Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne

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1 Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne Verfahren: DES (Feistel-Chiffre) mehrfache Wiederholung (Runden) einer Kombination aus Substitution (S-Box) Transposition (Permutationen) XOR-Verknüpfung Generierung verschiedener Rundenschlüssel moderne Verfahren: AES mehrfache Wiederholung (Runden) einer Kombination aus Matrixoperationen Betriebsmodi für Blockchiffren (ECB, CBC, CFB, OFB) 115

2 Verschlüsselungsverfahren symmetrisch gleicher Schlüssel k zum Ver- und Entschlüsseln c = e(k, m) d(k, c) = m d(k, e(k, m)) = m asymmetrisch verschiedene Schlüssel zum Verschlüsseln (k e ) und Entschlüsseln (k d ) symmetrische Verfahren: c = e(k e, m) d(k d, c) = m d(k d, e(k e, m)) = m Vorteil: schnelle Verfahren zum Ver- und Entschlüsseln Nachteil: alle Teilnehmer müssen geheimen Schlüssel kennen Schlüsselverteilungsproblem: Wie wird der geheime Schlüssel übertragen? (über einen unsicheren Übertragungskanal) 116

3 Public-Key-Verfahren Idee (analog Schnappschloss) Jedem Teilnehmer B gehört ein Paar (p B, g B ) von Schlüsseln: p B ist öffentlich, g B geheim öffentlicher Schlüssel p B zum Verschlüsseln: A verschlüsselt m mit p B zu c = e(p B, m) geheimer Schlüssel g B zum Verschlüsseln: B entschlüsselt c mit g B zu m = d(g B, c) Dabei muss gelten: d(g B, e(p B, m)) = m Anwendungen: Verschlüsselung von Nachrichten Übermittlung geheimer Schlüssel digitalen Signaturen Authentifizierung (Identitätsnachweis) 117

4 Public-Key-Verfahren Eigenschaften Vorteile: Öffentlicher Schlüssel kann öffentlich bekanntgegeben werden. Jeder potentielle Sender kann damit Nachrichten an B verschlüsseln. (offene Kommunikationssysteme) Keine geheime Schlüsselübermittlung notwendig. Nachteile: Chosen-Plaintext-Angriffe immer möglich große Schlüssel notwendig bekannte sichere Verfahren sind langsamer als symmetrische Verfahren 118

5 Beispiel: Merkles Rätsel (Ralph Merkle, 1974) Idee zur sicheren Kommunikation ohne geheimen Schlüssel Protokoll zum Senden einer Nachricht m von A an B: 1. Schlüsselerzeugung und -tausch: B würfelt n Zahlen (Adressen) x 1,..., x n und 2n Schlüssel y 1,..., y n und k 1,..., k n und speichert alle n Paare (x i, y i ) Erzeugung der Rätsel r1,..., r n durch Verschlüsselung jedes Paares (x i, y i ) mit Schlüssel k i (symmetrisches Verfahren) für jedes i {1,..., n}: r i = e(k i, (x i y i )) B sendet alle Rätsel (r1,..., r n ) an A A wählt daraus eine beliebiges Rätsel rj A bestimmt (x j, y j ) und k j aus r j (bricht r j, Brute-force) Aufwand: Test eines Rätsels mit etwa n/2 Schlüsseln 2. Übermitteln der Nachricht: A verschlüsselt Klartext m mit yj zu c = e(y j, m) A sendet (c, xj ) an B B findet (xj, y j ) unter seinen gespeicherten Paaren B entschlüsselt m = d(yj, c) 119

6 Merkles Rätsel Kryptanalyse Ciphertext-Only-Angriff (Brute-force): E kennt alle Rätsel (r1,..., r n ) (Übertragung von von B an A) c und xj (Übertragung von A an B) E muss alle n Rätsel (r 1,..., r n ) brechen, um y j zur Entschlüsselung von c zu finden. Test von etwa n/2 Geheimtexten mit je n Schlüsseln Eigenschaften der Merkles-Rätsel-Kommunuikation: Schlüsselerzeugung (B) einfach: 3n Zahlen würfeln, n Verschlüsselungen Verschlüsselung (A) relativ einfach: Vorarbeit: ein Rätsel brechen (Test mit ca. n/2 Schlüsseln) Entschlüsselung (B) mit Kenntnis aller Paare (x i, y i ) einfach Kryptanalyse (E) ohne Kenntnis aller Paare (x i, y i ) viel aufwendiger als Ver- und Entschlüsselung: Vorarbeit: alle n Rätsel brechen (ca. n/2) 120

