Robert Labus. Skript zur Vorlesung. Elementare und analytische Geometrie. Studienkolleg für ausländische Studierende Universität Kassel

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1 Robert Labus kript zur Vorlesung Elementare und analytische Geometrie tudienkolleg für ausländische tudierende Universität Kassel Wintersemester 2018/2019

2 Inhaltsverzeichnis 1 Elementargeometrie Punkte, Geraden und Ebenen trecken, Halbgeraden und Halbebenen Dreiecke und Kreise Winkel und Winkelmaß Konstruktion mit Zirkel und Lineal i

3 Kapitel 1 Elementargeometrie 1.1 Punkte, Geraden und Ebenen Die grundlegenden Objekte der Geometrie sind Punkte, Geraden und Ebenen. Wir bezeichnen Punkte mit Großbuchstaben wie,, C,..., P, Q,..., Geraden mit Kleinbuchstaben wie a, b,..., g, h,...und Ebenen mit griechischen Großbuchstaben wie Γ,, Θ, Λ,...später werden wir auch die uchstaben E,F verwenden, wenn keine Verwechslungsgefahr mit Punkten besteht. Im Folgenden unterscheiden wir neben Definitionen (Namensgebungen) und ätzen (nachweisbaren ussagen) sogenannte xiome. Die xiome beschreiben Zusammenhänge zwischen den Objekten. lle ätze der Geometrie werden mithilfe der xiome bewiesen. Die xiome selbst stellen der nschauung entnommene ussagen dar, die nicht weiter beweisbar sind. olche xiome bilden das Grundgerüst der Geometrie und dürfen daher nicht im Widerspruch zueinander stehen. Wir verwenden die Mengenlehre, um die ussagen der Geometrie zu formulieren. Das heißt, 1. wir fassen Geraden und Ebenen als Mengen von Punkten auf und 2. Geraden als Teilmengen von Ebenen. Wir stellen jetzt eine kleine uswahl der xiome vor. Die vollständige Zusammenstellung aller xiome würde hier zu umfangreich. Wer hierzu mehr erfahren möchte, dem sei das uch Günter Ewald, Geometrie, VandenHoeck- Ruprecht, Göttingen 1965] empfohlen. xiom 1: Zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es genau eine Gerade g, so dass und auf der Geraden liegen. ezeichnung: εg und εg 1

4 1.1. PUNKTE, GERDEN UND EENEN KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE Die Gerade g durch die Punkte und bezeichnen wir auch mit g = xiom 2: uf jeder Geraden gibt es mindestens drei verschiedene Punkte. xiom 3: Es gibt drei paarweise verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. us dem xiom 3 folgt, dass es überhaupt Punkte geben muss (mindestens drei). Ebenso folgt, dass es auch mindestens drei Geraden geben muss, denn zu jeder uswahl von 2 der 3 Punkte gibt es nach xiom 1 eine Gerade, welche die beiden Punkte enthält. Da die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, gehört der dritten Punkt nicht zu der Geraden durch die beiden ausgewählten Punkte. xiom 4: In jeder Ebene gibt es mindestens drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. xiom 5: Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte bestimmen stets eine Ebene. xiom 6: Zu jeder Ebene gibt es (mindestens) einen Punkt, der nicht in dieser Ebene liegt. Wir benötigen nun auf jeder Geraden noch so etwas wie eine Richtung des Durchlaufens. Dann können wir davon sprechen, dass ein Punkt vor einem Punkt liegt im inne dieser Richtung. Wir verwenden für diesen achverhalt die ezeichnung <. Eine solche nordnung der Punkte heißt in der Mathematik eine Relation. xiom 7: (nordnungsaxiome) uf jeder Geraden g ist für ihre Punkte eine Relation < ( liegt vor ) definiert, so dass gilt: a) < gilt für kein g (nicht reflexiv). b) us,, C g und folgt <, < C < C (transitiv). c) us, g mit folgt entweder < oder < (Linearität). d) us, g mit < folgt: es gibt Punkte C, D, E g mit C < < D < < E. d.h. es gibt jeweils einen Punkt vor, zwischen und und nach. Mithilfe der nordnungsaxiome können nun bereits erste ussagen bewiesen werden. 2

