Gründe für Lagerbestände. 3.2 Systeme des Bestandsmanagements. Wie kommt es zu Lagerbeständen? Klassisches Bestellmengenproblem.

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1 3. Systeme des Bestandsmanagements Was st Bestandsmanagement? Grob gesagt, wrd m Bestandsmanagement festgelegt, welce Mengen enes Produktes zu welcem Zetpunkt zu bestellen snd Herdurc wrd der Bestand enes bestmmten Produktes m Lager determnert Qualtät des Bestandsmanagements ann entscedend für den Wettbewerbserfolg sen In Deutscland beträgt der Gesamtwert des Lagerbestandes, de rgendwo gelagert snd und auf Nacfrage warten ungefär 5 Mllarden Euro Irgendwe nct so rctg effzent, oder? Transportzeten Gründe für Lagerbestände Des weteren werden durc entsteende Transportzeten Lagerbestände notwendg So füren sgnfkante Transportzeten zu ereblcen aptalbndungen Wetere Faktoren Spekulatonen auf Presscwankungen Langfrstge Bndungen Busness Computng and Operatons Researc 3 Busness Computng and Operatons Researc 34 We kommt es zu Lagerbeständen? Am Besten wr bestellen nur, wenn Bedarf vorlegt oder klar absebar st Problemfelder Skaleneffekte Dese treten dann auf wenn de Stückkosten mt der Produktons-, Transport- oder Bestellmenge zurückgeen Bespel Abfüllanlagen für Softdrnks Hoe Rengungskosten treten bem Wecsel von Produkten auf Daer st de Abfüllung enzelner Flascen zu neffzent So werden durc de Herstellung großer Mengen enzelner Drnks Skaleneffekte erzelt und damt de Stückkosten reduzert Unsceret Unsceret st en weterer Grund für Lagerbestände Eröte Lagerbestände denen dabe der Vermedung von Felmengen be stegender Nacfrage 3.. lasssces Bestellmengenproblem Deses st das bekannteste Modell zum Bestandsmanagement Es get auf Harrs zurück und wurde berets m Jare 95 entwckelt Folgende (restrktve) Annamen legen desem enfacen Modell zu Grunde Gegebener Gesamtbedarf m Planungszetraum onstante Bedarfsrate je ZE Unendlce Leferrate je ZE onstanter Bescaffungspres je FE Felmengen snd unzulässg ene Ressourcenbescränkungen Busness Computng and Operatons Researc 33 Busness Computng and Operatons Researc 35

2 Betractete ostenarten Varable Bestellkosten ostensatz q, der pro Enet der Bestellmenge auftrtt Proportonal zur Bestellmenge z.b. Transportkosten, Bescaffungskosten pro Enet Fen Bestellkosten Treten f (d.. unabängg von der gewälten Bestellmenge) be jeder ausgefürten Bestellung auf Be > fallen genau enmal osten von kpro Bestellung an Bestellkosten Summe aus fen und varablen Bestellkosten C() Damt glt falls C( ) k + q sonst Lageraltungskosten Fallen je gelagerte Enet pro Zetenet an Wr benötgen für re Bestmmung also de durcscnttlce Menge an Produkten, de m Planungszetraum auf Lager st Beobactung Wr aben mt den Bestell-und Lagerkosten zwe konflktäre Zelgrößen Dabe st zu beacten, dass de Bestellmenge kenen Enfluss auf de gesamten varablen Bestellkosten at De varablen Bestellkosten snd somt nct entscedungsrrelevant für de Bestmmung der optmalen Bestellmenge und braucen nct weter berücksctgt werden, d.. wr können unsere Zelfunkton entsprecend verenfacen Damt ergbt sc das folgende enface Modell zur Bestmmung ener wrtscaftlcen Bestellmenge Busness Computng and Operatons Researc 36 Busness Computng and Operatons Researc 38 Optmaler Bestellpunkt Gbt de Höe des Lagerbestandes an, be dem ene Bestellung n Höe der optmalen Bestellmenge getätgt werden soll De Bestmmung ängt von der Lefergescwndgket ab Im klassscen Bestellmengenproblem lässt sc der optmale Bestellpunkt ser enfac ermtteln So snd zunäcst Felmengen verboten, wesalb nur en Bestellpunkt größer oder glec Null n Frage kommen kann Daneben fürt aufgrund der unendlcen Lefergescwndgket en Bestellpunkt größer als Null ledglc zu öeren Lagerbeständen und damt öeren Lagerkosten wesalb m klassscen Bestellmengenproblem grundsätzlc genau dann bestellt wrd, wenn der Lagerbestand Null st Varablen / Parameter des Modells Varable: de zu bestellende Menge je Bestellvorgang, n [FE]/[Best.] Parameter: μ Gesamtbedarf an ener Materalart m Planungszetraum, n [FE]/[PZE] k Bestellfe osten je Enzelbestellung, n [GE]/[Best.] Lageraltungskostensatz, n [GE]/([FE]. [PZE]) q Bescaffungspres der Materalart, n [GE]/[FE] Busness Computng and Operatons Researc 37 Busness Computng and Operatons Researc 39

