Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

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1 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck Bachelor Projekt eingereicht am Institut für Baustatik der Technischen Universität Graz im November 2009 Verfasser: Betreuer: Mario Jackisch Dipl.-Ing. Dr.techn. Klaus Thöni

2 II

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung. Aufgabenstellung Kontrolle mit RuckZuck Systemangabe Variante 5 2. Statisch bestimmtes Grundsystem System System System Ermittlung der Klaffungen Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Ermittlung der statisch Unbestimmten Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Schlussbemerkung Variante Statisch bestimmtes Grundsystem System System System Ermittlung der Klaffungen Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Ermittlung der statisch Unbestimmten Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Schlussbemerkung Variante Statisch bestimmtes Grundsystem System System System Ermittlung der Klaffungen Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Ermittlung der statisch Unbestimmten Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Schlussbemerkung III

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5 Einleitung. Aufgabenstellung Die vorliegende Bachelorarbeit soll den Studierenden die Anwendungsmöglichkeit der Baustatik Software RUCKZUCK, im Bezug auf die Kontrollmöglichkeiten der Zwischenschritte bei der Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit dem Kraftgrößenverfahren, näherbringen. Dazu werden anhand eines Beispiels mehrere Lösungsvorschläge durchgerechnet und die einzelnen Schritte mit RUCKZUCK überprüft und dargestellt..2 Kontrolle mit RuckZuck Ruckzuck ist eine Stabstatik-Software, die es erlaubt äußerst rasch Schnittkräfte und Verformungen verschiedenster Tragwerke in 2D zu ermitteln. Die Software wurde ursprünglich am Institut für Baustatik der Technischen Universität Graz entwickelt und wird nun von der Firma Mursoft ( betreut und weitergeführt. Die Eingabe des Systems erfolgt in RuckZuck über Symbolleisten. Damit können Stäbe, Vollgelenke und Halbgelenke, sowie die Auflager eingegeben werden. Durch Rechtsklick auf die jeweiligen Elemente können die Eigenschaften, wie Querschnittswerte und Materialkennwerte bei Stäben, bzw. die Freiheitsgrade und Federsteifigkeiten bei Auflagern, geändert werden. Bei statisch unbestimmten Systemen und bei der Berechnung von Verformungen und Klaffungen spielen diese Eigenschaften eine wesentliche Rolle. Es muss also darauf geachtet werden, dass diese Eingaben stimmen. Abb.. zeigt beispielhaft die Eingabe der Stabeigenschaften des Stabes. Durch Rechtsklick auf ein Auflager können die Auflagereigenschaften verändert werden. Das ist in Abb..2 am Beispiel des Federauflagers dargestellt.

6 Einleitung Abb..: Screenshot RuckZuck: Stabeigenschaften Abb..2: Screenshot RuckZuck: Auflagereigenschaften 2 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

7 .3 Systemangabe.3 Systemangabe 4,0 3,0 2,0 A P B 7 6 2, ,0 3,0 C Abb..3: Systemangabe mit Abmessungen und Belastungen Belastung: Einzellast P = 0 kn ungleichmäßige Temperaturbelastung der Stäbe -3: Innentemperatur +0 C, Außentemperatur 0 C Bemerkung: Beide Belastungen wirken gleichzeitig. Kennwerte: Alle Abmessungen: m Stahl: E = 2, 0 8 kn/m 2, α T =,2 0 5 / K Stäbe 3: A, I = 4390 cm 4, H = 0,36 m Fachwerkstäbe 4 8: A = 26,04 cm 2 Feder: k w = 2000 kn /m Bemerkung: Die Biegestäbe werden als dehnstarr angenommen. In der Angabe wird ihre Fläche mit sehr groß angegeben (A ), dh. die Stäbe sind dehnstarr. Dadurch wird der Anteil Dehnung aus Normalkraft ε N = N EA gleich 0 und in weiterer Folge δn ε N dx = 0. In diesem Beispiel spielt die sehr große Querschnittsfläche keine Rolle, da in den Biegestäben keine Normalkräfte auftreten werden. Es wurden hier die Querschnittswerte eines HE B 360 gewählt. Es sei aber darauf hingewiesen, dass bei Beispielen mit Normalkräften in den Biegestäben in RuckZuck eine Fläche eingegeben werden muss. Dieser Wert muss dann sinnvoll gewählt werden und sollte so lange schrittweise erhöht werden, bis in den Ergebnissen keine wesentliche Veränderung mehr auftritt. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 3

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9 2 Variante 2. Statisch bestimmtes Grundsystem X P 2 X 2 Abb. 2.: Statisch bestimmtes Grundsystem Lösungsweg Es handelt sich um ein 2fach statisch unbestimmtes System. Als statisch bestimmtes Grundsystem ergibt sich durch Lösen der Bindungen am Auflager B und C ein Kragträger 0-System. Infolge der Belastung wird am statisch bestimmten Grundsystem im Punkt eine Klaffung d 0 entstehen und im Punkt 2 eine Klaffung d 20. In Wirklichkeit treten keine Klaffungen auf. Um diese Bedingung zu erfüllen (Verträglichkeitsbedingung), muss im Punkt (Auflager B) eine Kraft angebracht werden, die die Klaffung d 0 wieder rückgängig macht - System. Analog zu dieser Überlegung muss auch im Punkt 2 (Auflager C) eine Kraft aufgebracht werden, um die Klaffung d 20 in diesem Punkt wieder rückgängig zu machen 2-System. Gewöhnlich setzt man diese Unbekannten zunächst mit X = und X 2 = an. Es ist nicht zu erwarten, dass die durch die Zustandsgröße X = erzeugte Klaffung d (Klaffung des Punktes infolge X = ) sowie die durch die Zustandsgröße X 2 = erzeugte Klaffung d 2 (Klaffung des Punktes infolge X 2 = ) die Größe der von den Belastungen erzeugte Formänderung d 0 annimmt. Erst wenn d X -fach angesetzt wird und d 2 X 2 -fach, ist die Summe der beiden Klaffungen gleich Null. Die selbe Überlegung gilt analog für die Klaffungen d 2 (Klaffung des Punktes 2 infolge X = ) und d 22 (Klaffung des Punktes 2 infolge X 2 = ) Durch Lösen der Verträglichkeitsbedingungen (siehe Abs. 2.7) ergeben sich dann die Unbekannten X und X 2 und in weiterer Folge die endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe. 5

