Strukturbildung und Simulation technischer Systeme

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1 Leseprobe aus Kapitel 1 Vo der Realität zur Simulatio des Buchs Strukturbildug ud Simulatio techischer Systeme Weitere Iformatioe zum Buch fide Sie uter strukturbildug-simulatio.de Zu Kapitel 1 Eiführug i die Regelugstechik, Aus Abschitt 7: Drehzahl-Steuerug ud -Regelug 1.1 Drehzahl-Steuerug ud -Regelug Motore sid die am Häufigste azutreffede Stellglieder (-> Servo-Motore). Um ihre Drehzahl regel zu köe, muss ei Tacho-Geerator ageflascht sei. Motor ud Tacho bilde da die Regelstrecke. Um sie simuliere zu köe, muss ihre äußere Wirkugsweise bekat sei. Zur Fuktio elektrischer Gleichstrom-Maschie Elektrische Maschie wadel mit Hilfe magetischer Felder elektrische Leistug i mechaische um ud umgekehrt. Sie bestehe im eifachste Fall aus eiem feststehede Dauermagete (Stator), i desse Feld eie Spule drehbar gelagert ist (Rotor=Aker). Solch eie Maschie ka sowohl als Geerator als auch als Motor verwedet werde. Stator Rotor (Aker) Kommutator u.t = R.A L.A M M.L ~ Abb Der Aufbau eies Elektro-Motors oder -Geerators: Eie Spule ist im Feld eies Dauermagete drehbar gelagert. Geerator: Wird die Spule gedreht, so wird eie Wechselspaug u- T iduziert, die der Drehzahl ud der Stärke der Magete proportioal ist. Der Kommutator ist ei Gleichrichter für die Drehzahl-proportioale Tacho-Spaug u.t. Wir begie mit dem statioäre Verhalte vo Motor ud Geerator: Drehzahl ud Belastug sid kostat. D.h., dass alle Steueruge so lagsam erfolge, dass Zeitverhalte (der Alauf-Vorgag) och keie Rolle spielt. Ebeso uberücksichtigt bleibe auch die Nichtliearität des Motors: Die Asprech-schwelle durch Haftreibug ud die Kommutierugs-Spauge durch die Stromweder-Bürste (beides wichtig bei kleie Drehzahle). Ausführlich behadelt ud simuliert werde die Nichtliearitäte ud die Motor-Dyamik im Kapitel 6 Elektrische Maschie. Im Geerator-Betrieb wird die Welle gedreht. Das iduziert i der Spule eie Wechselspaug, die vo eiem Stromweder (Kommutator) gleichgerichtet wird. Bei reale Maschie werde mehrere Spule auf dem Umfag verteilt. Dadurch wird die kommutierte Wechselspaug eier Gleichspaug ählich.

2 Zur statische Simulatio des elektro-mechaische Wadlers wird eie Tacho-Kostate ud eie Motor-Kostate k.m beötigt. Wie diese aus de vom-motor-hersteller agegebee Date bestimmt werde, wird zuerst gezeigt. M.A u.t =0 Idealer Geerator =u.t~ T Tacho-Kostate: =u.t/ Wirkug =0 rad/s Tacho-vor 1 Vs Tacho-rück M.A Nm M.A 1 A/Nm Rückwirkug =kost u.t V A Motor-vor V rad/s 1/ 1 (rad/s)/v A Motor-rück 1/ 1 Nm/A Wirkug =0 Idealer Motor M.L Nm ~M.L M k.m Motor-Kostate: k.m=1/ Rückwirkug =Kost M.L k.m k.m M.L Abb Die Wirkug ud Rückwirkug beim ideale Geerator ud Motor. Zur Berechug des Geerators ist eie Tacho-Kostate zu bestimme. Die zur Berechug des Motors beötigte Motor- Kostate k.m ist der Kehrwert vo. Zur Berechug wird daher ur ei arameter, die Tacho- Kostate, beötigt. Sie wird je ach Bedarf, eimal i Vs ud ei adermal i A/Nm agegebe. Im Motor-Betrieb wird eie Gleichspaug a die Akerspule gelegt. Dadurch etsteht ei magetisches Akerfeld, das zusamme mit dem Statorfeld ei Drehmomet erzeugt. Dadurch dreht sich die Welle mit eier Drehzahl die so groß ist, dass die im Aker iduzierte ud gleichgerichtete Tacho-Spaug u.t aäherd so groß wie die äußere Aker- Spaug wird. Der Uterschied zwische ud u.t treibt eie Aker-Leerlaufstrom i.0 ~, der die mechaische Verluste des Motors deckt. Bei Belastug der Welle sikt die Drehzahl ud damit auch die Tacho-Spaug u.t, sodass der Akerstrom asteigt. Dadurch steigt auch die zugeführte elektrische Leistug a, bis sie die a der Welle abgegebee mechaische Leistug deckt. Drehmomet, Drehzahl ud Leistug Motore wadel Spauge i Drehzahle um, Geeratore wadel Drehzahle i Spauge um. Die ideale Maschie hätte dabei keierlei Verluste. Da wäre die mechaische Leistug.mech a der Welle geauso groß wie die elektrische Leistug.el der Akerspule. # Die mechaische Leistug.mech ist das rodukt aus eiem Drehmomet M ud der Drehzahl : M.mech = M - i Nm/s = W. Beim Geerator ist M das Atriebs-Momet M.A, beim Motor ist M das Lastmomet M.L.

