Verschiebungssatz: Ist F (s) die Laplace-Transformierte von f (t), dann gilt für t 0 > 0

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1 3.6 Tranformationätze Tranformationätze In dieem Abchnitt werden weitere Eigenchaften der Laplace-Tranformation vorgetellt, die in vielen technichen Bechreibungen ihre Anwendung finden. Oftmal werden die Tranformationätze benötigt, um die invere Laplace-Tranformation auf die in Tabelle 3. angegebenen Korrepondenzen zurückzupielen. In manchen Fällen kann man z.b. über die Grenzwertätze auch Rückchlüe über die Zeitfunktion ziehen, ohne f(t) zu berechnen. Die einzelnen Sätze werden durch Beipiele verdeutlicht Verchiebungatz Der Verchiebungatz macht eine Auage über die Laplace-Tranformierte einer verchobenen Zeitfunktion f (t t ): Die Funktion f (t t ) it die um t auf der Zeitache nach recht verchobenen Funktion f (t) (iehe Abb. 3.7). Abb Originalfunktion f(t) und verchobene Funktion f(t t ) L (f (t t )) = f (t t ) e t dt = Durch Subtitution der Integrationvariablen τ = t t it L (f (t t )) = f (τ) e (τ+t) dτ = e t = e t L (f (t)). t f (t t ) e t dt. f (τ) e τ dτ Eine Verchiebung der Zeitfunktion f (t) um t hat im Bildbereich eine Multiplikation der Bildfunktion F () mit dem Faktor e t zur Folge: Verchiebungatz: It F () die Laplace-Tranformierte von f (t), dann gilt für t > L (f (t t )) = e t F () Korrepondenz: f (t) F () f (t t ) e t F (). (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

2 Laplace-Tranformation Beipiele CD.56: ➀ Die um t nach recht verchobene Sprungfunktion S (t t ) { für t < t S (t t ) = für t > t hat nach dem Verchiebungatz die Laplace-Tranformierte F () = L (S (t t )) = e t L (S (t)) = e t, wa mit der Rechnung in Beipiel übereintimmt. ➁ E oll die Laplace-Tranformierte eine zur Zeit t = einetzenden Rechteckimpule der Impuldauer τ und der Impulhöhe A betimmt werden. Abb a) Rechteckimpul und b) Zerlegung in zwei Sprungfunktionen Wir pielen die Berechnung der Laplace-Tranformation der Rechteckfunktion auf die Berechnung der Tranformierten der Sprungfunktion au zurück. Denn wie man Abb. 3.8 b) entnehmen kann, it da Rechteckignal die Differenz zweier zueinander verchobenen Sprungfunktionen: Damit folgt f (t) = A S (t) A S (t τ). L (f (t)) = A L (S (t)) A L (S (t τ)) = A A e τ L (f (t)) = A ( e τ ). (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

3 3.6 Tranformationätze 855 Laplace-Tranformierte periodich fortgeetzter Funktionen Eine Zeitfunktion f (t) enttehe durch periodiche Fortetzung der Funktion { definiert für t T f (t) = ont. für t. Geucht it die Laplace-Tranformierte F () dieer Funktion. Abb Periodich fortgeetzte Funktion Für die fortgeetzte Zeitfunktion f(t) gilt f (t) = f (t) S (t) + f (t T ) S (t T ) + f (t 2 T ) S (t 2 T ) + + f (t 3 T ) S (t 3 T ) +... Bei bekannter Korrepondenz f (t) F () erhält man mit dem Verchiebungatz F () = F () [ + e T + e 2T + e 3T +... ] = F () [ + e T + ( e T ) 2 + ( e T ) ]. Mit q = e T it der Audruck in der Klammer die geometriche Reihe. Da q = e T <, konvergiert die Reihe gegen q und daher gilt für die Laplace- Tranformierte der periodich fortgeetzten Zeitfunktion f (t) F () = F () e T. Beipiel CD.57. Berechnung der Laplace-Tranformierten der unten dargetellten periodichen Rechteckkurve. für t T 2 f (t) = für T 2 < t < T. (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