10 2 Variante System Nach Eingabe der Lasten am statisch bestimmten Grundsystem, in diesem Beispiel eine Knoteneinzellast und eine ungleichmäßige Temperaturbelastung, ergeben sich die Auflagerkräfte, die Biegelinie und Schnittkraftverläufe, wie in Abb. 2.2 und Abb. 2.3 dargestellt. Die nachfolgende rechnerische Lösung kann somit gleich kontrolliert werden. Abb. 2.2: Screenshot RuckZuck: 0-System mit Biegelinie und Auflagerkräften Auflagerkräfte: Durch Lösen der 3 Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich die Auflagerkräfte zu: M + A = 0 : M A 0 + P 9,0 = 0 M A0 = 90,0 knm V = 0 : AV0 = P P = 0,0 kn H = 0 : AH0 = 0,0 kn Es sei hier angemerkt, dass die Temperaturbelastung beim statisch bestimmten Grundsystem keine Zwängungen verursacht und somit keinen Einfluss auf die Auflagerkräfte hat. Der Einfluss der Temperaturbelastung an einem statisch bestimmten System ist nur an der verformten Figur zu erkennen. Dieser Unterschied in der Biegelinie ist beim Verglichen von Abb. 2.2 mit Abb. 2.4 deutlich zu erkennen. Schnittkräfte: Anhand der berechneten Auflagerkräfte können die Schnittkräfte vom 0-System berechnet werden. Die Temperaturbelastung hat auch auf diese keinen Einfluss. 6 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

11 2.2 0-System Momentenverlauf M 0 [knm] (a) Querkraftverlauf Q 0 [knm] (b) Normalkraftverlauf N 0 [kn] (c) Abb. 2.3: Schnittkraftverläufe am 0-System Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 7

12 2 Variante Abb. 2.4: Screenshot RuckZuck: Biegelinie ohne Temperaturbelastung 2.3 -System Für das -System wird am statisch bestimmten Grundsystem eine -Last an der Schnittkante in Punkt aufgebracht. Dadurch ergeben sich die Auflagerkräfte, die Biegelinie und Schnittkraftverläufe, wie in Abb. 2.5 und Abb. 2.6 dargestellt. Auch hier liefert RuckZuck die Kontrolle für die nachfolgende rechnerische Lösung. Abb. 2.5: Screenshot RuckZuck: -System mit Biegelinie und Auflagerkräften 8 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

13 2.3 -System Auflagerkräfte: Durch Lösen der 3 Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich die Auflagerkräfte zu: M + A = 0 : M A + 4,0 = 0 M A = 4,0 knm V = 0 : AV =,0 kn H = 0 : AH = 0,0 kn Schnittkräfte: Anhand der berechneten Auflagerkräfte können die Schnittkräfte vom -System berechnet werden. Zu beachten ist hier allerdings, dass X eigentlich ein Kräftepaar ist, wobei eine Kraft am Träger, die andere an der Feder angreift, und somit nicht nur eine Durchbiegung des Stabes bewirkt, sondern auch die Feder auf Zug belastet (siehe Abb. 2.). Dieser Anteil der Wegfeder wird also bei der Kontrolle der Klaffung im RuckZuck nicht dargestellt und muss dazugerechnet werden (siehe Abs. 2.6)! Die Federkraft ergibt sich zu: δn F = N F =,0 kn Eine Alternative um dieses Problem im RuckZuck zu umgehen wird in Kap. 3 gezeigt. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 9

14 2 Variante Momentenverlauf M = δm [knm] (a) Querkraftverlauf Q = δq [kn] (b) Normalkraftverlauf N = δn [kn] (c) Abb. 2.6: Schnittkraftverläufe am -System 0 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

15 2.4 2-System System Für das 2-System wird am statisch bestimmten Grundsystem eine -Last an der Schnittkante in Punkt 2 aufgebracht. Dadurch ergeben sich wieder die Auflagerkräfte, die Biegelinie und Schnittkraftverläufe, wie in Abb. 2.7 und Abb. 2.8 dargestellt. RuckZuck liefert die Kontrolle für die nachfolgende rechnerische Lösung. Abb. 2.7: Screenshot RuckZuck: 2-System mit Biegelinie und Auflagerkräften Auflagerkräfte: Durch Lösen der 3 Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich die Auflagerkräfte zu: M + A = 0 : M A 2 + 7,0 = 0 M A2 = 7,0 knm V = 0 : AV2 =,0 kn H = 0 : AH2 = 0,0 kn Schnittkräfte: Anhand der berechneten Auflagerkräfte können die Schnittkräfte vom 2-System berechnet werden. Die Berechnung von den Normalkräften N 2 und δn 2 in den Fachwerkstäben erfolgt mit Hilfe des Rundschnittverfahrens (siehe Abb. 2.9). Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

16 2 Variante Momentenverlauf M 2 = δm 2 [knm] (a) Querkraftverlauf Q 2 = δq 2 [kn] (b) Normalkraftverlauf N 2 = δn 2 [kn] (c) Abb. 2.8: Schnittkraftverläufe am 2-System 2 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

17 2.5 Ermittlung der Klaffungen S 7 S 7 S 6 S 8 S ,0 3,0 S 6 S 6 S 5 S 6 S 5,0,0 Abb. 2.9: Knotenrundschnitt Aus der Symmetrie des Fachwerkes ergeben sich folgende Bedingungen: S 4 = S 5 = S 6 = S 7 tan α = 3,0,0 α = 7,565 sin α = 0,5 S 5 S 5 = 0,53 kn (Zug) cos α = S 8 2 0,5 S 8 = 0,33 kn (Druck) Mit Hilfe von RuckZuck lassen sich die berechneten Normalkräfte kontrollieren. (vgl. mit Abb. 2.8(c)) 2.5 Ermittlung der Klaffungen Nachdem nun die Auflagerkräfte und Schnittkräfte am 0-System, -System und 2-System bestimmt wurden, können wie folgt die jeweiligen Klaffungen mit Hilfe des Arbeitssatzes berechnet werden. d = δn ε dx } {{ } Dehnung + δq γ dx } {{ } Schub + δm κ dx } {{ } Biegung + δn F N F k w } {{ } W egfeder Der Anteil aus Schub ( δqγ dx) wird hier vernachlässigt. Die Berechnung der Integrale erfolgt mit Hilfe von Integraltafeln (siehe Skriptum Baustatik ). (2.) Klaffungen am 0-System In Abb. 2.0 sind die Klaffungen d 0 und d 20 eingezeichnet. Der erste Index bezeichnet den Ort, der zweite Index die Ursache. d 0 bedeutet also z.b. Klaffung in Punkt aufgrund der Belastung aus dem 0-System. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 3

18 2 Variante d 0 P d 20 Abb. 2.0: Klaffungen am 0-System zufolge der gegebenen Belastung d 0 und d 20 setzen sich jeweils aus einem Biege- und einem Temperaturanteil zusammen. d 0 = EI = T δm M 0 dx + α T δm dx H [ 6 2, ( 2 ( 90) + ( 50) = 6, , =, m } {{ } } {{ } Biegung T emperatur ) ] ( 4) 4,0 +, ,36 ( 4) 4,0 2 (2.2) d 20 = EI = T δm 2 M 0 dx + α T δm 2 dx H [ 6 2, ( 2 ( 90) + ( 20) =, , =, m } {{ } } {{ } Biegung T emperatur ) ] ( 7) 7,0 +, ,36 ( 7) 7,0 2 (2.3) Klaffungen am -System In Abb. 2. ist nochmal deutlich zu sehen, dass sich die Klaffung d aus der Durchbiegung der Stabachse in Punkt und dem Anteil der Wegfeder zusammensetzt. Bei der Berechnung der Klaffung d 2 spielt die Wegfeder wiederrum keine Rolle. 4 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

