Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

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1 Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS- Verfahre) wird aufgrud eier Stichprobe etwa über eie Biomial- oder Poissoverteilug der höchst mögliche Ateil fehlerhafter Eiheite i der Grudgesamtheit bei eier vorgegebee Wahrscheilichkeit abgeschätzt, we i der Stichprobe eie bestimmte Azahl fehlerhafter Eiheite gefude wurde Wurde beispielsweise i eier Stichprobe vom Umfag 1 keie fehlerhafte Eiheit gefude, so sid ach der Biomial- oder Poissoverteilug mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% weiger als 3% der Eiheite fehlerhaft, de: Biomialverteilug (1 π) = β = 1 π = β = 1, 5 =, 97 = π =, 3, für größeres ist π <, 3 ud für kleieres ist π >, 3, dh P u (;, 95) =, 3 Poissoverteilug π = l 1 β = l 1,5 =, 3, 1 für größeres ist π <, 3 ud für kleieres ist π >, 3, dh P u (;, 95) =, 3 Dieser Ateil wird u dadurch i eie Wert trasformiert, dass 3% der Buchwerte als falsch ud zwar jeweils um de Betrag des größte Buchwertes ageomme werde Dies ergibt eie sehr koservative ud damit für eie β-fehler afällige Obergreze für de Gesamtüberbewertugsfehler (N = 1,, = 1) D max = N P u (, 1 α) Y max = 1, 3 5 = 15 Werde Fehler gefude, so steigt P u etspreched a Striger vo Haskis & Sells [vo dieser WP-Gesellschaft wurde die Verwedug dieser Greze 197 zum erste mal empfohle, vgl auch bei Wampler/McEachar (25)] verfeierte dieses Verfahre durch extreme Schichtug ach dem Buchwert der Poste, was praktisch eie Auswahl vo Poste proportioal zu ihrem Buchwert bedeutet Der maximale Überbewertugsfehler, die Striger-boud wird u berechet, idem als Eiheite die Währugseiheite, also, ageomme werde der Grudgesamtheitsumfag ist also der gesamte Buchwert Y, daraus eie Stichprobe gezoge wird ud da mit Hilfe der Poissoverteilug der Ateil falscher, also der Überbewertugsfehler, geschätzt wird Es wird, wie beim PPS-Verfahre ach dem Kumulatiosverfahre jeweils eie Eiheit, zb Forderug, ausgewählt ud auf Überbewertug geprüft Werde i der Stichprobe keie Überbewertuge festgestellt, so wird als Obergreze für de maximale Überbewertugsfehler bei de gleiche Bediguge wie im vorstehede Beispiel, also 3% der sid höchstes falsch, dh, 3 Y =, 3 N Y, D max = Y P u (, 1 α) = N P u Y = 1, 3 1 = 3 errechet Der Fehler wird also icht aufgrud des größte, soder ur des durchschittliche Buchwertes geschätzt Werde u Fehler i der Stichprobe gefude, so werde sie als

2 relative Fehler (auch taitigs geat) t i = Y i x i Y i ach folgedem Schema zu eier Schätzug der Obergreze (Striger boud) D max = Y P u (, 1 α) 1 + Y mit 1 t 1 t 2 t m m [P u (k, 1 α) P u (k 1, 1 α)] t k k=1 verrechet Jeder relative Fehler wird also mit dem Zuwachs des geschätzte Fehlerateils i der Grudgesamtheit gewichtet ud durch Multiplikatio mit dem gesamte Buchwert i bewertet Verfahre des Moetary-Uit Samplig I Eifaches MUS 1 Vorgabe höchsttolerierbarer Fehler i bei 1 α 2 Abschätzug der bei 1 α höchstmöglichiche Fehlerzahl i der Grudgesamtheit bei k gefudee Fehler, zb durch die Poissoverteilug: k λ k;,95 3, 4,74 6,3 7,75 9,15 3 Bewerte diese Greze mit eiem -Betrag, zb koservativ mit y max D max = N λk,1 α y max N = 1 = 1 y max = 5 k = : d 1, 3 5 = 1, k = 1: d 1, = 2, Weiger koservativ wäre zb eie Schichtug mit D max = h N h λ h h y h max h = N h y h max Nh y h max