3 ostenfunkton De zu mnmerenden osten betragen somt n Abänggket von der gewälten Bestellmenge ( ) k+ I( ) Wr seen, dass wr noc den durcscnttlcen Bestand I( ) benötgen, um de Formel zu kompletteren Des st aber ser lect möglc, we de folgende Abbldung veranscaulct ( ) Gesamtkosten k + { 3 Summefe Bestellkosten Summe Lagerkosten Eneten: Eneten: ( GE / Best.) (( FE / PZE )/( FE / Best.)) ( Best.) (( FE / Best.) ( GE /( FE PZE))) GE / PZE GE / PZE Busness Computng and Operatons Researc 33 Busness Computng and Operatons Researc 33 Verlauf des Lagerbestandes Man erkennt, dass gerade de Hälfte der gewälten Bestellmenge durcscnttlc auf Lager legt Damt können wr / als durcscnttlcen Bestand ansetzen: / Lagerbestand Busness Computng and Operatons Researc 33 t Bestmmung der optmalen Bestellmenge ( ) k+ ( ) ( ) ; k + k > IR 3 ( ) k + k + k k k wrd als wrtscaftlce Bescaffungsmenge oder optmale Bestellmenge (economc order quantty) bezecnet Busness Computng and Operatons Researc

4 Eneten Illustraton der ostenverläufe k Eneten : FE GE PZE k Best. Best. GE FE PZE FE k Best. FE k Best. GE FE k Best. GE Gesamtkosten Fe Bestellkosten Lagerkosten Busness Computng and Operatons Researc 334 Busness Computng and Operatons Researc 336 Daten: lasssce Bestellmenge Bespel μ8. kg/jar k, /Bestellung,75 /(kg.jar) Best,75 [ kg /.] Robustet der Lösung De Frage stellt sc, n welcem Ausmaß Abwecungen von der optmalen Bestellmenge Auswrkungen auf de entsteenden Gesamtkosten aben Um des zu untersucen, wollen wr m Folgenden de doppelte und de alberte Bestellmenge ansetzen und de sc ergebenden osten betracten Des erfolgt auf der näcsten Fole Busness Computng and Operatons Researc 335 Busness Computng and Operatons Researc 337 4

5 Varaton der Bestellmenge () fe Bestellkosten Lagerkosten 376, , , , , ,5 86,888 98, , , , , ,5 6 85, , , , ,5 Enbezeung von varablen Bestellkosten De varablen Bestellkosten snd, we berets erwänt, für de Bestmmung der optmalen Bestellmenge nct entscedungsrelevant, müssen n der Realtät be der Berecnung der Gesamtkosten aber berücksctgt werden De Formel zur ostenbestmmung n Abänggket der Bestellmenge erwetert sc be Enbezeung deser osten zu ( ) k+ + q , , ,5 Busness Computng and Operatons Researc 338 Busness Computng and Operatons Researc 34 Man set dass de Gesamtkostenfunkton m Optmum ser flac verläuft und sc desalb ser unsenstv gegenüber Veränderungen verält Ene Verdopplung oder Halberung der Bestellmenge at ene ostenstegerung um ledglc 5 Prozent zur Folge 3.. Modellerweterungen Wr erwetern nun das klasssce Problem um verscedene prasrelevante Merkmale we Leferzeten, endlce Leferraten oder Rabatte Bser wurde verenfact davon ausgegangen, dass kene Leferzeten auftreten, d.. wr können belebge Mengen one Zetverzug bescaffen, uns jewels de gesamte Bescaffungsmenge n ener Leferung errect und kene Rabattmöglcket gegeben st Dese Annamen werden nun nacenander aufgeoben Busness Computng and Operatons Researc 339 Busness Computng and Operatons Researc 34 5

