Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

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1 Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 20/2 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 / 20

2 2. Reihen R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 2 / 20

3 Die Kochsche Insel Wie groß (Fläche)? Wie lang (Umfang)? R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 3 / 20

4 Umfang u 0 = 3, u = = 4 3 u 0, u 2 = 4 ( ) u = u 0, 3..., u n+ = 4 ( ) 4 n+ 3 u n = u 0 3 bzw. u n = ( ) 4 n u 0, 3 n divergent! R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 4 / 20

5 Flächeninhalt Die Insel wird nicht beliebig groß (man kann sie einsperren in den Umkreis des Anfangsdreiecks). 3 a 0 = 4, ( ) 3 a = a , 9 ( ) 3 2 a 2 = a , 9 ( ) 3 3 a 3 = a , 9..., a n = a n n 3 4 ( ) n 9 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 5 / 20

6 Flächeninhalt bzw. n a n = a 0 + = a 0 ( i= i 9 i+ a 0 n ( ) ) 4 i ; 9 i=0 lim n a n = a 0 ( + 3 i=0 ( ) ) 4 i. 9 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 6 / 20

7 Unendliche Reihe Sei (a k ) k eine Folge reeler Zahlen. Dann bilden wir für jedes m N die Partialsumme m s m := a k. Die Folge der Partialsummen (s m ) m heißt unendliche Reihe mit den Gliedern a k und wir schreiben hierfür a k ; im Falle des konvergenz von (s m ) m heißt die Reihe konvergent. Man nennt den Grenzwert s = lim s m die Summe der Reihe und schreibt m s = a k. Eine nicht-konvergente Reihe heißt divergent. Konvergiert sogar a k, so nennt man die Reihe absolut konvergent. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 7 / 20

8 Beispiele Die ersten Teilsummen von s 0 =, 2 k sind: s = + 2 = 3 2, s 2 = = 7 4, s 3 = = 5 8,... Es sieht so aus, dass die Folge der Partialsummen, 3 2, 7 4, 5 8,... gegen 2 konvergiert. Wir werden es bald sehen, tatsächlich = 2. 2 k Die Reihe 2 k ist divergent, denn die Partialsummenfolge, 3, 7, 5, 3, 63,... divergiert. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 8 / 20

9 Geometrische Reihe Eine Reihe der Form x k, k heißt geometrische Reihe. Satz 2. x R { K K + für x =, x k = sonst; x K+ x 2 und divergent sonst. x k = x für x <, R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 9 / 20

10 Beweis des Satzes 2. () Per Induktion nach K: K = 0: Klar, denn: K K + : Es ist K+ 0 x k = x K+ + x k = x 0 = = x 0 x. K x k = x K+ + x K+ x = x K+ ( x) + x k+ x die Wert für x = ist offensichtlich K +. = x K+2 ; x R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 0 / 20

11 Beweis des Satzes 2. (2) Nach Teil des Satzes gilt s m = m x k = x m+, x also folgt mit Rechenregeln für konvergente Folgen und Satz.5 lim s m = ( lim n x x m+) = n x. Beispiele: Mittels Satz 2. gilt: = 2, = 2 3. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 / 20

12 Harmonische Reihe Satz 2.2 Die harmonische Reihe n= n ist divergent. Beweis. Für k N betrachten wir die Partialsummen 2 k s 2 k = = + ( n ) ( k ) 2 k n= = + k j+. n Es gilt 2 j+ n=2 j + j= n=2 j + n 2j 2 j+ }{{} Anzahl der Summanden x Minimum der Summanden = 2, und damit s 2 k + k 2. Also divergiert die harmonische Reihe bestimmt gegen +. (Es ist klar, dass s 2 k < s m < s 2 k+ für 2 k < m < 2 k+.) R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 2 / 20

13 Eine interessante Folgerung zeigt die Macht des Kalküls unendlicher Reihen. Satz 2.3 Es gibt unendlich viele Primzahlen (d.h. natürliche Zahlen n >, die nur durch und sich selbst teilbar sind). Beweis: Mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahlen gilt n= n = = ( ) ( ) = ( + p + p ) =, p prim p prim p wobei wir auf jeden Faktor Satz 2. angewandt haben. Gäbe es endlich viele Primzahlen, so müsste die harmonische Reihe konvergieren, zu Satz 2.2. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 3 / 20

