Kapitel 9:Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen
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- Helge Fried
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1 Kapitel 9:Erwartungswert, Varianz und Kovarianz von Zufallsvariablen Motivation Erwartungswert: Welchen Wert nimmt Zufallsvariable durchschnittlich an? Populärstes Lagemaß aus Teil A: Arithmetisches Mittel Ausgangslage: Metrisch skaliertes Merkmal X mit möglichen Ausprägungen a 1,..., a k, die mit relativen Häufigkeiten h(a 1 ),..., h(a k ) auftreten. Es gilt (vergleiche Definition 3.1 und Beispiel 3.2 a)) x = k a i h(a i ) i=1 Idee: Ersetze relative Häufigkeiten durch bekannte Wahrscheinlichkeiten Dr. Matthias Arnold 225
2 Tippspiel Europameisterschaft Punktvergabe: 3 Punkte für korrektes Ergebnis 2 Punkte für korrekte Tordifferenz 1 Punkt für korrekte Tendenz Sieg/Niederlage Für welchen Tipp sind die meisten Punkte zu erwarten? Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Ergebnisse auf? Näherung für die Wahrscheinlichkeiten aus Wettquoten ableiten Dr. Matthias Arnold 226
3 Vorrundenspiel Deutschland-Portugal, Quoten bwin ω i 0:0 1:0 1:1 0:1 2:0 2:1 2:2 1:2 0:2 3:0 Quote ω i 3:1 3:2 3:3 2:3 1:3 0:3 4:0 4:1 4:2 Quote Wahrscheinlichkeiten Idee: bilde Kehrwert und standardisiere zu Eins, Ergebnis in Prozent: ω i 0:0 1:0 1:1 0:1 2:0 2:1 2:2 1:2 0:2 3:0 P(ω i ) ω i 3:1 3:2 3:3 2:3 1:3 0:3 4:0 4:1 4:2 P(ω i ) Dr. Matthias Arnold 227
4 Erwartete Punktzahl für den Tipp 1:0 ω i 0:0 1:0 1:1 0:1 2:0 2:1 2:2 1:2 0:2 3:0 P(ω i ) Punkte ω i 3:1 3:2 3:3 2:3 1:3 0:3 4:0 4:1 4:2 P(ω i ) Punkte Wahrscheinlichkeiten für Punkte Punktzahl Wahrscheinlichkeit Das ergibt im Erwartungswert folgende Punktanzahl: = Dr. Matthias Arnold 228
5 Erwartete Punktzahl für den Tipp 1:1 ω i 0:0 1:0 1:1 0:1 2:0 2:1 2:2 1:2 0:2 3:0 P(ω i ) Punkte ω i 3:1 3:2 3:3 2:3 1:3 0:3 4:0 4:1 4:2 P(ω i ) Punkte Wahrscheinlichkeiten für Punkte Punktzahl Wahrscheinlichkeit Das ergibt im Erwartungswert folgende Punktanzahl: = Dr. Matthias Arnold 229
6 Punktzahloptimierung erwartete Punktzahlen somit: Punkte für den Tipp 1: Punkte für den Tipp 1:1 bester Tipp ist hier 1:0 für den Favoriten bei nahezu ausgeglichenen Partien: 1:1 tippen bei sehr deutlichen Favoriten eventuell ausweichen auf 2:0, kommt bei Europameisterschaften aber sehr selten vor Dr. Matthias Arnold 230
7 Punktzahloptimierung aus statistischer Sicht Ergebnismenge Ω: {0 :0, 1:0, 1:1, 0:1,...} Elementarereignisse ω i : {0 :0}, {1 :0}, {1 :1}, {0 :1},... Ereignis A: Unentschieden Abbildung der ω i auf Punktezahlen zwischen 0 und 3: Zufallsvariable (hängt ab vom Tipp und den Spielregeln) Wahrscheinlichkeiten aus Wettquoten schätzen: Teil der induktiven Statistik, mehr dazu in Teil C der Vorlesung Berechnung erwarteter Punktzahlen: Konzept des Erwartungswertes, hier für eine diskrete Zufallsvariable Dr. Matthias Arnold 231