5 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.2. TRECKEN, HLGERDEN UND HLEENEN atz 1.1. uf jeder Geraden g Γ in einer Ebene Γ liegen unendlich viele Punkte. eweis: Laut xiom 3 existieren mindestens zwei Punkte, Γ mit, g. nnahme: Es existiert eine Gerade mit endlich vielen Punkten. Dann existiert bezüglich der nordnungsrelation < aufgrund der Linearität und Transitivität ein erster Punkt C g mit C < D für alle D g \{ C } im Widerspruch zum xiom 7 d), da die Gerade g durch C und D geht und somit einen Punkt vor C enthalten muss. omit besitzt jede Gerade unendlich viele Punkte. atz 1.2. Es gibt in jeder Ebene Γ unendlich viele Geraden g Γ. eweis: ei P Γ mit P / g. P P g = P bbildung 1.1: Geradendarstellung Für je zwei Punkte, g,, gilt P P, denn aus P = P folgt P und somit wegen xiom 1 g = = P und folglich P g im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit gibt es mindestens so viele Geraden durch P wie es Punkte auf der Geraden g gibt. Nach atz 1.1 existieren demnach unendlich viele Geraden. 1.2 trecken, Halbgeraden und Halbebenen Definition 1.3. trecken ei Γ eine Gerade mit der Orientierung <. Dann bezeichnet := {X (X = ) (X = ) ( < X < )} 3

6 1.2. TRECKEN, HLGERDEN UND HLEENEN KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE die trecke mit nfangspunkt und Endpunkt. oll ein Randpunkt der trecke ausgenommen werden, dann verwenden wir runde statt eckige Klammern. ( ] ) ( ) bbildung 1.2: trecke zwischen den Punkten und atz 1.4. Eine trecke enthält unendlich viele Punkte. eweis: Hätte die trecke mit < nur endlich viele Punkte, so würde ein Punkt P \{} mit P < C für alle C \{, P} (1.1) existieren. Wegen existiert laut xiom 5 d) ein D mit P < D < P. Folglich gilt D, womit ein Widerspruch zu Gleichung (1.1) vorliegt. emerkung 1.5. atz 1.4 macht deutlich, dass es zu einem Punkt auf einer Geraden keinen Nachbarpunkt gibt. Punkte liegen auf einer Geraden nicht wie Perlen auf einer chnur. tattdessen befindet sich zwischen zwei verschiedenen Punkten (egal wie eng sie beieinander liegen) stets ein weiterer Punkt. Definition 1.6. Für eine Gerade g Γ, und,, C g mit < < C bezeichnen wir mit ] := {X g (X = ) (X < )} und C := {X g (X = ) ( < X)} 4

7 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.2. TRECKEN, HLGERDEN UND HLEENEN die negative respektive positive Halbgerade (trahl) von g mit nfangspunkt. Entsprechend werden die Halbgeraden ohne den nfangspunkt mit runden Klammern geschrieben: ) bzw. ( C ] < C bbildung 1.3: Halbgerade bzgl. und Ganz offensichtlich gilt hiermit die Folgerung g = = C 2. ] C = g und ] C = {} 3. C ] C = C C < C C C atz 1.8. Jede Halbgerade hat unendlich viele Punkte. eweis: Wir betrachten beispielhaft den Fall D C. Laut atz 1.4 besitzt C. Mit xiom 7 d) existiert ein D C mit < D. Hiermit gilt D bereits unendlich viele Punkte und folglich auch C. 5

8 1.2. TRECKEN, HLGERDEN UND HLEENEN KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE Jede Gerade scheint die Ebene in zwei Teile zu zerlegen. Um diese ussage genauer zu spezifizieren, müssen wir einen egriff einführen, der uns die Möglichkeit gibt, zu entscheiden, wann zwei Punkte auf verschiedene eiten oder der gleichen eite bezüglich einer Geraden g liegen. Fall 1: Fall 2: Verschiedene eiten g Gleiche eiten g bbildung 1.4: Lage von Punkten bzgl. einer Geraden Definition 1.9. ei g Γ eine Gerade und, Γ \ g (d. h., / g) mit, dann sagen wir, dass und auf derselben eite von g liegen, wenn g = gilt. g xiom 8: (M. Pasch ( )) ei g Γ eine Gerade und,, C Γ \ g. chneidet g eine der drei trecken, C und C, so noch eine weitere (siehe bbildungen 1.5 und 1.6). C g bbildung 1.5: Lage einer Geraden zu den trecken zwischen den Punkten, und C (,, C nicht auf einer Geraden ). 6