6 Berücksctgung von Leferzeten Im Folgenden stellen wr uns de Frage, we sc de Lösung verändert, wenn ene bestmmte Leferzet gegeben st Das eßt, wr aben nun ene Transport-oder Ausleferungszet zu berücksctgen Damt lässt sc natürlc en Bestellpunkt Null nct mer alten Allerdngs at de solerte Berücksctgung von Leferzeten kene Auswrkungen auf de Höe der optmalen Bestellmenge Velmer st ledglc der Bestellpunkt entsprecend zu modfzeren So st jewels de Lagermenge zu fnden be der ene Bestellung auszulösen st, damt dese genau be Lagerstand Null entrfft Damt: Berecnung des Bestellpunktes Wr können somt festalten Dese Formel glt nsbesondere auc für den Fall LT>T Lagerbestand r T LT r LT modulo T ( LT modulot) Perode Busness Computng and Operatons Researc 34 Busness Computng and Operatons Researc 344 Bestmmung des Bestellpunktes De Frage st nun, be welcem Lagerbestand ene Bestellung auszulösen st Deser Lagerbestand letet sc aus der Menge er, de wärend der Leferzet verbrauct wrd Da μprodukteneten m jewelgen Planungszetraum verbrauct werden, st nac dem Verältns von Tund LTzu fragen T: Defnert de Zetspanne n der ene komplette Bestellung der Größe verbrauct wrd, d.. des st de Dauer zwscen zwe Bestellungen LT: Leferzet für ene Bestellung Berecnung des Bestellpunktes Bespel Seen 4 [PE], μ [PE]/[Woce] gegeben Damt glt T4/ [PE]/[PE]/[Woce] [Wocen] LTse,4 [Wocen] Damt glt r(,4 modulo ).,4. 8 PE Snkt der Lagerbestand auf 8 PE muss bestellt werden Falls nun LT,6 [Wocen] Dann glt r(,6 modulo ).,6. PE Snkt der Lagerbestand auf PE muss bestellt werden Busness Computng and Operatons Researc 343 Busness Computng and Operatons Researc 345 6

7 Berücksctgung von endlcen Leferraten Be ener endlcen Leferrate treffen de Leferungen nct komplett sondern n Raten en Des bedeutet, dass wr m Folgenden ene kontnuerlce Leferrate λ(änlc zum kontnuerlcen Bedarf μ) unterstellen Es glt: λ μ Andernfalls läge ene unlösbare Problemstellung vor Wr können prnzpell de für den Standardfall ergeletete Lösungsformel weter verwenden Allerdngs st zu beacten, dass durc das scrttwese Füllen des Lagers gerngere Lagerkosten auftreten, da de Bestände gernger snd als m klassscen Modell Durcscnttlcer Lagerbestand Da der Verlauf wederum lnear st, braucen wr nur den Höcst- und den Mndestbestand zu betracten Damt eralten wr I ( ) ( ( TP ) + ) λ λ 443 λ Antel der Bestellmenge, der m Planungszetraum durcscnttlc auf Lager st Busness Computng and Operatons Researc 346 Busness Computng and Operatons Researc 348 Bestandsverlauf be endlcer Leferrate Neue ostenfunkton Lagerbestand TP. TP. λ Wr eralten somt de folgende ostenfunkton λ ( ) k + TP λ λ T λ << Zet Wr können nun zur Ermttlung der optmalen Bestellmenge de Abletung blden und deren Nullstelle ermtteln Allerdngs lässt sc de berets ergeletete Formel verwenden, da wr es nur mt modfzerten Lagerkosten zu tun aben, der Rest aber unberürt blebt Busness Computng and Operatons Researc 347 Busness Computng and Operatons Researc 349 7

8 Modfzerte optmale Bestellmenge Wr ersetzen n der Formel k Berücksctgung der varablen Bestellkosten Werden varable Bestellkosten be der Berecnung der Gesamtkosten berücksctgt, st folgende Berecnungsformel anzuwenden durc und eralten λ k λ λ ( ) k + + q. Busness Computng and Operatons Researc 35 Busness Computng and Operatons Researc 35 Modfzerte Bestellmenge Bespel Enbezeung von Rabatten Daten: μ8. kg/jar λ36. kg/jar k, /Bestellung,75 /(kg. Jar) 8 8, ,3 [ kg / Best. ] 43,375 Velfac st es n der Pras möglc, mengenabängge Rabatte zu eralten Das eßt, ene größere Bestellmenge kann sc durc gerngere varable Bescaffungskosten auszecnen Damt wrd dese ostenkategore erstmals entscedungsrelevant! Busness Computng and Operatons Researc 35 Busness Computng and Operatons Researc 353 8

