7. Nichtlineare Gleichngssysteme. Problem 7: Sei f : R n R n stetig. Löse f(x) = 0.

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Oldwig Pohl
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1 7. Nichtlineare Gleichngssysteme Problem 7: Sei f : R n R n stetig. Löse f(x) = 0. Das Gleichungssystem f(x) = 0 lässt sich in die Fixpunktgleichung x = φ(x) umschreiben, wobei φ : D R n R n. Beispielsweise wählt man φ(x) = x +C(x)f(x), C(x)C(x) 1 = I, x D. Definition: Die Funktion φ : D R n R n heißt (i) Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstante L 0, falls φ(x) φ(y) L x y für alle x,y D. (ii) kontrahierend mit Kontraktionszahl L, falls φ Lipschitz-stetig ist und 0 L < 1.

2 Banachscher Fixpunktsatz: Sei X ein normierter Vektorraum mit der Norm und E X sei vollständig. Weiterhin, sei die Selbstabbildung φ : E E kontrahierend mit der Kontraktionszahl 0 L < 1. Dann (i) existiert ein eindeutiger Fixpunkt x E von φ (d.h. x = φ(x )), (ii) für alle x (0) E konvergiert die Folge gegen x, (iii) gelten die Fehlerabschätzungen x (k+1) = φ(x (k) ), k = 0,1,... x (k) x Lk 1 L x(1) x (0) (a-priori) und x (k) x L 1 L x(k) x (k 1) (a-posteriori)

3 7.1 Eindeutige Lösbarkeit Lemma: Sei φ : D R n R n stetig. Weiterhin, seien ξ 0 D, r > 0, sowie 0 L < 1 mit den folgenden Eigeschaften gegeben: (i) K r (ξ 0 ) := {x R n : x ξ 0 r} D (ii) φ(x) φ(y) L x y für alle x,y K r (ξ 0 ) (iii) φ(ξ 0 ) ξ 0 r(1 L). Dann ist φ : K r (ξ 0 ) K r (ξ 0 ) kontrahierend.

4 Satz: Die Menge D R n sei konvex und φ = φ 1. φ n : D R n sei stetig differenzierbar. Falls es eine natürliche Matrixnorm existiert so, dass φ 1 φ x x n L := sup x D.. < 1, φ n φ x 1... n x }{{ n } =Dφ Jacobi-Matrix dann gilt φ(x) φ(y) L x y für alle x,y D.

5 7.2 Konditionierung (n = 1) Seien x bzw. x die m-fachen Nullstellen von f bzw. f und f( x ) ε, ε > 0. Die Taylorentwicklung von f um x ergibt x x ε 1/m m! f (m) (x ) D.h. das Problem 7 ist schlecht konditioniert für m > 1 und ist gut konditioniert für m = Newton-Verfahren Sei f : R n R n stetig differenzierbar. Zur Lösung von f(x) = 0 wählt man x (0) D und berechnet [ 1f(x x (k+1) = x (k) Df(x )] (k) (k) ), k = 0,1,... Das Verfahren bricht ab, falls die Jacobi-Matrix Df(x (k) ) singulär ist. 1/m.

6 Numerische Implementierung des Newton-Verfahrens Wähle beliebigen Startvektor x (0) R n und TOL > 0 Für k = 0,1,2, Berechne f(x (k) ) und Df(x (k) ) 2. Löse Df(x (k) )s k = f(x (k) ) 3. Setze x (k+1) = x (k) s k STOP: f(x (k+1) ) < TOL Geometrische Interpretation des Newton-Verfahrens (n = 1) f(x)=x 2 2 x 1 Tangente x 0 T(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) und T(x 1 ) = 0

7 Satz: (Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens) Falls (i) f : Ω R n R n stetig differenzierbar, Ω ist offen und konvex, (ii) f besitzt eine Nullstelle x Ω, (iii) Df ist auf Ω Lipschitz-stetig mit einer Konstanten M > 0, (iv) für jedes x Ω ist Df(x) invertierbar und m = sup [Df(x)] 1 <, x Ω (v) es existiert 0 < r < 2 Mm, so dass K r(x ) Ω, dann konvergiert die Folge (x (k) ) k N mit x (k) K r (x ), k N, des Newton-Verfahrens für jeden Startwert x (0) K r (x ) gegen x. Diese Konvergenz ist lokal quadratisch (Verdopplung genauer Stellen pro Schritt), d.h. x (k) x Mm 2 x(k 1) x 2.

8 Einige Anwendungen: Wurzelberechnung f(x) = x 2 a = 0, a R. Berechnung von Polynomnullstellen Nichtlineare Ausgleichsprobleme Flugbahnberechnung der NASA-Jupitersonde (beim Lösen von DGLs mit Hilfe von impliziten Verfahren)

9 Varianten des Newton-Verfahrens: (i) Beim Newton-Verfahren (mit n > 1) kostet in jedem Schritt sowohl das Aufstellen der Matrix Df(x (k) ) als auch das Lösen des linearen Gleichungssystems Df(x (k) )s k = f(x (k) ) die meiste Zeit. (ii) Beim vereinfachten Newton-Verfahren ersetzt man die Matrizen Df(x (k) ), k = 0,...,l, l N, durch Df(x (0) ). (iii) Bei einer m-fachen Nullstelle an der Stelle x wird das modifizierte Newton-Verfahren x (k+1) = x (k) ms k, k = 0,1,..., verwendet. Die Konvergenz, falls vorkommt, ist lokal quadratisch. (iv) Um die Wahl des Startvektors x (0) zu vereinfachen, wird das gedämpfte Newton-Verfahren x (k+1) = x (k) λ k s k, 0 < λ k 1, k = 0,1,..., verwendet. Die Wahl von λ k wird im Kapitel 8 erläutert.

10 Andere Iterationsverfahren (keine Fixpunktiterationsverfahren): (i) Bissektionsverfahren (f : R R stetig) wird häufig benutzt, um den Startwert x (0) für das Newton-Verfahren zu wählen. (ii) Regula-Falsi (f : R R stetig, monoton). (iii) Sekanten-Verfahren (f : R R stetig) Wähle die Startwerte x (0),x (1) R und TOL > 0 Für k = 0,1,2,... berechne x (k+1) = x (k) f(x (k) ) x (k) x (k 1) f(x (k) ) f(x (k 1) ) STOP: f(x (k+1) ) < TOL Konvergenzordnung des Sekanten-Verfahrens ist p 1.6. Nachteil: zwei Startwerte.

Example: Bestimme eine Näherungan an die Nullstelle x = 0.

11 Example: Bestimme eine Näherungan an die Nullstelle x = der Funktion f : R R, f(x) = e x x 2 3x.

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