8 Definition 9.1 a) Sei X diskrete Zufallsvariable mit möglichen Realisationen x 1,..., x n und f(x i )=P(X = x i ) Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dann heißt E (X) = i I x i f(x i ) Erwartungswert von X (I =Indexmenge). b) Sei X stetige Zufallsvariable mit Dichte f(x). Dann heißt Erwartungswert von X. E (X) = x f(x) dx Dr. Matthias Arnold 232
9 Beispiel 9.1 a) X = Augensumme zweimaliges Würfeln,vgl.u.a.Bsp E (X) = x i f(x i )= x i f(x i ) i I i=1 1 = =7 b) X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf, vgl. Bsp. 8.1 E (X) = i I x i f(x i )= 3 x i f(x i ) i=1 = =1 Dr. Matthias Arnold 233
10 Beispiel 9.1 (Fortsetzung) c) X = Verspätung der S1, vgl. Bsp. 8.4 E (X) = x f(x) dx = 20 0 x 1 20 dx = 1 40 x =10 Bemerkung a) Ist Wahrscheinlichkeitsfunktion/Dichte einer Zufallsvariablen X symmetrisch um x, dann gilt E (X) =x b) Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X muss nicht unbedingt mögliche Realisation x i von X sein Dr. Matthias Arnold 234
11 Bemerkung (Fortsetzung) c) Eigenschaften des Erwartungswertes: X 1,..., X n beliebige Zufallsvariablen; a 1,a 2,...,a n,b R beliebige Konstanten; g : R R beliebige Funktion. Dann gilt: E (a1 X 1 + b) =a 1 E (X 1 )+b ( n ) E a i X i = n a i E (X i ) i=1 E (g(x1 )) = i=1 g(x i ) f(x i ), i g(x) f(x) dx, falls X 1 diskret falls X 1 stetig Falls X1,..., X n stochastisch unabhängig, so gilt außerdem E (X 1... X n ) =E(X 1 )... E (X n ) Dr. Matthias Arnold 235
12 Bemerkung (Fortsetzung) d) (Schwaches) Gesetz der großen Zahlen: X 1,..., X n unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung (d.h. gleiche Dichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion und gleiche Verteilungsfunktion) wie X besitzen. Dann gilt für ein beliebiges ε>0: lim P ( X n E (X) <ε)=1 n e) Interpretation des (schwachen) Gesetztes der großen Zahlen: Seien x 1,..., x n Realisationen der Zufallsvariablen aus Teil e). Dann gilt lim n 1 n n x i = E (X). i=1 Dr. Matthias Arnold 236
13 Beispiel 9.2 a) X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf E (X) =1, vgl. Bsp. 9.1 Durchschnittliche Anzahl Kopf Anzahl n der (zweimaligen) Münzwürfe Dr. Matthias Arnold 237
14 Beispiel 9.2 (Fortsetzung) b) Betrachte abermals Beispiel 2.4 bzw. 3.1: Lebensdauer (in Betriebsstudien) von Ventilen in kunststoffverarbeitendem Betrieb Lebensdauern als unabhängige Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung auffassbar bei wachsendem Stichprobenumfang konvergiert arithmetisches Mittel gegen Erwartungswert dieser Verteilung (Grund: Gesetz der großen Zahlen) Bei vorliegenden Daten (n = 30) gilt: x = 313, 17 (vgl. Beispiel 3.1) Dr. Matthias Arnold 238
15 Bemerkung Weiteres Lagemaß aus Kapitel 3: p Quantil (Wert x p, für den mindestens ein Anteil p 100 Prozent der Daten kleiner/gleich x p, und mindestens ein Anteil (1 p) 100 Prozent der Daten größer/gleich x p ist) definiere nun p Quantil einer Verteilung (zunächst lediglich stetiger Fall) Definition 9.2 Für eine stetige Zufallsvariable X und ein p [0, 1] heißt der Wert x p mit P (X x p )=p p-quantil der Verteilung von X. Dr. Matthias Arnold 239
