Kinematik und Dynamik der Rotation - Der starre Körper (Analogie zwischen Translation und Rotation eine Selbstlerneinheit)

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1 Kinematik und Dynamik de Rotation - De stae Köpe (Analogie zwischen Tanslation und Rotation eine Selbstleneinheit) 1. Kinematische Gößen de Rotation / Bahn- und Winkelgößen A: De ebene Winkel Bei eine Keisbewegung entspicht de zuückgelegte Weg einem Keisbogen, diese steht in diekte Popotionalität zum bei de Dehung übestichenen Winkel. ϕ = s Bahn [ ϕ] =1 m =1ad (Radiant... Bogenmaß), weitee Einheit 1 m De ebene Winkel ist eine Vehältnisgöße zweie gleichatige Gößen. Zusammenhang Bahn-/ Winkelgöße: B: Die Fequenz (Dehzahl) s Bahn = ϕ Bescheibt das konstante Vehältnis zwischen de Anzahl de Umläufe z und de dafü benötigten Zeit t bei eine gleichfömigen Keisbewegung. f = z t,n = z t [ f ] =1s 1 =1Hz (Hetz) f... Fequenz, n... Dehzahl Umlaufzeit: Zeit fü einen vollen Umlauf de Keisbahn (vgl. Schwingungsdaue) T = 1 n,t = 1 f [ T] =1s Aufgabe 1 Ein Satellit keist in 210 km Höhe um die Ede. Fü einen Umlauf benötigt e 88 min. Beechnen Sie die Länge de wähend eines Tages zuückgelegten Flugbahn, den dabei übestichenen Winkel (ad und ) und die Umlauffequenz! C: Die Winkelgeschwindigkeit - Keisfequenz Die Definition efolgt analog zu (Bahn-) Geschwindigkeit de Tanslation ω = dϕ dt = ϕ [ ω ] =1s 1 1Hz (Betag) Die Winkelgeschwindigkeit ist eine vektoielle Göße, ih Betag bescheibt die Schnelligkeit de Rotation; ihe Richtung gibt den Dehsinn an (Rechtsschaube). Zusammenhang zwischen Bahngöße und Winkelgöße: Zusammenhang Winkelgeschwindigkeit zwischen Fequenz: v = ω ω = 2π f Seite 1 von 9

2 D: Winkelbeschleunigung Sie titt nu bei Rotationen auf, bei denen sich de Betag de Bahngeschwindigkeit ändet. Die Definition efolgt analog zu (Bahn-) Beschleunigung de Tanslation. α = dω dt = ω α = d2 ϕ dt = ϕ [ α ] =1s 2 Die Winkelbeschleunigung bescheibt die zeitliche Ändeung de Winkelgeschwindigkeit. Zusammenhang Bahn-/ Winkelgöße: a = α Gegenübestellung de analogen Gößen Bahngöße ϕ Winkelgöße s = ϕ 2. Aten von Rotationen ω v = ω α a = α Bahngöße = Winkelgöße mal Radius Jede kummlinige Bewegung ist eine beschleunigte Bewegung, da sich die Richtung des Bahngeschwindigkeitsvektos bei de Bewegung ändet. Bezüglich de Ändeung des Betages de Bahngeschwindigkeit untescheidet man die gleichfömige Rotation und die gleichmäßig beschleunigte (vezögete) Rotation. Aufgabe 2 Stellen Sie fü die gleichfömige Rotation und die gleichmäßig beschleunigte Rotation Bewegungsgesetze fü die Winkelgößen auf! Stellen Sie dabei die Analogie zu den bekannten Weg-Zeit-Gesetzen und Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzen de Tanslation da! Aufgabe 3 De Anke eines Elektomotos eeicht 2 s nach dem Einschalten eine Dehzahl von 1800 min -1. Beechnen Sie die Endwinkelgeschwindigkeit, die Winkelbeschleunigung und die Anzahl de Umdehungen fü den angegebenen Zeitaum! Aufgabe 4 Ein Fahzeug eeicht beim gleichmäßigen Anfahen in 5 s eine Geschwindigkeit von 20 km h -1. De äußee Radduchmesse betägt 50 cm. Beechnen Sie die Anzahl de Umdehungen de Räde und die Winkelbeschleunigung in diese Zeit! Seite 2 von 9