9 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.3. DREIECKE UND KREIE g C bbildung 1.6: Lage einer Geraden zu den trecken zwischen den Punkten, und C (,, C auf einer Geraden ). Definition Unter der offenen Halbebene (g ; / g) bezüglich einer Geraden g Γ versteht man die Menge aller Punkte Γ, die auf derselben eite wie bezüglich g liegen. Die Menge (g ; / g) g heißt abgeschlossene Halbebene mit Rand g. Definition Mengen M 1, M 2,..., M n heißen paarweise disjunkt, wenn alle paarweise gebildeten chnittmengen leer sind, das heißt M i M j = für alle i j, i,j {1,...,n} gilt. Folgerung Jede Gerade zerlegt die Ebene paarweise disjunkt in zwei offene Halbebenen und die Gerade selbst. 1.3 Dreiecke und Kreise Definition (Kollinear) eien,, C Γ. Wenn es eine Gerade g Γ mit,, C g gibt, dann heißen,, C Γ kollinear. Definition (Dreieck) eien,, C Γ drei verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. Dann heißt C C Dreiecksrand mit Dreiecksseiten, C und C. Ein P Γ heißt innerer Punkt bezüglich des Dreiecksrandes, wenn P / C C (kein Randpunkt) ist und jede Halbgerade mit nfangspunkt P genau einen Punkt mit dem Dreiecksrand gemeinsam hat. Ein Punkt Q Γ heißt äußerer Punkt bezüglich des Dreiecksrandes, wenn Q weder Randpunkt noch innerer Punkt ist. Die Menge aller inneren Punkte und Randpunkte heißt Dreieck, kurz C. Die Punkte,, C werden als Ecken des Dreiecks bezeichnet. 7

10 1.3. DREIECKE UND KREIE KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE Q P bbildung 1.7: Dreieck C C evor wir in der Lage sind, einen Kreis einzuführen, benötigen wir zunächst einen bstandsbegriff. xiom 9: (bstandsaxiom) Zwei Punkten, Γ lässt sich eindeutig eine nichtnegative reelle Zahl (genannt Entfernung oder bstand) derart zuordnen, dass a) = 0 = b) = c) + C = C für d) + C > C für / (Dreiecksungleichung) C C, C Γ \ {}, C Γ \ {} gilt. emerkung Für, Γ mit folgt > 0 aus dem xiom 9a) und der Eigenschaft 0. Kreis mit Radius r um M: r M bbildung 1.8: Kreisdarstellung 8

11 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.3. DREIECKE UND KREIE Definition ei M Γ und r R 0 (r 0). Mit den ezeichnungen { } K r (M) = Γ M = r. { } und D r (M) = Γ M < r. heißt K r (M) der Kreis und D r (M) die offene Kreisscheibe (Disk) mit Mittelpunkt M und Radius r. D r (M) = D r (M) K r (M) heißt abgeschlossene Kreisscheibe. Die Punkte P D r (M) (mit PM < r) heißen innere Punkte und Punkte aus Q Γ mit Q / D r (M) heißen äußere Punkte des Kreises. Möglichkeiten von Kreisschnitten verschiedener Kreise sind in bbildung 1.9 (links) dargestellt. P bbildung 1.9: Kreisschnitte (links), bstand auf Halbgeraden (rechts) l xiom 10: Zwei verschiedene Kreise haben höchstens zwei gemeinsame Punkte. Es sind genau zwei Punkte, wenn zum einen Kreis mindestens ein innerer und äußerer Punkt des anderen Kreises gehört. bstände bei Halbgeraden: xiom 11: uf jeder Halbgeraden gibt es zu gegebenem l 0 genau einen Punkt P P = l. mit Definition eien, Γ mit. Ein Punkt P heißt Mittelpunkt der trecke, falls P = P. Konstruktion 1 (Mittelpunkt) 1. chritt: Ziehe um und jeweils einen Kreis mit Radius. 2. chritt: Verbinde die chnittpunkte der beiden Kreise. 9

12 1.3. DREIECKE UND KREIE KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE M bbildung 1.10: Mittelpunktkonstruktion bei trecken 3. chritt: Der erzeugte chnittpunkt mit stellt den Mittelpunkt der trecke dar. atz Jede trecke hat genau einen Mittelpunkt. eweis: eien, Γ mit. ei g die Halbgerade g =. Existenz des Mittelpunktes: Zu r := 1 > 0 existiert laut xiom 11 genau ein Punkt P g mit P = r. 2 nnahme: P / Dann gilt P und folglich mit dem bstandsaxiom 9c) + P = P, }{{} = 2 1 womit P = 1 2 < 0 folgt und somit ein Widerspruch zu P 0 vorliegt. Folglich gilt P und somit 1 P + P = = P = }{{} 2. = 2 1 omit liegt mit P ein Mittelpunkt von Eindeutigkeit des Mittelpunktes: vor. 10