19 2.5 Ermittlung der Klaffungen X = d X = d 2 Abb. 2.: Klaffungen am -System zufolge X = d = EI = δm M dx + δn F 2, N F k w [ 3 ( 4)2 4,0 ] +, = 2, , = 7, m } {{ } } {{ } Biegung W egfeder d 2 = EI = δm 2 M dx 2, = 4, m [ ( ) ] 2 ( 7) + ( 3) ( 4) 4,0 6 (2.4) (2.5) Klaffungen am 2-System Die Klaffung d 2, also die Klaffung in Punkt zufolge der Belastung am 2-System (X 2 = ), ergibt sich nur aus einem Biegeanteil und sie ist gleich groß wie die Klaffung d 2. Die Klaffung d 22 ergibt sich aus einem Biegeanteil und dem Normalkraftanteil aus den Fachwerkstäben. d 2 = EI = δm M 2 dx 2, [ ( ) ] 2 ( 7) + ( 3) ( 4) 4,0 6 (2.6) = 4, m = d 2 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 5

20 2 Variante d 2 X 2 = d 22 X 2 = Abb. 2.2: Klaffungen am 2-System zufolge X 2 = d 22 = EI = δm 2 M 2 dx + δn 2 N 2 dx EA [ ] 3 ( 7) 72 7,0 + 2, =, , =, m } {{ } } {{ } Biegung Dehnung [ ] 2, , , ,62 + ( 0,332) 2 2,0 (2.7) 2.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Die soeben über den Arbeitssatz ermittelten Klaffungen können mit der Baustatiksoftware RuckZuck einfach kontrolliert werden. Die Klaffungen werden in diesem Beispiel als Durchbiegungen ausgegeben und sind somit in jedem Punkt direkt ablesbar. Man klickt auf das Symbol Stabergebnisse und anschließend auf den Stab, dessen Ergebnisse man sich anzeigen lassen will. Kontrolle der Klaffungen am 0-System Wenn man sich die Stabergebnisse des Stabes ausgeben lässt, sieht man bei den Globalen Knotenverformungen die Stab-Anfangs- bzw. Endverformung. Die Klaffung d 0 tritt am Ende des Stabes auf, wie in Abb. 2.3 hervorgehoben. Die Enddurchbiegung dieses Stabes bestätigt den zuvor rechnerisch ermittelten Wert für d 0. Die Anfangsdurchbiegung des Stabes 2 hat auch diesen Wert. 6 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

21 5 2.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck W U d 0 Abb. 2.3: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 0 U W d 20 Abb. 2.4: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 20 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 7

22 2 Variante Lässt man sich die Stabergebnisse für den Stab 5 ausgeben, erhält man die Kontrolle der rechnerisch ermittelten Klaffung von d 20. Dazu betrachtet man die globale Verformung des Endknotens dieses Stabes (siehe Abb. 2.4). Es sei auch hier nochmal angeführt, dass die Anfangsverformung des Stabes 6 den selben Wert hat. Kontrolle der Klaffungen am -System Aufgrund der weggeschnittenen Feder wird in RuckZuck, wie bereits in Abs. 2.3 angesprochen, der Anteil der Wegfeder nicht berücksichtigt. Die Stabergebnisse des Stabes liefern nur den Anteil der Klaffung aus Biegung, der in Abb. 2.5 als d bezeichnet ist. Der Anteil der Wegfeder muss noch händisch addiert werden. Somit ergibt sich die Klaffung d aus: d = d + δn F N F k w d = 2, , = 7, } {{ } } {{ } 4 m Biegung W egfeder U W d Abb. 2.5: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Die Klaffung d 2 ergibt sich wie in Abb. 2.6 dargestellt aus der gobalen Stabendverformung des Stabes 5. Kontrolle der Klaffungen am 2-System Für die Klaffung d 2 betrachtet man die globale Stabendverformung des Stabes. Diese ergibt, wie in Abb. 2.7 ersichtlich, wieder den zuvor ermittelten Wert (d 2 = d 2 ). 8 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

23 5 2.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck U W d 2 Abb. 2.6: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 2 U W d 2 Abb. 2.7: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 2 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 9

24 5 2 Variante Für die Klaffung d 22 betrachtet man die globale Stabendverformung des Stabes 5. U W d 22 Abb. 2.8: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Ermittlung der statisch Unbestimmten Mit den ermittelten und kontrollierten Klaffungen kann man nun über die Verträglichkeitsbedingungen die Unbekannten X und X 2 ermitteln. Die Verträglichkeitsbedingungen lauten: d 0 + X d + X 2 d 2 = 0, X 7, X 2 4, = 0 (2.8) d 20 + X d 2 + X 2 d 22 = 0, X 4, X 2, = 0 (2.9) Die beiden Gleichungen können wie folgt in Matrixschreibweise angeschrieben werden: [ ] { } { } { d d 2 X d0 0 + = d 2 d 22 X 2 d 20 0} (2.0) Durch Lösen der 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten ergeben sich: X =,428 X 2 = 0, Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

25 2.8 Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe 2.8 Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Sobald die statisch unbestimmten Größen bekannt sind, lassen sich die übrigen statischen Größen aufgrund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes bestimmen. Das Superpositionsgesetz lautet: S = S 0 + X S + X 2 S 2 (2.) Superposition der Auflagerkräfte: Beispielhaft werden die Auflagerkräfte mit dem Superpositionsgesetz berechnet: M + A = M A 0 + X M A + X 2 M A2 = ( 90,0) + (,428) ( 4,0) + ( 0,7584) ( 7,0) = 78,98 knm (2.2) A V = A V0 + X A V + X 2 A V2 = 0,0 + (,428),0 + ( 0,7584),0 = 7,8 kn (2.3) A H = A H0 + X A H + X 2 A H2 = 0,00 + (,428) 0,00 + ( 0,7584) 0,00 = 0,00 kn (2.4) B = B 0 + X B + X 2 B 2 = 0,00 + (,428) (,0) + ( 0,7584) 0,00 =,43 kn (2.5) C = C 0 + X C + X 2 C 2 = 0,00 + (,428) 0,00 + ( 0,7584) (,0) = 0,76 kn (2.6) Die Kontrolle der errechneten Auflagerkräfte wird im RuckZuck am statisch unbestimmten System durchgeführt. Wie man in Abb. 2.9 erkennen kann stimmen die berechneten Auflagerkräfte mit den Werten des Programms überein. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 2

