Abb. 1: Konstruktionsfolge
|
|
- Frauke Weber
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Hans Walser, [ ] DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 1 Worum geht es? Die klassische Konstruktion eines Rechtecks im DIN-Format (Walser 2013b) wird iteriert und führt zum gleichseitigen Dreieck. Umgekehrt kommen wir vom Goldenen Schnitt (Walser 2013a) zum DIN-Format. 2 Die Konstruktion Die Abbildung 1 zeigt eine Konstruktionsfolge. a) b) c) d) Abb. 1: Konstruktionsfolge
2 Hans Walser: DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 2 / 7 Die Abbildung 1a zeigt die klassische Konstruktion eines Rechteckes im DIN-Format auf der Basis eines Quadrates. Das DIN-Rechteck (hellblau) setzt sich aus dem Quadrat und dem rechts anschließenden stehenden Rechteck zusammen. In den folgenden Abbildungen wird die Konstruktion weitergeführt. Wir vermuten, dass sich ein konstanter Zuwachs ergibt. Die Abbildung 2 zeigt die Situation nach einigen weiteren Schritten. Wir vermuten, dass das eingezeichnete magenta Dreieck annähernd gleichseitig ist. Abb. 2: Einige weitere Schritte 3 Rekursion Wir wählen die Höhe der Rechtecke 1 und verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 3. 1 a n a n+1 Abb. 3: Daten und Bezeichnungen Daraus ergibt sich die Rekursion: a n+1 = a n 2 +1 an (1)
3 Hans Walser: DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 3 / 7 Mit dem Startwert a 0 = 1 ergeben sich die ersten Werte der Tabelle Tab. 1: Die ersten Werte Die Folge geht auf und ab, was wir auch in den Abbildungen 1 und 2 sehen. Wir vermuten einen Grenzwert. 4 Berechnung des Grenzwertes Wir setzen in (1) die Variable α für a n+1 und a n ein und lösen nach α auf: α = α 2 +1 α 2α = α α 2 = α α 2 = 1 (2) Wir erhalten schließlich die positive Lösung: α = lim a n = (3) n 3 Damit ist auch die Vermutung über das annähernd gleichseitige Dreieck (Abb. 2) bewiesen.
4 Hans Walser: DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 4 / 7 5 Variante: Goldener Schnitt 5.1 Konstruktion Die Abbildung 4 zeigt die entsprechende Konstruktion für das Goldene Rechteck mit den Folgekonstruktionen. a) b) c) Abb. 4: Goldenes Rechteck und Folgekonstruktionen Die Abbildung 5 zeigt einige weitere Konstruktionsschritte. Abb. 5: Weitere Konstruktionsschritte
5 Hans Walser: DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 5 / 7 Wir wagen kaum zu vermuten, dass das hellblau eingezeichnete Rechteck näherungsweise im DIN-Format ist. 5.2 Rekursion und Grenzwert Mit einer analogen Bezeichnung wie bei Abbildung 3 ergibt sich die Rekursion: a n+1 = a ( n 2 ) 2 +1 a n 2 (4) Die Tabelle 2 zeigt die ersten Werte für den Startwert a 0 = Tab. 2: Die ersten Werte Zur Berechnung des Grenzwertes lösen wir die Gleichung: α = α ( 2 ) α (5) Wir erhalten: α = lim n a n = (6)
6 Hans Walser: DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 6 / 7 Damit ist auch die Vermutung über das DIN-Format des letzten Rechteckes bewiesen. 6 Allgemein Wir unterteilen die Rechteckbasen von rechts her mit dem Anteil p (Abb. 6 für p = 2 3 ). Dies gibt das Zentrum des Kreisbogens. p p p p p p Abb. 6: Allgemein Für die Rekursion gilt: a n+1 = ( pa n ) 2 +1 pa n (7) Für den Grenzwert erhalten wir: lim a n = 1 n 1+2 p (8)
7 Hans Walser: DIN-Format, Goldener Schnitt und gleichseitiges Dreieck 7 / 7 Literatur Walser, H. (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN Walser, H. (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck Goldenes Trapez DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN
n x n y n Tab.1: Zwei Beispiele
Hans Walser, [0404] Konvergente Fibonacci-Folgen Worum geht es? Die klassische Fibonacci-Folge,,,, 5, 8,,,... ist divergent. Wir untersuchen Beispiele von konvergenten Folgen mit der Rekursion: a n = pa
MehrIn der Schule lernen wir den Satz des Pythagoras: Die Flächensumme der beiden blauen Quadrate ist gleich der Fläche des schwarzen Quadrates:
Hans Walser, [06045] Pythagoras-Schmetterling Das Phänomen Wir beginnen mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck und zeichnen die übliche Pythagoras-Figur. Dann fügen wir zwei weitere Quadrate an (rot
MehrAbb. 2: Grafische Lösung
Hans Walser, [20170320] Prozentuale Veränderungen Anregung: A. B., F. 1 Worum geht es? Ausgehend von einer Prozent-Aufgabe werden Probleme mit prozentualen Veränderungen besprochen. 2 Die Aufgabe Die Aufgabe
Mehr, T 4 = = 1, T 2 = , T 3 T 1 (1) 3 Determinanten Die Tabelle 1 zeigt die ersten Determinanten der Matrizen T n
Hans Walser, [20181104] Hinkende Parität 1 Worum geht es? Es wird ein Beispiel mit hinkender Symmetrie besprochen. Auflistung von Daten. Der Hintergrund ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge und
Mehra) b) Abb. 1: Rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck und Wurzel-2-Dreieck
Hans Walser, [09030] Wurzel--Dreieck Anregung: Horst Steibl, Braunschweig Worum geht es? Das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck (Abb. a) hat das Seitenverhältnis ::. Wir vertauschen nun die beiden Längen
Mehr2.1 Radienverhältnis 2 1 In diesem Fall berühren sich die grünen Kreise untereinander (Abb. 2). Der rote Radius ist 2 1, der grüne Radius 1.