9 Rabatt Bekannte Rabattarten st en mengen-oder wertabängger Absclag von ener bestmmten Ausgangsgröße Mengenabängge versus wertabängge Rabatte Mengenabängg: Be Abname von mer als Stück wrd en Rabatt von y Prozent gewärt Wertmäßg: Be Erwerb von mer als Euro Wert wrd en Rabatt von y Prozent gewärt Angestoßener Rabatt Angestoßener Rabatt Es werden erbe t Rabattklassen defnert, de bestmmten Mndestund Höcstmengen als zulässge Intervalle bestzen. Rabattklasse I: a <a Rabattklasse II: a <a Rabattklasse III: a < a 3 Rabattklasse IV: a 3 < a 4 Rabattklasse k: a k- < a k Beacte: Es werden nur de Mengen n den jewelgen lassen mt dem entsprecenden Rabatt berücksctgt. Bespel: a < a 3 Nur für de a velen Mengeneneten erält man enen Rabatt. Somt lont es sc ne mer als benötgt zu bescaffen Busness Computng and Operatons Researc 354 Busness Computng and Operatons Researc 356 Rabattarten Illustraton Angestoßener Rabatt Enzelbestellmengenbezogene versus Zetraum bezogene Rabatte Enzelbestellmengebezogenen Rabatten: Pro enzelnem Auftrag / enzelner Bestellung wrd jewels entsceden, ob en Rabatt gewärt wrd Zetraumbezogene Rabatten: Bezogen auf das Auftragsveralten n enem Zetraum wrd entsceden, ob en Rabatt gewärt wrd (durc den Leferanten wrd en bestmmtes undenveralten angestrebt) 3 Busness Computng and Operatons Researc 355 Busness Computng and Operatons Researc 357 9

10 Durcgerecneter Rabatt Durcgerecneter Rabatt: Her glt der Rabatt jewels für alle bestellten Eneten Her kann es sc u. Umständen lonen mer als benötgt zu bestellen (und zu verncten) Bespel: Es gelte en durcgerecneter Rabatt von Prozent be Abname von über. Stück Stück seen zu bescaffen mt. Mance nutzen enfac jeden Rabatt Frau Lamprect, Se aben da nct den Überblck der blattwese Enkauf von Screbmascnenpaper st betrebswrtscaftlc nct snnvoll und Se sorgen dafür, dass das er weggeräumt wrd Frage st nun: Für welce lont sc de Überbestellung wenn de folgenden Angaben gelten? Busness Computng and Operatons Researc 358 Busness Computng and Operatons Researc 36 Bespel zur Überbestellung Pres pro Stück:. /Stück Vernctungskosten: /Stück Überbestellung lont sc be: ( ) Damt glt: Somt: 99 Und desalb folgt für de benötgte Menge 9,8989 Busness Computng and Operatons Researc 359 Zetraumbezogener Rabatt Zetraumbezogener Rabatt Gewärung des Rabattes n Ab. der Menge R, de n gesamten Zetraum bescafft wrd. r(μ): Redukton des Lagerkostensatzes n Abänggket des Gesamtbedarfs : Lagerkostensatz be enem Bescaffungspres one Rabatt (μ): Lagerkostensatz be enem Bescaffungspres mt Rabatt abängg von μ Auswrkung at ene solce Rabattform dann auf de optmale Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz ene wertmäßge omponente entält, d.. es glt: ( ) ( ) { ( ) ( { ) α q + α m, α Wertmäßge omponente Mengenabängge omponenten Busness Computng and Operatons Researc 36

11 Anmerkungen Ergebns Bser snd wr von ren mengenabänggen Lagerkosten ausgegangen, d.. α In der Pras werden äufg, zur Berücksctgung von Opportuntätskosten, rene wertmäßge Lagerkostensätze verwendet, d.. es wrd de Bndung von aptal m Lager bestraft Allerdngs snd auc Msclösungen mt Werten < α< denkbar Im Folgenden werden wr verenfacend von ren wertmäßgen Lagerkostensätzen ausgeen, d.. es glt α. Damt glt ()q() r(μ) 5 %,6 % % 5,4 % 5 % 8,5 % %,8 % 5 % 5,5 % 3 % 9,5 % 6 % 6, % 7 % 8,6 % % Je größer der Rabatt, desto klener der Lagerkostensatz Als onsequenz stegt de optmale Bestellmenge mt zunemendem Rabatt r(μ) Busness Computng and Operatons Researc 36 Busness Computng and Operatons Researc 364 Modfzerte Bestellmenge Es glt somt (de Mengenkomponente wrd erbe durc de Wertkomponente mterfasst): Damt glt k k k ( ) [ r( )] k [ r( )] r( ) r( ) Enzelbestellmengenbezogenen Rabatt Herbe st nun de Rabattöe abängg von der gewälten Bestellmenge In der Rabattstufe,,I+glt mt dem Rabatt r für den Bescaffungspres q q q q q ( r) falls a a, {,..., I } ( r ) falls a + be nsgesamt I+ Rabattstufen. I falls a < a I Busness Computng and Operatons Researc 363 Busness Computng and Operatons Researc 365