3 Aufgabe 5 Eine otieende Scheibe hat eine Dehzahl von 2800 min -1. Duch gleichmäßiges Abbemsen wid diese Dehzahl in 8 s auf 1350 min -1 vemindet. Beechnen Sie die wikende Winkelbeschleunigung und den übestichenen Winkel alle zwei Sekunden. Stellen Sie den Vogang in einem ω-t-diagamm und einem α-t-diagamm da! Radialbeschleunigung (Zentipetalbeschleunigung) stets vohandene Komponente des Beschleunigungsvektos, bewikt die Richtungsändeung des Geschwindigkeitsvektos; wikt in adiale Richtung zum Dehzentum Beschleunigungen bei Rotationen Tangentialbeschleunigung nu bei beschleunigten Rotationen vohandene Komponente des Beschleunigungsvektos; bewikt die Betagsändeung des Geschwindigkeitsvektos; wikt in tangentiale Richtung Bei de Keisbahn stehen beide Komponenten senkecht aufeinande. E: Gleichung de Radialbeschleunigung a = v2 = ω 2 `= 4π 2 T 2 Bahnbeschleunigung: a = a adial + a tangential a = ω 4 + α 2 Aufgabe 6 Beechnen Sie die Göße de Radialbeschleunigungen fü die Eigenotation de Ede am Äquato und fü die Bewegung de Ede um die Sonne! 3. (Zentipetal-) Radialkäfte / (Tägheits-) Zentifugalkäfte Nach dem Tägheitsgesetz vehat ein Köpe in Zustand de Ruhe ode de geadlinig gleichfömigen Bewegung, so lange keine Kaft auf ihn wikt, d.h. de Geschwindigkeitsvekto ändet sich nicht. Da bei Rotationen sich zumindest die Richtung des Geschwindigkeitsvektos ändet, muss eine veusachende Kaft vohanden sein. Diese Kaft, welche die Richtung des Geschwindigkeitsvektos ändet, nennt man Radialkaft ode auch Zentipetalkaft. Die Radialkaft veusacht die Radialbeschleunigung. Radialkäfte sind Zwangskäfte, d.h. sie zwingen einen Köpe infolge eine Wechselwikung (Fühungen, Schienen, Kuvenübehöhungen, Seile, Reibung, Gavitation,...) auf eine Keisbahn; diese Käfte stehen stets senkecht auf de Bahntangente (vgl. Nomalkaft) und veichten keine Abeit. Seite 3 von 9

4 F: Definitionsgleichung de Radialkaft F = m v2 = m ω 2 = m 4π 2 T 2 Aufgabe 7 Beechnen Sie die Höchstgeschwindigkeit mit de ein Fahzeug eine Kuve mit einem Radius von 100 m duchfahen kann! Die Hafteibungszahl betägt 0,4. Aufgabe 8 Beechnen Sie die notwendige Kuvenübehöhung, um im eibungsfeien Fall mit de Höchstgeschwindigkeit aus Aufgabe 7 diese Kuve zu duchfahen? Bezugssysteme und Tägheitskäfte Inetialsysteme: Ein Bezugssystem heißt Inetialsystem, wenn in ihm das Tägheitsgesetz gilt; d.h. alle Objekte vehaen im Zustand de Ruhe bzw. de geadlinig gleichfömigen Bewegung in Bezug auf das Inetialsystem, wenn keine äußee Kaft auf dieses Objekt wikt. Inetialsysteme sind selbst uhend ode in Zustand de geadlinig gleichfömigen Bewegung. Alle Inetialsysteme sind physikalisch gleichwetig, d.h. die physikalischen Gesetze gelten unabhängig von de Wahl des Bezugssystems. Beschleunigte Bezugssysteme: In beschleunigten Bezugssystemen gilt das Tägheitsgesetz in de bisheigen Fomulieung nicht. In diesen Bezugssystemen wiken Tägheitskäfte, diese sind de wikenden Beschleunigung entgegengeichtet und popotional de Masse des beschleunigten Objektes. Tägheitskäfte sind Scheinkäfte, d.h. sie sind nu von einem mitbewegten Beobachte, abe nicht von einem außenstehenden Beobachte wahnehmba. In beschleunigten Bezugssystemen gilt: F B = F T F B m a T F B + m a T = 0 (Pinzip von dálembet) (Gleichgewichtsbedingung in beschleunigten Bezugssystemen) Seite 4 von 9

