Lehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber. Bachelor-Thesis

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1 Universität Bayreuth Fakultät für Mathematik und Physik Lehrstuhl für Mathematik II Algebraische Kombinatorik, Diskrete Strukturen Prof. Dr. Adalbert Kerber Bachelor-Thesis zur Erlangung des Grades Bachelor of Science an der Universität Bayreuth Methoden der Computeralgebra zur Berechnung der Jordanschen Normalform von Matrizen vorgelegt von: Cornelius Schwarz Neckarstr Bayreuth Tel cornelius.schwarz@stud.uni-bayreuth.de am:

2 Vorwort Ziel dieser Arbeit ist eine algorithmische Präsentation der Jordanschen Normalform, wie sie in einer Programmiersprache wie z.b C, Java,... implementiert werden kann. Dazu sind jedoch einige Hilfsmittel aus der Mathematik erforderlich, die wir in Form von aufeinander aufbauenden Algorithmen vorstellen werden. Auch wenn wir die zum Verständnis nötigen Definitionen und Sätze behandeln werden, so sind doch Grundkenntnisse aus der Linearen Algebra, wie sie [ker] und [muel] vermitteln, von Vorteil, insbesondere der Umgang mit Idealen und die Kenntnis der Existenz einer im Wesentlichen eindeutigen Primfaktorzerlegung in euklidischen Ringen. Im ersten Kapitel werden wir uns mit der Ringtheorie beschäftigen. Im Mittelpunkt steht hier der euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers. Wir werden ihn in der einfachen Version, die zu a, b ein g ggt (a, b) berechnet, so wie in einer erweiterten Version, die zusätzlich zwei Koeffizienten x, y bestimmt mit xa + yb = g, kennen lernen. Aufbauend darauf werden wir den Algorithmus r, wie ihn [luen] in Kapitel 13 vorstellt, betrachten. Die Anwendung dieser Theorie im Zusammenhang mit der Jordanschen Normalform befindet sich in der Berechnung des Minimalpolynoms, welches wir in Kapitel drei vorstellen werden. Wir benötigen die Ringtheorie somit für den euklidischen Ring K[X], dem Ring der formalen Polynome über einem Körper K. Deshalb werden wir auch diesen im ersten Kapitel vorstellen, inklusive einem Algorithmus für die bekannte Polynomdivision. Das zweite Kapitel ist dem Gaußverfahren gewidmet, das wir anhand der linearen Gleichungssysteme vorstellen werden. Dies werden wir insbesondere bei der Berechnung der Basen der Primärkomponenten in Kapitel 5 anwenden. Neben ein paar Anwendungen werden wir jedoch auch zwei speziell angepasste Versionen darstellen. Als erstes die Version nach Lüneburg, die ein dynamisches Testen auf lineare Unabhängigkeit ermöglicht. Sie geht auf Kapitel 11 [luen] zurück und wird dort für die Berechnung des Ordnungspolynoms eingeführt, welches wir in Kapitel drei betrachten. Wir werden es jedoch auch für die Jordanstufenbasis in Kapitel fünf verwenden. Als zweites stellen wir die Berechnung einer Stufenbasis des Kerns von f i vor. Die Anwendung hiervon befindet sich ebenfalls in Kapitel fünf bei der dritten Version der Berechnung der Jordanschen Normalform. Einer der wichtigsten Schritte zur Behandlung von Normalformen von Endomorphismen ist die Interpretation eines K-Vektorraums V als Modul V f über dem Polynomring K[X]. Dies ist das Verbindungsglied zwischen der im ersten Kapitel betrachteten Ringtheorie und der Vektorraumtheorie aus Kapitel zwei. Die hieraus resultierende Situation werden wir im dritten Kapitel über einem allgemeinen Torsionsmodul diskutieren. Als Algorithmen stellen wir die Berechnung des Ordnungspolynoms eines Vektors, sowie die Bestimmung des Minimalpolyi