3 Die Drehzahl wird üblicherweise i Umdrehuge pro Miute agegebe (U/mi). Das ist für Berechuge äußerst upraktisch, de durch die willkürliche Eiheite U ud mi etsteht ei Umrechugs-Faktor, der die Berechuge uübersichtlich macht. Hiter der U/mi verbirgt sich, dass die Drehzahl eie Wikel-Geschwidigkeit Ω=φ/t i rad/s ist. Deshalb werde wir i rad/s agebe. Weil 1Umdrehug de Wikel 2 rad hat ud 1 Miute 60 Sekude, erhalte wir als Umrechugs-Faktor U/mi = 2 rad/60s 0,1rad/s oder 1rad/s 10 U/mi. Die elektrische Leistug.el ist das rodukt aus der Aker-Spaug U.A ud dem Akerstrom :.el = i V A = W Die Tacho-Kostate Beim ideale Motor ud Geerator ist die äußere Akerspaug gleich der iere Tachospaug u.t. Die elektrische Leistug.el=u-T i der Akerspule ist gleich der mechaische Leistug.mech=M a der Welle. Aus u.t =M erhalte wir die Tacho-Kostate der Maschie: = u.t/ = /M i Vs = A/Nm Die Motor-Kostate k.m ist äherugsweise der Kehrwert der Tacho-Kostate : k.m = /u.t 1/ i 1/Vs 10(U/mi)/V Der Wirkugsgrad eier elektrische Maschie De geaue Zusammehag zwische der Motor-Kostate k.m ud der reziproke Tacho- Kostate bespreche wir im Kapitel 6 Elektrische Maschie. Dort wird gezeigt, dass das rodukt k.m* der Wirkugsgrad des Motors ist. /V 12 /(Umd/mi) 60/2i 9,55 Drehzahl/(rad/s) u.t/v k.m*vs 80 /Vs 0,01 Wirkugsgrad eta/% K 100 Abb Berechug des Wirkugsgrades eies Motors aus seier Motor-Kostate k.m ud seier Tacho-Kostate. Wie die obe abgebildete Strukture zeige, diet die Tacho-Kostate zur Berechug der Wirkug ud der Rückwirkug des Geerators. Ihr Kehrwert, die Motor-Kostate k.m beschreibt die Wirkug ud Rückwirkug des Motors. Im Folgede werde wir ud k.m aus de techische Date des Motors bestimme. Der Zusammehag =k.m* gestattet z.b. die Berechug der Tacho-Kostate = /k.m, we die Motor-Kostate k.m ud der Wirkugsgrad vom Motor-Hersteller agegebe sid.