16 Beispiel 9.3 a) X = S1-Verspätung Haltestelle Universität Dortmund, vgl. Beispiel 8.4 b) bzw. 9.1 c); Frage: Was ist, mit 80 prozentiger Wahrscheinlichkeit, die maximale Verspätung? Suche also das 0, 8 Quantil x0,8 der Gleichverteilung aus Beispiel 8.4 b) X stetig x0,8 so, dass P (X x 0,8 )=0, 8 P (X x 0,8 ) = F (x 0,8 )= x 0,8 20 =0, 8 x 0,8 = 20 0, 8=16 Mit 80 prozentiger Wahrscheinlichkeit beträgt die Verspätung nicht mehr als 16 Minuten Dr. Matthias Arnold 240
17 Beispiel 9.3 (Fortsetzung) a) Verspätung S-1 (Fortsetzung) F(x) X0,8=16 24 Verspätung x in Minuten Dr. Matthias Arnold 241
18 Beispiel 9.3 (Fortsetzung) a) Verspätung S-1 (Fortsetzung) f(x) Flächeninhalt links vom 0,8 Quantil=0,8 (d.h. 80% Wahrscheinlichkeitsmasse) Flächeninhalt rechts vom 0,8 Quantil=0,2 (d.h. 20% Wahrscheinlichkeitsmasse) 5 0 X0,8= Verspätung x in Minuten Dr. Matthias Arnold 242
19 Beispiel 9.3 (Fortsetzung) b) X = Augensumme bei zweimaligem Würfeln, vgl. u.a. Beispiel 8.3 Auch hier gesucht: 0, 8 Quantil Versuch, obwohl X diskret, Definition 9.2 anzuwenden Nach Beispiel 8.3 gilt P (X x) =F (x) = { 26/36 = 0, 72 für 8 x<9 30/36 = 0, 83 für 9 x<10 ein x 0,8 mit P (X x 0,8 )=0, 8 existiert nicht Dr. Matthias Arnold 243
20 Beispiel 9.3 (Fortsetzung) b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung) Verteilungsfunktion zweifaches Würfeln F(x) Augensumme x Dr. Matthias Arnold 244
21 Beispiel 9.3 (Fortsetzung) b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung) Dr. Matthias Arnold 245
22 Bemerkung Fasse, für eine diskrete Zufallsvariable X und ein p [0, 1], den Wert x p mit F (x p ) p und F (x) <pfür x<x p als p Quantil der Verteilung von X auf Beispiel 9.4 (Augensumme zweimaliges Würfeln, vgl. Beispiel 9.3 b)) Es gilt P (X x) =F (x) = 26/36 = 0, 72 für 8 x<9 30/36 = 0, 83 für 9 x<10 Gemäß der Bemerkung nach Beispiel 9.3 gilt x 0,8 =9 Dr. Matthias Arnold 246
23 Bemerkung Neben Lagemaßen in Teil A von Interesse: Streuungsmaße (siehe etwa Bsp. 4.1: Zwei unterschiedlich schwankende Unternehmensgewinne X, Y mit x =ȳ) Jetzt: Wie weit streuen Realisierungen einer Zufallsvariablen X um E(X) herum; Betrachte etwa Zufallsvariablen X und Y mit E(X) =E(Y ) folgendes Bild möglich f(y) f(x) E(X)=E(Y) Dr. Matthias Arnold 247
24 Definition 9.3 Sei X beliebige Zufallsvariable. Dann heißt σ 2 X = Var (X) =E [ (X E (X)) 2] Varianz von X und σ X = σ 2 X Standardabweichung von X. Bemerkung Sei X beliebige Zufallsvariable. Dann gilt (vgl. Bem. e) nach Bsp. 4.4): Var (X) =E ( X 2) [E (X)] 2 Dr. Matthias Arnold 248
25 Beispiel 9.5 a) X = Augensumme bei zweimaligem Würfeln, vgl. u.a. Beispiel 9.4; Gesucht: Var (X) Var (X) = E ( X 2) [E (X)] 2 = 11 i=1 = 2 2 = , 833 x 2 i f(x i ) = (da E (X) =7, vgl. Bsp. 9.1 a)) Dr. Matthias Arnold 249