3 noms inklusive eines Vektors v, der dieses als Ordnungspolynom hat, vor. Diese Bestimmung halten wir dabei allgemein: Wir formulieren einen Algorithmus, der unter Kenntnis der Berechnung von Ordnungsidealen, das Annihilatorideal eines endlich erzeugten Torsionsmoduls inklusive einem Modulelement m, dessen Ordnungsideal dem Annihilatorideal entspricht, berechnet. Im vierten Kapitel steigen wir dann mit dem Begriff der Ähnlichkeit zweier Endomorphismen f, g in die Problematik der Normalformen ein. Die Entscheidung, ob zwei Endomorphismen ähnlich sind, werden wir auf die Berechnung eines im Wesentlichen eindeutigen Erzeugendensystems von V f bzw. V g zurückführen. Als Beispiel werden wir die Elementarteiler betrachten. Auch dies werden wir wieder zuerst über einem allgemeinen endlich erzeugten Torsionsmodul untersuchen, indem wir die Berechnung der Elementarteiler auf dem Algorithmus Annihilatorideal aus dem vorherigen Kapitel aufbauen. Dann werden wir dies für die uns interessierende Situation V f spezifizieren. Als erste Anwendung betrachten wir schließlich noch die rationale Normalform. Mit diesen Vorbereitungen können wir dann im fünften Kapitel die Berechnung der Jordanschen Normalform in Angriff nehmen. Auch wenn wir mit der Theorie der Torsionsmoduln diese direkt herleiten könnten, so wählen wir für ein besseres Verständnis doch den Zugang über die Eigenwerttheorie und betrachten die Jordansche Normalform als Erweiterung des Begriffs der Diagonalisierbarkeit. Wir stellen dann drei verschiedene Algorithmen vor, wobei die ersten zwei auf [luen] basieren und der letzte [rep] entnommen ist. Zum Abschluss dieser Arbeit grenzen wir in Abschnitt 5.3 noch Vor- und Nachteile der Jordanschen und rationalen Normalformen gegeneinander ab. Für das Korrekturlesen möchte mich bei Maria Brauchle, Sascha Kurz, Carsten König und insbesondere bei Martin Egerer und Sabine Vetter, die sich beide sehr viel Zeit genommen haben, herzlich bedanken. Bayreuth, den Cornelius Schwarz ii

4 Inhaltsverzeichnis Vorwort Tabellenverzeichnis Symbolverzeichnis Abkürzungsverzeichnis i v vi viii 1 Algorithmen in euklidischen Ringen Einführung Grundlagen in euklidischen Ringen Formale Polynome, der Polynomring K[X] Der euklidische Algorithmus Algorithmus r Das Gaußverfahren Lineare Gleichungssysteme Grundlagen Gaußtransformation Lösung des gestaffelten Systems Eine Variante Anwendungen Berechnung der Determinanten einer Matrix Matrixinversion Test auf lineare Unabhängigkeit Spezialisierungen Dynamische Version nach Lüneburg Berechnung einer Stufenbasis von A r x = Der K[X] Modul V f Einführung Berechnung der Ordnungspolynome Bestimmung des Minimalpolynoms Modifikation im Faktormodul Die Elementarteiler von V f Aufgabenstellung Elementarteiler Die rationale Normalform iii

5 5 Die Jordansche Normalform Die Eigenwerte von f Eigenwerttheorie in V Eigenwerttheorie in V f Berechnung der Jordanschen Normalform Berechnung der Elementarteiler der Primärkomponenten Berechnung der Primärkomponenten der Elementarteiler Berechnung mittels Stufenbasis Fazit Literaturverzeichnis 110 Index 111 Algorithmenverzeichnis 113 Erklärung 114 iv

6 Tabellenverzeichnis 5.1 Zeitvergleich der Algorithmen v

7 Symbolverzeichnis Vereinigung Durchschnitt und oder A\B Die Menge A ohne die Elemente der Menge B genau dann, wenn A B A impliziert B A B B impliziert A f : A B f ist eine Abbildung von A nach B a b a wird abgebildet auf b Einbettung existiert 1 a b a A, A a N existiert eindeutig für alle a teilt b a ist ein Element aus A die Menge der natürlichen Zahlen N 0 N {0} Z die Menge der ganzen Zahlen Q die Menge der rationalen Zahlen R die Menge der reellen Zahlen C die Menge der komplexen Zahlen die leere Menge A B A B R[X] die Menge der Abbildungen von B nach A das kartesische Produkt von A und B der Ring der Polynome über dem Ring R 1 R, 0 R das Einselement bzw. Nullelement des Ringes R R R\{0 R } δ ij Kroneckersymbol vi

8 r s Ringelement r ist assoziiert zu Ringelement s siehe Definition f g Endomorphismus f ist ähnlich zu Endomorphismus g siehe Definition A T E n (v) i die transponierte Matrix von A n dimensionale Einheitsmatrix i. Komponente des Vektors v a i i. Spaltenvektor der Matrix A = (a i,j ) a i i. Zeilenvektor der Matrix A = (a i,j ) M(B 1, f, B 2 ) darstellende Matrix des Endomorphismus f bezüglich der Basis B 2 in der Quelle und B 1 im Ziel. E(R) die Einheitengruppe von R ggt (a, b) die Menge der größten gemeinsamen Teiler von a und b kgv (a, b) die Menge der kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a und b Φ(a, b) die Menge aller Teiler von a die teilerfremd sind zu b r(a, b) betragsmaximales Element r Φ(a, b) als Ergebnis von Algorithmus End K (V ) die Menge der Endomorphismen auf dem K-Vektorraum V Aut K (V ) die Menge der Automorphismen auf dem K-Vektorraum V sgn die Signumfunktion K < T > die K lineare Hülle von T K << T >> die K lineare Hülle der linear unabhängigen Familie T S n die symmetrische Gruppe auf der Menge {1,..., n} direkte Summe enthalten echt enthalten, also nicht gleich ϕ f O(m) Ann(M) I R M [a] f U E λ P λ der Einsetzungshomomorphismus von K[X] nach V das Ordnungsideal von m das Annihilatorideal von M I ist ein Ideal in R die Mächtigkeit von M, Anzahl der Elemente die Äquivalenzklasse von a f eingeschränkt auf U der Eigenraum zum Eigenwert λ die Primärkomponente zum Eigenwert λ vii