Hans Walser, [20170526] Kreispackungen Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen. Siehe auch (Strick 2017, S. 269f). 1 Ausgangslage Wir arbeiten mit zwei Kreisscharen (Abb. 1). Abb. 1: Zwei Kreisscharen
Mehra) b) Abb. 2: Verkleinertes Fünfeck
Hans Walser, [20170828], [20181120] Halbregulärer Pflasterstein Anregungen: Heinz Klaus Strick, Leverkusen; Boris Odehnal, Wien 1 Worum geht es? Mit dem regelmäßigen Fünfeck lässt sich die Ebene nicht
MehrHans Walser, [ a] Pentagramma mirificum Anregung: [Heinrich 2010]
Hans Walser, [011019a] Pentagramma mirificum Anregung: [Heinrich 010] 1 Worum es geht Ein Pentagramma mirificum ist ein sphärisches Pentagramm mit rechten Winkeln an den Spitzen. Die Abbildung zeigt ein
Mehra) b) Abb. 1: Würfel und Kantenmittenkugel
Hans Walser, [0180511] Drachenkörper Anregung: Werner Blum, Braunschweig 1 Worum es geht Ausgehend vom Würfel werden mit der immer gleichen Technik zuerst das Rhombendodekaeder und anschließend der Deltoidvierundzwanzigflächner
MehrModul 206 Regelmäßige Vielecke!
Modul 206 Regelmäßige Vielecke! Regelmäßige Vielecke In- und Umkreise Gleichseitiges Dreieck h = 3 2 s s h r r s r = 2 3 h = 3 3 s ρ = 1 3 h = 3 6 s s A = 3 4 s2 Gleichseitiges Dreieck Gleichseitiges Dreieck
Mehrb a B A c Abb. 1: Trisektrix
Hans Walser, [2030620] Gleichschenklige Trisektrix-Dreiecke usarbeitung einer Idee von H. M.-S., V. Trisektrix von MacLaurin Die beiden Dreieckspunkte und seien fest vorgegeben. Der dritte Dreieckspunkt
MehrHans Walser, [ a], [ ] Fibonacci und Pascal
Hans Walser, [0022a], [0303] Fibonacci und Pascal Worum geht es? Bekanntlich führen die Schrägzeilensummen im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten zu den Fibonacci-Zahlen. Es wird untersucht, was bei
Mehr( a + b) 1 = 1a +1b. ( a + b) 2 = 1a 2 + 2ab +1b 2 ( a + b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1b 3 ( a + b) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 +1b 4 (1)
Hans Walser, [218927] Binomialkoeffizienten 1 Worum geht es? Die Binomialkoeffizienten werden ins Negative fortgesetzt. 2 Was man in der Schule lernt Wir expandieren die Potenzen des Binoms (a + b): (
MehrAbb. 1: Kiepert-Hyperbel
Hans Walser, [20150124] Kiepert-Hyperbel 1 Die Kiepert-Hyperbel Der Kegelschnitt durch die drei Eckpunkte eines Dreieckes sowie dessen Schwerpunkt und Höhenschnittpunt ist immer eine gleichseitige Hyperbel
MehrHans Walser Schnittpunkte
Hans Walser Schnittpunkte 501-600 Die Bildsequenzen sind als Bilder ohne Worte konzipiert. Farbreihenfolge: Dunkelgrün, blau, rot. Nach Bedarf werden auch andere Farben verwendet. Die drei kleinen Bilder
Mehrs 1 Wir wählen den Punkt A 0 auf s 0 und ergänzen zum Parallelogramm A 0 B 2 A 1 S gemäß Abbildung 2. Abb. 1: Schwerlinien vorgegeben
Hans Walser, [20150129] Kopunktale Geraden 1 Worum geht es? In der Schule lernt man, dass sich die drei Schwerlinien eines Dreieckes in einem Punkt schneiden, dem Schwerpunkt. Wir fragen nun umgekehrt:
MehrPythagoreische Rechtecke Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fall Startdreieck
Hans Walser, [20040416a] Pythagoreische Rechtecke 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fall Wir starten mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck in der üblichen Beschriftung. Startdreieck
MehrNun fügen wir auf beiden Seiten des gleichseitigen Dreieckes je ein gleichschenkliges Dreieck an (Abb. 2).
