f(x) = x + 1 ±(x + 1) für 1 x < 0 ±( x + 1) für 0 x 1

Transkript

1 Problemstellung. Die gesuchte lineare Funktion durch die Punkte (0, ) und (, 0) lautet f(x) = x + im Intervall [0, ]. Die Gleichungen für die Begrenzungslinien sind: Λ(x) = { ±(x + ) für x < 0 ±( x + ) für 0 x. Im. Quadranten hat das Quadrat eine Fläche von, die Kurve muss somit mit den Koordinatenachsen eine Fläche von 0,55 einschließen. Für die quadratische Funktion f(x) = ax + bx + c sind folgende Bedingung erforderlich: a) f(0) = = c b) f() = 0 = a + b + ; weiters folgt aus f (0) = 0 die Gleichung b = 0, daraus folgt a = und schließlich liefert die Flächenbedingung 0 x + dx =, aber nicht den geforderten Wert 0,55. Eine quadratische Funktion ist demnach ungeeignet. Für die kubische Funktion f(x) = ax + bx + cx + d ergibt sich folgendes Gleichungssystem: f(0) = f() = 0 f (0) = 0 f(x)dx = 0, 55 0 d = a + b + c + = 0 c = 0( daraus folgt b = a ) 0 ax + ( a )x + dx = 0, 55 Aus der letzten Bedingung erhält man a = 7 5 und daraus die Funktion f(x) = 7 5 x 5 x + Es bleibt zu zeigen, dass damit auch die Ausgangsbedingung c) erfüllt ist: bei x = 0 ist der Funktionswert, bei x = hat f eine Nullstelle und in diesem Intervall ist die Funktion streng monoton fallend, da f (x) = 5 x 5 x = x(7x 8) im offenen Intervall ]0, [ negativ ist. 5. a) Überprüfung der Bedingungen: i. a n (x) = x n : a) a n (0) = 0 n = b) a n () = n = = 0 c) Zu zeigen ist 0 < a n (x) < :

2 Es gilt: 0 n < x n < n (für 0 < x < ) ( ) 0 > x n > n + > x n > n = 0 ii. b n (x) = ( x) n : a) b n (0) = ( 0) n = n = b) b n () = ( ) n = 0 n = 0 c) Es ist 0 < b n (x) <, weil x in diesem Intervall zwischen 0 und liegt und damit auch jede Potenz mit n N. b) Flächen: i. A n = [ 0 ( xn )dx = x ] n + xn+ = 0 n + lim A n =. Die gesamte quadratische Fliese wird somit bemalt. n + ii. B n = [ 0 ( x)n dx = ] ( ( x)n+ = 0 ) = n + 0 n + n + lim B n = 0. Die gesamte quadratische Fliese bleibt unbemalt. n +. a) In der Grafik sind zwei Beispieltropfen P und P auf der Diagonalen dargestellt. Während der Tropfen P in den bemalten Bereich fällt und somit keinen Schaden anrichtet, sind Fliesen mit Punkten wie P im Intervall SA Ausschussware. Der x-wert von S ergibt sich als (positive) Lösung der Gleichung x = x : 5 x S = 0, 68 (Goldener Schnitt). Für die Wahrscheinlichkeit eines Ausschusses gilt (aus Symmetriegründen): p = SA ( 0, OA 68) + ( 0, 68) 0, 5 = = 8, %., Bei 5000 Fliesen erwartet man 0%, also 000 Fliesen mit Tropfen und somit etwa 8 mangelhafte Fliesen. b) Für b gelten die gleichen Überlegungen, diesmal ist S (0, 8; 0, 8) und damit p 0, 68. Es sind diesmal also etwa 68 Fliesen betroffen. Insgesamt sind also 8+68=000 Fliesen betroffen. (Anmerkung: die Kurven a und b sind im. Quadranten symmetrisch bezüglich des Punktes (0, 5; 0, 5). Auf Grund dieser Symmetrieeigenschaft könnte man obiges Ergebnis auch graphisch herleiten.)