7 Faktorisierung Multiplikation in N (bzw. Z n ): gegeben : a, b N (bzw. n N und a, b Z n ) gesucht: c = ab N (bzw. c Z n mit c n ab) einfach (effizient) zu lösen (z.b. Schul- oder Karatsuba-Multiplikation) Umkehrung: Faktorisierung (Finden wenigstens eines Faktors) gegeben : c N (bzw. n N und c Z n ) gesucht: a N mit b N : ab = c (bzw. a Z n mit b Z n : ab n c ) Verfahren: naiv: Berechnung aller Reste c mod x mit 2 x c (Warum genügt x c?) mit (fortgeschrittenen) mathematischen Methoden, z.b. Quadratisches Sieb, Zahlkörpersieb, Gitterbasisreduktion, elliptische Kurven Faktorisierungs-Problem ist mit allen bisher bekannten Methoden schwierig (aufwendig) zu lösen. ( Schwierigkeit genauer in LV Theoretische Informatik) 121

8 Einwegfunktionen Eine (umkehrbare) Funktion f : A B heißt genau dann Einwegfunktion, wenn der Aufwand zur Berechnung der Umkehrfunktion f 1 : B A sehr viel höher ist als der Aufwand zur Berechnung von f : A B. Beispiele: Telefonbuch (aus Papier): Polynome: f : Suche der Telefonnummer zu einer Person f 1 : Suche einer Person mit bekannter Telefonnummer f : N N mit f (x) = an x n + + a 1 x + a 0 (mit n > 4) f 1 : N N mit f 1 (y) = x gdw. a n x n + + a 1 x + a 0 = y (z.b. Nullstellenbestimmung) Faktorisierung 122

9 Einweg-Falltürfunktionen Eine Einwegfunktion f : A B heißt genau dann Einweg-Falltürfunktion, wenn der Aufwand zur Berechnung von f 1 : B A mit einer Zusatzinformation viel geringer ist als ohne diese Zusatzinformation. Beispiel: Suche einer Person mit bekannter Telefonnummer im Telefonbuch (aus Papier), wenn der Familienname bekannt ist. Zerlegung in zwei Faktoren, wenn ein Faktor bekannt ist. Existenz von Einwegfunktionen und Einweg-Falltürfunktionen ist Voraussetzung für asymmetrische Verschlüsselung Idee: Zusatzinformation als Schlüssel zum Entschlüsseln 123

10 Primitive Elemente in Z n Beobachtung in Z 5 : {1 i mod 5 i {0, 1, 2, 3, 4}} =... {2 i mod 5 i {0, 1, 2, 3, 4}} =... {3 i mod 5 i {0, 1, 2, 3, 4}} =... {4 i mod 5 i {0, 1, 2, 3, 4}} =... Für jede Primzahl n N heißt a Z n genau dann primitives Element in Z n, wenn Beispiele: {a i mod n i {0,..., n 2}} = n 1 2 ist primitives Element in Z 5, 4 nicht 6 ist primitives Element in Z 11, 5 nicht 124

11 Umkehrung des Potenzierens Satz Für jede Primzahl n N und jedes primitive Element b Z n existiert zu jedem c Z n ein Exponent a Z n mit b a n c. Beispiele: 2 ist primitives Element in Z 5 : , , , ist primitives Element in Z 11 : , , ,..., , ist kein primitives Element in Z 11 : Es existiert kein a mit 4 a

12 Diskreter Logarithmus Potenzieren in Z n für n N mit fester Basis b Z n : Funktion f : Z n Z n gegeben : a Z n gesucht: f (a) = b a Z n einfach (effizient) zu lösen (schnelles Potenzieren) Umkehrung: diskreter Logarithmus, Funktion f 1 : Z n Z n für Primzahl n mit fester Basis b Z n gegeben : c Z n, b mit primitiv in Z n gesucht: f 1 (c) = a Z n mit b a n c Beispiele: n = 11, b = 6: f (4) = 8 ( ) n = 11, b = 4: f (7) existiert nicht (4 nicht primitiv in Z 11 ) n = 25, b = 7: 7 a 25 4 hat keine Lösung (25 nicht prim) Diskreter Logarithmus f 1 ( ) : Z n Z n (für festes primitives Element b in Z n ) mit f (c) = a mit a n b a ist schwierig (aufwendig) zu berechnen. Der diskrete Logarithmus ist eine Einwegfunktion. 126