13 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.4. WINKEL UND WINKELMß eien M, P zwei Mittelpunkte der trecke, dann gilt Im Fall M M P erhalten wir mit xiom 9c) P M P. PM + M = P = PM = 0 }{{}}{{} = 2 1 = 1 2 xiom 9a = P = M. nalog ergibt sich der Nachweis im Fall M P. Zur Klassifikation von Dreiecken und Vierecken sowie zum Nachweis zentraler ätze (z.. Pythagoras, Thales) ist der egriff des Winkels und des Winkelmaßes wichtig. 1.4 Winkel und Winkelmaß Winkelmaß Winkelmaß bbildung 1.11: Winkeldarstellung Es gibt offensichtlich zwei Möglichkeiten, einem Winkel ein Maß zuzuordnen. Um eine eindeutige Festlegung zu erhalten, werden wir den Umlaufsinn dreier Punkte betrachten. I) II) C C C C bbildung 1.12: Positiver (links) und negativer (rechts) Umlaufsinn 11

14 1.4. WINKEL UND WINKELMß KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE xiom 12: (Umlaufsinn) llen Punktetripeln,, C Γ mit / C lässt sich ein Umlaufsinn zuordnen. Das ist auf genau zwei Weisen möglich, die in bbildung 1.12 dargestellt sind. Der dem Uhrzeigersinn entsprechende Umlaufsinn II wird als (mathematisch) negativ, der andere als (mathematisch) positiv bezeichnet. Definition (Winkel) eien,, Γ, / {, } und g =, h = zwei Halbgeraden mit nfangspunkt. Dann versteht man unter dem Winkel g h, kurz (g, h), die Punktmenge bestehend aus der Vereinigung der beiden Halbgeraden mit der Menge aller Punkte, die überstrichen werden, wenn g gegen den Uhrzeigersinn um auf h gedreht wird. heißt cheitelpunkt (auch kurz: cheitel) des Winkels (g, h) und g, h heißen chenkel des Winkels. eispiel 1.20 In jeder ituation gilt T 1, T 2, T 3 (g, h) und T 4 / (g, h) a) T 1 T T T 4 01 h g b) c) T h T T T 1 g h T 3 g T 4 12

15 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.4. WINKEL UND WINKELMß ezeichnung von Winkeln Zur bkürzung bezeichnen wir Winkel künftig oft kurz mit w gegebenenfalls mit einem Index wie z.. w. Das Winkelmaß, das wir als Nächstes einführen werden, bezeichnen wir mit kleinen griechischen uchstaben wie α, β, γ, δ,.... nstelle von (g, h) werden auch häufig der cheitelpunkt und zwei weitere Punkte, mit g und h unter eachtung des mathematisch positiven Umlaufsinns verwendet. (g, h) = (h,g) = xiom 13: (Winkelmaße) ei V R >0, dann lässt sich jedem Winkel w eindeutig eine Zahl α 0,V zuordnen (genannt Maß des Winkels w), so dass a) = 0 gilt. b) = 1 2 V, falls gilt c) das Maß eines Winkels gleich der umme der Maße der Teilwinkel ist, in die er durch geeignete Halbgeraden zerlegt werden kann. In mathematischer chreibweise gilt bezogen auf bbildung 1.13 die Darstellung C bbildung 1.13: Winkelunterteilung = C + C. Die beiden wichtigsten Winkelmaße in der Mathematik sind das ogenmaß und das Gradmaß. 13

16 1.4. WINKEL UND WINKELMß KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE Definition (i) Wird V = 2π gewählt, dann heißt das zugehörige Winkelmaß das ogenmaß.. (ii) Wird V = 360 gewählt, dann heißt das zugehörige Winkelmaß das Gradmaß.. In der Mathematik wird bevorzugt das ogenmaß verwendet, insbesondere im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen wie inus und Cosinus wird ausschließlich das ogenmaß verwendet. Für die Umrechnung der beiden Maße gelten für alle Winkel w die Formeln eispiele w = 180 w π w = w π 180 a) Ein Winkel der Form hat für alle Winkelmaße das Maß 0. = 0 b) Für einen Winkel w = mit kollinearen Punkten,, gilt w = π und entsprechend w = xiom 14: eien die Halbgerade g = h = mit und eine Zahl r R 0 gegeben, dann existiert genau eine Halbgerade (g, h) = r. 14