3 Problemstellung. f k (x) = x +k. f k (0) = k. f k () = k. Daraus ergibt sich die Tangente r k im Punkt (0, 9): y = kx+9 und die Tangente s k im Punkt (; 8 + k): y = (k )x +. Der Schnittpunkt M der Tangenten: kx + 9 = kx x + x = Dieses Ergebnis ist unabhängig von k. (. Es ist M =, ) k + 9. Die Forderung y M < 0 führt auf die Ungleichung k +9 < 9 und damit k <. Der größte ganzzahlige Wert ist k =. Kurvendiskussion von f (x): f (x) = x + x + 9 ist eine Polynomfunktion. Grades, überall definiert, stetig und differenzierbar und die Wertemenge ist W = R. Sie hat genau eine Nullstelle bei ( x,, ) welche nur numerisch näherungsweise berechnet werden kann. Die Extremwerte lauten H = ; 9, 8, ( T = ) ; 8, 6 und der Wendepunkt liegt bei W = (0, 9). T = ( 0, 58; 8, 6) W = (0; 9) H = (0, 58; 9, 8) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Verhältnis der schraffierten Fläche A (siehe Abbildung) zur Fläche A des Bereichs T.

4 Der Bereich unter dem Punkt M ist hier nochmal vergrößert dargestellt: A = 0 x + 9 ( x + x + 9)dx + 0, 09 +, 5 + 0, 6 =,, x + ( x + x + 9)dx + (5, 5, ) (, + ) A = ( + 9) 9 ) = 8 Wahrscheinlichkeit: p = A, = 8, 85% A 70, 08 70, 08. Die Ursprungsgerade durch N = (x N, y N ) hat die Gleichung y N = k x N. Die Steigung der Normalen ist gleich dem negativen Kehrwert der Tangentensteigung und damit ist y N = f (x N ) x N bzw. f(x N ) f (x N ) + x N = 0. Ist nun f eine beliebige Polynomfunktion von Grad n, so ist f eine Polynomfunktion von Grad n und folglich gilt für den Grad des Produktes f(x) f (x): n + n = n. Nach dem Hauptsatz der Algebra hat eine Polynomfunktion n. Grades maximal n Nullstellen.

5 Frage Es seien r der Zylinderradius und h die Zylinderhöhe und die entsprechenden Großbuchstaben der Radius bzw. die Höhe des Kegels (vgl. Skizze). Zu zeigen: Vmax < R π H. Aus der Ähnlichkeit erhält man R r = H H h bzw. r = R H h H. Vmax = r π h = R H (H h) π h = R π H (H h Hh + h ). V (h) = R π H (H Hh + h ) = 0 mit der Lösung h = H und h = H. Die erste Lösung führt auf ein minimales Volumen. H r h R Es ist V (h) = R π ( H + 6h), somit V H gesuchte Maximum. Vmax = 9 R π H. ( ) H = R π H ( ) H + 6 H R π = H < 0 und damit das Vmax < R π H 9 R π H 9 < R π H < Frage Es sei p die Wahrscheinlichkeit eine zu erhalten. Aus der Angabe ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable Augenzahl : k P(X=k) 8p p p p Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer sein muss, gilt: 8p + p + p + p =. Somit ist p = 5. Damit kann jetzt die Frage beantwortet werden: ( ) 8 P (, ) + P (, ) + P (, ) + P (, ) = + 5 ( ) ( ) ( ) + + = 7 7, 78% Frage Für die Berührungspunkte der Tangente an die Funktion muss gelten, dass die. Ableitung mit der Tangentensteigung übereinstimmt, daraus folgt die Gleichung x 8x = mit den Lösungen x = und x =. Eingesetzt in die Funktion ergeben sich mögliche Berührungspunkte B = (, 95 ) und B = (, ). 7 5

6 Setzt man diese Werte in die Tangentengleichung ein, so ergeben sich mögliche Werte für k: k = 67 7 und k = 5 Zur Veranschaulichung: 8 6 B B 6 f 8 Frage Die Terme e sin(x) und 5 cos(x) sind jeweils beschränkt. Grenzwert für x + : Der Zähler geht gegen plus unendlich und der Nenner ist beschränkt, da e x gegen Null geht. Der gesuchte Grenzwert ist plus unendlich, da der Nenner immer positiv und ungleich Null ist. Grenzwert für x : Es ist lim f(x) = x + und damit sind die Voraussetzungen für die Regel von de L Hospital erfüllt: lim f(x) = lim e sin(x) cos(x) x x e x + sin(x) Das Ergebnis ist in diesem Fall Null, da der Zähler beschränkt ist und der Nenner gegen minus unendlich geht. Frage 5 Es seien r der Kreisradius, a die Rechtecksbreite und entsprechend r die Rechteckslänge. Aus U = erhält man die Nebenbedingung rπ Für die zu maximierende Fläche ergbit sich: r πr + a + r =, also a =. F (r, a) = r π + ar F (r) = r π r πr + r F (r) = rπ r = 0 r = 0, 8 π + = ( r r π r ) 6