9 Abkürzungsverzeichnis bzgl. bzw. d.h. ggf. ggt. kgv. LGS. z.b. bezüglich beziehungsweise das heißt gegebenenfalls größter gemeinsamer Teiler kleinstes gemeinsames Vielfaches lineares Gleichungssystem zum Beispiel viii

10 Kapitel 1 Algorithmen in euklidischen Ringen In diesem Kapitel werden wir die Algorithmen ggt - zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von a und b - und den Algorithmus r - Bestimmung des größten Teilers von a, der teilerfremd ist zu b - kennen lernen. Dazu beschäftigen wir uns mit der Ringtheorie. 1.1 Einführung Grundlagen in euklidischen Ringen Definition (Nullteiler,nullteilerfrei, Integritätsring). Sei R ein Ring. Ein Element 0 R r R heißt Linksnullteiler, falls es ein 0 R s R gibt mit rs = 0 R. Entsprechend wird Rechtsnullteiler definiert. Ist r sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler, so bezeichnet man r auch kurz als Nullteiler. Gibt es in R keine Nullteiler, so ist R nullteilerfrei. Einen kommutativen nullteilerfreien Ring R {0} nennen wir Integritätsring. Definition (Ideal, Hauptideal). Es sei R ein Ring mit Einselement. Eine Untergruppe I (R, +), die multiplikativ abgeschlossen ist bezüglich der Ringmultiplikation, d.h. r R, i I ri I nennen wir Linksideal. Analog wird Rechtsideal definiert. Ist I sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt I Ideal in Zeichen I R. Sind R ein Integritätsring mit Einselement und I ein zyklisches Ideal, d.h. gibt es ein i I, so dass es für alle j I ein r R gibt mit ri = j, so heißt I das von i erzeugte Hauptideal in Zeichen I = (i). Ein Integritätsring mit Einselement, indem jedes Ideal ein Hauptideal ist, nennen wir Hauptidealring. Definition (Euklidische Norm, Euklidischer Ring). Sei R ein Integritätsring mit Einselement, δ : R N eine Abbildung. δ heißt euklidische Norm, falls gilt: 1

11 δ ist multiplikativ, d.h. Existenz einer Division mit Rest: r, s R : δ(rs) = δ(r)δ(s) x R, y R = R\{0} q, r R : x = qy + r und es gilt r = 0 R oder δ(r) < δ(y). Das Paar (R, δ) heißt euklidischer Ring. Bemerkung Euklidische Ringe sind Hauptidealringe. Siehe etwa Satz [ker]. Beispiel Ein Beispiel für einen euklidischen Ring ist (Z, ) die ganzen Zahlen mit der Betragsfunktion. Definition (Primelement, Assoziierung). Sei R ein Integritätsring mit Einselement. p R heißt Primelement kurz prim : a, b R : p ab p a p b Zwei Elemente p, q R heißen assoziiert in Zeichen p q : p q q p Bemerkung Euklidische Ringe besitzen eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. Im Wesentlichen bedeutet dabei, dass alle Zerlegungen zueinander assoziiert sind. Definition (Einheit). Sei R ein Ring mit Einselement. r R heißt Einheit : r 1 R : rr 1 = r 1 r = 1 R r besitzt also ein multiplikatives inverses Element in R. Die Menge aller Einheiten von R wird mit E(R) bezeichnet. Sie bildet eine multiplikative Gruppe. Beispiel Die Einheitengruppe E(Z) = {1, 1}. In K[X] sind die invertierbaren Polynome genau die konstanten Polynome ungleich 0 K[X]. Dies folgt unmittelbar aus dem Gradsatz Mittels der Identifikation der konstanten Polynome mit den Körperelementen gilt somit: E(K[X]) = K Schauen wir uns nun einige wichtige Eigenschaften einer euklidischen Normfunktion an. Vergleiche hierzu Kapitel 19 Lemma 18 [muel]. Lemma (Eigenschaften der Normfunktion). Sei R ein euklidischer Ring und δ : R N eine euklidische Normfunktion. Für alle a, b, u R gilt: a) a b δ(a) δ(b) b) a b δ(a) = δ(b) c) u E(R) δ(u) = 1 d) b a, b a δ(b) < δ(a) 2