17 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.4. WINKEL UND WINKELMß Winkel die beim chnitt zweier Geraden entstehen Definition (cheitel- und Nebenwinkel) Zwei Winkel heißen Nebenwinkel, wenn ihr chnitt eine Halbgerade und ihre Vereinigung eine abgeschlossene Halbebene ist. Zwei Winkel heißen cheitelwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Nebenwinkel haben. γ β δ α Nebenwinkel cheitelwinkel α, β α, γ β, γ β, δ γ, δ δ, α bbildung 1.14: cheitel- und Nebenwinkel mit den ymbolen α,..,δ für ihre Maßzahlen us xiom 13 c) erhalten wir offensichtlich die folgende ussage. atz Die umme der Maße zweier Nebenwinkel ist π bzw. im Gradmaß 180. atz Zwei cheitelwinkel haben gleiches Maß. eweis: Unter Verwendung der ezeichnungen gemäß bbildung 1.14 erhalten wir aus γ + β = π und α + β = π die Gleichung 0 = (γ + β) (α + β) = γ α. Hiermit ergibt sich γ = α. Definition (Winkeltypen) Ein Winkel w = () heißt 1. Nullwinkel, falls w = 0 gilt, siehe bbildung 1.15 (links). 2. spitz, falls 0 < w < π 2 gilt, siehe bbildung 1.15 (rechts). 3. rechter Winkel, falls w = π gilt, siehe bbildung 1.16 (links). 2 (Zeichen für einen rechten Winkel. ) 4. stumpf, falls π 2 < α < π gilt, siehe bbildung 1.16 (rechts). 5. gestreckter Winkel, falls w = π gilt, siehe bbildung 1.17 (links). 6. überstumpf, falls π < w < 2π gilt, siehe bbildung 1.17 (rechts). 15

18 1.4. WINKEL UND WINKELMß KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE bbildung 1.15: Nullwinkel (links), pitzer Winkel (rechts) bbildung 1.16: Rechter Winkel (links), tumpfer Winkel (rechts) bbildung 1.17: Gestreckter Winkel (links), Überstumpfer Winkel (rechts) 16

19 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.4. WINKEL UND WINKELMß Definition (senkrecht, parallel) a) Zwei Geraden, CD, CD heißen senkrecht. (Zeichen: CD), wenn CD gilt und wenn zwei Halbgeraden vom chnittpunkt aus existieren, die einen rechten Winkel bilden. b) Zwei Geraden, C D heißen parallel, wenn CD = oder = CD gilt. c) Zwei Halbgeraden, C D bzw. zwei trecken wenn die Geraden, CD es sind., C D heißen senkrecht, respektive parallel, D bbildung 1.18: enkrechte Geraden C D C D bbildung 1.19: enkrechte Halbgeraden und trecken xiom 13: (enkrechte, Parallelenaxiom (nach D. Hilbert )) a) Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine senkrechte Gerade. b) Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine parallele Gerade. 17

20 1.5. KONTRUKTION MIT ZIRKEL UND LINEL KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.5 Konstruktion mit Zirkel und Lineal atz Mittelpunkt und Mittelsenkrechte einer trecke chlage um und um jeweils einen Kreis mit dem Radius r =. Die beiden Kreise haben zwei chnittpunkte 1 und 2. Die trecke zwischen den chnittpunkten der Kreise schneidet die trecke genau im Mittelpunkt M. ußerdem bildet die Gerade 1 2 die Mittelsenkrechte der trecke. 1 2 eweis: Die Konstruktion ist symmetrisch zur chse 1 2. Das heißt, dass das Dreieck 1 M durch piegelung an dieser chse aus dem Dreieck 1 M hervorgeht. Damit sind die eiten M und M gleich lang und M ist der Mittelpunkt der eite. us der chsensymmetrie folgt ebenfalls, dass die Winkel δ 1 := 1 M und δ 2 := M 1 gleich groß sind. Da die beiden Winkel zusammen einen gestreckten Winkel ergeben folgt δ 1 + δ 2 = 2δ 1 = 180 δ 1 = emerkung: Die Konstruktion funktioniert auch mit einem größeren oder kleineren Radius, solange der gewählte Radius zu zwei chnittpunkten der Kreise führt, d.h. größer als der halbe bstand von und ist. 18

