetig ist, ist sie dort jeweils integrierbr. Nch Stz ist dnn uch die Funktion uf dem gesmten Intervll integrierbr und ihr Integrl ist die Summe der Integrle über die einzelnen Stetigkeitsintervlle. c f(x)dx+ c f(x)dx. Stz sgt uns lso, dss sich Integrle ddieren, wenn die Integrtionsintervlle neinnder gehngen werden. Wir können ber uch mit den Integrnden rechnen : Stz Seien f und g integrierbr in [,b] und sei c R eine Konstnte. Dnn sind integrierbr uf [,b] und es gilt c f(x) und f(x)±g(x) c f(x)dx = c (f(x)±g(x))dx = f(x)dx f(x)dx± g(x)dx. 4.3 Integrl- und Differenzilrechnung Mn knn ein Integrl uch ls Funktion der oberen Grenze uffssen: Wenn f in [,b] integrierbr ist, dnn ist f nch Stz uch in llen Intervllen [,x] mit x [,b] integrierbr. Sei x ϕ(x) = f(t)dt. 45

5 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.3 Mit dieser Funktion ϕ gilt folgender Zusmmenhng zwischen der Differenzil- und der Integrlrechnung: 4.3. Stz Ist f stetig (und dmit uch integrierbr) in [,b], dnn ist ϕ(x) = f(t)dt differenzierbr in [,b] mit ϕ (x) = f(x) für lle x [,b]. x Diesen Stz können wir zur Berechnung von Integrlen nutzen (und so vermeiden, Zerlegungen betrchten zu müssen). Zuerst eine Begriffsbestimmung: Definition Sei f definiert in [, b]. Eine Funktion F heißt Stmmfunktion von f, wenn in [,b] F (x) = f(x). Nch dem letzten Stz ist ϕ lso eine Stmmfunktion von f, d ϕ (x) = f(x) Nottion Mn schreibt eine Stmmfunktion F symbolisch ls unbestimmtes Integrl von f: F(x) = f(x)dx Bemerkung Wenn eine Funktion eine Stmmfunktion ht, dnn ht sie uch unendlich viele verschiedene Stmmfunktionen. Sei nämlich F eine Stmmfunktion von f, dnn ist für beliebige Konstnten c R (F(x)+c) = F (x)+(c) = f(x)+ = f(x), F(x) + c ist lso uch eine Stmmfunktion. Umgekehrt unterscheiden sich lle Stmmfunktionen von f uch nur durch eine Konstnte. Ist F eine Stmmfunktion von f, gilt lso f(x)dx = F(x)+C mit C R. Insbesondere mcht es keinen Sinn, von der Stmmfunktion zu sprechen, d es immer unendlich viele Stmmfunktionen gibt. Wie können wir Stmmfunktionen nutzen, Integrle uszurechnen? Betrchten wir eine integrierbre Funktion f mit einer Stmmfunktion F. D uch ϕ Stmmfunktion von f ist und sich lle Stmmfunktionen nur durch eine Konstnte unterscheiden, gilt für ein c R Speziell für x = gilt F(x) = ϕ(x)+c = F() = x f(t)dt+c. f(t)dt+c = +c = c 46

6 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.3 und dmit F(b) = f(t)dt+c = f(t)dt+f() Wir hben lso ds folgende wichtige Resultt: f(t)dt = F(b) F() Stz (Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung) Sei f eine integrierbre Funktion in [,b] mit einer Stmmfunktion F. Dnn gilt f(t)dt = F(b) F() = F(t) b. Der große Vorteil dieses Stzes ist, dss wir nun leicht Integrle berechnen können, wenn wir eine Stmmfunktion kennen. Stmmfunktionen wiederum können wir über unser Wissen über Ableitungen erhlten: Beispiele () xdx =? Wir wissen ( x 2) = 2x, lso ( 2 x2) = x. Dher ist xdx = 2 x2 = = 2. (2) D (x) =, gilt 2 2 dx = x 2 2 = 2 ( 2) = 4. (3) Wegen (cosx) = sinx ist π/2 sinxdx = ( cosx) π/2 = cos π ( cos) =. }{{ 2 }{{}} = = Ntürlich knn mn uf diese Weise llgemein Stmmfunktionen (sttt bestimmten Integrlen) berechnen: Beispiele () sinxdx = cosx+c (s.o., Bsp. 3) (2) (3) cdx = cx+c, d (cx) = c. x α dx = xα+ +C, denn wir hben α+ (x α ) = αx α ( x α+ ) = (α+)x α ( ) α+ xα+ = x α 47

7 Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 (4) Wir wissen, dss (lnx) = x für x >. Also gilt für x > (ln x ) = (lnx) = x und für x < (ln x ) = (ln( x)) = x ( ) = x. Es gilt lso dx = ln x +C für x, x ds heißt, es gilt b dx = ln x x wenn / [,b]. Ds letzte Beispiel können wir verllgemeinern: Mit einer Fllunterscheidung wie oben knn mn unter Verwendung der Kettenregel nchrechnen, dss Dmit hben wir: (ln f(x) ) = f (x) f(x) für f(x) Stz Sei f(x) in [,b] und f (x) stetig uf [,b]. Dnn gilt f (x) dx = ln f(x) +C. f(x) Beispiel +x dx = ln +x = ln2 ln = ln Bemerkung Nicht jede integrierbre Funktion ht eine (geschlossen drstellbre) Stmmfunktion. Es gibt Funktion, deren Integrl mn berechnen knn, die ber keine Stmmfunktion hben, die mnnichtnderslsz.b.durchϕ(x) = x f(t)dtdrstellenknn(wszurprktischenberechnung nicht viel hilft). Zur Berechnung der Integrle müssen dnn Riemnnsche Summen oder ndere Verfhren benutzt werden Beispiel f(x) = e x2 ist stetig, lso integrierbr, ds Integrl drüber knn mn somit berechnen. Beispielsweise ist e x2 dx Eine Stmmfunktion knn mn ber nicht ngeben. Weitere Beispiele für solche Funktionen ohne Stmmfunktionen sind lnx, sinx x, e x x,