12 Beweis. a) a b c R : ac = b δ(b) = δ(ac) = δ(a)δ(c). Wegen δ(c) 1 folgt demnach a). b) a b a b b a a) δ(a) δ(b) δ(b) δ(a) δ(a) = δ(b) c) Es ist δ(1 R ) = δ(1 R 1 R ) = δ(1 R ) 2 = 1. Beachte: Aufgrund der Anordnung von N ist 1 ist die einzige natürliche Zahl n mit n 2 = n. Nun gilt: u E(R) u 1 R : u 1 u = uu 1 = 1 δ(u)δ(u 1 ) = δ(uu 1 ) = δ(1) = 1 Damit ergibt sich δ(u) = 1 Ist nun umgekehrt δ(u) = 1, so gibt es q, r R : 1 = qu + r und r = 0 oder δ(r) < δ(u). Wegen δ(u) = 1 ist nur noch r = 0 möglich. Es folgt 1 = qu und damit ist u Einheit. d) Wegen b a existiert wieder ein c R : bc = a. Da b a ist c keine Einheit, also nach c) δ(c) > 1. Aus δ(a) = δ(b)δ(c) folgt damit δ(a) > δ(b) Formale Polynome, der Polynomring K[X] In Zusammenhang mit der Jordanschen Normalform benötigen wir die Ringtheorie für den Ring der formalen Polynome über einem Körper K. Diesen wollen wir nun einführen. Definition (formales Polynom, Grad). Sei R ein Ring. Eine Abbildung p : N 0 R mit {n N 0 p(n) 0} heißt formales Polynom über R. Der Grad von p ist definiert durch { max p(n) 0 n p 0 Grad(p) := R N sonst Die Menge aller solchen p wird mit R[X] bezeichnet. Satz Für f, g R[X] seien + : R[X] R[X] R[X] definiert durch (f + g)(i) := f(i) + g(i) i N 0 (1.1.13) und : R[X] R[X] R[X] definiert durch (f g)(i) := f(j)g(k) i N 0 (1.1.14) j+k=i dann ist (R[X], +, ) ein Ring. Hat R ein Einselement, so ist 1 R[X] R[X] definiert durch 1 R[X] (i) := { 1 R i = 0 0 R sonst i N 0 (1.1.15) Beweis. (R[X], +) ist eine additive abelsche Gruppe 3

13 Die Kommutativität und Assoziativität folgen direkt aus den Pendants von (R, +). Das neutrale Element 0 R[X] ist definiert durch 0 R[X] (i) = 0 R i N 0. Das inverse Element f zu f R[X] ergibt sich mittels ( f)(i) := f(i). (R[X], ) ist Halbgruppe Assoziativität: Mit Hilfe der Distributivität von R und der Kommutativität von (R, +) folgt: (f g) h(i) = (f g)(j)h(k) j+k=i = = j+k=i h+l+k=i = h+j=i = h+j=i h+l=j f(h)g(l) h(k) f(h)g(l)h(k) f(h) = f (g h)(i) l+k=j f(h)(g h)(j) g(l)h(k) Falls R ein Ring mit Einselement ist, so ist R[X] Monoid: 1 R[X] ist das neutrale Element: Distributivität von R[X] (f 1 R[X] )(i) = f (g + h)! = f g + f h: f (g + h)(i) = j+k=i = f(i)1 R[X] (0) = f(i)1 R = f(i) j+k=i = j+k=i f(j) 1 R[X] (k) } {{ } δ k,0 f(j)(g + h)(k) f(j) ( g(k) + h(k) ) = ( ) f(j)g(k) + f(j)h(k) j+k=i = j+k=i f(j)g(k) + j+k=i = (f g)(i) + (f h)(i) f(j)h(k) Dabei wurde in der 3. Zeile die Distributivität von R angewandt. 4

14 (f + g) h = f h + g h analog. Satz (Gradsatz). Ist R nullteilerfrei, so gilt Grad(f g) = Grad(f) + Grad(g). (1.1.17) Beweis. Für f = 0 R[X] g = 0 R[X] ergibt sich diese Gleichung aus der Festlegung von Grad(0 R[X] ) =. Sei deshalb f 0 R[X] g, setze n := Grad(f), m := Grad(g). Dann gilt: (f g)(m + n) = f(l)g(k) = f(n)g(m) l+k=n+m Denn bei allen anderen Summanden ist entweder l > n oder k > m und damit f(l) = 0 oder g(k) = 0. Nach Definition ist f(n) 0 g(m). Da R als nullteilerfrei vorausgesetzt war, folgt f(n)g(m) 0. Somit ist Grad(f g) Grad(f) + Grad(g). Mit h > n + m gilt, (f g)(h) = l+k=h f(l)g(k) = 0 R, da l > n und damit f(l) = 0 oder k > m und damit g(k) = 0 gilt. Somit ist Grad(f g) Grad(f) + Grad(g). Insgesamt gilt also Gleichheit. Lemma R kommutativer Ring R[X] kommutativer Ring 2. R nullteilerfreier Ring R[X] nullteilerfreier Ring Beweis. 1. Aus der Kommutativität von R folgt: (f g)(i) = f(j)g(k) j+k=i = g(k)f(j) j+k=i = (g f)(i) 2. Indirekt. Angenommen f, g R[X] : f 0 R[X] g, f g = 0 R[X] Nach dem Gradsatz gilt: = Grad(0 R[X] ) = Grad(f) + Grad(g) Grad(f) = Grad(g) = f = 0 R[X] g = 0 R[X] Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. 5