Hans Walser, [20160521] Gigampfi 0 Worum geht es? Es werden zwei Gigampfi-Probleme mit invarianten Winkeln vorgestellt. 1 Beispiel 1 1.1 Das Problem An der Spitze eines gleichseitigen Dreiecks bringen
MehrDie Trapeze sind offensichtlich gleichschenklig und haben die Basiswinkel 60. Sind sie auch ähnlich?
Hans Walser, [20090625c] Fibonacci-Trapeze Anregung: [Deshpande 2009] 1 Hexagon mit angesetzten Quadraten 1.1 Basisfigur Wir basieren unsere Überlegungen auf folgender Figur. Einem zentralen Hexagon werden
Mehr( 2 ) 2 π 1 4 π = 1 2 = A Dreieck
Hans Walser, [20130407] Die Möndchen von Hörhausen Ausarbeitung einer Idee von R. L. 1 Das Möndchen Der Hypotenuse eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks setzen wir gemäß Abbildung 1 ein Möndchen
MehrHans Walser Schnittpunkte
Hans Walser Schnittpunkte 301-400 Die Bildsequenzen sind im Sinne einer minimal art als Bilder ohne Worte konzipiert. Dabei wurde folgende grafische Systematik verwendet: Ausgangspunkt Folgepunkt Schnittpunkt
MehrReuleaux-Zweiecke Arbeitskreis Geometrie der GDM September 2016 Saarbrücken
Hans Walser Reuleaux-Zweiecke Arbeitskreis Geometrie der GDM 9. - 11. September 2016 Saarbrücken Zusammenfassung: Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat
Mehr1 Worum es geht Wir konstruieren den Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie viele Arten dies möglich ist.
Hans Walser, [20120401] Schwerpunkte nach Archimedes 1 Worum es geht Wir konstruieren den Eckenschwerpunkt eines Vieleckes nach den Hebelgesetzen. Die Frage ist, auf wie viele Arten dies möglich ist. 2
Mehr1 Worum geht es? Aus vier stumpfen Rhombenhexaedern mit dem Diagonalenverhältnis Rhombendodekaeder zusammenbauen.
Hans Walser, [20110313b], [20131230g] Andocken Anregung: A. G., R. 1 Worum geht es? Aus vier stumpfen Rhombenhexaedern mit dem Diagonalenverhältnis Rhombendodekaeder zusammenbauen. 2 lässt sich das Rhombendodekaeder.
MehrHans Walser Schnittpunkte 701 -
Hans Walser Schnittpunkte 701 - Die Bildsequenzen sind als Bilder ohne Worte konzipiert. Farbreihenfolge: Dunkelgrün, blau, orange, rot. Nach Bedarf werden auch andere Farben verwendet. Die drei kleinen
Mehra) b) Abb. 1: Abgeschrägtes Dodekaeder
Han Waler, [018066] Abgechrägte Dodekaeder Idee und Anregung: Frank Heinrich, Braunchweig 1 Worum geht e? Da abgechrägte Dodekaeder (Abb. 1) it ein archimedicher Körer mit 1 regelmäßigen Fünfecken und
MehrHans Walser. Das DIN-Format. Forum für Begabtenförderung 21. bis 23. März 2013, Universität Würzburg
Hans Walser Das DIN-Format Zusammenfassung Forum für Begabtenförderung. bis. März 0, Universität Würzburg Das DIN-Format ist mehr als ein Stück Papier und die Quadratwurzel aus Zwei. Wir treffen auf Spiralen,
MehrDer Goldene Schnitt! Hans Walser!
Der Goldene Schnitt Hans Walser www.walser-h-m.ch/hans Der Goldene Schnitt Schönheit? Natur Geschichte Geometrie Zahlen Hans Walser www.walser-h-m.ch/hans Der Goldene Schnitt Was steckt hinter den Sternen?
