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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft

2 1. Aufgabe: Differentialrechnung Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x) x 6x ; x R. Der Graph heißt G f. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G f. b) Zeigen Sie, dass es neben der Extremstelle noch eine weitere Extremstelle gibt. Ermitteln Sie die Art der Extrema und geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte an. c) Weisen Sie nach, dass die lokalen Extrempunkte H und T sowie der Punkt P( 1 0) des Graphen G f auf einer Geraden g liegen. d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes W. Untersuchen Sie das Verhalten des Graphen G im Unendlichen. f e) Zeichnen Sie den Graphen G f im Intervall x 1 in ein kartesisches Koordinatensystem. f) Begründen Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind: (1) G f hat im Punkt P( 1 0) einen Sattelpunkt. x E () G f ist symmetrisch zum Koordinatenursprung. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe Punkte 6 7 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 1 von 11 Schuljahr 01/1

3 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Koordinaten der Achsenschnittpunkte S y (0 ) Probieren: x 1 = -1 (x 6x ) : (x 1) x x N (,7 0);N (-1 0);N (0,7 0) 1 1 b) Lokale Extrempunkte f(x) 6x f(x x x E1 E E ; 0 ) 0 6x 1x; f(x) 1x 1; f (x) 1 f(-) f(0) 1x 6x (x ) 0; f 0; f (-) -1 (0) 1 0; H(- ) 0; T(0 -) 1 c) Untersuchung einer Gerade g Vermutung: Punkt P(-1 0) liegt auf einer Geraden g durch H(- ) und T(0 -). Nachweis : m ;mit T in y mx n; 0 ( ) Gerade g : y -x - ; Punktprobe mit P : 0 (-) (-1) - - n w. A. Ergebnis : Die Punkte H,T undp liegen auf einer Geraden g. d) Wendepunkt 0 f(x) 1x 1; x W 1; f (-1) 1 Verhalten im Unendlichen lim x lim x x x 6 ( ) x x 6 ( ) x x 0; W(-1 0) Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 11 Schuljahr 01/1

4 e) Graph G f f) Aussagen prüfen (1) G f hat im Punkt P( 1 0) keinen Sattelpunkt. Begründung: G hat im Punkt P( 1 0) einen Wendepunkt, aber f ( 1) 0. f () G f kann nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein, da die Funktion nicht ungerade ist bzw. f( x) f(x). Summe 7 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 11 Schuljahr 01/1

5 . Aufgabe: Differentialrechnung Eine ganzrationale Funktion f dritten Grades hat die Nullstellen x 1 und x. Der Graph G dieser Funktion verläuft durch den Punkt f der Stelle x 6 beträgt m 9. A. Die Steigung der Tangente an Gf an a) Ermitteln Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung für die Funktion f. f x x 17x 87x 1 (zur Kontrolle: ) b) Berechnen Sie die dritte Nullstelle von f. c) Ermitteln Sie zusätzlich zum Punkt A mindestens 6 weitere Punkte von Gf im Intervall, x 9, und zeichnen Sie Gf im angegebenen Intervall in ein kartesisches Koordinatensystem. Wählen Sie eine geeignete Achseneinteilung. d) G f und die x-achse begrenzen zwei Flächenstücke vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der Gesamtfläche dieser Flächenstücke. Aufgabenteil a) b) c) d) Summe Punkte 8 6 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 11 Schuljahr 01/1

6 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) fx ax bx cx d f x ax bx c f 0 I 7a 9b c d 0 f 0 II 1a b c d0 f III 6a 16b c d f6 9 IV 108a 1b c 9 f x x 17x 87x 1 b). Nullstelle: 0 x 17x 87x 1 ( x 17x 87x 1):(x ) x 1x 0 x 1x x x 9 c) eine mögliche Wertetabelle: x, , y -8, ,6 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 11 Schuljahr 01/1

7 d) Flächenberechnung: A A x 17x 87x 1 dx x x x 1x 6, x 17x 87x 1 dx x x x 1x, 67 Ag A1 A 6,67,67 9, Der Flächeninhalt beträgt 9, FE. Summe Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 6 von 11 Schuljahr 01/1