26 2 Variante Abb. 2.9: Screenshot RuckZuck: Auflagerkräfte und Biegelinie am statisch unbestimmten System Superposition der Schnittgrößen: Die Schnittgrößen werden ebenfalls mit Hilfe des Superpositionsgesetzes ermittelt. Alternativ kann man die Schnittgrößen auch aus den zuvor berechneten Auflagerkräften ermitteln und umgekehrt. Mit RuckZuck können die Schnittgrößen am statisch unbestimmten System kontrolliert werden. Diese sind in Abb dargestellt. 2.9 Schlussbemerkung Die Temperaturbelastung verursacht am statisch bestimmten Grundsystem keine Zwängungen und hat somit keinen Einfluss auf die Auflagerkräfte und Schnittkräfte des 0-Systems. Der Einfluss der Temperaturbelastung an einem statisch bestimmten System ist nur an der verformten Figur zu erkennen. Dieser Unterschied in der Biegelinie ist z.b. beim Vergleichen von Abb. 2.2 mit Abb. 2.4 deutlich zu erkennen. Um auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zu kommen wurden in dieser Variante die Bindungen am Auflager B und C gelöst. Zu beachten ist allerdings, dass das Lösen immer ein Kräftepaar bewirkt, welches auch an den gelösten, bzw. weggeschnittenen Teilen Schnittkräfte bewirken. Das Lösen der Feder kann im Programm RuckZuck nicht dargestellten werden, deshalb fehlt der Anteil der Wegfeder bei der Kontrolle der Klaffungen und muss wie in Abs. 2.6 beschrieben händisch dazugerechnet werden. Um dieses Problem zu umgehen wird in Kap. 3 eine Alternative gezeigt. Der Anteil aus Schub ( δqγ dx) wurde bei der Berechnung der Klaffungen vernachlässigt. Nachdem auch in RuckZuck dieser Anteil nicht berücksichtigt wird stimmen die berechneten Klaffungen mit denen aus dem Programm überein. 22 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

27 2.9 Schlussbemerkung Momentenverlauf M [knm] (a) Querkraftverlauf Q [knm] (b) Normalkraftverlauf N [kn] (c) Abb. 2.20: Schnittkraftverläufe am statisch unbestimmten System Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 23

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29 3 Variante 2 Um weggeschnittene Federn zu vermeiden gibt es im RuckZuck einen Trick. Und zwar ersetzt man das Federlager durch einen Fachwerkstab. Wie das genau funktioniert beschreibt die folgende Variante. Wie in Abb. 3. ersichtlich wird das Federnlager durch einen Fachwerkstab ersetzt P Abb. 3.: Fachwerkstab anstelle des Federlagers 3. Statisch bestimmtes Grundsystem Somit ergibt sich das statisch bestimmte Grundsystem wie in Abb. 3.2 dargestellt. Lösungsweg Als statisch bestimmtes Grundsystem ergibt sich durch Lösen der Bindungen am Auflager B und C ein Kragträger 0-System. Allerdings wird hier im Unterschied zur Variante (Kap. 2) das Federlager durch einen Fachwerkstab ersetzt. Das ist aufgrund folgender Überlegung möglich. 25

30 3 Variante X P 2 X 2 Abb. 3.2: Statisch bestimmtes Grundsystem Der Anteil aus Dehnung ergibt sich bekanntlich aus: δn N EA dx (3.) Bei konstanter Dehnsteifigkeit und konstanten Verläufen der Normalkräfte wird aus Glg. 3. EA wobei L die Länge des Stabes ist. δn N dx = EA δn N dx = δn N L (3.2) EA Der Anteil für die Wegfeder lautet: δn F N F k w (3.3) Das Ergebnis aus Glg. 3.2 und Glg. 3.3 sind sehr ähnlich. Setzt man nun L EA mit k w gleich, liefert der Anteil aus Dehnung das selbe Ergebnis wie der Anteil der Wegfeder. Man wählt also für den Stab 9 die Querschnittswerte E = 2000 kn /m 2, A = 0000 cm 4 und L = m = 2000 (3.4) Der Vorteil dieser Variante ergibt sich bei der Kontrolle der Klaffung d. Wie in Abb. 3.2 ersichtlich, liefert RuckZuck bei der Kontrolle der Klaffung direkt den richtigen Wert. Die Feder wird also durch einen Fachwerkstab der Länge m und der Dehnsteifigkeit EA = k w ersetzt. 26 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

31 3.2 0-System System Dieses statisch bestimmte Grundsystem gibt man wieder in RuckZuck ein und man bekommt die Kontrolle für die händische Rechnung der Auflagerkräfte. Diese errechnen sich auf die gleiche Weise, wie in Abs. 2.2 durchgeführt und ergeben die selben Schnittkraftverläufe wie in Abb. 2.3 dargestellt. Abb. 3.3: Screenshot RuckZuck: 0-System mit Biegelinie und Auflagerkräften 3.3 -System Die Berechnung der Auflagerkräfte am -System erfolgt auf die gleiche Weise wie in Abs. 2.3 durchgeführt. Der Momentenverlauf und der Querkraftverlauf ergeben auch hier die selben Verläufe, wie in Abb. 2.6(a) und Abb. 2.6(b) dargestellt. Beim Normalkraftverlauf liefert RuckZuck aber eine Normalkraft im eingeführten Fachwerkstab (siehe Abb. 3.5). Der Vergleich mit Abb. 2.6(c) macht den Unterschied deutlich. Dort war der Anteil der Wegfeder in RuckZuck nicht dargestellt. Abb. 3.4: Screenshot RuckZuck: -System mit Biegelinie und Auflagerkräften Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 27

32 3 Variante 2 Normalkraftverlauf N = δn [kn] Abb. 3.5: Screenshot RuckZuck: Normalkraftverlauf am -System System Die -Last am statisch bestimmten Grundsystem an der Schnittkante in Punkt 2 ergibt die selben Auflagerkräfte wie in Abs Auch die Schnittkraftverläufe sind mit Abb. 2.8 aus Variante ident. Abb. 3.6: Screenshot RuckZuck: 2-System mit Biegelinie und Auflagerkräften 3.5 Ermittlung der Klaffungen Mit Hilfe des Arbeitssatzes lassen sich nun wieder die jeweiligen Klaffungen berechnen. 28 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

33 3.5 Ermittlung der Klaffungen Klaffungen am 0-System Da die Schnittkraftverläufe am 0-System in dieser Variante die selben sind wie in Variante, ergeben sich zwangsläufig auch die selben Klaffungen d 0 und d 20. (Berechnung siehe Abs. 2.5) In Abb. 3.7 sind diese Klaffungen grafisch dargestellt: P d 0 d 20 Abb. 3.7: Klaffungen am 0-System zufolge der gegebenen Belastung Klaffungen am -System Durch den Austausch des Federlagers durch einen Fachwerkstab hat sich der Normalkraftverlauf am -System geändert. Außerdem kann es durch den Wegfall der Feder bei der Berechnung der Klaffung d auch keinen Anteil der Wegfeder mehr geben, wie es in Variante der Fall war. Deshalb ergibt sich die Klaffung d in dieser Variante wie in Glg. 3.5 angeführt. Durch die gezielte Querschnittswahl des Fachwerkstabes (Dehnsteifigkeit EA = k w und der Stablänge m) muss sich bei der Berechnung aber der selbe Wert ergeben. Für die Klaffung d 2 ergibt sich wiederum der in Abs. 2.5 errechnete Wert. d = EI = δm M dx + δn N dx EA [ ] 3 ( 4)2 4,0 + 2, = 2, } {{ } } 5 {{ 0 4 } = 7, m Biegung Dehnung [ 2,0 ] 2000 (3.5) Klaffungen am 2-System Auch die Schnittkraftverläufe am 2-System sind in dieser Variante ident mit denen in Variante. Daraus folgt, dass sich auch hier die selben Klaffungen für d 2 und d 22 ergeben, die in Abs. 2.5 berechnet wurden. Der Vollständigkeit halber sind in Abb. 3.9 diese Klaffungen nochmal grafisch dargestellt. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 29

