1. Selbsttest Direkte Proportionalität Spielzeugeisenbahn Gleichung James Blond. Volumen des Flüssigsprengstoffs in Litern

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1 1. Selbsttest 1.1. Direkte Proportionalität Nenne die drei Erkennungsmerkmale einer direkten Proportionalität y x Spielzeugeisenbahn Eine Spielzeugeisenbahn legt in der Zeit t die Strecke s zurück. Dabei ist s t. a) Ergänze die folgende Tabelle sinnvoll. Bei einem gegebenen Wertepaar ist s falsch angegeben. Korrigiere diesen. t in s s in cm 10, ,5 77 b) Gib den Proportionalitätsfaktor und dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an Gleichung Löse die folgende Gleichung über der Grundmenge Q. 3z (4 z) + 4 = 13 z 2 5z (3 2z) 1.4. James Blond James Blond füllt ein zunächst leeres würfelförmiges Gefäß unter Verwendung eines Schlauches mit Flüssigsprengstoff (Nitroglycerin) bis es überläuft. Der Spezialschlauch transportiert in 6 Sekunden 500 Hektoliter Flüssigsprengstoff. Das nebenstehende Diagramm gibt den Füllvorgang wieder. a) Bestimme die (Innen-)Kantenlänge des würfelförmigen Gefäßes Volumen des Flüssigsprengstoffs in Litern b) Berechne die Zahl, die im Diagramm statt des Fragezeichens stehen muss.? Füllzeit in Minuten

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3 2. Selbsttest 2.1. Pump it baby Betrachtet wird ein Wasserbecken, das über insgesamt drei gleichwertige Pumpen aufgefüllt wird. Diese drei Pumpen benötigen zusammen 16 Stunden, um das Becken zu füllen. a) Eine Pumpe ist defekt. Wie lange dauert jetzt der Füllvorgang? b) Der Füllvorgang beginnt mit allen drei Pumpen. Nach 4 Stunden fällt eine Pumpe aus. Wie lange dauert der Füllvorgang noch? Wie lange dauert der Füllvorgang insgesamt? 2.2. Lösung zu: Pump it baby Welche Größen sind veränderlich? Anzahl der Pumpen, Fülldauer Welche Art von Proportionalität vermutet man? indirekte Proprtionalität Was ist immer gleich? Wasservolumen Produktwert (entspricht dem Wasservolumen): 3 P 16 h = 48 Ph (Pumpstunden; vgl. Mannjahre ) a) 2 P t = 48 Ph = t = b) 48 Ph 2 P = 24 h 3 P 4 h + 2 P t Rest = 48 Ph 12 Ph + 2 P t Rest = 48 Ph 2 P t Rest = 36 Ph t Rest = 18 h t gesamt = 4 h + 18 h = 22 h 2.3. Bob und Bauer Gurke Der Heuvorrat von Bauer Gurke reicht für 16 Kühe 62 Tage lang. Nach 14 Tagen möchte Bob ihm vier Kühe abkaufen. Nach weiteren neun Tagen erhält Bauer Gurke von Wendy das Angebot von ihr neun Kühe sehr günstig zu kaufen. Wann liefern Bob und Rumpel wieder frisches Heu? a) Welche Aspekte in der Aufgabenstellung sind ungünstig? Warum? b) Formuliere die Aufgabenstellung sinnvoll um. Der Kern der Aufgabe und die Zahlenwerte sollen jedoch unverändert bleiben. c) Löse die umformulierte Aufgabe. d) Was hat dies Lösung mit Proportionalität zu tun? 2.4. Lösung zu: Bob und Bauer Gurke a) Hat Bauer Gurke überhaupt mehr als 4 Kühe? Kauft Bob ihm die Kühe wirklich ab? Kauft Bauer Gurke von Wendy die neun Kühe? Bob und Rumpel können das Heu schon liefern, wenn noch etwas Heu vorrätig ist, oder wenn die Kühe bereits verhungert sind. Fressen alle Kühe die gleiche Menge Heu am Tag? (Baby-Kuh, Senioren-Teller-Kuh) b) Bauer Gurke hat 16 Kühe. Sein Heuvorrat für diese 16 Kühe reicht für 62 Tage. Nach 14 Tagen verkauft er Bob vier Kühe. Nach weiteren neun Tagen kauft Bauer Gurke von Wendy neun Kühe. Für wie viele Tage reicht sein Heuvorrat, wenn alle Kühe die gleiche Menge Heu pro Tag erhalten? c) Damit reicht der Heuvorrat für 14 d + 9 d + 31 d = 54 d. 16 K 14 d + 12 K 9 d + 21 K x = 16 K 62 d 224 Kd Kd + 21 K x = 992 Kd 332 Kd + 21 K x = 992 Kd 21 K x = 660 Kd x = 31, d d) Die Anzahl der Tage ist indirekt proportional zur Anzahl der Kühe. Die Produktgleichheit liefert 992 Kuhtage.