Mehr1 Ansetzen oder abschneiden Einem DIN-Rechteck setzen wir an der Schmalseite ein Quadrat an oder schneiden ein Quadrat ab. Ansetzen oder abschneiden
Hans Walser, [010706] Das FIN-Rechteck 1 Ansetzen oder abschneiden Einem DIN-Rechteck setzen wir an der Schmalseite ein Quadrat an oder schneiden ein Quadrat ab. Ansetzen oder abschneiden ( ) :1, im (
Mehr1.1 Sonderfall Quadrat Wir halbieren die Seiten eines Quadrates und verbinden gemäß Abbildung 1. Abb. 1: Unterteilung eines Quadrates
Hans Walser, [20111220a] Rechtecksunterteilung Anregung: F. E., V. Ein Rechteck wird in dazu ähnliche Rechtecke unterteilt. Neben dem Quadrat gibt das DIN-Rechteck einige schöne Beispiele her. Auch die
MehrDas ist nicht besonders spannend. Wir ändern daher die Regeln für den Turm leicht ab.
Hans Walser, [20150101] Schachbrett-Geometrie 1 Worum es geht Auf dem Schachbrett wird eine Metrik definiert, die sich an den Bewegungen von Schachfiguren orientiert. Für eine bestimmte Schachfigur ist
MehrHans Walser. Das DIN-Format
Hans Walser Das DIN-Format Kolloquium über Mathematik, Informatik und Unterricht Donnerstag, 0. November 04, 7:5 Uhr ETH Zürich, Hörsaal HG G Zusammenfassung Das DIN-Format ist mehr als ein Stück Papier
MehrHans Walser, [ a] Fibonacci trifft Pythagoras Anregung: I. Y.
Hns Wlser, [0100514] Fiboncci trifft Pythgors Anregung: I. Y. 1 Worum geht es? Mit den Fiboncci-Zhlen werden pythgoreische Dreiecke konstruiert, die im Limes zu den Fiboncci-Zhlen zurückführen. Als Nebenresultt
MehrMathematik für die Sekundarstufe 1
Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 407 Der Goldene Schnitt Lernumgebung Hans Walser: Modul 407, Der Goldene Schnitt. Lernumgebung ii Inhalt 1 Streifen-Pentagramm... 1 2 Näherungskonstruktionen
MehrRechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 1 Worum geht es? 2 Zerlegungen des rechtwinkligen Dreiecks Abb. 1: Startdreieck
Hans Walser Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung Worum geht es? Durch iterierte Zerlegung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe kommen wir zu den Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung.
MehrFarbenmauer. Zuunterst haben wir einfarbige Steine, gegen oben werden sie immer mehr zu Trikoloren. Stimmt das mit der Trikolore?
Hans Walser, [0007] Dritteln durch Halbieren Anregungen: B. J., B. und J. W., R. Es werden verschiedene Beispiele vorgestellt, bei denen wir durch fortgesetztes Halbieren zu Dritteln kommen. Farbenmauer
MehrHans Walser. Puzzles. Tag der Mathematik. Do, 4. Februar 2016, Graz. Technische Universität Graz. Hörsaal HS P2 (Petersgasse 16),
Hans Walser Puzzles Tag der Mathematik Do, 4. Februar 2016, Graz Technische Universität Graz Hörsaal HS P2 (Petersgasse 16), 15.40-16.40 Uhr Zusammenfassung Es kommen verschiedene Aspekte der Zerlegungsgleichheit
MehrDie Bildsequenzen sind im Sinne einer minimal art als Bilder ohne Worte konzipiert. Dabei wurde folgende grafische Systematik verwendet:
Hans Walser Schnittpunkte 201-300 Die Bildsequenzen sind im Sinne einer minimal art als Bilder ohne Worte konzipiert. Dabei wurde folgende grafische Systematik verwendet: Ausgangspunkt Folgepunkt Schnittpunkt
MehrHans Walser. Die allgemeine Fibonacci-Folge
Hans Walser Die allgemeine Fibonacci-Folge Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge ii Inhalt Die Rekursion... Heuristischer Hintergrund... 3 Formel von Binet... 4 Übersicht... 5 Sonderfälle...3 6 Beispiele...3
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2) treten in vielen Algorithmen auf: Eine Rekursion ist eine Folge von Zahlen a 0, a 1, a 2,.., bei der jedes a n aus seinen Vorgängern berechnet wird: Beispiele a n =
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2010/2011 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2010/2011 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN 1. a) L = {1} oder x = 1, denn: x + 2 = 3 b) L = {... ; 7, 6, 2, 3,...}, denn: x + 2 > 3 oder x + 2 < 3 x > 1 oder x < 5 c) L = { 4;
Mehra) b) Abb. 1: Die klassische Aufgabe a) b) Abb. 2: Umkehrung
Hans Walser, [20180528] Sehwinkel bei Kegelschnitten Anregung: N. Th.-Sch., V. 1 Wie das Problem entstand Eine klassische Aufgabe im Abiturtraining geht so: Gegeben sind eine Punkt und eine Parabel (Abb.