4 Laplace-Tranformation f (t) = [ S (t) S ( )] [ ( ) ] t T 2 S t T 2 S (t T ) = S (t) 2 S ( t T 2 ) + S (t T ). Wegen der Korrepondenz S (t) und dem Verchiebungatz gilt L (f (t)) = 2 e T 2 + e T = = ( e T ) 2 2. [ 2 e T 2 T + e ] Damit folgt ) 2 ( L (f (t)) = e T L (f (t)) = e T 2 e ) T 2 ( = e T 2 ) ( ) = ( e T 2 e T2 + e T 2 + e. T Dämpfungatz Der Dämpfungatz macht eine Auage über die Laplace-Tranformierte einer gedämpften Zeitfunktion f (t) e at : L ( e at f (t) ) = e t e at f (t) dt = e (+a)t f (t) dt = F ( + a) : Dämpfungatz: It F () die Laplace-Tranformierte von f (t), o gilt L (e at f (t)) = F ( + a). Korrepondenz: f (t) F () e at f (t) F ( + a). Bemerkung: Die Kontante a kann reell oder komplex ein. Eine echte Dämpfung der Zeitfunktion f (t) im phyikalichen Sinne erhält man jedoch nur für a > bzw. Re(a) >. Für a < bzw. Re(a) < bewirkt der Faktor e at eine Vertärkung. Die Laplace-Tranformierte der Zeitfunktion e at f (t) untercheidet ich von der Laplace-Tranformierten von f (t) nur dadurch, da durch + a eretzt wird. Alo: Eine Verchiebung um t im Zeitbereich bewirkt eine Dämpfung e t im Bildbereich (Verchiebungatz) und umgekehrt bewirkt ein Faktor e at im Zeitbereich eine Verchiebung im Bildbereich (Dämpfungatz). (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

5 3.6 Tranformationätze 857 Beipiele CD.58: ➀ E oll die Laplace-Tranformierte der Zeitfunktion f (t) = e 3t in (2 t) betimmt werden. Au der Korrepondenz in (2 t) folgt mit dem Dämpfungatz für f (t) eine Verchiebung de Argument, indem durch + 3 eretzt wird e 3t in (2 t) 2 ( + 3) = ➁ Gegeben it die Bildfunktion F () = Geucht it die zugehörige Zeitfunktion f (t). Dazu formen wir die Bildfunktion um in F () = Mit den Korrepondenzen in (ωt) + 5 ( + ) = + ( + ) ω 2 + ω 2 und co (ωt) folgt unter Verwendung de Dämpfungatze f (t) = e t co (3 t) e t in (3 t). 3 ( + ) ω 2 ➂ Geucht it die Zeitfunktion zu F () = ( + a) 2. Au t folgt mit 2 dem Dämpfungatz f (t) = t e at. (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

6 Laplace-Tranformation Ähnlichkeitatz Der Ähnlichkeitatz trifft eine Auage über die Laplace-Tranformierte von getreckten bzw. getauchten Funktionen f (a t). Die Funktion f (a t) entteht au der Funktion f (t) durch Streckung bzw. Stauchung entlang der Zeitache (iehe Abb. 3.). It < a <, dann entpricht f (a t) einer Dehnung der Kurve f. It hingegen a >, dann entpricht die einer Stauchung der Kurve. Abb. 3.. Funktion f(t) und getauchte Funktion f(a t) Ähnlichkeitatz: It F () die Laplace-Tranformierte von f (t), dann gilt L (f (a t)) = a F ( ) a (a > ) Korrepondenz: f (t) F () f (a t) a F ( a). Begründung: L (f (a t)) = f (a t) e t dt = a f (τ) e a τ dτ = a F ( a wenn da Integral mit der Subtitution τ = a t ( dt = a dτ) berechnet wird. ), (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

7 3.6 Tranformationätze Faltungatz In naturwienchaftlich-technichen Anwendungen tellt ich häufig da Problem der Rücktranformation einer Bildfunktion F (), die al Produkt zweier Bildfunktionen F () und F 2 () dartellbar it Bekannt eien die Korrepondenzen F () = F () F 2 (). F () f (t) und F 2 () f 2 (t). Die geuchte Originalfunktion f (t) it dann ein Integral über die Zeitfunktionen f (t) und f 2 (t) vom Typ f (t) = t f (τ) f 2 (t τ) dτ, dem og. Faltungintegral. Die Schreibweie hierfür it f (t) = (f f 2 ) (t) (Faltungprodukt). Faltungatz: Sind F () und F 2 () die Laplace-Tranformierten von f (t) und f 2 (t), dann it die Laplace-Tranformierte de Faltungprodukte (f f 2 ) (t) = gegeben durch F () F 2 (): t f (τ) f 2 (t τ) dτ L (f f 2 ) = F () F 2 (). Korrepondenz: f (t) } F () f 2 (t) F 2 () (f f 2 ) (t) F () F 2 (). In der Praxi geht man bei der Rücktranformation einer Bildfunktion häufig wie folgt vor: Man zerlegt F () in ein Produkt F () = F () F 2 () von Bildfunktionen F () und F 2 (), von denen die zugehörigen Zeitfunktionen f (t) und f 2 (t) bekannt ind. Die zu F () gehörende Zeitfunktion it dann f (t) = (f f 2 ) (t). (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