15 Folgerung Ist R ein Integritätsring so auch R[X]. Wir werden nun die formalen Polynome als n a i X i (1.1.20) darstellen, wie man es von den Polynomfunktionen gewohnt ist. Summanden mit a i = 0 können dabei weggelassen werden. Sei hierzu p R[X]. Dann lässt sich p durch Setzen von a i := p(i) und n := Grad(p) in der Form darstellen. Gerechnet werden kann mit formalen Polynomen wie mit Polynomfunktionen. Wir stellen nun die in Satz eingeführte Addition und Multiplikation mittels dar: Seien hierzu n m f = a i X i, g = b i X i Ohne Einschränkung gelte dabei n m. Dann ist f + g = f g = m (a i + b i )X i + n+m j+k=i n i=m+1 a j b k X i a i X i Nun identifizieren wir noch die konstanten Polynome also die Polynome der Form f = a 0 X 0 mit den Elementen aus R. Die Multiplikation eines konstanten Polynoms entspricht gerade der Multiplikation jedes Koeffizienten mit einem Ringelement und die Addition dem Addieren eines Ringelements zu dem konstanten Glied. Allerdings müssen die Begriffe Polynomfunktion und formales Polynom, insbesondere falls R ist, wohl unterschieden werden. Zum Vergleich die Definition von Polynomfunktion: Definition (Polynomfunktion). Sei R ein Ring und p R[X], p = n a ix i. Die zugehörige Polynomfunktion P : R R ist definiert durch, P (r) := n a i r i (1.1.22) Beispiel (Unterschied formales Polynom Polynomfunktion). Um den Unterschied deutlich zu machen, betrachten wir das Polynom p := x 2 + x Z 2 [X] Es gilt Grad(p) = 2 0. Es ist also p 0 Z2[X], aber für die Polynomfunktion P : Z 2 Z 2 gilt: P (0) = = 0 P (1) = = = 0 Es ist also P 0 und entspricht damit der Nullabbildung. 6

16 Definition (Wurzel). λ R heißt Wurzel von p R[X], wenn λ Nullstelle von P d.h. P (λ) = 0 R ist. Wir betrachten nun K[X], also den Ring der formalen Polynome über einen Körper K. Hier steht uns als Division mit Rest die bekannte Polynomdivision zur Verfügung, die wir nun herleiten wollen: Gegeben seien Polynome f = n m a i X i, g = b i X i 0 K[X] Wir wollen nun zwei Polynome q, r bestimmen, so dass qg +r = f und r = 0 K[X] oder Grad(r) < Grad(g) ist. Ist f = 0 K[X], so setze q := r := 0 K[X]. Im Falle Grad(f) < Grad(g) setze q = 0 K [X], r = f. Betrachte nun den Fall Grad(f) Grad(g). Versuche durch sukzessives Subtrahieren geeigneter Vielfachen q i K[X] von g den Grad des Restpolynoms r i := f q 1 g q 2 g q 3 g... q i g = r i 1 q i g zu reduzieren, bis für einen Index k Grad(r k ) < Grad(g) ist. Dann gilt: ( k ) f = q i g + r k, Grad(r k ) < Grad(g) Sei r 0 := f und r i 1 = l j=0 c jx j. Setze q i := c l b m X l m. Damit gilt Grad(r i ) < Grad(r i 1 ). Nach endlich vielen Schritten ist demnach Grad(r i ) < Grad(g). Dies ist sogar dann richtig, falls Grad(f) = 0 ist. Denn dann muss auch Grad(g) = 0 sein. Sonst tritt einer der oben betrachteten Fälle ein. Dann gilt r 1 = a 0 X 0 a 0 b 0 b 0 X 0 = 0 K[X] und damit Grad(r 1 ) =. In diesem Fall wurde eine Division in K durchgeführt, und, da K multiplikative Gruppe ist, gibt es keinen Rest. Die Unterscheidung r = 0 K[X] oder Grad(r) < Grad(g) ist hier nur der Deutlichkeit halber gemacht worden. Wegen Grad(0 K[X] ) = ist sie nicht nötig und wir werden im Folgenden darauf verzichten. Algorithmus (Polynomdivision). Eingabe: Polynome f K[X], g K[X] Ausgabe: Polynome q, r K[X] mit f = qg + r und Grad(r) < Grad(g) Schritt 1: Initialisierung: Setze q := 0 K[X], r := f Schritt 2: Solange Grad(r) Grad(g): Sei r = l j=0 c jx j, g = m j=0 b jx j Setze: q i := c l b m X l m r := r q i g q := q + q i Schritt 3: Gebe q, r zurück. Bemerkung Die Endlichkeit und Korrektheit des Algorithmus ergibt sich aus den vorher gemachten Bemerkungen. 7