Mehr1 Worum es geht Jacob Bernoulli stellte die Frage um den Grenzwert von [Downey / Ong / Sellers]: +! = 1
Hans Walser, [0087a] Das Basler Problem Anregung: P. B., L. und M. G., S. G. Worum es geht Jacob Bernoulli stellte die Frage um den Grenzwert von [Downey / Ong / Sellers]: S = + + + +! = 4 k Bernoulli
MehrAbb. 0: Arbeitsvorlage
Hans Walser Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung Worum geht es? Durch iterierte Zerlegung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe kommen wir zu den Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung.
MehrKarolinen Gymnasium 9 A P4 Daniela Reinecke eigenverantwortlich 4. Std. (10.40 Uhr),
Karolinen Gymnasium 9 A P4 Daniela Reinecke eigenverantwortlich 4. Std. (10.40 Uhr), 12.01.11 Thema: Der Satz des Pythagoras (Einführung) Lernziele Groblernziel Die Schülerinnen und Schüler entdecken anhand
MehrVorbereitung auf die Gymiprüfung 2017 im Kanton Zürich. Mathematik. Sekundarschule, Teil 2. Übungsheft
Vorbereitung auf die Gymiprüfung 2017 im Kanton Zürich Mathematik Sekundarschule, Teil 2 Übungsheft Lektion 7 Konstruktionen 1 Lektion 7 Konstruktionen 1 1. Konstruiere ein Dreieck mit folgenden ngaben:
MehrHans Walser, [ ] Flächengleiche Rechtecke
Hans Walser, [20130529] Flächengleiche Rechtecke 1 Worum es geht Flächengleiche Rechtecke und Parallelogramme sind zerlegungsgleich. Es werden einige Beispiele zum Auffinden der Zerlegungsgleichheit diskutiert.
MehrDer Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras Das rechtwinklige Dreieck Jedes rechtwinklige Dreieck besitzt eine Hypotenuse (c), das ist die längste Seite des Dreiecks (bzw. diejenige gegenüber dem rechten Winkel). Die anderen
MehrDer Goldene Schnitt! Hans Walser!
Der Goldene Schnitt Hans Walser www.walser-h-m.ch/hans 1 Der Goldene Schnitt Wo steckt der Goldene Schnitt? 2 Der Goldene Schnitt 3 Der Goldene Schnitt Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.) 4 Der Goldene
MehrMW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase
MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase. Februar 0 MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase Hinweis: Von jeder Schülerin bzw. jedem Schüler werden fünf Aufgaben gewertet. Werden mehr als fünf
MehrBezeichnung: F F Jede Kongruenzabbildung lässt sich durch Hintereinander Ausführen von höchstens drei Geradenspiegelungen darstellen
3 6. Ähnlichkeitsabbildungen Bilde eine Figur durch Hintereinander Ausführen von Kongruenzabbildungen (Geradenspiegelungen, Drehungen, Translationen, Punktspiegelungen) und zentrischen Streckungen in eine
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 02 Funktionen, Folgen, Grenzwerte Lernumgebung Teil 2 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte. Lernumgebung, Teil 2 ii Modul 02 für die
MehrParameter: Die beiden Diagonalenlängen Modell: Heidelberger Kreuz 2.2 Seiteneigenschaft Viereck mit vier gleich langen Seiten (Abb. 2).
Hans Walser, [20170723a] Rhomben im Raster 1 Worum geht es Wir zeichnen Rhomben im Quadratraster und im Dreiecksraster. Dabei treffen wir auch auf einen grafischen Zugang zu den Formeln der pythagoreischen
MehrAbb. 1: a = 3, b =1. Abb.2: a = 4, b = 2
Hans Walser, [20190120] Raster-Rechtecke Anregung: B. W., K. 1 Worum geht es Im Quadratraster werden ein rotes und ein blaues a b-raster-rechteck so ausgelegt dass sie mindestens ein Rasterquadrat gemeinsam
Mehr[ ] (1) ( ) ( ) ( ) π 2, π 2 ( )
Hans Walser, [20170718] Kosinusspindel Indirekte Anregung: F. H., B. 1 Worum geht es? Rotationsfläche mit einer Kosinuskurve als Meridian. 2 Parameterdarstellungen 2.1 Einheitskugel Wir gehen aus von der
MehrHans Walser, [ a] Eine Figur mit acht plus einem Kreis Anregungen: E. Chr. W. und P. G.