14 Rechenregeln für konvergente Reihen Satz 2.4 Seien a k und b k zwei konvergente Reihen reeller Zahlen, dann gilt (c a k ) = c a k für ein beliebiges c R; (a k ± b k ) = a k ± b k. Absolut konvergente Reihen darf man auch multiplizieren: ( ) ( ) k a k b k = c k mit c k = a j b k j. j=0 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 4 / 20

15 Konvergenzkriterien für Reihen. I Satz 2.5 (Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe) Es gilt: Beispiele: a k konvergiert = a k Nullfolge. Weil a k = 42 k keine Nullfolge ist, ist 42 k divergent. a k = k ist eine Nullfolge, aber daraus kann nicht geschlossen werden, dass konvergiert (tatsächlich ist die harmonische Reihe nach k= k Satz 2.2 divergent). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 5 / 20

16 Konvergenzkriterien für Reihen. II Satz 2.6 (Majorantenkriterium) Sei b k eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern b k und (a k ) k eine Folge mit a k b k für (fast) alle k N. Dann konvergiert die Reihe a k absolut. Die Reihe b k ist dann eine Majorante von a k. Entsprechend gilt auch das folgende Divergenzkriterium: Ist k= b k eine divergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern b k und (a k ) k eine Folge mit a k b k für alle k N, so divergiert auch k= a k. (ansonsten wäre ja k= a k eine konvergente Majorante von k= b k.) Beispiel: Die harmonische Reihe k= k ist divergent. Da k k für alle k gilt, ist auch k= k divergent. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 6 / 20

17 Konvergenzkriterien für Reihen. III Die Anwendung des Majorantenkriteriums mit der geometrische Reihe liefert: Satz 2.7 (Quotientenkriterium) Sei a k eine Reihe mit b k 0 für alle k N. Gibt es dann eine reelle Zahl α mit 0 < α <, so dass a k+ a k α für alle k N, so konvergiert die Reihe a k absolut. Diese Bediengung ist insbesondere erfüllt, falls lim a k+ k a k = α < ist (wenn dieser Grenzwert existiert). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 7 / 20

18 Beispiele Die Reihe k2 konvergiert, denn für k 3 gilt 2 k (k+) 2 2 k+ k 2 2 k Die Reihe werden. Zwar ist = (k + )2 2 k k 2 2 k+ = 2 k+2 ( + ) 2 ( + ) 2 = 8 k <. kann nicht mit dem Quotientenkrterium behandelt k+3 k+2 ( aber wegen lim k k+3 0 < = k + 2 k + 3 = k + 3 <, ) = können wir kein α mit k+3 < α < finden. Tatsächlich ist die Reihe divergent, was aus unserem Divergenzkriterium im Vergleich mit der divergenten harmonischen Reihe folgt: m m 3 k (denn: k + 2 3k). k + 2 k= k= R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 8 / 20

19 Konvergenzkriterien für Reihen. IV Für alternierenden Reihen, d.h. Reihen deren Glieder ein abwechselndes Vorzeichen haben, gilt Satz 2.8 (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Sei (a k ) k eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit lim k a k = 0. Dann konvergiert ( ) k a k. Beispiel: Im Gegensatz zur harmonischen Reihe konvergiert die alternierende harmonische Reihe mit Grenzwert ( ) k+ = k ± = log 2. 4 k= R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 9 / 20

20 Bruchdarstellung einer periodischen Dezimalzahl Unendliche Dezimalbrüche sind spezielle Reihen. Als Beispiel betrachten wir den periodischen Dezimalbruch Nach den Sätzen 2. und 2.4 gilt 0, = 0, 023 0, 023 = = ( + = = ) ( 00 ) k = ( 00 ) = Offensichtlich kann man so jeden periodischen Dezimalbruch als rationale Zahl darstellen. Unschwer zeigt man auch die Umkehrung. Damit haben also genau die rationalen Zahlen eine periodische Dezimalbruchentwicklung. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 20/2 20 / 20

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