26 Beispiel 9.5 (Fortsetzung) b) Varianz & Standardabweichung der Zufallsvariablen X = S1-Verspätung Hst. Uni Dortmund, s. u.a. Bsp. 9.3 a) E (X 2 ) = x 2 f(x)dx = 20 0 x 2 1 x3 dx = = Außerdem ist E (X) =10, vgl. Bsp. 9.1 c), also gilt: Var (X) = E ( X 2) [E (X)] 2 = = σ X = 33 1 =5, Minuten & 46 Sekunden 3 Dr. Matthias Arnold 250
27 Bemerkung a) Eigenschaften der Varianz: Für beliebige Zufallsvariablen X 1,..., X n gilt i) Var (X i ) 0 ii) Var (ax i + b) =a 2 Var (X i ) für a, b R iii) Sind die Zufallsvariablen X 1,X 2,...,X n außerdem unabhängig, so gilt weiter ( n ) Var a i X i = i=1 n a 2 i Var (X i ) für a 1,a 2,...,a n R i=1 Dr. Matthias Arnold 251
28 Bemerkung b) Vorsicht: Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y folgt aus Teil a), Punkt iii) nicht, dass Grund: Var (X Y )=Var (X) Var (Y ) Var (X Y ) = Var (X +( Y )) = 1 2 Var (X)+( 1) 2 Var (Y ) = Var (X)+Var (Y ) Dr. Matthias Arnold 252
29 Beispiel 9.6 X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf, s. u.a. Bsp. 9.2 a) definiere außerdem Y = Anzahl Zahl bei zweimaligem Münzwurf Zufallsexperiment mit Ω={(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} ω i (K, K) (K, Z) (Z, K) (Z, Z) X(ω i ) Y (ω i ) Zusammenhang zwischen X und Y (offensichtlich negativ, da X wenn Y und umgekehrt)? Dr. Matthias Arnold 253
30 Definition 9.4 Für zwei Zufallsvariablen X und Y heißt σ XY = Cov (X, Y )=E [(X E (X))(Y E (Y ))] Kovarianz von X und Y sowie ρ XY = σ XY σ X σ Y Korrelation von X und Y (vgl. Teil A: Definition 5.1 & 5.2). Bemerkung X und Y beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt (vgl. Bem. a) nach Beispiel 5.3) Cov (X, Y )=E (XY) E (X) E (Y ) Dr. Matthias Arnold 254
31 Beispiel 9.7 X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf, Y = Anzahl Zahl bei zweimaligem Münzwurf, s. u.a. Bsp. 9.6 ω i (K, K) (K, Z) (Z, K) (Z, Z) X(ω i ) Y (ω i ) X(ω i ) Y (ω i ) Dr. Matthias Arnold 255
32 Beispiel 9.7 (Fortsetzung) Es gilt E (X) = 0 P (X =0)+1 P (X =1)+2 P (X =2) = =1=E (Y ) 4 E (X Y ) = 0 P (X Y =0)+1 P (X Y =1) = = 1 2 Cov (X, Y ) = = 1 2 Negativer, linearer Zusammenhang zwischen X und Y, über Stärke kann jedoch keine Aussage getroffen werden (siehe Bem. c) nach Beispiel 5.3) Dr. Matthias Arnold 256
33 Beispiel 9.7 (Fortsetzung) Bestimme Stärke des linearen Zusammenhangs über Korrelation Var (X) = E ( X 2) [E (X)] 2 (und E (X) =1,vgl.Bsp.9.1b)) = 0 2 P (X =0)+1 2 P (X =1)+2 2 P (X =2) 1 2 = =1 2 = Var (Y ) ρ XY = = 1 D.h. perfekt negativer linearer Zusammenhang (siehe Bem. nach Bsp. 5.5); Plausibles Ergebnis: X + Y =2 Y =2 X Dr. Matthias Arnold 257
34 Bemerkung a) Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unkorreliert, wenn σ XY =0gilt b) Wenn X und Y unabhängig, dann gilt σ XY =0(also auch ρ XY =0); Umkehrung gilt i.a. nicht (Grund: Nichtlineare Abhängigkeiten zwischen X und Y möglich, werden durch σ XY jedoch nicht erfasst) Weiterhin gilt: c) 1 ρ XY 1 d) ρ XY =1 Y = ax + b mit a>0 und b R e) ρ XY = 1 Y = ax + b mit a<0 und b R f) Var (ax + by)=a 2 Var (X)+b 2 Var (Y )+2ab Cov (X, Y ) (a, b R, siehe Bem. a), Punkt iii) nach Bsp. 9.5) Dr. Matthias Arnold 258