Hans Walser, [20090928a] Eine Figur mit acht plus einem Kreis Anregungen: E. Chr. W. und P. G. 1 Worum geht es? In der ebenen Geometrie scheinen sich Quadrat und regelmäßiges Dreieck zu beißen. Es ist
MehrHans Walser Rhombenkörper
Hans Walser Rhombenkörper Braunschweig, 8. Mai 2018 Zusammenfassung: Wir besprechen konvexe Körper, welche von kongruenten Rhomben begrenzt sind. Mit einigen von ihnen lässt sich der Raum lückenlos und
MehrModell der Minimalfläche im Oktaeder Anregung: [Limperg 2011] sowie eine private Mitteilung von G. L., W.
Hans Walser, [011087b], [0150110] Modell der Minimalfläche im Oktaeder Anregung: [Limperg 011] sowie eine private Mitteilung von G. L., W. 1 Worum geht es? Wir tauchen ein Kantenmodell eines Oktaeders
MehrAbb. 1: Oberwinterthur. Abb. 2: Korrektes und falsches Gleisbild
Hans Walser, [06006] Zentralperspektive Worum geht es? Wir bearbeiten einen Aspekt der Zentralperspektive am klassischen Beispiel des Eisenbahngeleises. Abb. : Oberwinterthur Bei der Zentralperspektive
MehrVERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK
VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK KLAUSUR 1, 8.12.2015 (1) Verwandle die folgenden Zahlen in Keilschrift bzw. in unsere Schreibweise: a) 14 b) 30 c) 100 d) 1 2 e) 1 1 3 (2) a) Begründe, warum für kleine x die
MehrSchrägbilder von Körpern Quader
Schrägbilder von Körpern Quader Vervollständige die Zeichnung jeweils zum Schrägbild eines Quaders. Bezeichne die für die Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts notwendigen Seiten und bestimme
MehrWinkelteilung 1 Worum geht es? 2 Mit Zirkel und Lineal 3 Winkeldrittelung 3.1 Konstruktion einer Kurve
Hans Walser, [208084] Winkelteilung Anregung: Jo Niemeyer, Berlin Worum geht es? Es wird eine Methode besprochen, einen Winkel in eine ungerade Anzahl gleicher Teile zu unterteilen. 2 Mit Zirkel und Lineal
Mehra) b) Abb. 1: Schiefer Drachen
Hans Walser, [20161123] Viereck-Viertelung Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen 1 Problemstellung Welche Vierecke lassen sich von einem inneren Punkt aus mit geraden Verbindungen zu den vier Ecken
MehrGeschichte der Mathematik
Hans Walser Geschichte der Mathematik Der Goldene Schnitt Lernumgebung Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Lernumgebung ii Inhalt 1 Steifen-Pentagramm...1 2 Näherungskonstruktionen für das regelmäßige Fünfeck...1
MehrHans Walser, Studie [ a] Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon
Hans Walser, Studie [20040320a] Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon 1 Spielregeln 1.1 Gleichschenklige Dreiecke Regelmäßiges Zwölfeck Das regelmäßige Zwölfeck soll in gleichschenklige
MehrHans Walser Schnittpunkte
Hans Walser Schnittpunkte 101-200 Die Bildsequenzen sind im Sinne einer minimal art als Bilder ohne Worte konzipiert. Dabei wurde folgende grafische Systematik verwendet: Ausgangspunkt Folgepunkt Schnittpunkt
MehrArbeitsblätter zur Arbeit mit GEOGEBRA in Klasse 6
Arbeitsblätter zur Arbeit mit GEOGEBRA in Klasse 6 Die folgenden Arbeitsblätter sind für die Arbeit im Mathematikunterricht Klasse 6 bestimmt. Sie kommen im Verlauf von Lernbereich 3 Dreiecke und Vierecke
MehrHans Walser Arbeitskreis Geometrie Herbsttagung September 2012, Saarbrücken Tagungsthema: Begriffsbilden im Geometrieunterricht
Hans Walser Arbeitskreis Geometrie Herbsttagung 14. 16. September 2012, Saarbrücken Tagungsthema: Begriffsbilden im Geometrieunterricht Vergessene Vierecke Zusammenfassung Es werden drei Vierecke vorgestellt,
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MehrDas DIN-Format. Hans Walser. Lehrerinnen- und Lehrertag. Basel, Mittwoch, 11. Februar 2015. Zusammenfassung
Hans Walser Das DIN-Format Zusammenfassung Lehrerinnen- und Lehrertag Basel, Mittwoch,. Februar 05 Das DIN-Format ist mehr als ein Stück Papier und die Quadratwurzel aus Zwei. Wir treffen auf Spiralen,
Mehra) b) Abb. 1: Die beiden Quadrate
Hans Walser, [20180119] Alexander der Große und Pythagoras Anregung: Chr. S., H. 1 Worum geht es? Aus 4 Einzelquadraten können wir ein 2 2 -Quadrat zusammenfügen (Abb. 1a) und analog aus 9 Einzelquadraten
MehrDer Goldene Schnitt! Hans Walser!