4 3. Selbsttest 3.1. Funktionsgraph Abgebildet ist der Graph G f einer Funktion f. Entnimm die nötigen Informationen diesem Graphen. Ergänze: a) f(1,5) = b) Nullstellen von f: c) Definitionsmenge von f: D f = d) Wertemenge von f: W f = e) Löse graphisch: f(x) = 1 2 ; f) Löse graphisch: 2 f(x) = 1; y x 3.2. Wertetabelle und Graph Gegeben ist die Funktion f : x 1 2 x + 3 mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet. a) Gib D f an und begründe deine Wahl. b) Bestimme rechnerisch die Nullstelle(n) von f. c) Gib die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen an. d) Erstelle eine Wertetabelle von x = 2 bis x = 8 in Abständen von 1. e) Zeichne den Graphen G f in das Koordinatensystem ein. 4 y x 1 2

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6 4. Selbsttest y 4.1. Graph lesen I Abgebildet ist der Graph G f einer Funktion f. a) D f = b) Nullstellen: c) Schnittpunkte mit der x Achse: d) Schnittpunkt mit der y Achse: e) f(2,5) = G f f) f( 2) = g) f(x) = 3,5 = x = h) f(x) > 0 für i) f(x) 0 für j) f(x) < 0 für k) Wertemenge W f = 4.2. Graph lesen II Abgebildet ist der Graph G g einer Funktion g. a) D g = y x b) Nullstellen: c) Schnittpunkte mit der x Achse: d) Schnittpunkt mit der y Achse: 2 1 G g e) g( 1) = f) g(0,5) = g) g(x) = 2,5 = x = h) g(x) > 0 für i) g(x) 0 für j) Wertemenge W g = x Graph skizzieren Skizziere den Graphen einer Funktion h mit folgenden Eigenschaften: D h = [ 3,5; 3] h(2) = 1 Nullstellen: x = 2; x = 1,5 G h verläuft nicht im III. Quadranten 2 1 y x

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8 5. Selbsttest 5.1. Hat dein Schaf eine Allergie? Gib jeweils die maximale Definitionsmenge und alle Nullstellen an. f : x 3 x D f = Nullstelle(n): f : x 3 x + 4 D f = Nullstelle(n): f : x x + 3 x 4 f : x f : x x + 3 (x + 4) (x 2) (x + 3) (x 5) (x + 4) (x 2) D f = D f = D f = Nullstelle(n): Nullstelle(n): Nullstelle(n): f : x x 5 (x 9) 2 D f = Nullstelle(n): f : x x 5 x 2 9 f : x x (x 5) x 2 36 f : x x2 5x x D f = D f = D f = Nullstelle(n): Nullstelle(n): Nullstelle(n): f : x x2 + 1 x 2 1,21 D f = Nullstelle(n): f : x x2 1 x 2 + 1,21 D f = Nullstelle(n): 5.2. Graph lesen Abgebildet ist der Graph G f einer Funktion f mit ganzzahligen Nullstellen. a) D f = b) Nullstellen: c) Schnittpunkte mit der x Achse: d) Schnittpunkt mit der y Achse: e) f(1,5) = f) f( 0,5) = g) f(x) = 1 = x = h) f(x) > 0 für x i) f(x) 0 für x j) f(x) < 0 für x k) f(x) 0 für x l) Wertemenge W f = y x

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10 6. Selbsttest 6.1. Schulweg-Geschichten Die abgebildeten Diagramme passen zu Geschichten, welche den morgentlichen Schulweg eines Schülers beschreiben, der zu Fuß unterwegs ist. Entfernung von zu Hause Entfernung von zu Hause (A) Zeit (B) Zeit Entfernung von zu Hause Entfernung von zu Hause (C) Zeit (D) Zeit a) Zu welchem Diagramm passt die folgende Geschichte am besten? Anfangs ging es meinem Knie hervorragend, aber dann fingen die Schmerzen wieder an und wurden immer heftiger. Schließlich konnte ich kaum noch gehen. b) Erfinde zu den anderen drei Diagrammen selbst jeweils eine kreative Schulweggeschichte. c) Entwickle ein eigenes Schulweg-Diagramm mit zugehöriger Geschichte.