34 3 Variante 2 X = d X = d 2 Abb. 3.8: Klaffungen am -System zufolge X = d 2 X 2 = X 2 = Abb. 3.9: Klaffungen am 2-System zufolge X 2 = d Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

35 3.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck 3.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Die Klaffungen aus Variante und 2 sind ident. Trotzdem soll hier die Kontrolle am statisch bestimmten Grundsystem mit dem Fachwerkstab anstelle des Federlagers nochmal durchgeführt werden. Kontrolle der Klaffungen am 0-System Lässt man sich die Stabergebnisse des Stabes 9 ausgeben, erhält man bei den Globalen Knotenverformungen die Stab-Anfangs- bzw. Endverformung. Die Klaffung d 0 tritt, wie in Abb. 3.0 dargestellt am Anfang des Stabes 9 auf. Die Verformung dieses Stabes ergibt den zuvor rechnerisch ermittelten Wert für d 0. U W 9 d 0 Abb. 3.0: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 0 Um die Klaffung von d 20 zu kontrollieren, betrachtet man die Stabergebnisse für Stab 5 und erhält die Kontrolle der rechnerisch ermittelten Werte (siehe Abb. 3.). Es sei auch hier nochmal angeführt, dass die Anfangsverformung des Stabes 6 den selben Wert hat. Kontrolle der Klaffungen am -System Wie schon in der Beschreibung des Lösungsweges angeführt, bekommt man durch die Einführung des Fachwerkstabes 9 mit passend gewählten Querschnittswerten ( L EA = k w ) die Klaffung d in RuckZuck bereits inklusive dem Anteil der Dehnung. Betrachtet man die Anfangsverformung des Stabes 9 in Abb. 3.2 erhält man den errechneten Wert. In Abb. 3.2 ist auch die Endverformung des Stabes 9 hervorgehoben. Vergleicht man diesen Wert mit dem Wert d aus Abb. 2.5, dann erkennt man, dass es sich um die selben handelt, da auch dort der Anteil der Dehnung fehlt. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 3

36 5 3 Variante 2 U W d 20 Abb. 3.: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 20 U W 9 d Abb. 3.2: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 32 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

37 5 3.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Für die Klaffung d 2 betrachtet man die globale Endverformung des Stabes 5, wie in Abb. 3.3 dargestellt. U W d 2 Abb. 3.3: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 2 Kontrolle der Klaffungen am 2-System Abb. 3.4 zeigt, dass die globale Anfangsverformung des Stabes 9 die Klaffung d 2 ergibt. Beim Vergleich der Abb. 3.3 und Abb. 3.4 sieht man, dass d 2 gleich d 2 ist. U W 9 d 2 Abb. 3.4: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 2 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 33

38 5 3 Variante 2 Für die Kontrolle der Klaffung d 22 betrachtet man die globale Endverformung des Stabes 5 : U W d 22 Abb. 3.5: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Ermittlung der statisch Unbestimmten Die Ermittlung der statisch Unbestimmten erfolgt wie in Abs. 2.7 beschrieben und ergibt auch die selben Werte. 3.8 Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Die endgültigen Auflager und Schnittkraftverläufe erhält man wie in Abs. 2.8 durchgeführt durch Anwendung des Superpositionsgesetzes. Mit RuckZuck können diese Werte einfach dargestellt und überprüft werden. Für die Variante mit Fachwerkstab anstatt des Federlagers zeigen Abb. 3.6 und Abb. 3.7 die endgültigen Ergebnisse. 34 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

39 3.8 Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Momentenverlauf M [knm] (a) Querkraftverlauf Q [knm] (b) Normalkraftverlauf N [kn] (c) Abb. 3.6: Schnittkraftverläufe am statisch unbestimmten System Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 35

40 3 Variante 2 Abb. 3.7: Screenshot RuckZuck: Auflagerkräfte und Biegelinie am statisch unbestimmten System 3.9 Schlussbemerkung In dieser Variante wurde das Federflager durch einen Fachwerkstab ersetzt. Das bringt den Vorteil, dass im RuckZuck weggeschnittene Federn vermeiden werden und RuckZuck die Normalkraft im Fachwerkstab anzeigt. Wählt man die Querschnittswerte des Fachwerkstabes so, dass Dehnsteifigkeit EA und Federnkonstante k w gleich groß sind und die Länge des Fachwerkstabes mit m, so muss auch die Klaffung bei beiden Systemen den selben Wert ergeben. 36 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

41 4 Variante 3 Das statisch unbestimmte System kann durch das Lösen beliebiger Bindungen statisch bestimmt gemacht werden. Zum Abschluss wird hier noch eine Alternative zu Variante und 2 gezeigt. Das Endergebnis (die Auflagerkräfte und Schnittkräfte am statisch unbestimmten System) muss natürlich das selbe sein. 4. Statisch bestimmtes Grundsystem 0 X X P Abb. 4.: Statisch bestimmtes Grundsystem Lösungsweg Es handelt sich um das selbe System wie in den Kapiteln zuvor, allerdings wird ein anderes statisch bestimmtes Grundsystem gewählt. Das statisch bestimmtes Grundsystem ergibt sich hier durch Einführen zweier Vollgelenke bei Auflager A und B 0-System. Infolge der Belastung wird sich am statisch bestimmten Grundsystem eine Verdrehung der Stabachse in Punkt um den Winkel d 0 einstellen, in Punkt 2 eine Verdrehung der Stabachsen und 2 zueinander um den Winkel d 20. In Wirklichkeit kann es durch die Einspannung zu keiner Verdrehung in Punkt kommen, und aus Gründen der Kontinuität des Trägers keine gegenseitige Verdrehung der Stabachsen in Punkt 2 geben. Um diese Bedingungen zu erfüllen, muss in Punkt ein Moment angebracht werden, das die Verdrehung wieder rückgängig macht -System. Analog zu dieser Überlegung muss in Punkt 2 ein Momentenpaar angebracht werden, um die gegenseitige Verdrehung d 20 wieder rückgängig zu machen 2-System. 37