35 Tippspiel Betrachte die Zufallsvariablen X := Punktzahl des Tipps 1:0 Y := Punktzahl des Tipps 1:1 Wahrscheinlichkeitsfunktion x i f X (x i )=P(X = x i ) f Y (x i )=P(Y = x i ) Erwartungswert E (X) = i I x i f X (x i ) = = Dr. Matthias Arnold 259
36 Erwartungswert E (Y ) = i I x i f Y (x i ) = = Varianz σ 2 X Var (X) = E ( X 2) [E (X)] 2 = i I x 2 i f X (x i ) = = 1.05 Standardabweichung σ X = σ 2 X = 1.05 = Dr. Matthias Arnold 260
37 Varianz σ 2 Y Var (Y ) = E ( Y 2) [E (Y )] 2 = i I x 2 i f Y (x i ) = = 1.23 σy 2 = σy 2 = 1.23 = 1.11 Kovarianz und Korrelation Dazu erforderlich: gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y Dr. Matthias Arnold 261
38 gemeinsame Verteilung von X und Y Y X Cov(X, Y )=E(X Y ) E(X) E(Y ) E(X Y ) = = 0 Dr. Matthias Arnold 262
39 Kovarianz Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) = = 0.58 Korrelation ρ XY = σ XY = 0.58 σ X σ Y = negativer linearer Zusammenhang Dr. Matthias Arnold 263
40 Bemerkung Fazit zu Erwartungswert, Varianz & Kovarianz/Korrelation Wichtige charakteristische Kennzahlen einer bzw. zweier Zufallsvariablen Theoretische Gegenstücke zu arithmetischem Mittel, empirischer Varianz und empirischer Kovarianz/Korrelation aus Teil A Dr. Matthias Arnold 264
41 Kapitel 10: Ausgewählte Verteilungen Beispiel 10.1 a) Flugzeugmotoren einer bestimmten Marke fallen bei einem gegebenen Flug mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 aus. Bei mehrmotorigen Maschinen dieser Firma treten die Ausfälle unabhängig voneinander auf. Ein Flugzeug erreicht sein Ziel, wenn wenigstens die Hälfte der Motoren läuft. Für einen Flug steht wahlweise eine zwei- oder eine viermotorige Maschine zur Verfügung. Mit welcher Maschine werden Sie fliegen, wenn Ihnen Ihr Leben lieb ist? Dr. Matthias Arnold 265
42 Beispiel 10.1 (Fortsetzung) b) Jedes zweite Los gewinnt! verspricht der Vereinsvorsitzende, als er vor 100 geladenen Gästen die Tombola der Jahresabschlussfeier eröffnet. Nach der Preisvergabe beschweren sich 10 Personen, die jeweils fünf Lose gekauft haben, dass sie nicht einmal gewonnen haben. Wie ist die Aussage des Vorsitzenden zu beurteilen? Dr. Matthias Arnold 266
43 Definition 10.1 Ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Beispiel 10.2 Beispiele für Bernoulli-Experimente a) Einfacher Münzwurf: Ω={ Kopf, Zahl } b) Elfmeter: Ω={ Schütze trifft, Schütze trifft nicht } c) Wahlverhalten einer Person: Ω={ CDU ja, CDU nein } d) Börse im Vergleich zum Vortag: Ω={ DAX gestiegen, DAX gefallen } e)... Dr. Matthias Arnold 267
44 Definition 10.2 Wiederhole Bernoulli-Experiment n Mal, wobei die Wahrscheinlichkeit für Erfolg oder Misserfolg in jedem der n Versuche gleich ist die Wiederholungen unabhängig voneinander sind definiere nun X = Anzahl der Erfolge bei diesen n Wiederholungen Dann ist X eine diskrete Zufallsvariable. Dr. Matthias Arnold 268