4 1.1.1 Tacho-Geeratore Bei Motore ist die Stabilisierug ihrer Drehzahle bei wechselde Belastuge M.L eie immer wiederkehrede Aufgabe. Sie wird durch de Aufbau vo Drehzahl-Regeluge gelöst. Voraussetzug zur Drehzahl-Regelug ist die Messug der Drehzahle mit Tachometer. Zur Automatisierug müsse sie eie Drehzahl-proportioale elektrische Ausgag habe. Da heiße sie Tacho-Geerator. Zur Realisierug des Tachos stehe zwei Möglichkeite zur Auswahl: Der mechaische Tacho ei elektro-magetischer Wadler Der elektroische Tacho gebildet aus eier Widerstads-Messbrücke. Beide Möglichkeite werde u vorgestellt. Welche Variate gewählt wird, hägt vo der geforderte Geauigkeit ud dem akzeptierte Aufwad ab. Der elektro-mechaische Tacho Als Messwadler für die Drehzahl ka ei kleier Motor, der a die Welle geflascht ist, diee. Der Tacho ist ei im Leerlauf betriebeer Gleichstrom-Motor. Da der Tacho keie Leistug abgibt, ka er viel kleier als der Motor sei, desse Drehzahl er misst. Er muss verkatugsfrei a die Motor-Welle ageflascht werde ei icht ubeträchtlicher mechaischer Aufwad Die Aker-Spaug des Tachos heißt da Tacho-Spaug u.t. Sie ist der Drehzahl proportioal: u.t= - mit der Tacho-Kostate. Abb Gleichstrom-Motor mit itegriertem Tacho-Geerator Quelle: Faulhaber Motor Tacho Die Aker-Spaug des Tachos heißt da Tacho-Spaug u.t. Sie ist der Drehzahl proportioal: u.t=. Die Drehzahl ist eie Wikel-Geschwidigkeit φ/t. Der Wikel φ eies Kreis-Ausschitts ist das Verhältis der Bogeläge b zum Radius R: φ=b/r. Deshalb ist die atürliche Wikeleiheit der Radiat: 1rad=m/m=1. Der Vollkreis hat de Umgag U=2 r = 360. Deshalb ist 2 r=360 ud 1rad = 360 /2 57. Drehzahle sid Wikel φ pro Zeit t. Sie werde meist i Umdrehuge pro Miute gemesse (U/mi). Ihre Grudeiheit ist das rad/s. Zur Umrechug vo U/mi i rad/s verwede wir de Faktor 360 /mi = 2 rad/60s 10(U/mi) pro rad/s.

5 Misst ma i rad/s=1/s, so muss die Tacho-Kostate i Volt/(rad/s)=Vs agegebe werde. Die Volt-Sekude ist, wie im Kapitel 5 bei der Behadlug des Magetismus och erläutert werde wird, die Eiheit des magetische Flusses. Deshalb bezeichet die Tachokostate die Stärke des im Tacho-Geerator verwedete Dauermagete. I Kapitel 5 erfahre Sie auch Näheres zur Iduktio, die die Tachospaug u.t erzeugt. Zahlewerte zur Motor-Tacho-Kombiatio vo Faulhaber (Abb ) DC-Motor - Ne-Date Akerspaug U.AN = 5V Drehzahl = 500rad/s ~ 5000 Umdr/mi Beschleuigug d/dt = rad/s² Akerstrom I.AN = 0,3A Drehmomet M.A = 3mNm = 0,3 Ncm Leistug.N = U.A*I.A = M.A* = 1,5W Motor-Tacho arameter Motor-Mostate Aker-Widerstad Aker-Iduktivität k.m = I.A/M.A = 1A/Ncm R.A = 3Ohm L.A = 3mH Masseträgheitsmomet J.ges=0,15 µ(kg*m²) Zeitkostate T.MT = 60ms Tacho-Kostate = U.T/ = 10mV/(rad/s) ~1mV/(Umdr/mi) Glättug der Tacho-Spaug Die Drehzahl ist der gleichgerichtete ud gemittelte iduzierte Tachospaug u.t proportioal. Bei der Kommutierug der im Tacho-Geerator iduzierte Wechselspaug zur Gleichspaug u.t trete städig Umschaltspitze auf. Deshalb beötige mechaische Tachos eie achgeschaltete Glättug. Sie wird am eifachste durch ei RC-Glied realisiert. /(U/mi) /(rad/s) Tacho Glättug T1 60/2i 0,955 (rad/s)/(u/mi) Drehzahl -> Wikelgeschwidigkeit 0,025 V/(U/mi) u.t=* - mit i rad/s - T.G 0,33 s T.G=C*R Tacho Struktur Fehler! Kei Text mit agegebeer Formatvorlage im Dokumet.-1 Struktur des Tacho-Geerators mit Glättug. Um die Mess-Verzögerug klei zu halte, soll die Glättugs-Zeitkostate T.G klei gege de Kehrwert der Kommutierugs-Frequez sei. We diese bei kleie Drehzahle bis i de Hz- Bereich sike ka, muss T.G im Sekude-Bereich liege. Beötigt werde Glättugs-Zeitkostate T.G=C R i der Größeordug Sekude (s). Da elektrische Kodesatore mit vertretbarer Baugröße Kapazitäte im Bereich µf besitze, muss der Widerstad R i der Größeordug MΩ liege. Damit ist der geglätte Tacho-Ausgag kaum och belastbar. Um ih belaste zu köe, müsste ei Eiheits-Verstärker (Impedaz-Wadler) achgeschaltet werde. We ma diese Aufwad treibe muss, ka ma de Verstärker auch zum elektroische Tacho beschalte. Das würde de mechaische Aufwad der Aflaschug eies Tacho-Geerators erspare.

