Was braucht mehr Glück... ein Lotto - Sechser? oder ein Royalflush

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Rosa Egger
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1 Was braucht mehr Glück... ein Lotto - Sechser? oder ein Royalflush 1

2 Ein Fachschaftstag U1a Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname: 8. Oktober 2016

3 Inhaltsverzeichnis 1 Die Wahrscheinlichkeit Würfeln Kombinatorik Um was geht s? Allgemeines Zählprinzip Urnenmodelle Anordnungen Auswählen Lotto 6 aus Poker 14 I

4 Wir werden uns in einem ersten Schritt mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit vertraut machen. Aufgrund mehrerer durchbesprochener Beispiele werden wir in der Lage sein, diesen Begriff zu definieren. Anschliessend werden wir uns mit einigen Grundlagen der Kombinatorik vertraut machen. Auch das wieder mit Hilfe der Diskussion mehrerer Beispiele. Wir werden dann am nachmittag gut gerüstet uns mit dem Lotto und dem Poker (aus mathematischer Sicht) befassen können. 1

5 1 Die Wahrscheinlichkeit 1.1 Würfeln Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 1 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 6 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 1 oder eine 6 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine ungerade Zahl zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 9 zu werfen? Wir wollen nun versuchen, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu definieren: 2

6 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln die Augensumme 11 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln die Augensumme 6 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine durch 6 teilbare Augensumme zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine Zahl zu werfen, die mindestens eine 5 drin hat? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln die Augensumme 13 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln die Augensumme < 13 zu werfen? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit drei Würfeln 666 zu werfen? 3

Aufgaben : Wir würfeln mit einem durchnummerierten Oktaeder Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: 1. Mit einem Würfel.

7 Aufgaben : Wir würfeln mit einem durchnummerierten Oktaeder Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: 1. Mit einem Würfel... (a) die 5 zu werfen, (b) ein Vielfaches von 2 zu werfen, (c) eine ungerade Zahl zu werfen, 2. Mit zwei Würfeln... (a) die Augensumme 4 zu werfen, (b) mindestens eine 6 zu werfen, (c) die Zahl 88 zu werfen. Pause 4

8 2 Kombinatorik 2.1 Um was geht s? Die Anzahl Möglichkeiten in unseren bisher betrachteten Zufallsexperimenten hat sich immer in einem vernünftigen Rahmen gehalten, so dass wir aus einem Baumdiagramm die für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses notwendige Anzahl der möglichen Fälle und die Anzahl der günstigen Fälle abzählen konnten. Bei mehrstufigen Experimenten werden diese Bäume jedoch oft unübersichtlich, wenn zu viele Möglickeiten an den Verzweigungen untersucht oder zu viele Stufen durchgeführt werden müssen. Wir brauchen daher neue Methoden des Abzählens und diese liefert uns die Kombinatorik - die Lehre vom Abzählen. Wir werden uns wieder über Beispiele an die wichtigsten Fragestellungen heranarbeiten, diese Verallgemeinern und wieder in Beispielen zur Anwendung bringen. Beginnen werden wir mit dem allgemeinen Zählprinzip und uns anschliessend mit der grundlegenden Fragestellung der Anordnung oder der Auswahl beschäftigen. 5

9 2.2 Allgemeines Zählprinzip Beispiel 2.1 Willi hat 4 Paar Socken, 3 Hosen und 5 Hemden. Wie viele Möglichkeiten hat er, sich anzuziehen? Allgemeines Zählrpinzip: Beispiel 2.2 Willi hat ein weiteres Hemd gekauft und zieht auch die Möglichkeit in betracht, barfuss auszugehen. Wie viele Möglichkeiten hat er nun, sich anzuziehen? Beispiel 2.3 In einem Finallauf sind 8 Läufer an Start. 1. Wie viele Möglichkeiten des Zieleinlaufens gibt es? 2. Wie viele Möglichkeiten der Medaillenvergabe gibt es? Beispiel 2.4 In wie viele verschiedene Reihenfolgen kann die Klasse U1a das Zimmer verlassen (immer einer nach dem andern) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lea die Erste ist? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lea die Letzte ist? 6

10 2.3 Urnenmodelle Beispiel 2.5 Aus einer Urne mit 3 blauen und 4 grünen Kugeln wird mehrmals eine Kugel gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,... nach 3maligem Ziehen 2 grüne Kugeln gezogen haben. Wir betrachten den Fall ohne Zurücklegen: 7

11 Aufgaben : Formuliert eine eigene Aufgabe: Pause 8

12 2.4 Anordnungen Beispiel 2.6 Bei einem Pferderennen laufen sechs Pferde. Wie viele verschiedene Möglichkeiten des Einlaufens der sechs Pferde gibt es? Beispiel 2.7 Auf wieviele Arten können alle fünf verschiedene Kugeln aus einer Urne ohne zurücklegen gezogen werden? Wir haben hier ein klassisches Anordnungsproblem,... Beispiel 2.8 Bei einem F1 Rennen mit 22 Autos bleibt beim Start schon ein Auto liegen. In der ersten Kurve fliegen zwei raus und im Laufe des gesamten Rennens verliert ein Auto ein Rad, bei einem weiteren explodiert der Motor und einem Auto geht das Benzin in der letzten Rund aus. Der Rest kommt ins Ziel. 1. Wie viele Möglichkeiten des Zieleinlaufens gibt es? 2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit erster zu werden? 3. Wie viele Möglichkeiten gibt es das Siegerpodest zu füllen? 4. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit auf das Siegerpodest zu gelangen? 9

13 Eine neue Situation taucht im Falle von Wiederholungen auf: Beispiel 2.9 Auf wie viele unterschiedliche Arten lassen sich Buchstaben von OTTO anordnen? Beispiel 2.10 Auf wie viele unterschiedliche Arten lassen sich Buchstaben von OTTo anordnen? Beispiel 2.11 Auf wie viele unterschiedliche Arten lassen sich Buchstaben von OtTo anordnen? Beispiel 2.12 Auf wie viele Möglichkeiten können wir die Buchstaben a, a, a, b, b, c zu einem Wort der Länge 6 anordnen? Wir können auch für diese Situation ein Formel aufstellen: 10

14 2.5 Auswählen Beispiel Personen wollen auf ein Boot steigen, welches für nur 5 Personen Platz hat. Wie viele Möglichkeiten der Auswahl haben wir, um das Boot zu füllen? Wir haben hier ein klassisches Auswahlproblem ohne Wiederholungen und wo die Reihenfolge unwesentlich ist, das sich mit der Bestimmung der Anzahl Kombinationen lösen lässt: 11

15 Beispiel 2.14 Einer Warenlieferung von 12 Glühbirnen soll zu Kontrollzwecken eine Stichprobe von 3 Glühbirnen entnommen werden. Wie viele verschiedene Stichproben können genommen werden? Beispiel 2.15 Aus eurer Schulklasse von 27 Schülern soll eine Abordnung von 5 Schülern in die Bäckerei geschickt werden, um... Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden? Beispiel 2.16 Für das Elfmeterschiessen muss der Trainer 5 der 11 Spieler auf dem Platz benennen. Wie viele Möglichkeiten hat er bei der Bestimmung der Kandidaten? bei der Bestimmung der Reihenfolge der Schützen, nachdem die Kandidaten gewählt wurden? Beispiel 2.17 In einem Regal stehen fünf französische, sieben spanische und elf englische Bücher. Auf wie viele Arten lassen sich drei Bücher in verschiedenen Sprachen auswählen? Mittagspause 12

16 3 Lotto 6 aus 49 13

17 4 Poker 14

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