42 4 Variante 3 Auch hier setzt man die Unbekannten zunächst mit X = und X 2 = an. Es ist nicht zu erwarten, dass die durch die Zustandsgröße X = erzeugte Verdrehung d (Verdrehung des Stabes in Punkt infolge X = ) und die Verdrehung d 2 (Verdrehung des Stabes in Punkt infolge X 2 = ) die Größe der von den Belastungen erzeugte Verdrehungen d 0 annimmt. Erst wenn d X -fach angesetzt wird und d 2 X 2 -fach, ist die Summe der beiden Klaffungen bzw. Relativverdrehungen gleich Null. Die selbe Überlegung gilt analog für die Verdrehungen d 2 (gegenseitige Verdrehung der Stabachsen und 2 in Punkt 2 infolge X = ) und d 22 (gegenseitige Verdrehung der Stabachsen und 2 in Punkt 2 infolge X 2 = ). Durch Lösen der Verträglichkeitsbedingungen (siehe Abs. 4.7) ergeben sich dann die Unbekannten X und X 2 und in weiterer Folge die endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe System Abb. 4.2: Screenshot RuckZuck: 0-System mit Biegelinie und Auflagerkräften Auflagerkräfte: Um die Auflagerkräfte berechnen zu können teilt man das System zunächst in Teilsysteme. Von Auflager A bis Auflager B ergibt sich ein Einfeldträger, die Stäbe 2 und 3 bilden einen Einfeldträger mit Kragarm und das Fachwerk bildet ein Fachwerksystem, das im Prinzip wie ein Pendelstab wirkt. Betrachtet man nur das Teilsystem der Fachwerkstäbe und bildet die Summe aller Momente um dem Anschlusspunkt zum Biegeträger, erhält man: M + = 0 : C H0 = 0,0 kn Die Gleichgewichtsbedingung aller Horizontalkräfte am Gesamtsystem ergibt somit: H = 0 : AH0 + C H0 = 0 A H0 = 0,0 kn Betrachtet man nun das Teilsystem Einfeldträger (Stab ) und bildet die Momentengleichung um Punkt 2 kommt man zu: 38 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

43 4.2 0-System M + 2 = 0 : A V0 4,0 = 0 A V0 = 0,0 kn Danach betrachtet man das Teilsystem Einfeldträger mit Kragarm und das Fachwerksystem und man bekommt durch das Aufstellen der Momentengleichung um Punkt 2 zur Auflagerkraft C V0. M + 2 = 0 : P 5,0 C V0 3,0 = 0 C V0 = 6,67 kn Abschließend kann man z.b. durch Lösen der Momentengleichung am Gesamtsystem die letzte unbekannte Auflagerkraft B V0 berechnen: + M A = 0 : P 9,0 C V 0 7,0 + B V0 4,0 = 0 B V0 = 6,67 kn Die Kontrolle liefert die Gleichgewichtsbedingung aller Vertikalkräfte am Gesamtsystem: V = 0 : AV0 B V0 + C V0 P = 0 Es sei auch hier wieder angemerkt, dass die Temperaturbelastung beim statisch bestimmten Grundsystem keine Zwängungen verursacht und somit keinen Einfluss auf die Auflagerkräfte hat. Der Einfluss der Temperaturbelastung an einem statisch bestimmten System ist nur an der verformten Figur zu erkennen. Dieser Unterschied in der Biegelinie ist beim Vergleichen von Abb. 4.2 mit Abb. 4.3 deutlich zu erkennen. Abb. 4.3: Screenshot RuckZuck: Biegelinie ohne Temperaturbelastung Schnittkräfte: Anhand der berechneten Auflagerkräfte können die Schnittkräfte vom 0-System berechnet werden. Der Lastfall Temperatur hat auch auf diese keinen Einfluss. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 39

44 4 Variante 3 Momentenverlauf M 0 [knm] (a) Querkraftverlauf Q 0 [knm] (b) Normalkraftverlauf N 0 [kn] (c) Abb. 4.4: Schnittkraftverläufe am 0-System 40 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

45 4.3 -System Die Berechnung von N 0 erfolgt wieder mit Hilfe des Rundschnittverfahrens wie in Abb. 2.9 beschrieben und liefert den Normalkraftverlauf am 0-System. Wie in Abb. 4.4(c) ersichtlich liefert RuckZuck aber keine Ausgabe für die Kraft N F0 in der Feder. Allerdings entspricht diese der Auflagerkraft und somit erhält man N F0 = +6,67 kn (Zug) System Für das -System wird am statisch bestimmten Grundsystem ein Moment in Punkt aufgebracht. In Ruck- Zuck gibt man dieses Moment über das Symbol Stabeinzellasten ein und kann durch Rechtsklick den genauen Angriffspunkt, in diesem Fall den Stabanfang, auswählen. Es ergeben sich die Auflagerkräfte, die Biegelinie und Schnittkraftverläufe, wie in Abb. 4.6 und Abb. 4.5 dargestellt. Auch hier liefert RuckZuck die Kontrolle für die nachfolgende rechnerische Lösung. Auflagerkräfte: Auch hier teilt man das Gesamtsystem wieder in die Teilsysteme: Einfeldträger, Einfeldträger mit Kragarm und Fachwerksystem (= Pendelstab) wie in Abs. 4.2 beschrieben. Bei der Betrachtung des Teilsystems der Fachwerkstäbe als Pendelstab erhält man: M + = 0 : C H = 0,0 kn Die Momentengleichung um Punkt 2 für das Teilsystem Einfeldträger mit Kragarm ergibt: M + 2 = 0 : C V 3,0 = 0 C V = 0,0 kn Bildet man nun am Teilsystem Einfeldträger die Summe aller Momente um den Punkt 2 bekommt man: M + 2 = 0 : A V 4,0 + M X = 0 A V = 0,25 kn Die Summe aller Vertikalkräfte am Gesamtsystem ergibt dann: V = 0 : AV + B V = 0 B V = 0,25 kn Und A H bekommt man aus der Summe der Horizontalkräfte am Gesamtsystem: H = 0 : AH C H = 0 A H = 0,0 kn Schnittkräfte: Anhand der berechneten Auflagerkräfte können die Schnittkräfte vom -System berechnet werden. Die Federkraft ergibt sich wieder aus der Auflagerkraft: N F = δn F = 0,25 kn (Druck). Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 4

46 4 Variante 3 Momentenverlauf M = δm [knm] (a) Querkraftverlauf Q = δq [kn] (b) Normalkraftverlauf N = δn [kn] (c) Abb. 4.5: Schnittkraftverläufe am -System 42 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

47 4.4 2-System Abb. 4.6: Screenshot RuckZuck: -System mit Biegelinie und Auflagerkräften System Für das 2-System wird am statisch bestimmten Grundsystem ein Momentenpaar in Punkt 2 aufgebracht. In RuckZuck gibt man diese Momente über das Symbol Stabeinzellasten einmal für den Stab ein (Rechtsklick um den genauen Angriffspunkt anzugeben, in diesem Fall das Stabende) und einmal für den Stab 2 (Rechtsklick um den genauen Angriffspunkt anzugeben, in diesem Fall den Stabanfang). Es ergeben sich die Auflagerkräfte, die Biegelinie und Schnittkraftverläufe, wie in Abb. 4.7 und Abb. 4.8 dargestellt. Auch hier liefert RuckZuck die Kontrolle für die nachfolgende rechnerische Lösung. Abb. 4.7: Screenshot RuckZuck: 2-System mit Biegelinie und Auflagerkräften Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 43