5 Anwendung auf Rotationen Fü einen mitbewegten Beobachte auf eine Keisbahn wikt eine in adiale Richtung nach außen geichtete Tägheitskaft, die (Flieh-) Zentifugalkaft; diese Kaft hat den gleichen Betag wie die von einem außenstehenden Beobachte wahgenommene Radialkaft. Beispiel: Schweelosigkeit eines Raumfahes (Gewichtskaft wikt nicht) Standpunkt Raumschiff (beschleunigtes Bezugssystem): Es hescht ein Käftegleichgewicht zwischen de zum Edmittelpunkt geichteten Gavitationskaft und de infolge de Keisbewegung de Raumstation nach außen geichteten Fliehkaft. Standpunkt Ede (annähend Inetialsystem) De Raumfahe befindet sich infolge de Gavitation ständig im feien Fall. Diese wid abe duch die Bewegung infolge de hohen Eigengeschwindigkeit (vgl. 1. kosmische Geschwindigkeit) übelaget und die entstehende Wufpaabel entatet in einen Keis, d.h. die Gavitationskaft wikt hie als Radialkaft. In beiden Fällen titt keine Wechselwikung mit eine Untelage ode Decke auf, d.h. die Gewichtskaft wikt nicht und man ist schweelos. Aufgabe 9 Ein Köpe wid an einem Seil um einen festen Punkt heumgeschleudet. Die Gewichtskaft des Köpes bleibt unbeücksichtigt. Das 1,25 m lange Seil eißt bei eine Zugkaft von 380 N. Beechnen Sie die Dehzahl, bei de das Seil eißt sowie die Geschwindigkeit, mit de diese Köpe weitefliegt! 4. Dynamik des staen Köpes Sind die geometischen Maße eines Köpes elativ goß gegenübe seine Bewegungsbahn und füht de Köpe Eigenotationen wähend de Bewegung aus, so kann man diese Bewegungen nicht mit dem Modell Massepunkt bescheiben. Beim Modell stae Köpe weden im Unteschied zum Modell Massepunkt Fom und Volumen des Köpes beücksichtigt. Diese bleiben abe gegenübe Kafteinwikungen unveändet (Idealisieung). Man kann einen staen Köpe als ein System von fest miteinande vebundenen Massepunkten betachten (im Unteschied zum idealen Gas). Somit lassen sich die fü die Mechanik des Massepunktes definieten Gößen duch Summation (Integation) übetagen. Jede stae Köpe besitzt einen Massenmittelpunkt (Schwepunkt), diese Massenmittelpunkt vehält sich so, als ob in ihm die gesamte Masse veeinigt wäe (Massepunkt), und als ob die esultieende de wikenden Käfte an ihm angeifen wüde. Seite 5 von 9

6 G: Das Dehmoment Ist ein stae Köpe dehba um eine feste Achse gelaget und liegt de Dehpunkt nicht auf de Wikungslinie de Kaft, so füht de Köpe eine gleichmäßig beschleunigte Rotation aus. Diese Rotation wid auf das Wiken eines Dehmomentes (Kaftmomentes) zuückgefüht. Ein Dehmoment ist also die Usache fü das Wiken eine Winkelbeschleunigung. Definition zum Dehmomentes 1. Betag fü eine tangential angeifende Kaft: M = F t, [ M] =1N m... Kaftam (Abstand Angiffspunkt-Dehpunkt) 2. Betag fü eine beliebig angeifende Kaft: M = F sinα, α, F 3. Vektoielle Definition als Keuzpodukt: M = F ( ) ( J) Das Dehmoment ist eine vektoielle Göße, sein Betag bescheibt die Abhängigkeit de Winkelbeschleunigung vom Betag de Kaft und vom Kaftam, seine Richtung bescheibt den Dehsinn de Rotation. Es ist die analoge Göße zu Kaft. Vozeichenegelung fü Dehmomente (Betäge): positives Dehmoment deht nach links (mathematisch positiv) negatives Dehmoment deht nach echts (mathematisch negativ) Aufgabe 10 Ein Stahltäge ist 8 m lang und an einem Ende dehba gelaget. Beechnen Sie das wikende Dehmoment, wenn am andeen Ende des Täges eine Kaft von 400 N a) tangential, b) unte einem Winkel von 30 angeift! Bestimmen Sie die Entfenung vom Dehpunkt, in de die Kaft aus a) angeifen muss, um das gleiche Dehmoment wie in b) zu ezeugen! Aufgabe 11 Intepetieen Sie die Gleichung M = F t hinsichtlich de auftetenden Gößen und de zwischen ihnen vohandenen Zusammenhänge (Popotionalitäten)! Stellen Sie diese gaphisch da! Gleichgewicht am staen Köpe Ein stae Köpe kann duch das Wiken von Käften sowohl Tanslationen als auch Rotationen ausfühen, e befindet sich in einem Gleichgewichtszustand wenn gilt: n i=1 F iaußen = 0 und n M iaußen = 0. i=1 Beispiel Hebelgesetz: Ein Hebel ist an eine staen Achse dehba gelaget. Diese stae Achse kompensiet die von außen angeifenden Käfte. De Hebel befindet sich dann im Gleichgewicht, wenn die Summe de echts dehenden Dehmomente gleich de Summe de links dehenden Dehmomente ist. Seite 6 von 9