7 Da F (r) = π < 0 ist, handelt es sich um ein Maximum. Für die Rechtecksbreite a erhält man a = 0, 8, also a = r und für die Rechteckslänge + π r = 0, π Frage 6 Gesucht ist der Mittelpunkt der Kugel M = (x M, y M, z M ) und der Kugelradius r = MT, die Kugelgleichung lautet (x x M ) + (y y M ) + (z z M ) = r. Gegeben ist die Gerade r. Diese Gerade wird mit der Geraden g durch M und T geschnitten. Da der Radius senkrecht zur gegebenen Ebene stehen muss, ergibt sich aus der Ebenengleichung direkt der Richtungsvektor der Geraden und damit eine mögliche Geradengleichung durch den Punkt T als Stützvektor für g: x = 0 + s Schneidet man nun r mit g, so ergibt sich der Schnittpunkt M aus dem Gleichungssystem + s = t, s = t und s = t, man erhält s = und t = und daraus, indem man in eine der beiden Geraden einsetzt, M = (,, ). Für den Radius: r = ( + ) + (0 + ) + ( + ) = Somit ist die Gleichung der Kugeloberfläche: (x + ) + (y + ) + (z + ) = Frage 7 a+ a (x + )dx = 0 [ x + x ] a+ a = 0 (a + ) + (a + ) (a + a) 0 = 0 Die quadratische Gleichung hat die Lösungen a = und a =. a + a 6 = 0 Frage 8 Die Wahrscheinlichkeit bei genau 0 Spielen zu gewinnen ist binomialverteilt mit p = : ( 0 0 ) ( ) 0 ( ) 0 = 0 Man gewinnt nach genau Spielen, wenn man von den ersten 0 genau 9 Mal gewinnt und auch das. Spiel gewinnt: ( 0 9 ) ( ) 9 ( ) = 5 0 Man gewinnt nach genau Spielen, wenn man von den ersten genau 9 Mal gewinnt und auch das. Spiel gewinnt: ( 9 ) ( ) 9 ( ) =

8 Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden Spieler also in maximal Spielen gewinnt liegt bei = 79, 9%. 096 Da es laut Angabe egal ist, welcher Spieler gewinnt, verdoppelt sich die Wahrscheinlichkeit: 79, 86% Frage 9 Das Dreieck liegt in der Ebene α, da die Koordinaten von jedem Punkt die Ebenengleichung erfüllen. Das Dreieck ist gleichseitig, da AB = = 8, AC = = 8 und BC = = 8 ist. Der Eckpunkt P des Tetraeders liegt genau senkrecht über bzw. unter dem Schwerpunkt S des ( gleichseitigen Dreiecks ABC. Die Koordinaten des Schwerpunktes S ergeben sich aus ( OA + OB + OC) 7 =,, ). 6 Man kann leicht nachrechnen, dass für die Höhe eines Tetraeders gilt: a (a Seitenkante). In diesem Fall: h =. Die möglichen Eckpunkte P findet man dadurch, dass man von S aus die Höhe in Richtung der normierten (Vektor mit Länge ) Normalen zur Ebene α abträgt. Der Normalvektor kann dabei direkt aus der gegebenen Ebenengleichung abgelesen werden: n =. Der normierte Vektor n 0 =. 7 ±. ( P = (,, 0) und P =, 5, 8 ) OP = OS ± h n 0 = Frage 0 Es ist y = ke kx+ und y = k e kx+. Setzt man diese Ausdrücke in die Differentialgleichung ein, so erhält man: k e kx+ ke kx+ 6e kx+ = 0 : (e kx+ ) 0 k k = 0 (k )(x + ) = 0 Die Werte für k lauten also k = und k =. 8