11 7. Selbsttest 7.1. Rund um Rundes a) Gib die Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Kreises an. b) Wie ändert sich der Umfang eines Kreises, wenn man den Radius vervierfacht? c) Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man den Radius vervierfacht? d) Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man den Umfang verdreifacht? e) Wie ändert sich der Radius eines Kreises, wenn man den Flächeninhalt des Kreises ver-16-facht? f) Wie ändert sich der Umfang eines Kreises, wenn man den Flächeninhalt des Kreises ver-36-facht? 7.2. Funktionenschaf mit Allergie Gegeben ist die Funktion f : x (x2 49) (3x + 7) (x ) (2x 14) mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird G f bezeichnet. a) Gib D f an. b) Bestimme die Nullstellen von f. c) Gib die Schnittpunkte von G f mit der x Achse an. d) Gib den Schnittpunkt S y von G f mit der y Achse an. e) Übersuche, ob der Punkt P (2 2) auf G f, überhalb von G f oder unterhalb von G f liegt.

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13 8. Selbsttest 8.1. Graphen y y G f x x 1 2 G g a) Im linken Koordinatensystem ist der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge D f und der Graph einer Funktion g mit der Definitionsmenge D g abgebildet. Bestimme beide Funktionen mit ihrer jeweiligen Definitionsmenge und Wertemenge. 4 b) Zeichne in das rechte Koordinatensystem den Graphen der Funktion h: x 1 2 x + 1 mit D h = Q und den Graphen der Funktion k : x x mit D k = Q. Lies den Schnittpunkt S möglichst genau ab. c) Löse die Gleichung h(x) = k(x). Was fällt dir auf? h(x) = k(x) 1 2 x + 1 = x d) Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P (60 40) auf, über oder unter G k liegt.

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15 9. Selbsttest 9.1. Steigung und Punkt gegeben a) Gesucht ist die lineare Funktion f mit maximaler Definitionsmenge D f, mit folgenden Eigenschaften: G f hat die Steigung 1,5. P (2 0,5) liegt auf G f b) Gesucht ist die lineare Funktion h mit maximaler Definitionsmenge D h, mit folgenden Eigenschaften: G h hat die Steigung 3. P (4 7) liegt auf G h 9.2. y-achsenabschnitt und Punkt gegeben a) Gesucht ist die lineare Funktion f mit maximaler Definitionsmenge D f, mit folgenden Eigenschaften: G f hat den y Achsenabschnitt 3 P (4 5) liegt auf G f b) Gesucht ist die lineare Funktion g mit maximaler Definitionsmenge D g, mit folgenden Eigenschaften: G g hat den y Achsenabschnitt 2,5 P ( 3 0,5) liegt auf G g 9.3. Zwei Punkte gegeben a) Von einer linearen Funktion f mit maximaler Definitionsmenge D f weiß man, dass A( 2,5 3) und B(1,5 1) auf G f liegen. Bestimme f. b) Von einer linearen Funktion h mit maximaler Definitionsmenge D h weiß man, dass P (1 2) und Q(4 4) auf G h liegen. Bestimme h.

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17 10. Selbsttest Schnittpunkt rechnerisch ermittelt Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden rechnerisch und vergleiche dann mit der Abbildung. Ermittle dazu zunächst die Geradengleichungen unter Verwendung der Abbildung. 4 3 y x Gleichung graphisch gelöst Abgebildet ist der Graph zur Funktion x x 2 ; x Q: y x Bestimme graphisch Näherungswerte für die Lösungen der Gleichung für x Q. x 2 = 2,5 2 3 x Größen und Einheiten Gib in der jeweils geforderten Einheit an: a) in s: 1,2 h = b) in mm: 2,05 km = c) in g: 5,02 kg = d) in m 3 : 7,01 l = e) in ha: 9,05 cm 2 =

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19 11. Selbstest Gleichung graphisch gelöst Abgebildet ist der Graph zur Funktion f : x x 2 (x 2) 2 mit D f = Q: y 5 G f x 1 a) Bestimme graphisch Näherungswerte für die Lösungen der Gleichung x 2 (x 2) 2 = x für x Q. 3 b) Bestimme Näherungswerte für die Lösungen der Gleichung x 2 (x 2) x = 1,5 für x Q. 3 c) Bestimme graphisch Näherungswerte für die Lösungen der Gleichung x 2 (x 2) 2 = 4 für x Q Schnittpunkt berechnen Die Gerade G g verläuft durch die Punkte A( 2 5) und B(4 4). Der Graph der linearen Funktion f hat den y Achsenabschnitt 4 und die Nullstelle x = Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Graphen.