6 Ei elektroischer Tacho Beim reale Motor ud Geerator muss zwische der äußere Akerspaug ud der iere, iduzierte Tacho-Spaug u.t uterschiede werde. Nur u.t ist der Drehzahl proportioal. Die Akerspaug ist um de Spaugsabfall u.ra am Akerwiderstad R.A größer als u.t. Nur beim ubelastete Geerator ist =u.t. Mittels eier Brücke- Schaltug lässt sich aus der Akerspaug die Tacho-Spaug u.t des laufede Motors bestimme. Sie ka später zur Regelug der Drehzahl verwedet werde. I.A U.i = R.A U.T R.2 = 100k*R.A elektroischer Tacho Motor Komp +12V I.A R.0 = R.A/10 C.Gl R.1 = 10k*R.A u.0 U.q~U.T u V V.Dif U.Mess =k.mess* Abb Elektroischer Drehzahl-Messer: Ermittelt werde soll die im Motor iduziert, Drehzahlproportioale Tacho-Spaug u.t=-u.i. Nähere Erläuteruge folge im Text. Die Fuktio des elektroische Tacho-Geerators: 1. I de Akerkreis des Motors wird der Widerstad R.0 als Strom-Sesor gelegt. Damit er keie zu hohe Verluste erzeugt, muss er klei gege R.A sei: R.0=R.A/ arallel zum Akerkreis wird ei Spaugsteiler aus de Widerstäde R.1 ud R.2 gelegt. Das Widerstads-Verhältis R2/R1 des Teilers wird gleich R:A/R0 gemacht. Da ist die Brücke-Querspaug u.dif bei steheder Welle (=0) gleich Null. 3. Der Teiler soll deutlich hochohmiger als die Widerstäde des Akerkreises sei, um keie uötige Verluste zu erzeuge z.b. R.1=100 R.0 ud R.2=100 R.A. 4. Weiterverarbeitet wird die Brücke-Quer-Spaug U.Dif=U.0-U.1. Durch eie Differez-Verstärker wird aus ihr eie Masse-bezogee Spaug, das otezial U.Mess. 5. Bei steheder Welle (=0) wird die Quer-Spaug U.Dif bei beliebige Aker- Spauge U.A zu Null, we folgede Abgleich-Bedigug erfüllt ist: R.2/R.1 = R.A/R.0. Um das zu erreiche, ist R.2 durch eie eistellbare Widerstad (oti) abgegliche. 6. Dreht die Motor-Welle etsteht eie zur Tacho-Spaug u.t proportioale Quer-Spaug: u.dif = u.t R.0/(R.A+R.0) ~. 7. Durch eie zu der Brücke-Teilug reziproke Differez-Verstärkug V.Dif = 1+R.A/R.0 wird die Mess-Spaug U.Mess gleich der Tacho-Spaug u.t. 8. Ei Kodesator C.G im Brücke-Querzweig diet zur Glättug der Mess-Spaug. Er ist ötig, weil die Tacho-Spaug eie pulsierede Gleichspaug ist. Sie etsteht durch die Kommutierug (Umpolug) der im Motor iduzierte, Drehzahlproportioale Wechsel-Spaug.

