Mechanismus Design Auktionen

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1 Mechanismus Design Auktionen Universität Hohenheim Alexander Staus Mechanismus Design Universität Hohenheim 1/25

2 Welche Auktionen kennen Sie? traditionelle Auktionshäuser ebay Immobilien Fahrräder Blumen UMTS (50,8 Mrd. Euro) Mechanismus Design Universität Hohenheim 2/25

3 Ziele Unterschiedliche Auktionsformen kennenlernen Vergleich der Auktionsformen Optimale Strategien herleiten Die optimale Auktionsform Mechanismus Design Universität Hohenheim 3/25

4 Warum Auktionen? Schnelligkeit der Abwicklung Offenlegung der wahren Wertschätzungen Vermeidung des Moral Hazard Problems: Agent wird von Verkäufer eingesetzt Mechanismus Design Universität Hohenheim 4/25

5 Vier Auktionen im Überblick Englische Auktion: Potentielle Käufer bieten solange, bis nur noch ein Bieter übrig bleibt. mündlich, sequentiell Hölländische Auktion: Auktion beginnt mit hohem Preis, verringert sich, bis ein erster Bieter sich meldet. mündlich Erstpreis-Auktion: Die Gebote werden verdeckt abgegeben (z.b. Briefumschlag). Den Zuschlag erhält das höchste Gebot für den gebotenen Preis. geheim, simultan Zweitpreis-Auktion: Die Gebote werden verdeckt abgegeben. Den Zuschlag erhält das höchste Gebot für den Preis des zweithöchsten Gebots. geheim, simultan Mechanismus Design Universität Hohenheim 5/25

6 Annahmen ein einziges unteilbares Gut zwei Bieter i, j jeder Bieter kennt seine Bewertung Bewertungen der Bieter sind unabhängig identisch und stetig verteilt Bieter und Verkäufer sind risikoneutral Bewertung des Verkäufers ist Null Mechanismus Design Universität Hohenheim 6/25

7 Allgemein Wertschätzung des Bieters i für das Gut: v i Preis, der für das Gut gezahlt wird: p Nettonutzen des Bieters i: U i = v i p Bieter maximieren Nutzen U i Wertschätzung der Bieter wird aus Gleichverteilung mit Wertebereich [0, 1] gezogen Mechanismus Design Universität Hohenheim 7/25

8 Exkurs: Gleichverteilung Abbildung: Diskrete Gleichverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung (1 x würfeln) Wahrscheinlichkeit Augenzahl Mechanismus Design Universität Hohenheim 8/25

9 Exkurs: Gleichverteilung Abbildung: Stetige Gleichverteilung allgemein Mechanismus Design Universität Hohenheim 9/25

10 Exkurs: Gleichverteilung Abbildung: Stetige Gleichverteilung zwischen 0 und 1 Mechanismus Design Universität Hohenheim 10/25

11 Hölländische Auktion vs. Erstpreis-Auktion Es muss der Preis bezahlt werden, der geboten wurde. strategisch äquvalent! Sollte Bieter i ein Gebot b i abgeben, das seiner Wertschätzung v i entspricht? Da der Preis, der für das Gut zu zahlen ist, genau dem Gebot von i entspricht (b i = p), wäre der Nettonutzen von Bieter i: Null (U i = v i p = v i b i = 0). Je geringer das Gebot (b i ) von Bieter i, desto höher sein Nettonutzen. Je geringer das Gebot von i, desto wahrscheinlicher, dass ein anderer Bieter j den Zuschlag für das Gut erhält. Mechanismus Design Universität Hohenheim 11/25

12 Vollständige Information Beispiel 2 Bieter i, j mit Wertschätzungen v i = 0, 7 und v j = 0, 2. Für ein Gebot von b i = 0, 7 wäre der Nettonutzen Null. Strategisch sinnvoll für i bis zu einer ɛ-einheit über 0, 2 zu warten und dann zu bieten. Nettonutzen von i: U i = 0, 7 0, 2 = 0, 5 Nettonutzen von j: U j = 0 Mechanismus Design Universität Hohenheim 12/25

13 Unvollständige Information Jeder Bieter kennt nur seine eigene Wertschätzung v i und die Verteilung, aus der die Wertschätzungen gezogen werden. Jedem Bieter ist die Anzahl der Mitbieter bekannt. Jeder Bieter maximiert seinen erwarteten Nutzen E[U i ]. max E[U i ] = (v i b i ) Prob{b i > b j (v j )} Prob{b i > b j } ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gebot von Bieter i über dem Gebot von Bieter j liegt. Gebot ist eine lineare Funktion der Wertschätzung: b i = α i v i, mit 0 α i 1, gleiches gilt für j. Mechanismus Design Universität Hohenheim 13/25

14 Unvollständige Information Maximierung des Nutzens max E[U i ] = (v i b i ) Prob{b i > b j (v j )} max E[U i ] = (v i b i ) Prob{b i > α j v j } max E[U i ] = (v i b i ) Prob{b i /α j > v j } max E[U i ] = (v i b i ) b i /α j E[U i ] b i = v i 2b i α j! = 0 b i = 1 2 v i Mechanismus Design Universität Hohenheim 14/25

15 Optimale Bietstrategie - Unvollständige Information Bei zwei Bietern ist die optimale Bietstrategie die Hälfte seiner Wertschätzung zu bieten: b i = 1 2 v i. * Die Wahrscheinlichkeit der Bieter mit der höchsten Wertschätzung zu sein sinkt. * Der Nutzen bei Zuschlag steigt. Dieser trade off führt zum Gebot der halben Wertschätzung. Mechanismus Design Universität Hohenheim 15/25