45 Fortsetzung Definition 10.2 Dann heißt X binomialverteilt mit Parametern n und p (kurz: X Bin(n, p)), wobei ( ) n f(x) =P (X = x) = p x (1 p) n x x [ ( ) n x = n! x! (n x)! Binomialkoeffizient, ( n x) =0für x>n, ( n ) ( n = n ) 0 =1] mögliche Werte sind 0, 1, 2,...,n. Es gilt E (X) =np und Var (X) =np (1 p) Dr. Matthias Arnold 269
46 Beispiel 10.3 a) Motorenausfälle bei Flugzeugen, vgl. Bsp a) X 1 = Anzahl ausfallende Motoren in zweimotoriger Maschine X 2 = Anzahl ausfallende Motoren in viermotoriger Maschine Bsp a): Ausfälle unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 1/10 X 1 Bin (2; 0, 1) & X 2 Bin (4; 0, 1) Für die Absturzwahrscheinlichkeiten gilt somit P (Absturz Fl. 1) = P (X 1 > 1) = P (X 1 =2) = ( ) 2 2 0, 1 2 (1 0, 1) 0 = 1 0, 1 2 0, 9 0 =0, 01 Dr. Matthias Arnold 270
47 Beispiel 10.3 (Fortsetzung) a) Motorenausfälle bei Flugzeugen (Fortsetzung) P (Absturz Fl. 2) = P (X 2 > 2) = P (X 2 =3)+P (X 2 =4) = ( ) 4 3 0, 1 3 (1 0, 1) 1 + ( ) 4 4 0, 1 4 (1 0, 1) 0 = 4 0, 1 3 0, , 1 4 0, 9 0 = 0, , 0001 = 0, 0037 Absturzwahrscheinlichkeit Flugzeug 1 = 1% vs. Absturzwahrscheinlichkeit Flugzeug 2 = 0,37% Flugzeug 2 sollte bevorzugt werden! Dr. Matthias Arnold 271
48 Beispiel 10.3 (Fortsetzung) b) Tombola, vgl. Bsp b) X = Anzahl der Gewinne bei fünf gekauften Losen Vorsitzender: P (Los gewinnt) =0, 5 X Bin (5; 0, 5) Wahrscheinlichkeit, bei fünf Losen keinen Gewinn zu erzielen ( ) 5 P (5 Lose,keinGewinn) = P (X =0) = 0, 5 0 (1 0, 5) 5 0 = 1 0, 5 0 0, 5 5 = 0, , 1% zieht eine Person 5 Lose, so ist Wahrscheinlichkeit für 5 Nieten 3,1% (wenn Aussage des Vorsitzenden wahr); es haben jedoch bereits 10% der Gäste (10 von 100) bei 5 Losen nur Nieten gezogen Aussage des Vorsitzenden fragwürdig Dr. Matthias Arnold 272
49 Beispiel 10.4 Einfacher Münzwurf, vgl. Beispiel 10.2 a) 1 falls ω = Kopf X(ω) = 0 sonst X Bin(1;0,5) ( bernoulliverteilt ) Werfe Münze nun n Mal für jeden Wurf i Zufallsvariable X i Bin(1;0,5) analog zu X definierbar; weiterhin sei Z = Anzahl Def Kopf bei den n Würfen Z Bin(n;0, 5) Allerdings ist Z = n X i i=1 n X i Bin (n;0, 5) i=1 Dr. Matthias Arnold 273
50 Bemerkung a) Ergebnis aus Beispiel 10.4 allgemein gültig, d.h.: Seien X 1,..., X n unabhängige Zufallsvariablen mit X i Bin(1; p), so gilt n X = X i Bin (n, p) i=1 b) Sei X Bin(n, p) verteilt, dann ist eine Zufallsvariable Y = n X Bin(n, 1 p) verteilt Beispiel n maliges Würfeln; X = Anzahl Würfe mit Augenzahl<3 X Bin(n, 1/3); Y = n X = Anzahl Würfe mit Augenzahl 3 Y Bin(n, 2/3) Dr. Matthias Arnold 274
51 Bemerkung (Fortsetzung) c) f(x) Binomialverteilung für verschiedene n und p n=5,p=0.1 n=5,p=0.3 f(x) f(x) x n=5,p=0.5 n=5,p=0.8 x f(x) f(x) x x Dr. Matthias Arnold 275
52 Bemerkung (Fortsetzung) c) f(x) Binomialverteilung für verschiedene n & p (Fortsetzung) n=10,p=0.1 n=10,p=0.3 f(x) f(x) x n=10,p= x n=10,p=0.8 f(x) f(x) x x Dr. Matthias Arnold 276