17 Die beiden Sonderfälle f = 0 K[X] und Grad(f) < Grad(g) werden durch die Initialisierung erfasst und brauchen daher nicht gesondert betrachtet zu werden. Ist g normiert d.h. b n = 1 so ist q i = c l 1 X l m = c l X l m. Es muss demnach keine Division in K durchgeführt werden, so dass der Algorithmus auch in R[X] funktioniert, wobei R einen beliebigen Ring mit Einselement bezeichne. Lemma Sei R ein Ring mit Einselement und p = n a ix i R[X], dann sind äquivalent: λ R ist Wurzel von p (X λ) p Beweis. Ist (X λ) ein Teiler von p, etwa (X λ)q = p mit q R[X], so ist P (λ) = (λ λ)q(λ) = 0Q(λ) = 0 R. Ist andererseits λ R eine Wurzel von p, so können wir, da X λ normiert ist, mit Algorithmus q, r R[X] berechnen mit p = q(x λ) + r. Nun gilt Grad(r) < Grad(X λ) = 1. Also ist r R. Da λ Wurzel von p ist, gilt 0 R = P (λ) = Q(λ)(λ λ) + r = r Es folgt r = 0 und damit p = q(x λ). Satz Es sei K ein Körper. Dann ist δ : K[X] N, δ(f) := 2 Grad(f) eine euklidische Normfunktion. Beweis. δ ist multiplikativ: δ(f g) = 2 Grad(f g) = 2 Grad(f)+Grad(g) = 2 Grad(f) 2 Grad(g) = δ(f)δ(g) f K[X], g K[X] q, r R : f = qg + r und es gilt r = 0 K[X] oder δ(r) < δ(p): Hierzu bemerken wir zuerst, dass die Abbildung 2 x streng monoton wachsend ist und somit 2 Grad(f) < 2 Grad(g) Grad(f) < Grad(g) (1.1.29) gilt. Zu gegebenen f, g lassen sich die q, r also mittels Algorithmus berechnen. Folgerung Ist K ein Körper, so ist K[X] ein euklischer Ring. Bemerkung Will man nur wissen, ob δ(f) δ(g) ist, so mache man sich Gleichung zu Nutze und überprüfe Grad(f) Grad(g). Damit erspart man sich die Berechnung von 2 Grad(f) und 2 Grad(g), welche einen großen Aufwand bedeuten würde. 8

18 1.2 Der euklidische Algorithmus Wir wollen uns nun mit dem euklidischen Algorithmus beschäftigen. Dieser stellt eine Möglichkeit dar, den größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Dieses von den natürlichen bzw. ganzen Zahlen bekannte Verfahren lässt sich auf jeden beliebigen euklidischen Ring übertragen. So zum Beispiel auch auf den uns interessierenden Ring der Polynome K[X]. In diesem Abschnitt sei immer R ein euklidischer Ring und δ : R N eine euklidische Normfunktion. Betrachten wir als erstes den Begriff größter gemeinsamer Teiler: Definition (größter gemeinsamer Teiler). g R ist ein größter gemeinsamer Teiler kurz ggt von a, b R : g ist ein gemeinsamer Teiler von a und b, d.h g a und g b r R, r a r b : r g Die Menge aller solchen g wird mit ggt (a, b) bezeichnet. Bemerkung Ist a = 0 oder b = 0, so ist ggt (a, b) = {0 R } Lemma Es seien a, b R mit Primfaktorzerlegung: a n p ri i, b n p si i Dabei sind r i bzw. s i eventuell 0. Sei g ein gemeinsamer Teiler von a, b. Äquivalent sind: 1. g ggt (a, b) 2. für alle gemeinsamen Teiler g von a, b gilt: δ(g ) δ(g) 3. g n pmin(ri,si) Beweis. 1 2 folgt direkt aus der Definition mittels Lemma a) 2 3 Sei nun g := n pmin(ri,si) i. Dann ist g ein gemeinsamer Teiler von a und b, da alle Primfaktoren von g in ihrer Potenz sowohl in a als auch in b aufgehen. Nun ist auch g ein gemeinsamer Teiler und somit sind alle Primfaktoren von g von der Form p ki i mit k i min(r i, s i ) sonst würde g a oder g b gelten. Damit folgt g g und nach Lemma a) δ(g) δ(g ). Nach Voraussetzung gilt aber δ(g ) δ(g). Es ergibt sich δ(g) = δ(g ) und nach Lemma d) die Behauptung. 3 1 Wir haben eben gezeigt, dass g := n pmin(ri,si) i ein gemeinsamer Teiler von a und b ist und für jeden weiteren gemeinsamen Teiler g gilt: g g. Damit gilt g ggt (a, b). Nach den Definitionen und folgt damit die Behauptung für g. Dies rechtfertigt die Bezeichnung größter gemeinsamer Teiler. 9