7 H: Das Massentägheitsmoment Bei de Rotation eines staen Köpes ist die Tägheit dieses Köpes nicht nu von de Masse, sonden auch von deen geometischen Veteilung (Fom des Köpes) bezüglich eine gegebenen Rotationsachse abhängig. Diese Eigenschaft eines staen Köpes wid duch sein Massentägheitsmoment efasst. Es ist die analoge Göße zu Masse. Fü eine gegebene Rotationsachse gilt: J = 2 dm, ( m) [ J] =1kg m 2 Aufgabe 12 Geben Sie Beechnungsfomeln fü Massentägheitsmomente bei Rotation um die Zentalachse folgende Köpe an! a) Kugel, b) Vollzylinde, c) Hohlzylinde d) dünne Stab Aufgabe 13 Vegleichen Sie duch Beechnung die Massentägheitsmomente (bezüglich de Zentalachse) eine Kugel und eines Zylindes mit de gleichen Masse von 5 kg und dem gleichen Radius von 10 cm! Was lässt sich daaus folgen? Gundgesetz de Dynamik de Rotation Dieses Gesetz liefet den Zusammenhang zwischen de dynamischen Göße Dehmoment und de kinematischen Göße Winkelbeschleunigung (in Analogie zum Gundgesetz de Tanslation). F = m a M = J α Aufgabe 14 De Anke eines Elektomotos hat ein Massentägheitsmoment von 48 kg m 2. Bei eine Dehzahl von 200 min -1 wid die Stomstäke ehöht, so dass am Anke 10 s lang ein Dehmoment von 300 N m angeift. Beechnen Sie die Dehzahl des Ankes nach dem Wiken des Dehmomentes! Aufgabe 15 An einem uhenden um die Zentalachse dehba gelageten Zylinde mit einem Radius vom 5 cm geift 20 s lang tangential eine Kaft von 0,5 N an. Dabei deht sich de Zylinde 8 Mal um seine Zentalachse. a) Beechnen Sie die dabei wikende Winkelbeschleunigung! b) Beechnen die Endwinkelgeschwindigkeit und die dazu gehöende Dehzahl! c) Beechnen Sie das am Zylinde angeifende Dehmoment! d) Beechnen Sie das Massentägheitsmoment des Zylindes! Seite 7 von 9

8 I: Abeit bei de Rotation Die Definition efolgt analog zu Definition zu Abeit de Tanslation. W Tans( lation) = s 1 s 1 F d s ϕ W Rot ( ation) = 1 M dϕ ϕ 1 Spezialfall fü konstantes Dehmoment: W Rot = M ϕ ( W = F s) ) Aufgabe 16 Beechnen Sie die im Vogang aus Aufgabe 15 am Zylinde veichtete Abeit! J: Kinetische Enegie de Rotation Die Definition efolgt analog zu kinetischen Enegie de Tanslation. E kintans = 1 2 m v2 E kin Rot = 1 2 J ω2 Aufgabe 17 Beechnen Sie die Rotationsenegie des Zylindes aus Aufgabe 15 am Ende des Vogangs! Enegieehaltung De Enegiesatz de Mechanik wid um die Rotationsenegie eweitet. E mech gesamt = E pot + E kintans + E kin Ro = konstant (abgeschlossenes System) Aufgabe 18 Die Kugel und de Zylinde aus Aufgabe 13 ollen (eibungsfei) eine 2 m hohe und 10 m lange geneigte Ebene hinunte. Beechnen Sie die Endgeschwindigkeiten beide Köpe am Fußpunkt de Ebene! Seite 8 von 9

9 K: De Dehimpuls (Dall) Die Definition efolgt analog zum Impuls de Tanslation. p = m v L = J ω, [ L] =1N s m =1kg m 2 s 1 De Dehimpuls ist eine vektoielle Zustandsgöße: L = p. E efasst den Bewegungszustand eines otieenden Systems vollständig. De Vogang de Ändeung des Dehimpulses wid in Analogie zum Kaftstoß Dehstoß ΔL bezeichnet Δp als Dehimpulsehaltung Fü ein abgeschlossenes mechanisches System ist de Dehimpuls eine Ehaltungsgöße. Beispiel 2. Keplesches Gesetz: Die Tatsache, dass de Leitstahl Sonne-Planet auf eine elliptischen in gleichen Zeiten imme gleiche Flächen übesteicht ist diekte Folge des Dehimpulsehaltungssatzes. Wid de Abstand zu Sonne geinge, so vegößet sich in Folge de Konstanz des Dehimpulses die Bahngeschwindigkeit und umgekeht. Aufgabe 19 Zwei Kupplungsscheiben haben ein Massentägheitsmoment von je 3 kg m 2. Im getennten Zustand (Leelauf) hat die eine Kupplungsscheibe eine Dehzahl von 1500 min -1, die andee befindet sich in Ruhe. Bestimmen Sie die Dehzahl de beiden Scheiben unmittelba nach dem Einkuppeln! Seite 9 von 9

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