7 Abgleich des elektroische Tachos Zur Dimesioierug der Brücke-Schaltug beötigt ma de Aker-Widerstad R.A. Er liegt bei Modellbau-Motore, die hier als Beispiel diee, im Ohm-Bereich. Die Messug vo R.A mittels Ohm-Meter ist wege der Übergagswiderstäde des Kommutators zu ugeau. Daher soll der Abgleich des elektroische Tachos bei laufedem Betrieb erfolge. Zum Abgleich misst ma eiige ukte der Keliie u.mess() ud stellt das Kompesatios- otetiometer Komp so ei, dass der der gemittelte Verlauf durch de Nullpukt geht. Da ist u.t ~. Der elektroische Tacho ist ur geau, solage die Asprechschwelle des Motors durch Haftreibug keie Rolle spielt. Diese Bedigug ist im laufede Betrieb erfüllt, icht aber beim Afahre. Das ist der Grud dafür, dass der elektroische Tacho ur i Soderfälle eigesetzt wird, bei dee gerige Koste, icht aber höchste Geauigkeit gefordert ist. Die folgede Struktur berechet alle Messwerte des abgeglichee elektroische Tachos: /V 10 M.L=Nm 0 u.i/v i.l/a 0,018 i.0/a T1 Nm/A /A u.1/v Teiler 0,091 u.0/v u.dif/v u.mes/v V.Dif 11 1/R.A 1 A/V T.Mot 1 s R.0 0,1 Ohm u.t/v 0,018 Vs /(rad/s) K 0,105 Struktur des elektroische Tachos ach Abb /(Umd/mi) 0 Erläuteruge zur Struktur des elektroische Tachos: Berechet werde solle die geteilte Aker- Spaug u.1 ud die Spaug u.0 des gemessee Aker-Stroms. Sie sid bei Stillstad der Welle ud Abgleich gleich groß -> u.mes=0. Der mittlere fad berechet u.0 aus dem Akerstrom. Der utere Zweig berechet die durch die Drehzahl erzeugte Tacho-Spaug u.t. Sie brigt die Brücke aus dem Gleichgewicht, was zur Azeige u.mes führt. Die Differez-Verstärkug wurde hier so eigestellt, dass u.mes=u.t ist. Abb die Messwerte des abgeglichee elektroische Tachos ach Abb : liks für Stillstad, rechts für Ne-Drehzahl

8 Kurzzeit-Wikelmesser mit Tacho-Geerator Zur Ermittlug der Tacho-Kostate =u.t/ müsste die Motor-Welle mit eier kostate Drehzahl gedreht werde. Dazu misst ma da die gemittelte Tacho-Spaug u.t ud bildet das Verhältis u.t/. Die Messug vo i U/mi oder rad/s bedeutet eie icht ubeträchtliche mechaische Aufwad. Der lässt sich vermeide, we ma die Drehzahlproportioale Tacho-Spaug u.t zu eier Wikel-proportioale Spaug u.φ itegriert. phi/rad /(rad/s) u.t/v u.phi/v D I A 1 s-1 TD/s 1 0,025 V/(rad/s) Reset Hold Ti 1 s u.t/v u.t T.i u. Kurzzeit-Wikelmesser mit Tacho-Geerator Abb Statische Bestimmug der Tacho-Kostate : Die Drehzahl = φ/ t ist der zeitlich differezierte Wikel φ. Aus erzeugt der Tacho die Spaug u.t=. Der Itegrator macht die afägliche Differezierug rückgägig. Dadurch ist seie Ausgags-Spaug u.φ der Wikel-Aederug φ proportioal. Differezierug ud Itegratio werde im Kapitel 3 Elektrische Dyamik behadelt. Die Realisierug eies elektroische Itegrators zur Wikelmessug mit eiem Tacho-Geerator fide Sie im Kapitel 8 Elektroik im Abschitt Nullpuksfehler ud Drift. Dort erfahre Sie auch, dass aaloge Itegratore Temperatur-abhägig drifte. Die Drift erzeugt eie Messfehler, der mit der Zeit immer größer wird. Deshalb ist die itegrierte Tacho- Spaug ur ei Kurzzeit-Wikelmesser, der aber zur Bestimmug der Tacho-Kostate geeiget ist. Dazu wird die Drift des Itegrators bis auf eie uvermeidliche Rest abgegliche. Statische Ermittlug der Tacho-Kostate mittels Itegrator Die Wikelspaug u.φ errechet sich mit der Itegratios-Kostate T.i gemäß u.φ = (/T.I) φ. Verwedet wird ei so gut wie möglich abgeglicheer Itegrator mit der Zeitkostate T.I. Gemesse wird u.φ z.b. für φ = 1U = 6,3rad. Damit lässt sich bereche: = T.i ( u.φ/ φ). Zahlewerte: Verwedet wird ei Itegrator mit T.I=1s. Nach eier vollstädige Umdrehug der Tacho- Welle um U=360 =6.3rad ädert sich der Itegrator-Ausgag u.φ um u.φ=158mv. Damit wird u.φ/ φ=25mv. Da T.I=1s ist, wird =25mVs. Aschließed drehe Sie die Welle wieder um 360 zurück. So erkee Sie de Nullpukts- Fehler durch die Temperatur-Drift. Er ka zur Korrektur der Itegrator-Spaug u.mess verwedet werde. Damit ergibt sich mit eier Geauigkeit, die für viele Aweduge ausreicht.