21 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.5. KONTRUKTION MIT ZIRKEL UND LINEL atz enkrechte zu einer Geraden durch einen vorgegebenen Punkt Es sei g eine Gerade und P ein beliebiger Punkt. chlage um P einen Kreis mit einem Radius r 0, der offensichtlich größer als der bstand von P zur Geraden g ist. Der Kreis hat dann zwei chnittpunkte und mit der Geraden g. Die Mittelsenkrechte der trecke den Punkt P enthält. nach atz 1.27 ist dann eine Gerade, die auf g senkrecht steht und P r 0 P r = r 0 r 0 P g r = r 0 g g eweis: Wenn P bereits auf der Geraden g liegt, dann ist P der Mittelpunkt der konstruierten trecke. Die nach atz 1.27 gebildete Mittelsenkrechte enthält P damit als Mittelpunkt der trecke. Liegt P nicht auf der Geraden, dann hat P noch immer den gleichen bstand von den Punkten, und als Radius für die beiden Kreise in der Konstruktion nach atz 1.27 kann r = r 0 = P = P verwendet werden. Ein chnittpunkt der beiden Kreise stimmt dann mit P überein. Damit gehört P zur enkrechten, die durch die Gerade P gegeben ist. emerkung: Die Konstruktion der Parallelen zu einer Geraden durch einen vorgegebenen Punkt kann durch zweimalige Konstruktion der enkrechten nach atz 1.28 erfolgen. atz und Definition Winkelhalbierende und ihre Konstruktion Es sei w ein Winkel und h ein trahl, der zum Winkel gehört und dessen nfangspunkt mit dem cheitel von w übereinstimmt. Wenn h den Winkel in zwei gleich große Winkel zerlegt, dann heißt er Winkelhalbierende von w. Konstruktion der Winkelhalbierenden: 1. Fall: w ist ein gestreckter Winkel Dann bilden die beiden chenkel eine Gerade g. Die zu w gehörende Halbgerade der enkrechten durch den cheitelpunkt ist die Winkelhalbierende. Die enkrechte kann nach atz 1.28 konstriert werden. 2. Fall: w ist ein Nullwinkel Die Winkelhalbierende stimmt mit den beiden identischen chenkeln überein. 19

22 1.5. KONTRUKTION MIT ZIRKEL UND LINEL KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 3. Fall: w ist ein Vollwinkel Die Winkelhalbierende ist die Halbgerade, welche die beiden identischen chenkeln zu einer Geraden ergänzt. 4. Fall: w ist keiner der bisher genannten Winkel chlage einen Kreis um den cheitelpunkt mit einem beliebigen Radius r R >0. chlage um die chnittpunkte mit den chenkeln jewils einen Kreis mit demselben Radius r. Diese beiden Kreis schneiden sich im cheitel und in einem weiteren Punkt T. Die Halbgerade, die sich als chnitt der Geraden T mit dem Winkel w ergibt, ist die Winkelhalbierende. r M 2 T h r M 2 T r M 1 r r M 1 r h bbildung 1.20: Konstruktion einer Winkelhalbierenden für einen spitzen Winkel (links) und für den überstumpfen Restwinkel (rechts) 20

23 KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 1.5. KONTRUKTION MIT ZIRKEL UND LINEL Konstruktion der ddition zweier Winkel Wir gehen von zwei Winkeln w, w mit den cheitelpunkten, und den Winkelgrößen α, β aus. Das Ziel ist es an den Winkel w einen Winkel der Größe von w so anzufügen, dass es einen gemeinsamen chenkel gibt und die beiden restlichen chenkel einen Winkel der Größe α + β bilden. E D α r 1 β r 2 C r 1 Wir schlagen zwei Kreise (rot) um und um mit dem gleichen frei gewählten Radius r 1 R. Mit dem Zirkel wählen wir den bstand r 2 der beiden chnittpunkte des Kreises um mit den chenkeln von w. Mit diesem Radius r 2 schlagen wir einen Kreis (grün) um einen der chnittpunkte am Winkel w, In der bbildung ist es der Punkt E. Der Teil des grünen Kreises, der ganz auf der nicht zum Winkel w gehörenden eite des chenkels liegt, hat mit dem roten Kreis genau einen chnittpunkt F. r 2 E F β α + β α 21

24 1.5. KONTRUKTION MIT ZIRKEL UND LINEL KPITEL 1. ELEMENTRGEOMETRIE 22