12 Auswrkung auf den Lageraltungskostensatz Im folgenden setzen wr voraus, dass sc der Lagerkostensatz als Opportuntätskosten des engesetzten aptals angesetzt wrd Bezecne z den anzusetzenden aptalmarktzns, dann glt für den Lageraltungskostensatz z q Für de Rabattstufe,,I+mt dem Rabatt r errecnet sc damt der Lagerkostensatz durc ( r) falls a a, {,..., I } ( r ) falls a + be nsgesamt I+ Rabattstufen I falls a < a I Grundlegende Erkenntns Es glt: Optmale Bestellmenge der Rabattklasse mt den Gesamtkosten st mmer vortelafter als alle Bestellmengen mt Gesamtkosten von bs Problem st aber: Wr müssen prüfen, ob Dese Bestellmenge m erforderlcen Intervall legt, d.. ob für dese Bestellmenge de folgende Intervall- Bedngung glt? a ( ) < a+ Busness Computng and Operatons Researc 366 Busness Computng and Operatons Researc 368 De Gesamtkostenfunkton für Rabattstufe Für Rabattstufe lautet de ostenfunkton ( ) q + k+. und de optmale Bestellmenge für Rabattstufe st falls a < a + glt. k ( ), Beacte: Gesamtkostenfunkton at merere Sprünge De Funkton st nur abscnttswese dfferenzerbar. Busness Computng and Operatons Researc 367 Optmales Vorgeen - Algortmus. Begnne be der letzten Rabattstufe und setzte I Berecne den Lageraltungskostensatz und Enstandspres deser Rabattklasse 3. Berecne de optmale Bestellmenge der Rabattklasse ( ) ( ) ( ) r q q r k 4. Setze. Falls ( )< a, setze -und gee zu. 5. ( ) a für alle +, +,,I 6. Berecne de Gesamtkosten für alle, +,,I k + ( ) + q ( ) 7. Wäle de Bestellmenge ( )mt klensten Gesamtkosten als optmale Bestellmenge aus Busness Computng and Operatons Researc 369

13 Optmales Vorgeen - Erklärung Be Stufe sceden sofort alle kleneren Stufen aus ostengründen aus! Warum? Es glt: {,..., } : ( j) j. Wegen ( j) j + I < a... glt: {,..., } : ( ) ( ) ( ) ( j) j ( ) ( ) + {,,..., } : j j j j j < a a a < a k j + I j j Bespel Wr betracten de folgende enface onstellaton Stufe : Be Bestellmengen zwscen und < Stück ergbt sc en Bescaffungspres von 6 /Stück Stufe : Be Bestellmengen zwscen und <5 Stück ergbt sc en Bescaffungspres von 5 /Stück Stufe : Be Bestellmengen größer oder glec 5 Stück ergbt sc en Bescaffungspres von 4 /Stück Wetere Daten snd μ. Stück/Jar k5, /Bestellung z, (aptalmarktznssatz von %) z. q,. q /(Stück. Jar) Busness Computng and Operatons Researc 37 Busness Computng and Operatons Researc 37 Optmales Vorgeen Erklärung Da nun für de Rabattstufen c +, +,...,Ifür de Bestellmenge glt (q c )<a c, st de Bestellmenge auf a c zu eröen, damt de Rabattklasse c überaupt gewärt wrd. Es glt daer (q ) a c Wäle scleßlc unter desen anddaten de Bestellmenge { ( ), a +, a +,..., ai} mt mnmalen osten aus { + I} mn,,..., Busness Computng and Operatons Researc 37 Wr betracten nun de Stufe De optmale Bestellmenge lautet dort 5,4 ( ) 67 5 < Damt berecnen wr de osten der unteren Grenze, also 5 5 ( 5 ) 4+ 5+, Busness Computng and Operatons Researc 373 3

14 Wr betracten nun de Stufe De optmale Bestellmenge lautet dort 5,5 ( ) 58 Damt st de Betractung weterer Stufen unnötg und wr berecnen de osten der optmalen Bestellmenge der Stufe ( 58 ) 5+ 5+, Busness Computng and Operatons Researc 374 Ergebns Aufgrund der gerngeren Gesamtkosten realseren wr de Bestellmenge 5 Stück Des entsprct der unteren Scranke der öcsten Rabattstufe (Stufe ) Busness Computng and Operatons Researc 375 4