13 Diffie-Hellman-Verfahren (Whitfield Diffie, Martin Hellman 1976) Verfahren zum Austausch (Erzeugung) geheimer Schlüssel Diffie-Hellman-Verfahren: 1. (öffentliche) Vereinbarung von (n, p) mit Primzahl n und primitivem Element p in Z n 2. A wählt g A Z n und berechnet a = p g A mod n 3. B wählt g B Z n und berechnet b = p g B mod n 4. A sendet a an B, B sendet b an A 5. A berechnet k = b g A mod n, B berechnet k = a g B mod n Alle Übertragungen können öffentlich geschehen. Beispiel: n = 11, p = 7, g A = 4, g B = 6, Ergebnis: gemeinsamer geheimer Schlüssel k = k, wegen k n a g B n (p g A ) g B n p g Ag B n (p g B ) g A n b g A = k 127

14 Diffie-Hellman Sicherheit Ciphertext-Only-Angriff: E kennt n, p, a, b und weiß, dass k n p xy für x, y mit a n p y und b n p x gilt. x, y sind diskrete Logarithmen zur Basis p in Z n diskreter Logarithmus ist Einwegfunktion Kein effizientes Verfahren zur Berechnung diskreter Logarithmen bekannt Sicherheit hängt von Größe und Auswahl der Primzahl n ab. 128

15 ElGamal-Verschlüsselungsverfahren (Taher ElGamal 1985) asymmetrisches Verfahren zur Verschlüsselung Modifikation des Diffie-Hellman-Verfahrens Verschlüsselung nach ElGamal: 1. Schlüsselerzeugung (durch B): B wählt (n, p) mit Primzahl n und p Zn B wählt g B Z n und berechnet b = p g B mod n erzeugte Schlüssel: (n, p, b) (öffentlich) und g B (geheim) 2. B sendet (n, p, b) an A 3. Verschlüsselung (durch A): A wählt große Zufallszahl z (geheimer Sitzungsschlüssel) A berechnet a = p z mod n und c = mb z mod n 4. A sendet (a, c) an B 5. Entschlüsselung (durch B): B entschlüsselt m = ca g B = c (a g B) 1 mod n Beispiel: n = 11, p = 7, g B = 3, z = 6, m = 8 Verfahren ist korrekt, weil ca g B n mb z (p z ) g B n mp g Bz p g Bz n mp g Bz g B z n m 129

16 Bestimmung großer Primzahlen (zur Schlüsselerzeugung notwendig) Verfahren zur Bestimmung kleiner Primzahlen: Sieb des Eratosthenes (zur Bestimmung großer Primzahlen nicht geeignet) Idee: folgende Schritte wiederholen, bis eine Primzahl gefunden wurde: 1. Zufallszahl q erzeugen 2. Test, ob q prim ist etwas bessere Idee: 1. Zufallszahl q erzeugen 2. folgenden Schritt für i N wiederholen, bis eine Primzahl gefunden wurde: Test, ob q + i prim ist Voraussetzung: effiziente Primzahltests 130

17 RSA-Verfahren (Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adelman 1977) Schlüsselerzeugung (durch B): 1. B wählt (große) Primzahlen q, q und berechnet n = qq und n = (q 1)(q 1) 2. B wählt ungerade Zahl p B mit ggt(p B, n ) = 1 3. B berechnet g B = p 1 B in Z n (z.b. mit erweitertem euklidischen Algorithmus) erzeugtes Schlüsselpaar: (p B, n) öffentlich, (g B, n) geheim Übermittlung einer Nachricht m von A zu B: Verschlüsseln (durch A): c = e((p B, n), m) = m p B mod n mit Bs öffentlichem Schlüssel (p B, n) Entschlüsseln (durch B): m = d((g B, n), c) = c g B mod n mit dem geheimen Schlüssel (g B, n) Verfahren ist korrekt, weil d((g B, n), e((p B, n), m)) n d((g B, n), m p B ) n m p Bg B n m 1+kn n mm k(q 1)(q 1) n m (nach Eulers Erweiterung des kleinen Fermat: m (q 1)(q 1) qq 1) 131