48 4 Variante 3 Auflagerkräfte: Teilt man das Gesamtsystem wieder in die Teilsysteme Einfeldträger, Einfeldträger mit Kragarm und Fachwerksystem (= Pendelstab) wie in Abs. 4.2 beschrieben, erhält man die Auflagerkräfte für das 2-System. Bei der Betrachtung des Teilsystems der Fachwerkstäbe als Pendelstab erhält man wieder: M + = 0 : C H2 = 0,0 kn Die Momentengleichung um Punkt 2 für das Teilsystem Einfeldträger mit Kragarm ergibt: M + 2 = 0 : M X2 C V2 3,0 = 0 C V2 = 0,33 kn Die Momentengleichung um Punkt 2 für das Teilsystem Einfeldträger ergibt die Auflagerkraft A V2. M + 2 = 0 : M X2 + A V2 4,0 = 0 A V2 = 0,25 kn Bildet man nun am Gesamtsystem die Summe aller Vertikalkräfte und Horizontalkräfte, ergeben sich die letzten unbekannten Auflagerkräfte zu: V = 0 : AV2 + B V2 + C V2 = 0 B V2 = kn H = 0 : AH2 C H2 = 0 A H2 = 0,0 kn Schnittkräfte: Anhand der berechneten Auflagerkräfte können die Schnittkräfte vom 2-System berechnet werden. Die Berechnung von N 2 und δn 2 erfolgt wieder mit Hilfe des Rundschnittverfahrens wie in Abb. 2.9 beschrieben und liefert den Normalkraftverlauf am 2-System. Die Federkraft ergibt sich wieder aus der Auflagerkraft: N F2 = δn F2 = 6,667 kn (Zug). 44 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

49 4.4 2-System Momentenverlauf M 2 = δm 2 [knm] (a) Querkraftverlauf Q 2 = δq 2 [kn] (b) Normalkraftverlauf N 2 = δn 2 [kn] (c) Abb. 4.8: Schnittkraftverläufe am 2-System Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 45

50 4 Variante Ermittlung der Klaffungen Nachdem nun die Auflagerkräfte und Schnittkräfte am 0-System, -System und 2-System bestimmt wurden, können mit Hilfe des Arbeitssatzes die jeweiligen Klaffungen bzw. Relativverdrehungen berechnet werden. Der Anteil aus Schub ( δqγ dx) wird auch wieder vernachlässigt. Klaffungen am 0-System Wie in Abb. 4.9 grafisch dargestellt stellt sich die Klaffung d 0 als eine Verdrehung der Stabachse des Stabes in Punkt dar. Sie setzt sich aus dem Temperaturanteil und dem Anteil der Wegfeder zusammen. Der Anteil der Temperatur ist hier alleine für die Krümmung der Stabachse verantwortlich. Ohne Temperaturbelastung wäre der Stab gerade (vgl. Abb. 4.3). Die Belastung bewirkt das gegenseitige Verdrehen der Stabachsen und 2 in Punkt 2 und ist in Abb. 4.9 als d 20 bezeichnet. Diese Klaffung setzt sich aus den Anteilen Biegung, Temperatur, Dehnung und Wegfeder zusammen d d P Abb. 4.9: Klaffungen am 0-System zufolge der gegebenen Belastung d 0 = α T T H =,2 0 5 =, } {{ } T emperatur N F0 δm dx + δn F k w 20 0,36 6,67,0 4,0 + ( 0,25) ( 8,3333) 0 4 = 5, rad } {{ } W egfeder (4.) 46 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

51 4.5 Ermittlung der Klaffungen d 20 = EI = + T δm 2 M 0 dx + α T δm 2 dx + N F0 δn 2 N 0 dx + δn F2 H EA k [ ] [ w 2, ,0 ( 20) 3,0 +, ,36 2,0 4,0 + 2 [ ] 2, , ( 0,8) ( 8,78) 3,62 + 0, 5,556 2,0 + 0,5833 6, =, , , , = 4, rad } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } Biegung T emperatur Dehnung W egfeder ],0 3,0 + (4.2) Klaffungen am -System Abb. 4.0 zeigt die Klaffungen d und d 2. Beide setzt sich hier nur aus dem Anteil der Biegung und dem Anteil der Wegfeder zusammen. Die Stabachse des Stabes ist aufgrund der Belastung X gekrümmt, die Stabachsen der Stäbe 2 und 3 sind hingegen gerade. X = d d 2 Abb. 4.0: Klaffungen am -System zufolge X = d = EI = δm M dx + δn F 2, N F k w [ 3,02 4,0 ] + ( 0,25) ( 0,25) 2000 =, , = 4, rad } {{ } } {{ } Biegung W egfeder (4.3) Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 47

52 4 Variante 3 d 2 = EI = δm 2 M dx + δn F2 2, N F k w [ 6,02 4,0 ] + 0,5833 ( 0,25) 2000 = 7, ( 7,296) 0 5 = 6, rad } {{ } } {{ } Biegung W egfeder (4.4) Klaffungen am 2-System Die Klaffungen d 2 und d 22 ergeben sich aus der Belastung des Momentenpaares X 2 und sind in Abb. 4. grafisch dargestellt. d 2 ergibt sich wie d 2 aus dem Anteil der Biegung und dem Anteil der Wegfeder. Beide müssen auch den selben Wert ergeben. Die Klaffung d 22 errechnet sich aus den Anteilen der Biegung, dem Normalkraftanteil aus den Fachwerkstäben und aus dem Anteil der Wegfeder. X 2 = X 2 = 00 0 d 22 d 2 Abb. 4.: Klaffungen am 2-System zufolge X 2 = d 2 = EI = δm M 2 dx + δn F 2, N F2 k w [ 6,02 4,0 ] + ( 0,25) 0, = 7, ( 7,296) 0 5 = 6, rad } {{ } } {{ } Biegung W egfeder (4.5) 48 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

53 4.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck d 22 = EI = δm 2 M 2 dx + N F2 δn 2 N 2 dx + δn F2 EA k [ w 3,02 4,0 + ] 3,02 3,0 + 2, ,5833 0, = 2, , , =, rad } {{ } } {{ } } {{ } Biegung Dehnung W egfeder [ ] 2, , ( 0,8) 2 3,62 + 0, 2 2,0 + (4.6) 4.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Die Klaffungen bzw. Relativverdrehungen werden in diesem Beispiel als Verdrehungen der Stabachse ausgegeben. Man klickt auf das Symbol Stabergebnisse und anschließend auf den Stab, dessen Ergebnisse man sich anzeigen lassen will. Kontrolle der Klaffungen am 0-System Wenn man sich die Stabergebnisse des Stabes ausgeben lässt, sieht man bei den Globalen Knotenverformungen die Stab-Anfangs- bzw. Endverdrehung. In RuckZuck wird die positive Verdrehungsrichtung immer gegen den Uhrzeigersinn angegeben. Bei der zuvor durchgeführten Rechnung wird die positive Verdrehungsrichtung aber in Richtung des aufgebrachten Momentes (X ) angenommen. Die Klaffung d 0 tritt am Anfang des Stabes auf, wie in Abb. 4.2 hervorgehoben. RuckZuck gibt diesen Wert als 0,500 rad 000 aus. Aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichendefinition stimmt dieser Wert aber mit dem zuvor rechnerisch ermittelten Wert für d 0 überein. + PHI d 0 Abb. 4.2: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 0 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 49