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21 12. Selbsttest: Handytarife Die folgenden beiden Handytarife sollen verglichen werden: Tarif A: keine monatliche Grundgebühr; 20 ct pro Minute bei sekundengenauer Abrechnung Tarif B: monatliche Grundgebühr von 3 e; 10 ct pro Minute bei sekundengenauer Abrechnung a) Stelle eine Gleichung für die monatlichen Handykosten A in Euro in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer x in Minuten für Tarif A auf. A(x) = b) Stelle eine Gleichung für die monatlichen Handykosten B in Euro in Abhängigkeit von der Gesprächsdauer x in Minuten für Tarif B auf. B(x) = c) Stelle beide Tarife graphisch dar. Verwende dazu für Tarif A die Farbe blau, für Tarif B die Farbe grün. Kosten (Euro) x (Minuten) d) Wie ist der Schnittpunkt der beiden Graphen zu interpretieren? e) Gib eine differenzierte Tarifempfehlung ab. Also: Welchen Tarif würdest du unter welchen Voraussetzungen empfehlen? f) Sepp hat am Monatsende noch 7 e auf seiner Prepaidkarte und ist im Tarif B. Wie lange kann er im Folgemonat in diesem Tarif telefonieren, wenn er die Karte nicht aufladen will? Verwende für die Beantwortung dieser Aufgabe das Diagramm aus c). g) Löse die Fragestellung aus f) nun auch noch rechnerisch.

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24 13. Selbsttest Terme Vereinfache jeweils so weit wie möglich. a) ( x) 2 x ( x) 3 = b) (2x 3) (3 + 2x) = Funktion Gegeben ist die Funktion f : x 3x 4 x 2 49 mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet. a) Gib die maximale Definitionsmenge D f an. b) Bestimme die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. c) Untersuche, ob der Punkt P (3 1) auf, über oder unter G f liegt. Begründe Deine Antwort mit Hilfe einer Rechnung Gerade Eine Gerade verläuft durch die beiden Punkte A(2 3) und B(1 5). Ermittlere rechnerisch die Geradengleichung Schnittpunkt gesucht Lies die Geradengleichungen aus der Abbildung ab. Berechne damit die exakten (nicht runden!) Koordinaten des Schnittpunkts der beiden eingezeichneten Geraden. y (I) 3 (II) x Gleichungssystem Berechne die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems für x,y Q: (I) 3y 7x = 0 (II) 2,5x + 3y = Lösungen Gib zur Gleichung (I) 4x + 2y = 10 eine andere Gleichung an, so dass das zugehörige Gleichungssystem für x,y Q a) keine Lösung hat. b) unendlich viele Lösungen hat Ungleichung Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung 4x 2 (3 2x) 3 über der Grundmenge G = Q.

25 13.8. Lösung: Terme Vereinfache jeweils so weit wie möglich. a) ( x) 2 x ( x) 3 = x 2 x ( x 3 ) = x 3 + x 3 = 2x 3 b) (2x 3) (3 + 2x) = 6x + 4x 2 9 6x = 4x Lösung: Funktion Gegeben ist die Funktion f : x 3x 4 x 2 49 mit der maximalen Definitionsmenge D f. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet. a) Gib die maximale Definitionsmenge D f an. Nenner = 0 x 2 49 = 0 x 2 = 49 x = ±7 D f = R \ {±7} b) Bestimme die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. a) Schnittpunkt mit der x Achse: f(x) = 0 3x 4 = 0 3x = 4 b) Schnittpunkt mit der y Achse: x = 4 3 = N( ) f(0) = = 4 49 = 4 49 S y ( ) c) Untersuche, ob der Punkt P (3 1) auf, über oder unter G f liegt. Begründe Deine Antwort mit Hilfe einer Rechnung. Wegen f(3) = = 1 8 = 0,125 liegt der Punkt Q(3 0,125) auf G f, deshalb liegt P (3 1) über G f Lösung: Gerade Eine Gerade verläuft durch die beiden Punkte A(2 3) und B(1 5). Ermittlere rechnerisch die Geradengleichung. Wir arbeiten mit dem Ansatz f(x) = m x + t. Für die Steigung erhält man m = y A y B 3 ( 5) = = 2 x A x B 2 1 Damit kann man t bestimmen, indem man die Koordinaten von A einsetzt: Insgesamt erhält man also: f(x) = 2 x 7. f(2) = t = t = 3 t = 7