16 n Bieter - Unvollständige Information Bei n Bietern ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gebot i über allen anderen Geboten liegt: b n 1 i max E[U i ] = (v i b i ) b n 1 = v i b n 1 i bi n E[U i ] b i b i = n 1 n v i = (n 1)v i b n 2 i i nb n 1 i = 0 Je mehr Teilnehmer an der Auktion, desto höher das eigene Gebot. Der erwartete Nutzen eines Bieters i: E[U i ] = (v i b i ) v n 1 i = (v i n 1 n v i) v n 1 i Je mehr Teilnehmer, desto geringer E[U i ]. = 1 n v n i Mechanismus Design Universität Hohenheim 16/25

17 Englische Auktion vs. Zweitpreis-Auktion Es wird der Preis des zweithöchsten Gebots, bzw. eine ɛ-einheit mehr, bezahlt. strategisch äquvalent! Bei vollständiger Information Beispiel 2 Bieter i, j mit Wertschätzungen v i = 0, 7 und v j = 0, 2. Bei Zweitpreis-Auktion: b i = 0, 7, es muss nur 0,2 gezahlt werden. Bei englischer Auktion: i bietet eine epsilon-einheit über 0,2 und erhält Zuschlag. Nettonutzen in beiden Fällen: U i = 0, 5 Mechanismus Design Universität Hohenheim 17/25

18 Unvollständige Information Jeder Bieter kennt nur seine eigene Wertschätzung v i und die Verteilung, aus der die Wertschätzungen gezogen werden. Jedem Bieter ist die Anzahl der Mitbieter bekannt. Jeder Bieter maximiert seinen erwarteten Nutzen E[U i ]. max E[U i ] = (v i b j ) Prob{b i > b j (v j )} Gebot ist eine lineare Funktion der Wertschätzung: b i = α i v i, mit 0 α i 1, gleiches gilt für j. Mechanismus Design Universität Hohenheim 18/25

19 Unvollständige Information Maximierung des Nutzens max E[U i ] = (v i b j ) Prob{b i > b j (v j )} max E[U i ] = (v i b j ) Prob{b i > α j v j } max E[U i ] = (v i b j ) Prob{b i /α j > v j } max E[U i ] = (v i b j ) b i /α j E[U i ] b i = v i b j α j! = 0 b j = v i Mechanismus Design Universität Hohenheim 19/25

20 Unvollständige Information Optimale Strategie: Wertschätzung des jeweils anderen bieten. Da unbekannt und man nur zweithöchstes Gebot zu zahlen hat, kann man b i = v i setzen und E[U i ] wird maximal. Bei n Bietern: gleiches Ergebnis wie bei Holländischer bzw. Erstpreis-Auktion. Mechanismus Design Universität Hohenheim 20/25

21 Erlöse des Verkäufers bei 2 Bietern Beispiel 2 Bieter ziehen aus einer Gleichverteilung ihre Wertschätzung. Im Erwartungswert wird 1/3 und 2/3 gezogen. Erlös bei Englischer Auktion: zweithöchstes Gebot = 1/3. Erlös bei Holländischer Auktion: Hälfte der höchsten Wertschätzung 1/2 2/3 = 1/3. Erwarteter Preis in beiden Fällen: 1/3 Mechanismus Design Universität Hohenheim 21/25

22 Erlöse des Verkäufers bei n Bietern n Bieter teilen die Gleichverteilung in n + 1 gleichgroße Teile. Erwartungswert der hohen Wertschätzung: n n+1. Bei Holländischer/Erstpreis Auktion: Preis = Gebot E[b i ] = n 1 n E[v i] = n 1 n n n+1 = n 1 n+1 Bei Englischer/Zweitpreis Auktion: Preis = zweithöchste Wertschätzung n 1 n+1 Bei allen vier Auktionsarten sind die Erlöse gleich. Revenue Equivalence Theorem Mechanismus Design Universität Hohenheim 22/25

23 Die optimale Auktion für den Verkäufer Bei nur einem Bieter: E[v i ] = 0, 5 Bei allen Auktionen: E[Preis] = 0 nicht optimal Optimaler Preis bei einem Bieter: 0,5 Erlös größer; Wahrscheinlichkeit sinkt, dass das Gut verkauft wird. Bei n Bietern: Mindestpreis in Höhe von p min = vs+1 2. Durchschnitt zwischen der Wertschätzung des Verkäufers (v s ) und der maximal möglichen Wertschätzung (1). Mechanismus Design Universität Hohenheim 23/25

24 Beispiel - ebay Mischung zwischen Englischer Auktion und Zweitpreis-Auktion, da zeitlich begrenzt. Mindestpreise manchmal gegeben Optimale Strategie: kurz vor Ende maximale Wertschätzung angeben um die Mittagszeit herum Erwarteter Preis: ɛ-einheit (hier: 50 cent) über der zweithöchsten Wertschätzung. Mechanismus Design Universität Hohenheim 24/25

25 Erweiterungen Unterschiedliche oder andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wertschätzungen nicht unabhängig voneinander Asymmetrische Information über den wahren Wert des Guts winner s curse (z.b. Ölförderungsrechte) Risikoaverse Bieter (Holländische/Erstpreis führen zu höherem Preis) n n 1 b i Verkäufer ändert Gebote: w i = Bei b i = n 1 n v i erhält Verkäufer wahre Wertschätzung v i Jede Auktion kann entsprechend modifiziert werden Mechanismus Design Universität Hohenheim 25/25

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