54 4 Variante 3 Die Klaffung d 20 ist die Verdrehung der Stabachsen der Stäbe und 2 zueinander zufolge der Belastungen. Um diese Klaffung kontrollieren zu können muss man sich zunächst die Stabergebnisse des Stabes ausgeben lassen und erhält die Endverdrehung dieses Stabes. Danach lässt man sich die Stabergebnisse des Stabes 2 ausgeben und erhält die Anfangsverdrehung dieses Stabes (siehe Abb. 4.3). Man beachte auch hier wieder die unterschiedlichen Vorzeichendefinition: im RuckZuck wird eine Verdrehung gegen den Uhrzeigersinn als positiv ausgegeben, bei unserer Rechnung wird das positive Vorzeichen durch die Richtung des Momentes vorgegeben. Die Klaffung d 20 ist somit die Summe der Verdrehungen in Punkt 2 und ergibt sich zu: d 20 = 2, rad + 2, rad = 4, rad Das Ergebnis stimmt auch hier wieder überein. + PHI d 20 2 Abb. 4.3: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

55 4.6 Kontrolle der Klaffungen mit RuckZuck Kontrolle der Klaffungen am -System Um die Klaffung d kontrollieren zu können, betrachtet man wieder die Anfangsverdrehung des Stabes, wie in Abb. 4.4 hervorgehoben. Die Verdrehung dieses Stabes ergibt im RuckZuck eine negative Verdrehung, laut unserer Vorzeichendefinition ist diese Verdrehung aber positiv und bestätigt den zuvor rechnerisch ermittelten Wert für d. + PHI d Abb. 4.4: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Die Klaffung d 2 erhält man, indem man die Endverdrehung des Stabes mit der Anfangsverdrehung des Stabes 2 addiert. Man beachte auch hier wieder die Vorzeichendefinition, daraus ergibt sich: d 2 = ( 0, ) + ( 0, ) = 0, rad Kontrolle der Klaffungen am 2-System Um die Klaffung d 2 kontrollieren zu können, betrachtet man die Anfangsverdrehung des Stabes, wie in Abb. 4.6 hervorgehoben. Die Verdrehung dieses Stabes bestätigt den zuvor rechnerisch ermittelten Wert für d 2. In unserer Vorzeichendefinition ist dies wieder eine negative Verdrehung. Addiert man die Endverdrehung des Stabes mit der Anfangsverdrehung des Stabes 2 so erhält man die Klaffung d 22. Beide Werte sind in Abb. 4.7 hervorgehoben. Der Wert der Anfangsverdrehung des Stabes 2 ist laut unserer Vorzeichendefinition positiv, weil sich die Verdrehung in Richtung des aufgebrachten Momentes ergibt. Somit ergibt sich: d 22 = 0, , = 0, rad Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 5

56 4 Variante PHI d 2 Abb. 4.5: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d 2 52 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

57 4.7 Ermittlung der statisch Unbestimmten + PHI d 2 Abb. 4.6: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Ermittlung der statisch Unbestimmten Mit den ermittelten und kontrollierten Klaffungen kann man nun über die Verträglichkeitsbedingungen die Unbekannten X und X 2 ermitteln. Die Verträglichkeitsbedingungen lauten: d 0 + X d + X 2 d 2 = 0 5, X 4, X 2 ( 6,5566) 0 5 = 0 (4.7) d 20 + X d 2 + X 2 d 22 = 0 4, X ( 6,5566) X 2, = 0 (4.8) Die beiden Gleichungen können wie folgt in Matrixschreibweise angeschrieben werden: [ ] { } { } { d d 2 X d0 0 + = d 2 d 22 X 2 d 20 0} (4.9) Durch Lösen der Verträglichkeitsbedingungen ergeben sich: X = 78,9758 X 2 = 47,764 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 53

58 4 Variante 3 + PHI d 22 2 Abb. 4.7: Screenshot RuckZuck: Kontrolle der Klaffung d Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

59 4.8 Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe 4.8 Ermittlung der endgültigen Auflagerkräfte und Schnittkraftverläufe Sobald die statisch unbestimmten Größen bekannt sind, lassen sich die übrigen statischen Größen wieder aufgrund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes bestimmen. Superposition der Auflagerkräfte: Die Berechnung der Auflagerkräfte mit dem Superpositionsgesetz wird hier wieder beispielhaft angeführt: M + A = M A 0 + X M A + X 2 M A2 = 0,00 + ( 78,98),00 + ( 47,764) 0,00 = 78,98 knm (4.0) A V = A V0 + X A V + X 2 A V2 = 0,00 + ( 78,9758) ( 0,25) + ( 47,764) 0,25 = 7,8 kn (4.) A H = A H0 + X A H + X 2 A H2 = 0,00 + ( 78,9758) 0,00 + ( 47,764) 0,00 = 0,00 kn (4.2) B V = B V0 + X B V + X 2 B V2 = ( 6,667) + ( 78,9758) 0,25 + ( 47,764) ( 0,583) =,43 kn (4.3) C V = C V0 + X C V + X 2 C V2 = 6,667 + ( 78,9758) 0,00 + ( 47,764) 0,333 = 0,76 kn (4.4) C H = C H0 + X C H + X 2 C H2 = 0,00 + X 0,00 + X 2 0,00 = 0,00 kn (4.5) Die Kontrolle der errechneten Auflagerkräfte wird im RuckZuck wieder am statisch unbestimmten System durchgeführt (siehe Abb. 2.9). Die Schnittgrößen ergeben sich auch hier durch Superposition und sind natürlich ident mit denen der anderen Varianten (siehe Abb. 2.20). 4.9 Schlussbemerkung Um auf ein statisch bestimmtes Grundsystem zu kommen wurden in dieser Variante zwei Vollgelenke am Auflager A und B eingeführt. Auflagerkräfte und Schnittkräfte lassen sich durch Zerlegen des Gesamtsystems in Teilsysteme berechnen. Die Vollgelenke bewirken Verdrehungen der Stabachsen, welche durch Aufbringen von Momenten wieder rückgängig gemacht werden. Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck 55

60 4 Variante 3 Weiters ergibt sich in allen Systemen eine Federkraft, welche bei der Berechnung der Klaffungen entsprechend berücksichtigt werden muss. Im Gegensatz zur Variante kommt hier bei jeder Klaffung der Federanteil vor, was sich im höheren Rechenaufwand bemerkbar macht. Zu beachten ist außerdem, dass sich die Kraft in der Wegfeder N F bzw. δn F im RuckZuck aus der Auflagerkraft ergibt. Der Anteil aus Schub ( δqγ dx) wurde bei der Berechnung der Klaffungen auch hier wieder vernachlässigt. 56 Kontrolle von Beispielen zum Kraftgrößenverfahren mit RuckZuck

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