19 Folgerung Alle größten gemeinsamen Teiler von a, b sind zueinander assoziiert, d.h. g, g ggt (a, b) : g g Ist g ggt (a, b) und g g, so ist g ggt (a, b) Beschäftigen wir uns nun mit der Berechnung eines g ggt (a, b) zu gegebenen a, b R. Wir betrachten dazu die Division mit Rest: Es bezeichne a DIV b den Anteil von b in a und a MOD b den Rest dieser Division, d.h. gelte: a = (a DIV b) b + (a MOD b), a MOD b = 0 δ(a MOD b) < δ(b) (1.2.5) Im Falle R = K[X] verwende etwa Algorithmus Die Idee des euklidischen Algorithmus basiert auf dem folgenden Lemma: Lemma ggt (a, b) = ggt (b, a MOD b) Beweis. Wir zeigen, dass alle Elemente der linken Seite alle Elemente der rechten teilen und umgekehrt. Es sei g 1 ggt (a, b). Damit teilt g 1 die linke Seite von Gleichung und den ersten Summanden der rechten Seite. Folglich muss g 1 auch den zweiten Summanden a MOD b teilen. Nach Definition teilt g 1 damit jedes Element von ggt (b, a MOD b). Sei nun g 2 ggt (b, a MOD b). Dann teilt g 2 die rechte Seite von Gleichung und somit auch die linke, also a. Demnach teilt g 2 jedes Element von ggt (a, b). Es ergibt sich: g 1 ist ein gemeinsamer Teiler von b, a MOD b und g 2 ein gemeinsamer Teiler von a, b. Aus g 1 ggt (a, b) folgt damit g 2 g 1 und analog g 1 g 2. g 1 und g 2 sind also zueinander assoziiert und somit g 2 ggt (a, b), g 1 ggt (b, a MOD b). Folglich sind die Mengen gleich. Dieses werden wir nun iterieren: Setze r 0 := a,s 0 := b. Betrachte also in der ersten Iteration ggt (r 0, r 0 MOD s 0 ). Um diesen wiederum zu berechnen, setze r 1 := s 0,s 1 := r 0 MOD s 0. Führe dies iterativ fort, bis irgendwann s i := r i 1 MOD s i 1 = 0 ist. Dann gilt für r i := s i 1 r i r i 1 und somit ist r i ggt (r i 1, s i 1 ) = ggt (r i 2, s i 2 ) =... = ggt (r 0, s 0 ) = ggt (a, b). Algorithmus (Euklidische Algorithmus). Eingabe: a, b R Ausgabe: g ggt (a, b) Schritt 1: Initialisierung: Setze r 0 := a s 0 := b i := 0 10

20 Schritt 2: Solange(s i 0 R ) Setze s i+1 := r i MOD s i r i+1 := s i i := i + 1 Schritt 3: Gebe g := r i zurück Rechnen wir ein Beispiel. Beispiel Es sei R = Z. Wir wollen einen ggt von 35 und 21 berechnen, also z.b. 7. Die nachfolgende Tabelle zeigt die einzelnen Iterationen an. Zur Veranschaulichung wurde r i DIV s i eingefügt. Dieser Wert ist aber für die ggt Berechnung nicht nötig. i r i s i r i MOD s i r i DIV s i Die Hervorhebungen sollen verdeutlichen, wie die Werte aus der einen Zeile in die nächste übernommen werden. Der Algorithmus liefert 7 als einen größten gemeinsamen Teiler. Die Korrektheit des Algorithmus haben wir im Vorfeld schon gezeigt. Wir überprüfen noch die Endlichkeit: Satz (Endlichkeit des euklidischen Algorithmus). Der euklidische Algorithmus determiniert in endlich vielen Schritten. Beweis. Es ist zu zeigen, dass nach endlich vielen Schritten die Bedingung s i = 0 erfüllt ist. Aus Gleichung folgt δ(s i+1 ) < δ(s i ). δ(s i ) wird also in jedem Iterationsschritt echt kleiner. Nun ist δ(s i ) N und somit gibt es beginnend mit s 0 := b nur endlich viele Werte die angenommen werden können. Man kann den Algorithmus allerdings noch erweitern. Betrachten wir wieder unser Beispiel Die Reste s i+1 lassen sich folgendermaßen darstellen: Einsetzen liefert: 7 = (1.2.10) 14 = (1.2.11) 7 = = 21 (35 21) = Wir erhalten demnach eine Darstellung des ggt als Linearkombination von a, b. Bei der tatsächlichen Berechnung ist es allerdings effizienter, die Koeffizienten 11