3 II Moetary Uit Samplig Grudgesamtheit j = 1,, Y 1 wie obe 2 Wähle aus der Merkmalssumme Y ach PPS, Schätzug der höchstmögliche Zahl falscher 3 D max = Y λk,1 α N = 1 = 1 = N λk,1 α y k = : d 1, 3 1 = k = 1: d 1, = 4, III Striger Boud 1 wie obe 2 wie obe, aber Berücksichtigug vo d i als t i = d i y i, t i 1 ( tait ) orde gefudee Fehler 1 t 1 t 2 k λ k;,95 3, 4,74 6,3 7,75 9,15 λ k;,95 λ k 1;,95 1,74 1,56 1,45 1,4 3 Modifizierte Höchstfehlergreze D max = Y λ k,1 α Y (λ m,1 α λ m 1,1 α )(1 t m ) [ ] D max = Y λ,1 α + (λ m,1 α λ m 1,1 α )t m N = 1 = 1 k = : d k = 1 (t 1 = 1): d , = 4, k = 1 (t 1 =, 4): d , , 4 = 3, Der geschätzte Überbewertugsfehler ist ur da geauso groß wie bei MUS (II), we alle taits 1 wäre, dh we der tatsächliche Ivetarwert ull ud der Buchwert größer als ull ist, asoste ist der Überbewertugsfehler kleier als bei MUS (II)

4 Idesse gibt es vo theoretischer Seite Eiwäde gege dieses Kozept, mit dem scheibar Steckadel im Heuhaufe gefude werde köe Um die Poissoverteilug bei der Schätzug awede zu köe, ist Voraussetzug, dass jede Eiheit i der Gesamtheit die gleiche (kleie) Chace besitzt, falsch zu sei Außerdem müsse die Geldeiheite uabhägig voeiader sei Diese Voraussetzug ist hier verletzt, de es werde icht eizele Geldeiheite, soder der durch sie charakterisierte Poste ausgewählt ud damit auch beachbarte Geldeiheite, also ei gesamter Klumpe Mit dem Superpopulatiosasatz wird versucht, diese Eiwäde zu begege N ist eie Stichprobe aus f(y) mit = yf(y) dy ud Y = N Die Wahrscheilichkeit P d (y) dafür, dass y falsch ist, ist sehr klei Die Dichte der Fehler d i der Utergesamtheit der falsche y ist g(d y) mit g(d) = µ d = g(d y)f(y)p d (y) dy d g(d y)f(y)p d (y) dydd I der als Stichprobe aufgefasste Grudgesamtheit ist mit P ds (y) = f S (y)p d (y) f S (y) = yf(y) bei PPS Also ist die Wahrscheilichkeit, dass eie zufällig gezogee Eiheit falsch ist, P ds (y) = g S (d) = yf(y)p d (y) dy = Y d Y g(d y)f S (y)p d (y) dy Für t = d y gilt: E(T T ) = µ ts = t g(d y)fs (y)p d (y) dydd fs (y)p d (y) dy = µ d P ds = D P ds Y = D = µ ts Y P ds P ds wird üblicherweise aus der Biomial- oder Poissoverterteilug, bei der Striger- Boud also mit ˆP ds = λ k,1 α geschätzt Damit ist der Schätzwert für µ ts λ,1 α + (λ m,1 α λ m 1,1 α )t m ˆµ ts = λ k,1 α < 1

5 ud die Überbewertugsgreze [ D = Y λ,1 α + (λ m,1 α λ m 1,1 α )t m ] I der Praxis geht ma folgedermaße vor: Fidet ma geüged viele Fehler d i, so ka bei PPS-Auswahl eie Puktschätzug ˆD = t k Y = Y t i = Y i=1 i=1 d i y i vorgeomme ud das übliche Kofidezitervall uter der Normalverteilugsaahme bestimmt werde Bei sehr weig Fehler (spricht gege die Normalverteilugsaahme) wird die Striger-Boud empfohle Literatur Jaspers, W / Meior, R (25) Kostesekug durch Stichprobeivetur WPg 19/25, S Stage, K (196) Die zeicherische Ermittlug der beste Schichtug eier Gesamtheit (bei proportioaler Aufteilug der Probe) mit Hilfe der Lorezkurve Uterehmesforschug, 4, Stuers, M (25) Wirtschaftlichkeit ud Qualität der Lagerbuchführug Düsseldorf Moetary-Uit Samplig usig Microsoft Excel The CPA Jour- Wampler, B / McEachar, M (25) al May 25