Der Goldene Schnitt! Hans Walser! www.walser-h-m.ch/hans! 1! Drohne:!! Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?! 1 1 2! Eine männliche Biene (Drohne)! hat nur eine Mutter (Königin)!! Unbefruchtetes Ei!
MehrRadizieren mit dem Heron-Verfahren
Mathematik mit Python und OpenOffice Calc Radizieren mit dem Heron-Verfahren Matthias Richter. März 011 1 Idee Das Heron-Verfahren ist ein Algorithmus um die Quadratwurzel einer Zahl x R näherungsweise
MehrReuleaux-Dreieck, Tetraeder und Seifenblasen Das Reuleaux-Dreieck kann durch geeignete Projektionen aus dem Tetraeder hergeleitet werden.
Hans Walser, [20120513] Reuleaux-Dreieck, Tetraeder und Seifenblasen Das Reuleaux-Dreieck kann durch geeignete Projektionen aus dem Tetraeder hergeleitet werden. 1 Das Reuleaux-Dreieck Die Abbildung 1
MehrHans Walser. Puzzle. SLA-Tagung. 15. November 2014, Bern
Hans Walser Puzzle SLA-Tagung 5. November 204, Bern Zusammenfassung Es kommen verschiedene Aspekte der Zerlegungsgleichheit zur Sprache: Varianten zu Pythagoras, Gegensatz von Methode und Kreativität,
MehrHans Walser, [ a] Dreiecksunterteilung Anregung: I. L., B.
Hans Walser, [00075a] Dreiecksunterteilung Anregung: I. L., B. Worum geht es? Wir unterteilen die drei Seiten eines Dreieckes in den Verhältnissen : und :, zeichnen die sechs zugehörigen Ecktransversalen
Mehr6. Ähnlichkeitsabbildungen
3 6. Ähnlichkeitsabbildungen Ein gegebenes Vieleck ABCDE ist durch Hintereinanderausführen von Kongruenzabbildungen (Geradenspiegelungen, Drehungen, Translationen, Punktspiegelungen) und zentrischen Streckungen
Mehr4 Die Fibonacci-Zahlen
4 Die Fibonacci-Zahlen 4.1 Fibonacci-Zahlen und goldener Schnitt Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch die Anfangsvorgaben F 0 = 0, F 1 = 1, sowie durch die Rekursion F n+1 = F n + F n 1 für alle
Mehr( ) werden einerseits wie üblich mit einer festen Zahl moduliert,
Hans Walser, [20100612a] Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 1 Worum geht es? n Die Binomialkoeffizienten k ( ) werden einerseits wie üblich mit einer festen Zahl moduliert, andererseits aber auch mit
MehrHans Walser, [ a] Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung Anregung: D. M. und M. P.
Hans Walser, [007067a] Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung Anregung: D. M. und M. P. Problemstellung Wir lösen die Gleichung: x px + q = 0 Die Gleichung ist in einer in den Schulen unüblichen
MehrAbb. 1: Zahlendreieck. Abb. 2: Zeile dreimal addieren
Hans Walser, [205002] Trinomialkoeffizienten Worum geht es Es wird eine Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks der Binomialkoeffizienten besprochen. 2 Das Dreieck Die Abbildung zeigt das Zahlendreieck.
MehrDER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ
DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlänge a, b und der Hypotenusenlänge c gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: c 2 = a 2 + b 2 oder c = a 2 + b 2 1) Von einem
MehrDie alternierende Seitenquadratsumme ist null. Es wird versucht, diesen Sachverhalt auf verschiedene Weisen zu illustrieren. a 2 b 2 + c 2 d 2 = 0 (1)
Hans Walser, [20160615] Orthodiagonale Vierecke Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen 1 Worum geht es Orthodiagonale Vierecke haben orthogonale Diagonalen. In der üblichen Bezeichnung (Abb. 2) können
MehrDie Abbildung 2 zeigt die Anordnung in einer Pyramide. Die Seitenflächen der Pyramide haben gegenüber der Grundfläche einen Neigungswinkel 45.