8 86 3. Laplace-Tranformation Bewei de Faltungatze: Wir berechnen die Laplace-Tranformierte de Faltungintegral L (f f 2 ) = = = (f f 2 ) (t) = t= t= τ=t τ= e t [ τ=t t= ( τ=t t= t= ( τ= t= τ= f (τ) f 2 (t τ) dτ : ] f (τ) f 2 (t τ) dτ dt e t f (τ) f 2 (t τ) dτ τ= τ= ) dt ) e t f (τ) f 2 (t τ) S (t τ) dτ dt. Durch Hinzufügen der Sprungfunktion S (t τ) kann da innere Integral formal von τ = bi τ = integriert werden, da S (t τ) = für τ > t. Vertaucht man die Reihenfolge der Integrationen, it τ= ( t= ) L (f f 2 ) = f (τ) e t f 2 (t τ) S (t τ) dt dτ. τ= Wendet man den Verchiebungatz auf da innere Integral an, it t= t= t= e t f 2 (t τ) S (t τ) dt = e τ F 2 (), wenn F 2 () die Laplace-Tranformierte von f 2 (t) S(t) = f 2 (t). Hiermit folgt ingeamt L (f f 2 ) = τ= = F 2 () f (τ) e τ F 2 () dτ τ= τ= τ= f (τ) e τ dτ = F 2 () F (), da da zweite Integral die Laplace-Tranformierte von f. Da die Integrationvariable τ tatt t heißt, it für da betimmte Integral ohne Bedeutung. Beipiele CD.59 (Mit Maple-Workheet): ➀ Geucht it die Zeitfunktion zu F () = ( a) = a. (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

9 3.6 Tranformationätze 86 E it und a eat. Damit gilt nach dem Faltungatz die Korrepondenz a ( e at) (t) = ➁ Gegeben it die Bildfunktion F () = t e a(t τ) dτ t = e at e aτ dτ = ( e at ). a 2 ( 2 + ω 2 ) 2 = 2 + ω ω 2. Geucht it die zu F () gehörende Zeitfunktion f (t). E it und mit dem Faltungatz 2 + ω ω 2 co (ωt) 2 + ω 2 f (t) = co (ωt) co (ωt) = t co (ω (t τ)) co (ωτ) dτ. Entweder durch Anwendung de Additiontheorem auf co (ωt ωτ) und Verwendung der Formel in x co x = 2 in 2x oder durch Verwendung von Maple > int( co(w (t-tau)) co(w tau), tau=..t); erhält man in (ωt) + ωt co (ωt) f (t) =. 2 ω Grenzwertätze In manchen Anwendungen intereiert nur da Verhalten der Zeitfunktion f zu Beginn (d.h. für t = ) und für große Zeiten t (d.h. für t ). Der genaue Zeitverlauf wird oft nicht benötigt. E zeigt ich, da der Anfang- und Endwert der Zeitfunktion direkt au der Bildfunktion gewonnen werden können: Grenzwertätze: It F () die Bildfunktion von f (t). Dann gilt: () Berechnung de Anfangwerte: f () =lim f (t) = lim ( F ()). t (2) Berechnung de Endwerte: f ( ) = lim t f (t) =lim ( F ()). (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28

10 Laplace-Tranformation Begründung: Augangpunkt für den Bewei beider Gleichungen it der Ableitungatz L (f (t)) = F () f () = f (t) e t dt. (i) E gilt mit dem Fundamentalatz der Differenzial- und Integralrechnung lim L (f (t)) = lim = f (t) e t dt = f (t) dt = f ( ) f (). f (t) lim e t dt Wendet man den Grenzwert auf beiden Seiten der Gleichung ( ) an, o gilt lim ( F ()) f () = f ( ) f () f ( ) =lim ( F ()). ( ) (ii) Wegen lim L (f (t)) = lim folgt mit ( ) f (t) e t dt = lim ( F ()) f () =. f (t) lim e t dt = Beipiele CD.6: ➀ F () = 2. Die zugehörige Zeitfunktion hat den Anfangwert + ω2 2 f () = lim ( F ()) = lim 2 + ω 2 = (vgl. Beipiel 3.7 3: co (ωt) 2 +ω 2 ). ➁ F () =. Der Endwert der zugehörigen Zeitfunktion it ( 4) ( 5) f ( ) = lim f (t) =lim ( F ()) =lim t ( 4) ( 5) = 2. (C) Thoma Wetermann Mathematik für Ingenieure (Springer-Verlag) 28