53 Bemerkung (Fortsetzung) d) Tabellierte Verteilungsfunktion der Bin (n;0, 5) Verteilung x 0 0,5000 0,2500 0,1250 0,0625 0, ,7500 0,5000 0,3125 0, ,8750 0,6875 0, ,9375 0, , n Dr. Matthias Arnold 277
54 Definition 10.3 Stetige Gleichverteilung, siehe u.a. Beispiel 8.4 Gemäß Bsp. 8.4 a) heißt eine stetige Zufallsvariable X gleich-/rechteckverteilt auf Intervall [a, b] (kurz: X R[a, b]), falls f(x) = { 1 b a a x b 0 sonst Weiterhin gilt F (x) = 0 x<a x a b a a x b 1 x>b E (X) = a + b 2 und Var (X) = (b a)2 12 Dr. Matthias Arnold 278
55 Beispiel 10.5 a) Abfüllanlage für Getränkedosen ist auf 0,33 Liter eingestellt Abweichungen von ±0, 004 L. akzeptabel Befürchtung/Vermutung/Wissen: Anlage weicht um ±0, 009 L. vom Sollwert ab, Abweichungen auf diesem Intervall gleichverteilt Frage: Falls Befürchtung wahr, mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt abgefüllte Menge einer Dose im akzeptablen Bereich? Erwartungswert/Standardabweichung? Dr. Matthias Arnold 279
56 Beispiel 10.5 a) Abfüllanlage für Getränkedosen (Fortsetzung) Annahme also: X R[0, 321; 0, 339] Gesucht: P (0, 326 <X 0, 334) = F (0, 334) F (0, 326) (siehe Bem. 2a) nach Definition 8.4);Nach Def gilt F (x) = x 0, 321 0, 339 0, 321 = x 0, 321 0, 018 für 0, 321 x 0, 339 Also ist F (0, 334) F (0, 326) = = 0, 334 0, 321 0, 018 0, 008 0, 018 =0, 444 0, 326 0, 321 0, 018 Dr. Matthias Arnold 280
57 Beispiel 10.5 a) Abfüllanlage für Getränkedosen (Fortsetzung) Weiterhin gilt E (X) = Var (X) = 0, , 339 =0, 33 und 2 (0, 339 0, 321)2 =0, σ X =0, 0052 Lit. 12 Obwohl Erwartungswert=0,33 Liter=Sollwert, beträgt Wahrscheinlichkeit, im Toleranzbereich ±0, 004 Litern zu liegen, lediglich 44,4 %; Grund: σ X =0, 0052 > 0, 004 viele Abfüllmengen außerhalb des Toleranzbereiches b) Anderes Beispiel für stetige Gleichverteilung: S1-Verspätung (siehe Kapitel 8 & 9) Dr. Matthias Arnold 281
58 Definition 10.4 Sei μ R und 0 <σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x μ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt mit Parametern μ und σ 2 (kurz: X N(μ, σ 2 )), wobei E (X) =μ und Var (X) =σ 2 Falls μ =0und σ 2 =1,soheißtX standardnormalverteilt. Dr. Matthias Arnold 282
59 Bemerkung a) Dichte der Normalverteilung für verschiedene μ und σ 2 f(x) μ= 0 σ 2 = 1 f(x) μ= 2 σ 2 = x x f(x) μ= 0 σ 2 = 2 f(x) μ= 2 σ 2 = x x Dr. Matthias Arnold 283
60 Bemerkung (Fortsetzung) b) X N(μ, σ 2 ) Dichte von X symmetrisch um μ, d.h. f(μ x) =f(μ + x) für alle x R c) X N(μ, σ 2 ), dann gilt X μ σ N(0, 1) d) X 1,..., X n unabhängig mit X i N(μ i,σi 2 ), dann gilt ( n n ) n X i N μ i, i=1 i=1 i=1 σ 2 i Dr. Matthias Arnold 284
61 Beispiel 10.6 Angenommen, die zeitstetige monatliche Rendite (in %) einer Aktie ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0,5 und Varianz 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt der Kurs dieser Aktie dann in einem Monat um mehr als 5%? X = monatliche Rendite in % X N(0, 5; 4) P (X >5) = 1 P (X 5) = π 4 e 1 2( x 0,5 2 ) 2 dx Schwer zu berechnen Anwendung von Bem. c) nach Def Dr. Matthias Arnold 285