21 gleich mitzuberechnen. Es ist r 0 = a, s 0 = b. Somit können wir sowohl r 0 als auch s 0 als Linearkombination von a und b darstellen: Es seien nun: r 0 = 1a + 0b s 0 = 0a + 1b r i = x i a + y i b s i = x ia + y ib Nach Schritt 2 Algorithmus gilt: r i+1 := s i und somit Für s i+1 gilt: Das heißt x i+1 = x i y i+1 = y i s i+1 = r i MOD s i = r i (r i DIV s i ) s i } {{ } :=u i = (x i a + y i b) u i (x ia + y ib) = (x i u i x i)a + (y i u i y i)b x i+1 = x i u i x i y i+1 = y i u i y i Wir fassen dies noch zusammen: Algorithmus (Erweiterter Euklidische Algorithmus). 1 Eingabe: a, b R Ausgabe: g ggt (a, b), x, y R mit xa + yb = g Schritt 1: Initialisierung: Setze: r 0 := a s 0 := b x 0 := 1 y 0 := 0 x 0 := 0 y 0 := 1 1 In [luen] ist der Algorithmus Lagrange gewidmet 12

22 i := 0 Schritt 2: Iteration: Solange(s i 0 R ) Setze: s i+1 := r i MOD s i r i+1 := s i u i := r i DIV s i x i+1 := x i y i+1 := y i x i+1 := x i u i x i y i+1 := y i u i y i i := i + 1 Schritt 3: Gebe g := r i, x := x i, y := y i zurück. Beispiel Rechnen wir unser Beispiel noch einmal mit Algorithmus durch. i r i s i r i MOD s i r i DIV s i x i y i x i y i Der letzten Zeile entnimmt man 7 = Definition (kgv). k R ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von a, b R : k ist ein gemeinsames Vielfaches von a, b, d.h. a k b k. r R, a r b r : k r. Die Menge aller solchen k wird mit kgv (a, b) bezeichnet. Lemma (Eigenschaften des kgv ). Es seien a, b R mit Primfaktorzerlegung: n n a p ri i, b Dabei sind r i bzw. s i eventuell 0. Sei k ein gemeinsames Vielfaches von a, b. Äquivalent sind: 1. k kgv (a, b) 2. für alle gemeinsamen Vielfachen k von a, b gilt: δ(k ) δ(k) 3. k n pmax(ri,si) i Beweis. Analog zu Lemma auf Seite 9. p si i 13

23 Folgerung Alle kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a, b sind zueinander assoziiert, d.h. k, k kgv (a, b) : k k Ist k kgv (a, b) und k k, so ist k kgv (a, b) Satz Seien a, b R und k kgv (a, b), g ggt (a, b). Dann gilt: k ab g Beweis. Aus den Lemmata und folgt mit s i + r i = min(s i, r i ) + max(s i, r i ): n ab g pri i n psi i n pmin(ri,si) i = n p ri+si min(ri,si) i = n p max(ri,si) i k Wir können also ein Element k kgv (a, b) mittels Algorithmus bestimmen. Die Begriffe ggt und kgv lassen sich auch völlig analog für mehr als zwei Ringelemente definieren: Definition Es seien r 1,..., r n R. Dann ist g ggt (r 1,..., r n ) : g r i, i = 1,..., n g : g r i, i = 1,..., n g g k kgv (r 1,..., r n ) : r i k, i = 1,..., n k : r i k, i = 1,..., n k k Wir können aber die Berechnung des allgemeinen Falls auf die spezielle Situation n = 2 zurückführen, wie das folgende Lemma zeigt. Lemma Für r 1,..., r n R gilt: kgv (r 1,..., r n ) = kgv (kgv (r 1,..., r n 1 ), r n ) = kgv (r 1, kgv (r 2,..., r n )) ggt (r 1,..., r n ) = ggt (ggt (r 1,..., r n 1 ), r n ) = ggt (r 1, ggt (r 2,..., r n )) Beweis. Wir zeigen die Gleichung kgv (r 1,..., r n ) = kgv (kgv (r 1,..., r n 1 ), r n ). Den Rest zeigt man völlig analog. Ist k kgv (r 1,..., r n ), so ist k auch ein gemeinsames Vielfaches von r 1,..., r n 1. Demnach teilt jedes k kgv (r 1,..., r n 1 ) k. Nun ist k aber auch ein Vielfaches von r n. Also wird k von jedem k kgv (kgv (r 1,..., r n 1 ), r n ) geteilt. Umgekehrt ist jedes Element aus kgv (kgv (r 1,..., r n 1 ), r n ) ein gemeinsames Vielfaches von r 1,..., r n und wird folglich von jedem Element aus kgv (r 1,..., r n ) geteilt. Damit sind die Elemente der linken Seite zu denen der rechten assoziiert. Da die Menge kgv nach Folgerung abgeschlossen ist bezüglich Assoziierung, sind die Mengen gleich. 14