18 RSA Beispiele q = 11, q = 5, also n = 55, n = (q 1)(q 1) = 40 p = 3 öffentlicher Schlüssel: (3, 55) geheimer Schlüssel: (27, 55), wegen Klartext m = 15, Geheimtext: c = 20 (anderer) Geheimtext c = 17, Klartext:... q = 7, q = 13, also n = 91, n = (q 1)(q 1) = 72 p = 11 öffentlicher Schlüssel: (11, 91) geheimer Schlüssel: (59, 91), wegen Klartext m = 42 verschlüsselter Text c = entschlüsselter Text m = q = 11, q = 3, also n = 33, n = (q 1)(q 1) = 20 p = 3 öffentlicher Schlüssel: (3, 33) geheimer Schlüssel: (..., 33) Klartext m = , Geheimtext:... Geheimtext c = , Klartext:

19 RSA Sicherheit Angreifer kennt öffentlichen Schlüssel (p, n) weiß, dass n = qq, kennt aber q und q nicht, kann also n = (q 1)(q 1) nicht bestimmen kann also g = p 1 mod n nicht bestimmen Einwegfunktion: Multiplikation zweier Primzahlen Umkehrfunktion: Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen (kein effizientes Verfahren bekannt) Für jedes hinreichend große n N existieren genügend Primzahlen der Länge n. Zufällige Auswahl derselben großer Primzahlen zur Erzeugung verschiedener Schlüssel ist extrem unwahrscheinlich. Finden großer Primzahlen ist effizient möglich. Speichern aller Produkte zweier hinreichend großer Primzahlen praktisch nicht möglich (Platzbedarf) 133

20 Angriffe gegen RSA Chosen-Ciphertext-Angriff Eve hat die folgenden Informationen: öffentlicher Schlüssel pb abgefangen: verschlüsselte Nachricht c = e(gb, m) Eve verschlüsselt alle (sinnvollen) Quelltexte m zu c = e(g B, m ) und testet c = c (kann bei sehr kurzen Nachrichten funktionieren) Angriff durch Beobachtung von Nebenwirkungen z.b. Rechenzeit für Durchläufe beim schnellen Potenzieren, Energiverbrauch 134

21 Chosen-Ciphertext-Angriff mit Social Engineering Eve hat die folgenden Informationen: öffentlicher Schlüssel p B abgefangen: verschlüsselte Nachricht c = e(p B, m) Angriff: 1. Eve verschlüsselt c noch einmal mit ihrem eigenen öffentlichen Schlüssel p E zu c = e(p E, c) = e(p E, e(p B, m)) und schickt d an Bob. 2. Bob kann c mit m = d(g B, c ) = d(p E, e) nicht entschlüsseln und hält das für eine Übertragungsfehler. 3. Eve überzeugt Bob, ihr m = d(p E, e) zu schicken (zur Diagnose) und berechnet d(g E, e(p E, m)) = m funktioniert, weil bei RSA gilt: e(p E, e(p B, m)) = e(p B, e(p E, m)) 135

22 Man-in-the-Middle-Angriff M trennt die Verbindung zwischen A und B und gibt sich gegenüber A als B aus (sendet zu Beginn B seinen öffentlichen Schlüssel statt As) gegenüber B als A aus (sendet zu Beginn A seinen öffentlichen Schlüssel statt Bs) für jede Nachricht c von A an B entschlüsselt M c mit seinem geheimen Schlüssel zu m verschlüsselt m (evtl. geändert) mit Bs öffentlichem Schlüssel und leitet das Ergebnis an B weiter (analog für Nachrichten von B an A) Gegenmaßnahmen: Öffentliche Schlüssel vor dem Verwenden auf Authentizität prüfen! Interlock-Protokoll gegen Man-in-the-middle-Angriff: zeitversetztes Senden von Teilen (Hälften) jeder Nachricht Nachteil: umständlich 136

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