26 Lösung: Schnittpunkt gesucht Lies die Geradengleichungen aus der Abbildung ab. Berechne damit die exakten (nicht runden!) Koordinaten des Schnittpunkts der beiden eingezeichneten Geraden. y (I) 3 (II) x (I) y = 2x 3 (II) y = 3 2 x 4 Mit dem Gleichsetzverfahren ergibt sich: 2x 3 = 3 2 x x 3,5x 3 = ,5x = 1 : 3,5 x = 2 7 0,3 Nun muss man noch y berechnen. Beispielsweise nimmt man dazu Gleichung (I): ( y = 2 2 ) 3 = = ,6 ( ) Die beiden Geraden schneiden sich also im Punkt

27 Lösung: Gleichungssystem Berechne die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems für x,y Q: (I) 3y 7x = 0 (II) 2,5x + 3y = 6 Wir arbeiten mit dem Gleichsetzungsverfahren. Dazu lösen wir beide Gleichungen nach 3y auf und setzen gleich: (I) 3y = 7x 108 (II) 3y = 6 2,5x 3y (I) = 3y (II) 7x 108 = 6 2,5x x = 114 2,5x + 2,5x 7x = 114 2,5x + 2,5x 9,5x = 114 : 9,5 x = 12 Zur Berechnung von y setzen wir x = 12 in Gleichung (I) ein: 3y = y = 24 y = 8 Damit ergibt sich als Lösungsmenge: L = {(12 8)} Lösung: Lösungen Gib zur Gleichung (I) 4x + 2y = 10 eine andere Gleichung an, so dass das zugehörige Gleichungssystem für x,y Q a) keine Lösung hat. (II) 4x + 2y = 11 b) unendlich viele Lösungen hat. (II) 2x + y = Lösung: Ungleichung Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der Ungleichung 4x 2 (3 2x) 3 über der Grundmenge G = Q. 4x 2 (3 2x) 3 4x 6 + 4x 3 8x x 3 : 8 x 3 8 [ [ 3 L = 8 ; +

28 14. Selbsttest Funktion Gegeben ist die Funktion f : x x2 1 3x 6 mit der maximalen Definitionsmenge D f. Ihr Graph wird G f bezeichnet. a) Gib die maximale Definitionsmenge an: D f = b) Gib die Nullstellen von f an: c) Bestimme die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. d) Eingezeichnet ist der Graph G g der linearen Funktion g mit D g = Q. Bestimme den Funktionsterm von g. Arbeite dazu mit gut ablesbaren Punkten. y x e) Zeichne G f in das obige Koordinatensystem ein. Verwende für die x Werte eine Schrittweite von 0,5. Berechne in der Nähe von x = 2 noch geeignete Zusatzwerte. Beachte, dass G f keine Gerade ist! f) Entscheide, ob der Punkt P (10 4) über, auf oder unter G f liegt. Begründe Deine Entscheidung durch eine geeignete Rechnung.

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30 15. Selbsttest Potenzen a) Schreibe in Exponentialschreibweise: = b) Die Zahl Googol ist Diese Zahl soll ausgeschrieben werden und jede Ziffer in einem eigenen Kästchen unterkommen. Wie lang ist dann der Streifen mit der Zahl Googol darauf? c) Berechne: 2 5 und 5 2. d) Schreibe als Potenz: = e) Schreibe als Potenz: a 5 a 7 = f) Vereinfache: a 7 a 7 = g) Vereinfache: a 7 + a 7 = h) Berechne: 17 0 = i) Berechne: 17 1 = j) Berechne: 1 17 = k) Schreibe als Potenz: b 9 : b 5 = l) Schreibe als Potenz: b7 b 5 = m) Schreibe als Potenz: b7 b 7 = n) Vereinfache möglichst weit: (a 3 ) 2 = o) Vereinfache möglichst weit: a 2 + b 2 = p) Vereinfache möglichst weit: a 2 (ab) 5 : b 3 = Indirekte Proportionalität a) Nenne die drei Merkmale einer indirekten Proportionalität zweier Größen x und y. b) Ein Rechteck hat die Längen x und die Breite y. Gib an, wie x und y miteinander zusammenhängen, wenn das Rechteck den Flächeninhalt 12 hat.

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32 16. Selbsttest

33 y x