Hans Walser, [20180201] Mehrfarbige Packungen 1 Worum geht es? Die gängigen räumlichen Packungen werden bezüglich der Minimalzahl der benötigten Farben untersucht. Wenn zwei Füller-Elemente eine Fläche
Mehr3e 1. Schularbeit/ A
3e 1. Schularbeit/ A 27.10.1997 1) Löse folgende Gleichung: 5 + 4 x = 7 ( 4 P ) 10 2) Berechne und kürze das Ergebnis so weit es geht: 2 1 11 : 3 3 + 1 1 * 2 2 = ( 9 P ) 16 12 4 24 15 3 a) Konstruiere
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2014/2015 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 04/05 DES LANDES HESSEN. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A. L = { 5} oder x = 5, denn x 5 = 0 oder x 5 = 0 x = 5 oder x = 5 x = 5 oder x = 5 L = {... ; ; ; 0; 4; 5;...}, denn x 5 >
Mehralte Maturaufgaben zu Folgen+Reihen
Folgen+Reihen 01.0.013 alte Maturaufgaben 1 alte Maturaufgaben zu Folgen+Reihen 1 006/007 1. (5 P.) In ein Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben, in dieses wiederum
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A b) Strecken Sie das Dreieck ABC (Streckfaktor: -1/ Streckzentrum Z) (3 Punkte)
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2013 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MehrII. BUCH VIERECKE. 3. Vierecke ACHT-PUNKTE VECTEN-VIERECKE SENKRECHTEN DIAGONALEN:
II. BUCH VIERECKE 3. Vierecke SENKRECHTEN DIAGONALEN: ACHT-PUNKTE VECTEN-VIERECKE >>Der Acht-Punkte-Kreis
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2015/2016 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2015/2016 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A 1. a) L = { 5; 0; 5}, denn x = 0 oder x 5 = 0 oder x 3 + 125 = 0 x = 0 oder x = 5 oder x 3 = 125 x = 0 oder x = 5 oder
MehrFormeln für Formen 4. Flächeninhalt. 301 Berechne die Höhe h von einem Rechteck, einem Parallelogramm und einem Dreieck, die jeweils den Flächeninhalt
1 7 Flächeninhalt 301 Berechne die Höhe h von einem Rechteck, einem Parallelogramm und einem Dreieck, die jeweils den Flächeninhalt A = cm 2 und die Grundlinie a = 4 cm haben. Rechteck: h = 2,5 cm Parallelogramm:
MehrHans Walser Kantenmodelle Kantenmodelle der platonischen Körper.
Hans Walser Kantenmodelle Kantenmodelle der platonischen Körper. Würfelmodell 1 Würfelmodell 1.1 Bauteil Wir bauen ein Kantenmodell mit einem Bauteil pro Kante, insgesamt also 12 Bauteilen. In der folgenden
MehrWir zeigen, dass zu einem gegebenen Dreieck alle Delta-Kurven denselben Umfang haben.
Hans Walser, [20160201] Delta-Kurven-Umfang Anregung: Renato Pandi 1 Worum geht es Delta-Kurven sind geschlossene Kurven, welche in einem gleichseitigen Dreieck bei Drehungen einen Zwangslauf machen, indem
MehrUnterrichtsreihe zur Parabel
Unterrichtsreihe zur Parabel Übersicht: 1. Einstieg: Satellitenschüssel. Konstruktion einer Parabel mit Leitgerade und Brennpunkt 3. Beschreibung dieser Punktmenge 4. Konstruktion von Tangenten 5. Beweis
MehrHans Walser DIN
Hans Walser DIN 476 www.walser-h-m.ch/hans www.walser-h-m.ch/hans/vortraege/20180613 Werbung ISBN 978-3-937219-69-1 Leipzig: EdiLon am Gutenbergplatz, 2013 Seitenverhältnis DIN A4 Seitenverhältnis DIN
MehrAbb. 1: Aus Rechtecken zusammengesetzte Spirale. Bauteile
Hans Walser Folgen sehen Publiziert in: Mathematik Lehren. Heft 96, Oktober 1999. S. 47-50 Kurzfassung Figurenfolgen entstehen entweder aufbauend durch schrittweises Ansetzen einer einfachen Grundfigur
MehrFlächenverwandlung von Rechtecken
Durch die Hintereinanderausführung zweier Scherungen, zuerst an der Scherungsachse a 1, danach an der Scherungsachse a 2, wird ein Rechteck ~ABCD in ein neues Rechteck ~A''B''C''D'' übergeführt. Gib Näherungswerte
MehrKreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche
Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche 1 In folgender Tabelle ist r Radius, b Bogenlänge und φ Mittelpunktswinkel eines Kreissektors A s ist dessen Flächeninhalt Berechne die fehlenden Größen: r φ
MehrAufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten
Ausgewählte Aufgaben zur Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten Lehrplanabschnitt M 9.6 Fortführung der Raumgeometrie Ausführliche Hinweise zur Verwendung der folgenden
MehrSo viel wie möglich Extremwertaufgaben aus Geometrie
So viel wie möglich Extremwertaufgaben aus Geometrie Andreas Ulovec 1 Einführung Die meisten Leute sind mit Extremwertaufgaben vertraut: Was ist das flächengrößte Dreieck, das man in einen Kreis einschreiben
Mehr