62 Beispiel 10.6 (Fortsetzung) P (X >5) = 1 P (X 5) = 1 P X 0, 5 2 }{{} N (0,1) 5 0, 5 2 = 1 F N (0,1) (2, 25) = 1 Φ(2, 25) = 1 0, 9878 = 0, 0122 = 1, 22%. (Hierbei bezeichnet Φ(x) die Verteilungsfunktion der N (0, 1)-Verteilung) Eine monatliche Kurssteigerung um mehr als 5% ist lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,22% zu erwarten. Dr. Matthias Arnold 286
63 Bemerkung a) Tabellierte Verteilungsfunktion Φ(x) der N (0, 1)-Verteilung 0,00 0,04 0,05 0,06 x 1 0,0 0,5000 0,5160 0,5199 0, ,1 0,9821 0,9838 0,9842 0,9846 2,2 0,9861 0,9875 0,9878 0,9881 2,3 0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 x Dr. Matthias Arnold 287
64 Bemerkung (Fortsetzung) b) Zentraler Grenzwertsatz (Grund für enorme Bedeutung der Normalverteilung): X 1,..., X n seien unabhängig identisch verteilte (uiv) Zufallsvariablen mit E (X i )=μ und Var (X i )=σ 2. Dann gilt: lim P n n i=1 X i nμ σ n x =Φ(x) bzw. ( n lim P Xn μ n σ ) x =Φ(x). Dr. Matthias Arnold 288
65 Bemerkung (Fortsetzung) c) Mit Hilfe von b) lassen sich also hinreichend große Scharen unabhängiger Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung (egal welcher!) an die Standardnormalverteilung annähern. Spezialfall: X 1,..., X n uiv mit X i Bin (1,p). Somit ist μ = p, σ 2 = p (1 p) und es gilt n X lim P i np i=1 n x np (1 p) =Φ(x). Faustregel : Approximation aus b) akzeptabel, wenn (1) n 30, (2) np 10, (3) n (1 p) 10 Dr. Matthias Arnold 289
66 Beispiel 10.7 Angenommen, die täglichen Änderungen des Deutschen Aktienindexes (DAX) seien unabhängige Zufallsvariablen, wobei P (DAX steigt) =P (DAX fällt) =1/2 Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt dann der DAX an mehr als 120 von insgesamt 200 Börsentagen? Definiere X i = { 1 DAX steigt an Börsentag i 0 sonst (i =1,..., 200) Dann gilt: X 1,..., X 200 uiv Bin ( 1, 1 ) 2 X = 200 i=1 X i Bin ( 200, 1 ) 2 Dr. Matthias Arnold 290
67 Beispiel 10.7 (Fortsetzung) Gesucht: P (X >120) = 1 P (X 120) (nicht tabelliert) = 1 = k=0 120 k=0 P (X = k) ( 200 k )( 1 2 wende Bemerkung c) nach Beispiel 10.6 an ) k ( ) k (kaum berechenbar) 2 Dr. Matthias Arnold 291
68 Beispiel 10.7 (Fortsetzung) Faustregeln erfüllt? n = , np = , n(1 p) = Also: P (X >120) = 1 P (X 120) = 1 P X } {{ } N (0,1) Φ(2, 83) = 1 0, 9977 = 0, 0023 = 0, 23% Unter gegebenen Annahmen steigt der DAX an mehr als 120 von insgesamt 200 Börsentagen mit einer Wahrscheinlichkeit von (lediglich) 0,23% Dr. Matthias Arnold 292
69 Bemerkung Fazit/Zusammenfassung Kapitel 10 Unabhängige Wiederholungen eines Bernoulliexperiments Binomialverteilung Wichtigste stetige Verteilung: Normalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Zufallsvariablen immer über Standardnormalverteilung (siehe Bem. c) nach Def. 10.4) Approximation beliebiger Verteilungen durch Standardnormalverteilung bei großem Stichprobenumfang möglich (siehe Bem.b) bzw. c) nach Bsp. 10.6) Dr. Matthias Arnold 293
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