8 . Aufgabe: Wahlpflichtthema Zahlenfolgen Ein Hersteller von Sportbooten hat ein neues Paddelboot entwickelt. a) Für den Verkauf von bis zu 8 Booten an Vereine oder Bootsverleihe hat man sich folgende Preismodelle überlegt: Preis für das erste Boot Preis für das zweite Boot Preis für das dritte Boot Preismodell Bildquelle: Microsoft Office 010 Preismodell Überprüfen Sie für beide Preismodelle, ob sie durch eine arithmetische oder durch eine geometrische Zahlenfolge beschrieben werden können. Geben Sie jeweils eine explizite Bildungsvorschrift an. Bestimmen Sie den sich jeweils ergebenden Gesamtpreis für den Kauf von 8 Booten durch einen Verein. Für die Produktion der Bootskörper werden so genannte Glasmatten benötigt, die in einer festgelegten Größe angeliefert werden. Der Verbrauch an Glasmatten je Bootskörper ist durch die Ausnutzung des Verschnitts nicht 18n 10 konstant und kann durch die Zahlenfolge ( a n ) mit a n ( n n werden (mit n=anzahl der Boote und a n =Anzahl der Glasmatten). * N ) beschrieben b) Wie viele Glasmatten werden jeweils für die Produktion des ersten, zweiten, dritten, vierten und fünften Bootskörpers verbraucht? Stellen Sie diesen Verbrauch (d.h. Folge ( a n )) für jeden der ersten Bootskörper graphisch dar. c) Auf welchen Wert pegelt sich der Bedarf an Glasmatten pro Bootskörper bei der Produktion großer Stückzahlen ein? Bestimmen Sie dazu den Grenzwert der Folge ( a n ). d) Zeigen Sie, dass sich durch die Optimierung des Zuschnitts der Verbrauch an Glasmatten pro Bootskörper stetig reduzieren lässt, indem Sie die Monotonie der Folge ( a n ) nachweisen. e) Bestimmen Sie die Nummer des Bootskörpers, für dessen Herstellung erstmals weniger als 6,0 Glasmatten benötigt werden. Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 6 0 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 7 von 11 Schuljahr 01/1

9 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Preismodell 1: b 1 b b b 0 ; arithmetische Folge mit 610 (n 1)( 0) b n n Summe b n Für 8 Boote sind insgesamt 80 zu zahlen. Preismodell : c c c c 1 0,9 ; geometrische Folge mit c n1 n 600 0, 9 n Summe c n ,0 9,66,9 18,86 86,98 17,19 Für 8 Boote sind insgesamt 17,19 zu zahlen. b) 8; a 6,; a 6,9; a 6,; a 6, 1 a1 a(n) n 0 1 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 8 von 11 Schuljahr 01/1

10 c) 18n 10 lim n n 18 6 d) Annahme: (a n ) streng monoton fallend zu zeigen: an a n 1 18n 10 18(n 1) 10 n (n 1) 18n 10 18n 8 n n wahre Aussage, d.h. (a n ) ist streng monoton fallend, also sinkt der Verbrauch stetig e) 18n 10 6,0 n 1 n Ab dem 1. Bootskörper werden weniger als 6,0 Glasmatten benötigt. Summe 0 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 9 von 11 Schuljahr 01/1

11 . Aufgabe: Wahlpflichtthema Analytische Geometrie In den Alpen führt ein geradliniger Tunnel P 1P durch ein Gebirgsmassiv (siehe Skizze, Darstellung nicht maßstäblich). Die Punkte P 1 und P haben die Koordinaten P 1 ( ) und P ( ). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. a) Berechnen Sie die Länge der Tunnelstrecke 1 P b) Stellen Sie eine Gleichung für die Gerade g auf, die durch die Punkte P1 und P verläuft. c) Von einem Punkt (10 1 z ) eines vertikal verlaufenden Schachtes aus Q Q soll in Richtung des Vektors a 6 ein geradlinig verlaufender Entlüftungsstollen gebaut werden, der auf den Tunnel im Punkt S trifft. Stellen Sie eine Geradengleichung für die Gerade h auf, die durch den Punkt Q in Abhängigkeit von z Q mit dem Richtungsvektor a geht. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S zwischen g und h. (zur Kontrolle: S ) d) Berechnen Sie die Größe eines Winkels zwischen dem Tunnel und dem Entlüftungsstollen. Aufgabenteil a) b) c) d) Summe Punkte 10 0 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 10 von 11 Schuljahr 01/1

12 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) P P 1 Die Länge der Tunnelstrecke beträgt 0 m. b) x 0 r r18 (Änderung des Richtungsvektors nicht nötig) c) 10 x 1 s 6 zq Schnittpunkt: z Q r18 1 s zq 0 s 6 r18 ; s 0r 10 6s 18r r ; s 100 z Q 1 ; z Q 111 S d) Beispielrechnung: SQ 0 ; SP cos 0,187 ; 100, 8 10 oder 79, Summe 0 Mathematik Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 11 von 11 Schuljahr 01/1

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